导数专题一零点问题1------导数专题超级经典讲义

导数专题四、零点问题

【知识结构】

【知识点】

一、零点的定义：定义：

一般地，如果函数)(x f y =在x α=处有实数根，即()0f α=，则α叫做这个函数

()f x 的零点.

1.函数值为零时x 的值；

2.函数为零时，方程的解；

3.函数的图象与x 轴交点；

4.两个函数的交点；

二、零点问题主要包括的题型包括： 1.是否有零点； 2.判断零点个数； 3.已知零点求参数 三、函数零点的判定：

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点

【考点分类】

考点一、分类讨论求零点个数；

【例1-1】（2014-2015年朝阳一模理18）已知函数2

()ln (1)2

x f x a x a x =+-+，a ∈R ．

（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.

【答案】（Ⅱ）(1)()

()x x a f x x

--'=

,0x >. （1）当0a ≤时，

(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2

f a =--

. （ⅰ）当0a =时，2

()2

x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，

则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；

（ⅱ）当1

2a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；

（ⅲ）当1

2a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.

（ⅳ）当1

02

a -<<时，即(1)0f <时，

由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.

不等式放缩：，0)1(2ln 2

>+-+x a x

x a 即可。取a x a x x x x a x x a a x x -=>--∈>+-+-∴<<-

-≤,02

)1,0(,0)1(2)1(,02

1

,1ln 2

2

，

02)

12

31()

123)(ln()

1(2)ln()(22

>=++-->++-=+++-=-a a

a a a

a a a a a a a a f

)22(ln )2(1>-=>a f x 时，

）内各有一个零点。

，和（在21)1,(a x -∈∴

由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.

(2)当01a <<时，

(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数;(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，

()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2

f a a a a a a =+-+21

ln 2a a a a =--.

当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.

而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.

上有一个零点。

在)4,1(.

0884ln )4(,

22

ln 2ln 2)(ln )(1,102

2

2

∈∴>-+>∴-+=-+->-+-=><

x x x x

x x x a x f x a

且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.

(3)当1a =时，2

(1)()0x f x x

-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.

）只有一个零点。

，在（）上单调递增，，在（为增函数。

所以）上恒成立，

，在（时，∞+=∴∞+=>=<-+=∞+≥-==0)(0)(0

4ln )4(,0)1(,22

ln )()(00)1()(12

2

'

x f y x f y f f x x x x f x f x

x x f a

2

()ln (1)2x f x a x a x =+-+，

且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；

x →+∞时，()f x →+∞.所以()f x 有一个零点.

综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；1

02

a -<<

()f x 有两个零点.

【例1-2】（2012-2013石景山期末理18）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数． （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．

【答案】令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1

=

x a x

. 令 ln +1()=x g x x ，22

ln +11(ln +1)ln ()=()==x x x

g x x x x

-''-， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，

当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .

所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．

若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x . 若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较， 知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.

。

在定义域上有一个零点，即要使得时，显然时，在定义域上单增，时，显然只有一个零点，为)(,1ln ,

1

ln ,01-ln )(011)(100

1-ln )(11-ln )(0.,1ln )(,0111111x f y a e

a

x x e x x

x a ax x x f ae ae e f x ax x x f x ax x x f a e x x x f a a a =∴<=+=+><+=>-=+--=<<>+=>+=<=+==------

若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1

=x a

处取最大

值，11

()=ln >0f a a

，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即

()f x 在单调递减区间1

(,+)a

∞有且仅有一个零点；

又因为1()=<0a f e e -，所以()f x 在单调递增区间1

(0)a

，有且仅有一个零点.

切线方法：

。

没有交点，即没有零点与直线个零点；个交点，即有与直线点；

有两个交点，即两个零与直线，得），，代入（切线方程为为切线斜率）切于（与设直线当x y ax y a x y ax y a x y ax y a k x x x x x y x k x x x y ax y a ln 1,111ln 1,1ln 1,10.

111-0),(1

ln ,1,ln ,ln 1,0000

0000=-=>=-===-=<<∴==-=-∴=

=-=>