定积分的分步积分法.

例2 计算
解

1
0
e x dx
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令 x t，则dx 2tdt，且
当x 0时，t 0；当x 1时，t 1， 于是
e
0
1
x
dx 2te dt 2 tde
t 0 0
1 t 1 2 (te ) 0 e t dt 0
1
1
t
换元法
分步积分法
b a a
b
或

b
a
udv [uv] vdu
b a a
b
这个公式就是定积分的分步积分公式。
例1 计算 arcsin xdx
1 2 0
解 u arcsin x , v x, du
dx 1 x2
1 2 0
, dv dx

1 2 0
arcsin xdx [ x arcsin x] x
第五节 定积分的分步积分法
设u( x), v( x)在区间 [a, b]上具有连续导数，则有 (uv)' u' v uv'
于是
即
所以
b a
(uv)'dx u' vdx uv' dx [uv] u' vdx uv' dx
a a a
b
b
b
b a
b
b
a
a
uv' dx [uv] u' vdx
2[e (e ) ] 2
t 1 0
例3 证明定积分公式: I n sin xdx cos xdx
2 0 n 2 0 n


n 1 n 3 3 1 , n为正偶数, n n2 4 2 2 n 1 n 3 4 2 , n为大于1的正奇数. n n2 5 3
1
1 2 0
dx 1 x2
1 1 2 dx2 2 6 2 0 1 x2 1 1 1 2 (1 x 2 ) 2 d (1 x 2 ) 12 2 0
1 3 2 2 (1 x ) 1 2 12 0 12 1 2