倍长中线构造全等三角形

巧添辅助线——倍长中线

【夯实基础】

例:ABC ∆中,AD 就是BAC ∠的平分线,且BD=CD,求证AB=AC

方法1:作D E ⊥AB 于E,作D F ⊥AC 于F,证明二次全等

方法2:辅助线同上,利用面积 方法3:倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中

方式1: 延长AD 到E,

AD 就是BC 边中线

使DE=AD,

连接BE

方式2:间接倍长

作CF ⊥AD 于延长MD 到N,

作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CD

【经典例题】

例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围

提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之与大于第三边

例2:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证:BD=CE

方法1:过D 作DG ∥AE 交BC 于G,证明ΔDGF ≌ΔCEF

方法2:过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G,证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3:过D 作DG ⊥BC 于G,过E 作EH ⊥BC 的延长线于H

证明ΔBDG ≌ΔECH

例3:已知在△ABC 中,AD 就是BC 边上的中线,E 就是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求

证:AF=EF 提示:倍长AD 至G ,连接BG,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 就是等腰三角形

例4:已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC 、 求证:AE 平分BAC ∠

提示:

方法1:倍长AE 至G,连结DG 方法2:倍长FE 至H,连结CH

例5:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 就是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 提示:倍长AE 至F,连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE(SAS)

进而证明ΔADF ≌ΔADC(SAS)

【融会贯通】

1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明您的结论

提示:延长AE 、DF 交于G

证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC

B 第 1 题图 A B F D E

C

2、如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E,DF 平分ADC ∠交AC 于F 、 求证:EF CF BE >+

提示:

方法1:在DA 上截取DG=BD,连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG

利用三角形两边之与大于第三边 方法2:倍长ED 至H,连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE

利用三角形两边之与大于第三边

3、已知:如图,∆ABC 中,∠C=90︒,CM ⊥AB 于M,AT 平分∠BAC 交CM 于D,交BC 于T,过D 作DE//AB 交BC 于E,求证:CT=BE 、

提示:过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD

第 14 题图

D

F C

B

E

A

D

A

B

C

M

T

E