倍长中线构造全等三角形
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巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例:ABC ∆中,AD 就是BAC ∠的平分线,且BD=CD,求证AB=AC
方法1:作D E ⊥AB 于E,作D F ⊥AC 于F,证明二次全等
方法2:辅助线同上,利用面积 方法3:倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方式1: 延长AD 到E,
AD 就是BC 边中线
使DE=AD,
连接BE
方式2:间接倍长
作CF ⊥AD 于延长MD 到N,
作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD, 连接BE 连接CD
【经典例题】
例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围
提示:画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之与大于第三边
例2:已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证:BD=CE
方法1:过D 作DG ∥AE 交BC 于G,证明ΔDGF ≌ΔCEF
方法2:过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G,证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3:过D 作DG ⊥BC 于G,过E 作EH ⊥BC 的延长线于H
证明ΔBDG ≌ΔECH
例3:已知在△ABC 中,AD 就是BC 边上的中线,E 就是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求
证:AF=EF 提示:倍长AD 至G ,连接BG,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 就是等腰三角形
例4:已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC 、 求证:AE 平分BAC ∠
提示:
方法1:倍长AE 至G,连结DG 方法2:倍长FE 至H,连结CH
例5:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 就是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE 提示:倍长AE 至F,连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE(SAS)
进而证明ΔADF ≌ΔADC(SAS)
【融会贯通】
1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明您的结论
提示:延长AE 、DF 交于G
证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC
B 第 1 题图 A B F D E
C
2、如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E,DF 平分ADC ∠交AC 于F 、 求证:EF CF BE >+
提示:
方法1:在DA 上截取DG=BD,连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG
利用三角形两边之与大于第三边 方法2:倍长ED 至H,连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE
利用三角形两边之与大于第三边
3、已知:如图,∆ABC 中,∠C=90︒,CM ⊥AB 于M,AT 平分∠BAC 交CM 于D,交BC 于T,过D 作DE//AB 交BC 于E,求证:CT=BE 、
提示:过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD
第 14 题图
D
F C
B
E
A
D
A
B
C
M
T
E