2018年9月THUSSAT中学生标准化能力测试理科数学试题及答案
理科数学(一卷)试卷THUSSAT9月测试
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科数学试卷
本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
5.设曲线 y = ax2 − bln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x − 2 ,则 a,b 的值分别为( )
A. 2,1
B. 2, 1
C. 3,1
D. 3, 1
6.在平行四边形 ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,若 2AE = ED ,则 OE= ( )
A. 1 BA + 1 BC 26
A. 3 10 10
B. 10 10
C. 2 5 5
D. 5 5
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知函数 f (x) x2 2, x 0
,则 y = f (x) − x 的零点个数为________.
2x 6 ln x, x 0
14.已知数列{an} 满足 a1 = 2 , (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ,则{an} 的通项公式为________.
为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;
(2)当 a =1时,从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若
E = 5 , D = 5 ,求 b 和 c .
3
9
20.(12 分)设椭圆 C : x2 + y2 = 1 的右焦点为 F ,过点 (m,0)( | m |1)作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且坐标原
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.2 14.n 2+n 15.3016.()1,∞−三、解答题:共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分。
17.(12分)(1) 3=AB ,1=AC , 60=∠A ,所以由余弦定理可知,22231-231cos60BC ,7BC .......3分.根据正弦定理,14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 (2)222AB AC BC ,ACB 为钝角,则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD,在ACD ∆中,根据余弦定理,2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.(12分)(1)取PC 中点F , E 是PD 的中点,∴CD EF //,又由题意知Q 是FC 的中点,M 是EC 的中点,∴QM EF //,...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面, ∴PAB QM 平面// ............4分方法一:(2)当45=∠PBA 时,存在线段PC 上的中点F ,使得EF //平面P AD ,且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下:由(1)知,当F 为PC 中点时,AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形,∴AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥,∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥,BC AB ⊥,∴PAB BC 平面⊥,∴PAB PBC 平面平面⊥,∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角,∴45PBA............12分方法二:(2)当45=∠PBA 时,存在线段PC 上的中点F ,使得EF //平面P AD ,且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
2018全国中学生数理化创新能力大赛(预赛)高三数学试卷及解析
2018全国中学生数理化创新能力大赛(预赛)高三数学试卷注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷(非选择题)一、解答题1.已知数列{n 1>0,a n+1=2−|a n |,n ∈N ∗。
(1)若a 1,a 2,a 3成等比数列,求a 1的值。
(2)是否存在a 1,使数列{a n }为等差数列?若存在,求出所有这样的a 1;若不存在,说明理由。
2.有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清,具体如下:在ΔABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。
已知a =√6,且2cos 2A+C 2=(√2−1)cosB ,求角A 。
3.“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题.近年来,某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C (单位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()50250kC x x =+(x≥0,k 为常数).记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.(1) 试解释()0C 的实际意义,请建立y 关于x 的函数关系式并化简; (2) 当x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元? 4.若a,b,c 为实常数,又实数x,y 满足ay−bx =c√(x −a )2+(y −b )2≠0,求a,b,c 之间应满足的关系。
5.我们把由半椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(x ≥0)与半椭圆y 2b2+x 2c 2=1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a 2=b 2+c 2,a >0,b >c >0。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT9月测试高考资料高考复习资料中考资料
第 18 题
19.(12 分)设盒子中装有 6 个红球,4 个白球,2 个黑球,且规定:取出一个红球得 a 分,取出一个白球得 b 分,
取出一个黑球得 c 分,其中 a,b,c 都为正整数.
(1)当 a =1,b = 2 ,c = 3时,从该盒子中依次任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量
A. 3 10 10
B. 10 10
C. 2 5 5
D. 5 5
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知函数 f (x) x2 2, x 0
,则 y = f (x) − x 的零点个数为________.
2x 6 ln x, x 0
14.已知数列{an} 满足 a1 = 2 , (n −1)an = nan−1 + n(n −1)(n 2) ,则{an} 的通项公式为________.
AF PF , PFA 60 ,则点 F 到 PA 的距离为( )
A. 5 3 2
B. 7 2
C. 7 3 2
D. 15 2
12.在三棱锥 A - BCD 中,BC = BD = AC = AD =10 ,AB = 6 ,CD = 16 ,点 P 在平面 ACD 内,且 BP = 30 ,
设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ,则 sin α 的最小值为( )
15.某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同 的选法共有________种.
16.已知函数 f (x) = ln(x +1)(x 0) 与 g(x) = 2x − a 的图像上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是______.
2018神州智达(数学理)联考二参考答案
(2)在平面 DFC 内,过 F 作 FC 的垂线 FG,因为
EF DF , EF CF , EF 平面CDF , EF FG, EF , FC, FG 两两垂直,所以以
FE,FC,FG 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,又∵∠DFC= 3 ,则 4
E(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),D(0,﹣2,2),A(2,﹣2,2),
,即
2x 3 3y 2z
y 2z 0
0
,
取 m =(0,2,3),
同理平面 DBE 的一个法向量为 n =(1,0,1),··························································· 10 分
∴cos<
m
4. B 由茎叶图知,该班 10 名学生的平均体重为
50+ 4 2 2 4 4 6 10 12 14 22 =56.8.体重的中位数为 54 56 55 ,故选 B.
10
2
5. A 此函数是一个奇函数,故可排除 C,D 两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,
32
11. B
由题意得
aS352
a1a7 20
,即
(a1 2d )2
5a1
5
2
4
d
a1 (a1 20
6d )
,即
2a1d2
2d 4 a1d
,又因为
d≠0,
所以
ad1
2 1
,所以
an=n+1,则
1 an an 1
1 n 1
2018届高三数学9月考题(含答案).docx
[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ,贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数,若g (x) =f (x - 2)是奇函数,且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个,贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x > 0时,f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立,则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题:木题共6道题,共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小;(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题(含答案)2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位,^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°,使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °,使得(X。
2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
1
27 7 1000 , 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
, …………………12 分
20. (12 分) 解: (1)设 F (c,0) , P(t ,
3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 , 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 , 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 , 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题(每题 5 分) 13.
1 5
14.
4 [3, ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. (12 分) 解: (1)因为������������������2 ������ = ������������������2
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 (Ⅱ)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3,将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 , ~ B(3,设点 P 到 AB 边的距离为 z ,则有:
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ; 2
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题(含解析)
THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________(1)证明:MC BD ⊥;(2)若SA AD ⊥,2SA =,点1010,求SP SC .21.已知椭圆222:1(6x y C b +=上的一点满足MF MF ⋅=参考答案:【详解】中点,连接,AE BE ,,,AB BC BD ABC ABD =∠=∠,≌ABD △,AC AD ∴=,AE ∴π,3BD DBC ∠=,BCD ∴△是边长为,26CD BE =,故选:C 8.DGGB选项A ,函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,故GGB故选:BCD.12.ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线距离为定值,即可判断A;∠的平分线根据椭圆的对称性,AOB【详解】AI :如图,作OM AB⊥于M,则点AB斜率不存在时,设直线AB设2AB a =,高PO h =,则2OD a =,在Rt MOD 中,所以正四棱锥的体积13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--,故当0V '<,函数V 单调递减,因为2SA =,则()0,0,0A 、(S 设平面AMC 的法向量为(m x =则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,取设()(2,22,22SP SC λλ==-=()(f x>恒成立.即2a-e<-时,不等式()0。
2018.9高三数学理科九月考试题答案
数学(理)答案2018.9一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请答案填在横线上. 13. 12e -14. 12- 15.1a ≥ 16.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17. 解: (Ⅰ)f(x)=2sinx(32sinx +12cosx)=3×1-cos2x 2+12sin2x =sin(2x -π3)+32.函数f(x)的最小正周期为T =π由-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,所以函数f(x)的单调递增区间是[-π12+k π,5π12+k π],k ∈Z .(Ⅱ)当x∈[0,π2]时,2x -π3∈[-π3,2π3], sin(2x -π3)∈[-32,1],f(x)∈[0,1+32].所以当x∈[0,π2]时,函数f(x)的值域为[0,1+32]. 18. 解:(Ⅰ)由 解得 所以(Ⅱ)19. 解:(Ⅰ)正弦定理得又(Ⅱ)在,根据余弦定理得即又又 ,20.解:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .∵△ABC 为正三角形,∴AO ⊥BC . ∵在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,∴AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1中点O 1,以O 为原点,OB ,1OO ,OA 的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间 直角坐标系: O xyz -,如图所示,则B (1,0,0),D (-1,1,0), A 1(0,2,A (0,0,B 1(1,2,0),∴(11,2,AB =,()2,1,0BD =-,(1BA =-. ∴10AB BD ⋅=,110AB BA ⋅=,∴1AB BD ⊥,11AB BA ⊥,∴AB 1⊥平面A 1BD . (Ⅱ)设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n . 1,1,3()AD =--,1,2,0(0)AA =.∵AD ⊥n ,1AA ⊥n ,∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n,∴020x y y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩,0y x ==⎧⎪⎨⎪⎩,令1z =得(3,,1)0=n 为平面A 1AD 的一个法向量.由(1)知AB 1⊥平面A 1BD ,1AB 为平面A 1BD 的法向量,∴111cos AB AB AB ⋅-===⋅n n,n . ∴锐二面角A -A 1D -B 的大小的余弦值为21. 解:(Ⅰ)证明:当1a =时,函数()2x f x e x =-.则()'2x f x e x =-,令()2x g x e x =-,则()'2x g x e =-,令()'0g x =,得l n 2x =.当()0,l n 2x ∈时,()'0g x <,当()ln2,x ∈+∞时,()'0g x >∴()f x 在[)0,+∞单调递增,∴()()01f x f ≥=. (Ⅱ)()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根,2x e a x ⇔=在()0,+∞有两个根,即函数y a =与()2xe G x x=的图像在()0,+∞有两个交点.()()3e 2'x x G x x -=,当()0,2x ∈时,()'0G x <,()G x 在()0,2递减当()2x ∈+∞,时,()'0G x >,()G x 在()2+∞,递增所以()G x 最小值为()2e 24G =, 当0x →时,()G x →+∞,当x →+∞时,()G x →+∞,∴()f x 在()0,+∞有两个零点时,错误!未找到引用源。
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
BC7 7 132= 7中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.C 2.B3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.A二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.2 14.n 2+n 15.30 16. (- ∞,1)三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分。
17.(12 分)(1) AB = 3, AC =1, ∠A = 60 ,所以由余弦定理可知,BC 2 , .......3 分.根据正弦定理, 3 s in ∠ACB ,∴sin ∠ACB = 314 2........6 分(2) AB2AC 2 BC 2 ,ACB 为钝角,则c os ∠ACB = - = - ......8 分 14,在∆ACD 中,根据余弦定理,AD2.....10 分求得 AD....12 分32 12 -2 3 1 cos60 3 21⎛ 3 21 ⎫21-⎝ 14 ⎪ ⎭ AC 1,CD7 2127 2 2-2 1 7 2- 7 14⎬ ⎭ 18.(12 分)(1)取 PC 中点 F , E 是 PD 的中点,∴ EF // CD ,又由题意知Q 是 FC 的中点,M 是 EC 的中点,∴ EF //QM ,...........2 分∴ QM //CD // AB .又QM ⊄ 平面PAB , AB ⊂ 平面PAB ,∴ QM // 平面PAB ............4 分方法一:(2)当∠PBA = 45 时,存在线段 PC 上的中点 F ,使得 EF //平面 P AD ,且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立。
中学生标准学术能力诊断性测试2018-年9月测试理科数学试题及参考答案
B. 一1 --11. 22
- -l I
c. 2 + 2 ,句
D. -一1 --1 1
22
2. 已知集合 A= {xlJog,x <归= {xii S:2' S:8} 则AnB=<
A. [-1,3)
B. (0,3)
c. (-1,。
D. (0,4)
ω 3.将420名工人偏号为:<ilOI, 002, ., 420, 采用系统抽样的方法抽取一个容最为 的桥本,且随机ltll得的号码
c
;(! 18题
19. (12分〉设愈予中装布6个红球. 4个白球. 2个黑球.且规定:驭出-个红球得0分取出…个白球得b分, 取出一个ffl球稽c分.其中 a, b, c 都为正整数.
5 (1)当 Q=I, b=2, C=3时,从该盒子中依次任取{有放囚 , 且每球�到的机会均等) 2个球,记贯道J机变囊
A. -23
B. -25
c. -43
D. -45
5.设民a线 y = m:2 -blnxtfx=I 处的切线方程为y = Sx-2 ,则a,b 的值分别为〈
A. 2,1
B. -2,-1
c. 3‘l
D. -3、 -I
6在平行四边形 A.BCD 巾,。为AC 与 BD 的交点,若 2AE = 面,则在=〈
’ l 14 I
14
·AC=l,CD = 子在 !Y.A.CD 中根据余弦定理
叫引 AIY =
2
-2xl×子×(-主)-...10
求得β=孚口
18. ( 12分〉
(!)取 PC 中点 F, ·: E 是 PD 的中点 , 人互Fl/CD , 又由j题意知 Q 是 FC的中点,
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
BC 713 2中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.C 2.B3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.A二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.2 14.n 2+n 15.30 16. (-∞,1)三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分。
17.(12 分)(1) AB = 3, AC =1, ∠A = 60 ,所以由余弦定理可知,BC 2 , ............... 3 分.根据正弦定理, 3 = s in ∠ACB 7 ,∴sin ∠ACB = 3 142........6 分(2)AB 2 AC 2 BC 2 , ACB 为钝角,则7 c os ∠ACB = - = - 8 分 14,在∆ACD 中,根据余弦定理,AD 2.....10 分求得 AD ................. 12 分32 12-2 3 1 cos60 3 211-⎝ ⎛ 3 21 ⎫214 ⎪ ⎭ AC 1,CD7 2127 2 2-2 1 7 2- 7 14⎬ ⎭ 18.(12 分)(1) 取 PC 中点 F , E 是 PD 的中点,∴ EF // CD ,又由题意知Q 是 FC 的中点,M 是 EC 的中点,∴ EF //QM ,.... 2 分∴ QM //CD // AB .又QM ⊄ 平面PAB , AB ⊂ 平面PAB ,∴ QM // 平面PAB ............4 分方法一:(2)当∠PBA = 45 时,存在线段 PC 上的中点 F ,使得 EF //平面 P AD ,且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立。
理科数学(一卷)试卷THUSSAT9月测试_201910180045231
2 PF , PFA 60 30⎨ ⎩中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数 z 满足(1- i )2+ z (1 - i ) + i = 0 ,则 z =()⎧x + 2 y - 4 ≤ 0 9.若实数 x,y 满足⎪x - y -1 ≤ 0 ⎪x ≥ 1,则 x 2 + ⎛y - ⎝1 ⎫2⎪ ⎭的取值范围是( )2.已知集合 A = {x | log x < 2}, B = {x | 1≤ 2x ≤ 8},则 A B =( )10.在[-4, 4] 上随机地取一个数m ,则事件“直线 x - y + m = 0 与圆(x-1)2+ y 2 = 2 有公共点”发生的概率为( )3. 将 420 名工人编号为:001,002,…,420,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本,且随机抽得的号码为 005.这 420 名工人来自三个工厂,从 001 到 200 为 A 工厂,从 201 到 355 为 B 工厂,从 356 到 420 为 C 工x 2y 211.已知 P 为双曲线C :1 (a > 0,b > 0 )右支上一点,A 为其左顶点,F (4 3, 0) 为其右焦点,满足 厂,则三个工厂被抽中的工人数依次为()A .28,23,9B .27,23,10C .27,22,11D .28,22,104. 已知公差不为0 的等差数列{a n } 的首项 a 1 = 3 ,若 a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列,则{a n } 的前 5 项之和为( )a2b 2AF ,则点 F 到 PA 的距离为( )A . -23B . -25C . -43D . -455. 设曲线 y = ax 2- b ln x 在 x =1 处的切线方程为 y = 5x - 2 ,则a,b 的值分别为( )A .2,1 B . 2, 1C .3,1 D . 3, 112.在三棱锥 A- BCD 中,BC = BD = AC = AD =10 , AB = 6 ,CD = 16 ,点 P 在平面 ACD 内,且 BP = ,设异面直线 BP 与 CD 所成角为α ,则sin α 的最小值为( )6. 在平行四边形 ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,若2AE = ED ,则OE = ()3 10 10 A.B .10 102 5 5 C . D .557. 已知一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为()cm 2A .9 + 9 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.x 2 2, x 0y = f (x ) - xB. 9 +1813. 已知函数 f (x )2x ,则6 ln x , x 0的零点个数为.C .18 14. 已知数列{a } 满足a= 2 , (n -1)a = na + n (n -1)(n ≥ 2) ,则{a } 的通项公式为.n1nn -1nD .278. 设抛物线 C : y2= 4x 的焦点为 F ,直线l 过 F 且与抛物线 C 交于 A , B 两点.若 AB=( )16 ,且 AF 3> BF , 则15. 某校开设A 类选修课 4 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有种.16. 已知函数 f (x ) = ln(x +1)(x > 0) 与 g (x ) = 2x- a 的图像上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是.A . 1 + 1i2 2B . 1 - 1 i2 2 C . - 1 + 1i2 2 D . - 1 - 1i2 22 AFBF2 A .[-1,3] 2 2 B .(0,3]C .[-1,4)D .(0, 4)A . 1 BA + 1BC2 6B . 1 BA - 1BC2 6 C . - 1 BA + 1BC2 6D . - 1 BA - 1BC2 6A .3B . 52C .2D .4A . [1,2]B . ⎡⎢ 5 ,2⎤⎥⎣ 4 ⎦ C . ⎡ 5 ,17 ⎤⎢⎣ 4 4 ⎥⎦D . ⎡ , 17 ⎤⎢1⎥ ⎣ 4 ⎦A . 14B . 13C . 12D . 235 3 A . 2 B . 7 2 7 3 C . 2D .152y 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60 分.17.(12 分)在∆ABC 中, AB = 3 , AC =1 , ∠A = 60.清题号.22.[选修 4−4:坐标系与参数方程](10 分)⎧2⎪ x = -2 + 2 t (1) 求sin ∠ACB ;(2) 若 D 为 BC 的中点,求 AD 的长度.在直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为⎨ ⎪y = -4 + 2 t ⎩ 2( t 为参数),点 M (-2, -4) .以坐标原点为极点,x 轴18.(12 分)如图,在四棱锥 P -ABCD 中,PA ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD为矩形,E 是 PD 的中点,M 是 EC 的中点,点 Q 在线段 PC 上且 PQ =3QC .(1) 证明 QM //平面 PAB ;(2) 当∠PBA 为多大时,在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥平面 PAD 且 EF与平面 PBC 所成角为 45°同时成立?19.(12 分)设盒子中装有 6 个红球,4 个白球,2 个黑球,且规定:取出一个红球得a 分,取出一个白球得b 分,取出一个黑球得c 分,其中 a ,b ,c 都为正整数.(1) 当 a =1,b = 2 ,c = 3时,从该盒子中依次任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量ξ为取出此 2 球所得分数之和,求ξ 的分布列;(2) 当a =1时,从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量η 为取出此球所得分数.若E η = 5 , D η = 5,求b 和c .正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ρ sin 2 θ - 2a cos θ = 0 (a > 0) .(1) 当a =1时,求曲线C 的直角坐标方程;(2) 设曲线C 与直线l 交于点 A , B ,若| AB |2=| MA | ⋅ | MB | ,求 a 的值.23.[选修 4−5:不等式选讲](10 分)已知 f (x ) =| x + 2 | -| ax - 3|.(1)当a = 2 时,求不等式 f (x ) > 2 的解集;(2)当0 < a ≤ 3 时,若 x ∈(0, 2) ,求证: f (x ) > x -1 .320.(12 分)设椭圆C : 9 x 2 + 24= 1 的右焦点为 F ,过点(m ,0) (| m |≥1)作直线l 与椭圆C 交于 A , B 两点,且坐标原点O (0,0) 到直线l 的距离为 1.(1) 当m =1时,求直线 AF 的方程; (2) 求∆ABF 面积的最大值.21.(12 分)已知函数 f (x ) = ln(ax +1) -2ax- 2ln 2 + 3( a > 0 , a 为常数, x > 0 )(1)讨论 f (x ) 的单调性;x + 2 2(2)当0 < a ≤ 3时,求证: f (x ) ≥ 0 .2第 18 题。
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试高考资料高考复习资料中考资料
中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.2 14.n 2+n 15.3016.()1,∞−三、解答题:共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分。
17.(12分)(1) 3=AB ,1=AC , 60=∠A ,所以由余弦定理可知,22231-231cos60BC ,7BC .......3分.根据正弦定理,14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 (2)222AB AC BC ,ACB 为钝角,则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD,在ACD ∆中,根据余弦定理,2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.(12分)(1)取PC 中点F , E 是PD 的中点,∴CD EF //,又由题意知Q 是FC 的中点,M 是EC 的中点,∴QM EF //,...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面, ∴PAB QM 平面// ............4分方法一:(2)当45=∠PBA 时,存在线段PC 上的中点F ,使得EF //平面P AD ,且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下:由(1)知,当F 为PC 中点时,AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形,∴AD AB ⊥,∴PAD AB 平面⊥,∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥,BC AB ⊥,∴PAB BC 平面⊥,∴PAB PBC 平面平面⊥,∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角,∴45PBA............12分方法二:(2)当45=∠PBA 时,存在线段PC 上的中点F ,使得EF //平面P AD ,且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。
第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数。
第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$,$b=3-2$,$c=6-2$,那么$a,b,c$的大小关系是()A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$,所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$,$b=1$,$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$,所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$,所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为()A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$,显然$x+y$必须是偶数,所以可设$x+y=2t$,则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$,所以$t=\pm 2$,从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$,共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,$CE=1$,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为()A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$,交DE于点P。
湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三9月调研考试理科数学(含答案)
湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的1. 已知,0),,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:∵,,∴,∴,∴.考点:平方关系、倍角关系.2. 圆锥曲线的准线方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】将化成,即,即该圆锥曲线的直角坐标方程为,其准线方程为,即;故选D.3. 设函数,若,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】当时,,则,当时,,则,综上:或.选D.【点睛】有关分段函数问题是函数部分的一个重要考点,经常考查分段函数求值、定义域、值域、奇偶性、单调性、解方程、解不等式、函数图像等,是高考的热点之一.4. 函数的最大值为()A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意,得;故选A.5. 已知圆C:()及直线:,当直线被C截得的弦长为时,则= ()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,得,解得,又因为,所以;故选C.6. 已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设内接圆柱的底面半径为,母线长为,则,即,则该圆柱的全面积为,因为,所以当时,内接圆柱的全面积的最大值为;故选B.7. 已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列,则()A. 1B.C.D.【答案】C【解析】设这个四个根为,则所以8. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,则此双曲线的方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意设该双曲线方程为,且,,的中点为,则且,则,即,联立,得,即该双曲线方程为;故选D.点睛:在涉及圆锥曲线的中点弦时,往往利用“点差法“”进行求解,可减少运算量.9. 若为所在平面内任一点,且满足,则一定是()A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】因为,所以,即,即是等腰三角形;故选B.10. 已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角),设的坐标为(,0),若,则的取值范围是()A. (,1)B. (,)C. (,)D. (,)【答案】C【解析】设B=x,∠B=θ,则C=1-x,∠C、∠D、∠A均为θ,∴tanθ=.又tanθ=,∴.而tanθ=,∴.又tanθ=,∴.依题设1<<2,即1<<2,∴4<<5,<x<.∴<tanθ<,故选C11. 定义在上的函数满足:,,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A. B. C. D.【答案】A..................点睛:在处理本题时,利用题意和合理构造是关键.12. 一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径,求出球的表面积.由于正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,所以正方体的棱长为:1,所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径,所以球的半径为,所以球的表面积为:,故选A.考点:球内接多面体第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上13. 的展开式中系数是___________【答案】【解析】试题分析:的展开式的通项为,令,得,所以含的项的系数为.考点:二项式定理.14. 使成立的的取值范围是___________【答案】(-1,0)【解析】在同一坐标系中分别画出函数和的图象(如图所示),由图象,得使成立的的取值范围是;故填.15. 如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有___________种(以数字作答)【答案】72【解析】由题意可知,当选用三种颜色着色,由乘法原理种方法,当选用四种颜色时,由乘法原理则种方法,再据加法原理可得种方法.点睛:涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,但也有几种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析:以颜色为主分类讨论,适用于区域,点,线段等问题,用分类加法计数原理分析;将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.16. 下列5个正方体图形中,是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)【答案】①④⑤解法1 作正方体ABCD-A1B1C1D1如附图,与题设图形对比讨论.在附图中,三个截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是对角线l (即 AC1)的垂面.对比图①,由MN∥BA l,MP∥BD,知面MNP∥面BA l D,故得l⊥面MNP.对比图②,由MN与面CB1D1相交,而过交点且与l垂直的直线都应在面CB l D l内,所以MN不垂直于l,从而l不垂直于面MNP.对比图③,由MP与面BA l D相交,知l不垂直于MN,故l不垂直于面MNP.对比图④,由MN∥BD,MP∥BA.知面MNP∥面BA1 D,故l⊥面MNP.对比图⑤,面MNP与面EFGHKR重合,故l⊥面MNP.综合得本题的答案为①④⑤.解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为.各图可讨论如下:在图①中,MN,NP在平面上的射影为同一直线,且与l垂直,故l⊥面MNP.事实上,还可这样考虑:l在上底面的射影是MP的垂线,故l⊥MP;l在左侧面的射影是MN的垂线,故l⊥MN,从而l⊥面 MNP.在图②中,由MP⊥面,可证明MN在平面上的射影不是l的垂线,故l不垂直于MN.从而l不垂直于面MNP.在图③中,点M在上的射影是l的中点,点P在上的射影是上底面的内点,知MP在上的射影不是l的垂线,得l不垂直于面 MNP.在图④中,平面垂直平分线段MN,故l⊥MN.又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而l⊥MP,故l⊥面 MNP.在图⑤中,点N在平面上的射影是对角线l的中点,点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点,三个射影同在一条直线上,且l与这一直线垂直.从而l⊥面MNP.至此,得①④⑤为本题答案.三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤17. 已知数列中,,其前项的和为,且满足.(Ⅰ) 求证:数列是等差数列;(Ⅱ) 证明:【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)利用进行化简,再利用等差数列的的定义进行求解;(Ⅱ)利用裂项抵消法求和,再利用放缩法进行证明.试题解析:(Ⅰ)当时,, ,,从而构成以4为首项,2为公差的等差数列.(Ⅱ)由(1)可知,..点睛:裂项抵消法是数列求和的常见方法,主要适用于以下题型:18. 如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,D、E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心(Ⅰ)求与平面ABD所成角的余弦值(Ⅱ)求点到平面的距离【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用线面角的定义找出线面角,再利用解直角三角形进行求解;(Ⅱ)先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直,再利用利用面面垂直的性质作出线面垂直,得到点到平面的距离.试题解析:(Ⅰ)连结,则是在的射影,即是与平面所成的角.设为中点,连结,∵分别是的中点,又平面,则为正方形,连接,是的重心,且,在直角三角形中,,,,,即(Ⅱ),又,即平面平面,作,垂足为,所以平面,即是到平面的距离,在三角形中,,则到平面的距离为。
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三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分. 17. (12 分)在 ABC 中, AB = 3 , AC = 1 , A = 60 . (1)求 sin ACB ; (2)若 D 为 BC 的中点,求 AD 的长度.
18. (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形, E 是 PD 的中点, M 是 EC 的中点, 点 Q 在线段 PC 上且 PQ=3QC. (1)证明 QM//平面 PAB; (2) 当 PBA 为多大时, 在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ⊥ 平面 PAD 且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立? 第 18 题
6.在平行四边形 ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,若 2 AE = ED ,则 OE = ( A. BA +
3 10 10 2 5 5
B.
10 10
5− BC
1 2
1 6
C. − BA + )cm2
1 2
1 BC 6
1 2
1 BC 6
C.
D.
7.已知一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为( A. 9 2 + 9 B. 9 2 + 18 C.18 D.27
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试 理科数学试卷
本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1 - i ) + z (1 − i ) + i = 0 ,则 z =(
2
A.3
B.
5 2
C .2
D.4
x + 2 y − 4 0 2 1 2 9.若实数 x,y 满足 x − y − 1 0 ,则 x + y − 的取值范围是( 2 x 1
A. 1,2
)
5 17 4 4
) D. −
B. , 2 4 D. 1,
5 17 4
2
1 1 1 1 C. − + i − i 2 2 2 2 1 2.已知集合 A = {x | log 2 x 2}, B = {x | 2 x 8} ,则 A B =( ) 2
A. B. A. [−1,3] B. (0,3] C. [−1,4)
8.设抛物线 C: y = 4 x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点.若 AB
2
16 ,且 AF BF ,则 3
15.某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同 的选法共有________种.
2
B. −25
C. −43
D. −45 ) D. 3, 1 ) D. − BA −
5 3 2
7 2
C.
7 3 2
D.
15 2
5.设曲线 y = ax − b ln x 在 x = 1 处的切线方程为 y = 5 x − 2 ,则 a,b 的值分别为( A. 2,1 B. 2, 1 C. 3,1
12.在三棱锥 A - BCD 中, BC = BD = AC = AD = 10 , AB = 6 ,CD = 16 ,点 P 在平面 ACD 内,且 BP = 30 , 设异面直线 BP 与 CD 所成角为 ,则 sin α 的最小值为( A. )
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写 清题号. 22.[选修 4−4:坐标系与参数方程](10 分)
x = −2 + 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 y = −4 +
2 t 2 ( t 为参数) ,点 M (−2, −4) .以坐标原点为极点, x 轴 2 t 2
1 1 + i 2 2
1 1 − i 2 2
C. ,
10. 在 −4, 4 上随机地取一个数 m , 则事件 “直线 x − y + m = 0 与圆 ( x-1) + y 2 = 2 有公共点” 发生的概率为 ( D. (0,4) A.
)
3.将 420 名工人编号为:001,002,…,420,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本,且随机抽得的号码 为 005.这 420 名工人来自三个工厂,从 001 到 200 为 A 工厂,从 201 到 355 为 B 工厂,从 356 到 420 为 C 工 厂,则三个工厂被抽中的工人数依次为( A.28,23,9 ) C.27,22,11 D.28,22,10 )
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f ( x)
x 2 2, x 0 2 x 6 ln x, x
0
,则 y =
f ( x) − x 的零点个数为________.
14.已知数列 {an } 满足 a1 = 2 , (n − 1)an = nan−1 + n(n − 1)(n 2) ,则 {an } 的通项公式为________.
1 4
B.
1 3
C.
1 2
D.
2 3
11.已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 ( a 0,b 0 )右支上一点,A 为其左顶点,F (4 3,0) 为其右焦点,满足
)
B.27,23,10
AF
A.
PF , PFA
60 ,则点 F 到 PA 的距离为(
B.
4.已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 = 3 ,若 a2 ,a3 ,a6 成等比数列,则 {an } 的前 5 项之和为( A. −23