高中数学必修一 第一章 1.2.2 第2课时分段函数及映射 教学课件PPT
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高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
ppt精选
3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
ppt精选
7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
ppt精选
14
1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
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人教A版数学必修一1.2.2第2课时.pptx
【变式训练】(2013·绵阳高一检测)函数 则f( 1 )的值为( )
f
x
1
x
2
x2, x
x
1, 3, x
1，
f (3)
A. 15
16
B. 27 C. 8
16
9
D.18
【解析】选C.∵x>1,∴f(3)=32-3-3=3，又1 <1,
3
∴f( )1=f( )=11-( )2=1 8 .
f (3)
【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点 (1)两个集合是否为非空数集. (2)对集合A中的每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应. (3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.
【变式训练】设M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},给出下面4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是______.
【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B, 故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的 函数；对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但2 无意义，故C不是A到B的 函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函 数. 2.①②是映射，但②中A不是数集，所以②只能是映射，而不是 函数.③中当x=0时，在集合B中没有元素与之对应. 答案：①② ①
答案：(1)× (2)× (3)√
二、映射
非空有什么区别与联系? 提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集 合，函数中集合A，B必须是数集. 联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.
【知识点拨】 1.对分段函数的认识 (1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其 对应关系不同，但分段函数是一个函数. (2)定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集. (3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集. (4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实.
高一数学(人教A版)必修1课件：1-2-2-2分段函数与映射
次数 1 2 3 4 5 分数 85 88 93 86 95
新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让 6 位观众每人从 他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌 号数是这样规定的，A 为 1，J 为 11，Q 为 12，K 为 13，其余 的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进 行计算，将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5，再减去 25，把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
[分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映 射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的 对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映 射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中 无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射； 对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
思路方法技巧
1 分段函数及其应用
学法指导：分段函数的应用 设分段函数f(x)＝ff12xx， ，xx∈ ∈II12， . (1)已知x0，求f(x0)； ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六 张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让 6 位观众每人从 他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌 号数是这样规定的，A 为 1，J 为 11，Q 为 12，K 为 13，其余 的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进 行计算，将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5，再减去 25，把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
[分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射，主要从映 射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的 对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映 射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中 无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射； 对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
思路方法技巧
1 分段函数及其应用
学法指导：分段函数的应用 设分段函数f(x)＝ff12xx， ，xx∈ ∈II12， . (1)已知x0，求f(x0)； ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解．
高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件(26张)
题型二
求分段函数的函数值
x 1, x 0, 【例 2】 已知 f( x) = π, x 0, 求 f{f[ f( -3) ] }. 0, x 0,
分析: 先求 f(-3), 设 f( -3 ) =m, 再求 f(m), 设 f(m) =n, 再求 f( n) 即可. 解: ∵ -3<0, ∴ f(-3)=0. ∴ f[f(-3) ]=f(0) = π. 又∵ π>0, ∴ f{f[f(-3) ]}=f(π) =π+1, 即 f{f[f(-3)] }=π+1. 反思: ( 1)求分段函数的函数值, 一定要注意所给自变量的值所在的范围, 再代入 相应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题, 要按照“由里到外”的顺序, 层层处理.
1.理解映射的概念 剖析: 对于映射 f: A→B , 可以从以下几个方面理解: (1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; (2)映射是有方向的, A 到 B 的映 射与 B 到 A 的映射往往是不一样的; (3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集 合 B 中都有元素与之对应, 而且这个与之对应的元素是唯一的, 这样集合 A 中元 素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性就构成了映射的核心; (4)映射允 许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应; (5)映射允许集合 A 中有不同的 元素在集合 B 中有相同的对应元素, 即映射只能是“多对一”或“一对一”, 不能 是“一对多”.
题型一
判断映射
【例 1】 下列对应是 A 到 B 的映射的有( ①A=R, B=R, f: x→y= 1 x ;
) .
x 1
②A={2010 年广州亚运会的火炬手}, B={2010 年广州亚运会的火炬手的体重}, f: 每个火炬手对应自己的体重; ③A={非负实数}, B=R, f: x→y=± x . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析: ①中, 对于 A 中元素-1, 在 B 中没有与之对应的元素, 则①不是映射; ②中, 由 于每个火炬手都有唯一的体重, 则②是映射; ③中, 对于 A 中元素 4, 在 B 中有两个 元素 2 和-2 与之对应, 则③不是映射. 答案: B 反思: 判断一个对应是否为映射, 依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合 A 中 每一个元素在集合 B 中是否均有对应元素.若没有, 则不是映射; 若有, 再看对应 元素是否唯一, 若唯一, 则是映射, 若不唯一, 则不是映射.
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数及映射
5．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，＞02≤. x≤2， (1)求 f(2)，f[f(2)]的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
解 (1)∵0≤x≤2 时，f(x)＝x2－4， ∴f(2)＝22－4＝0， f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当 0≤x0≤2 时， 由 x02－4＝8， 得 x0＝±2 3(舍去)； 当 x0＞2 时，由 2x0＝8，得 x0＝4. ∴x0＝4.
课堂小结 1．对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集， 也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字 描述的方法来表达．
2．理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的 并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区 间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段， 就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其 是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来， 从而得到整个函数的图象．
[正解] 当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当 x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2. [防范措施] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数，处 理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解 决分段函数问题的基本原则． (2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的 对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．不能准确 理解分段函数的概念是导致出错的主要原因．
________；
x＋1，x≥0，
(2)已知函数 f(x)＝|x1|，x＜0，
若 f(x)＝2，则 x＝________.
高中数学 第一章 §1.2.2第2课时分段函数及映射课件 新人教A版必修1
第五页，共21页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高效
小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域．(2)要标出关键 点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生． 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有
唯一的实数与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集
合 B 的一个映射．
第十四页，共21页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高(2)效按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任
第十一页，共21页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效 探究点三 映射的概念及应用 问题 1 回忆初中学习过的一些对应，你能举出几个？
答 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x，y) 和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应． 问题 2 函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集 合有什么特点？ 答 两个集合是非空数集．
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|. (1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的 分段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为 三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高效
小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域．(2)要标出关键 点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生． 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有
唯一的实数与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集
合 B 的一个映射．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高(2)效按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效 探究点三 映射的概念及应用 问题 1 回忆初中学习过的一些对应，你能举出几个？
答 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x，y) 和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应． 问题 2 函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集 合有什么特点？ 答 两个集合是非空数集．
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|. (1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的 分段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为 三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)
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高中人教A版数学必修一配套课件1.2.2.2分段函数及映射
3.已知f(x)=
x x
1, x 3,
1, x＞1，
则f(f(2))=________.
【解析】f(2)=-2+3=1,所以f(f(2))=f(1)=1+1=2.
答案:2
4.已知A={1,2,3,…,9},B=R,从集合A到集合B的映射
f:x→ x .
2x 1
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是________.
第2课时 分段函数及映射
主题1 分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5千米以内(含5千米),票价2元. (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米 的按5千米计算).
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起 点站和终点站)有11个汽车站. 请根据以上内容,回答下面的问题:
①A=N,B=N*,f:x→|x|;②A=N,B=N*,f:y=|x-1|;
③A=B={1},f:x→x2;
④A={1,2,3,4,5},B={1,7,17,31,49},f:y=2x2-1.
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④
【解析】选C.①A中元素0在集合B中无元素与之对应, 故不是映射;②A中元素1在B中无元素与之对应,故不是 映射;③符合定义,是映射;④中x=1,2,3,4,5时,y分别 是1,7,17,31,49,符合定义,是映射.
1 x2,Leabharlann x 1,x2x
3,
x＞1,
【解题指南】先求
f
1
3
，再求 f (
f
1
3
)
.
【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 1 1 .
f 3 3
所以 f( 1 )f(1)1(1)28.
数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时 分段函数及映射
栏目导引
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关___系_，则称这 样 的函数为分段函数． 2．映射 设 A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应 关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应 ，那么就称对应f_：__A_→__B_为 从集合A到集合B 的一个映射．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中 没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在 集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
栏目导引
解析：
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时 f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时， f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
必修1 第一章 集合与函数的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是 答案： A
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
a3，a4无对应 元素、不满足 取元任意性.
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
0, < 0,
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
高一数学必修一1.2.2.2 分段函数及映射 ppt课件
ppt课件
19
(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， ∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， ∴a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， ∴a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(2)如图所示．
ppt课件
12
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
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13
分段函数及应用
x＋2 x≤－3 已知函数 f(x)＝x2 －3＜x＜3 ，
2x x≥3 求(1)f(－5)，(2)f(－ 3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4))) 的值．
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[解题过程] (1)∵－5＜－3 ∴f(－5)＝－5＋2＝－3 (2)∵－3＜－ 3＜3 ∴f(－ 3)＝(－ 3)2＝3 (3)f(3)＝2×3＝6 (4)∵－4＜－3， ∴f(－4)＝－4＋2＝－2； 又∵－3＜－2＜3， ∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4； 又∵4＞3， ∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.
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2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
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人教A版高中数学必修一教学课件：1.2.2 第2课时 分段函数、映射
2．判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射， 哪些不是．为什么？ (1)A＝R，B＝{0,1}，对应关系
1x≥0， f：x→y＝ 0x＜0；
1 (2)A＝Z，B＝Q，对应关系 f：x→y＝ ； x (3)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,16}，对应关系 f：a→b ＝(a －1)2.
1 － f f f 2的值；
(2)若 f(x)＝2，求 x 的值．
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思路点拨：分段考虑求值即可． (1)先求
1 － f 2，再求 1 － f f 2，最后求
2
1 － f f f 2；
1 (2)分别令 x＋2＝2，x ＝2， x＝2，分段验证求 x. 2
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1 1 3 解：(1)f－2＝－2＋2＝ ， 2 1 3 3 2 9 ∴ff－2＝f2＝2 ＝ . 4 1 9 1 9 9 ∴fff－2＝f 4＝2×4＝8.
中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之
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• 给定两集合A，B及对应关系f，判断是否是 从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定 义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对 一”“一对一”“一对多”“多对多”，前两 种对应是A到B的映射，而后两种不是A到B的映 射．
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第一章 集合与函数概念
1.2 第2课时
函数及其表示 分段函数、映射
1.2.2 函数的表示法
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• 1．了解简单的分段函数，并能简单应 用．(重点) • 2．了解映射的概念及它与函数的联系．(重 点、易混点)
高一数学新人教A版必修1教学课件：第1章 集合与函数概念 1.2.2 第2课时 分段函数与映射.ppt
〔跟踪练习 1〕 已知 f(x)＝x2|x|≤1 ，
1|x|>1 (1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的定义域和值域．
[解析] (1)利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数 f(x)的定义域为 R.由图象知，当|x|≤1 时，f(x)＝x2 的值域 为[0,1]，当|x|>1 时，f(x)＝1，所以 f(x)的值域为[0,1]．
• (2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为 非_一_空_定_数_是_集_函__数__，_映时射，是从函A到数B的的推映广射．就是函数，所以函数一定是映射，而映射不
• [知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关系式相连；函数表示 ，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不 再是数集，任何集不限．
(4)因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C＝ {y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义，是映射．
〔跟踪练习 2〕 已知 A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射 f：x→2x＋x 1. (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？ (2)与 B 中元素49相对应的 A 中的元素是什么？
3．y＝f(x)的图象如图所示，则函数的定义域是 ( )
D
A．[－5,6) B．[－5,0]∪[2,6] C．[－5,0)∪[2,6) D．[－5,0]∪[2,6)
• [解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取 并集，即：[－5,0]∪[2,6)．
4．已知集合 A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由 A 到 B 的映射的个数为____. 4
人教A版数学必修一第1部分第一章1.21.2.2第二课时分段函数及映射.pptx
解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1；
当－2<x<0 时，
f(x)＝1＋－x2－x＝1－x，
∴f(x)＝11，－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
1．对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、 点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应．对应关系可以用图 示或文字描述的方法来表达．
2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是( ) A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：在B中，集合A中的元素1有±1两个元素与之对应， ∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正 确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0∉B， ∴D不正确． 答案：A
[一点通] 1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在 的范围，代入相应的解析式求值． 2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层 处理． 3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值， 可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分 段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范 围，确定解析式再求解．
－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
∵f－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，
∴f
[
f
新人教A版高中数学必修一1.2.2第2课时 分段函数及映射课件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/16ຫໍສະໝຸດ 最新中小学教学课件40
谢谢欣赏！
2019/8/16
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41
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学必修一第一章 1.2.2 第2课时分段函数及映射课件
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间 的函数解析式，并画出函数的图象.
解析答案
解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
解析答案
(2)若 f(x)≥14，求 x 的取值范围； 解 由于 f(±12)＝14，结合此函数图象可知， 使 f(x)≥14的 x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).
(3)求f(x)的值域.
解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].
答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定 的y与之对应.
答案
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范 围，有着不同的 对的应函关数系. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是.空集 (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
答案
知识点二 映射 思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长. 这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？ 答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素， 在B中有唯一确定的元素与之对应”.
答案
映射的概念：
设A，B是两个非空的 集，合如果按某一个确定的 对应关f ，系使 对 于 集
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关 系f中，不能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2 C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
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第一章 1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射
学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数； 2.给出分段函数，能研究有关性质； 3.了解映射的概念.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 分段函数 思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0， 则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对 应算不算函数？
解析答案
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1.如图中所示的对应：
1 23 45
其中构成映射的个数为( A )
A.3
B.4
C.5 D.6
答案
2.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点
在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( B )
2x2，0≤x≤1 A.f(x)＝2，1<x<2
3，x>2
2x2，0≤x<1 B.f(x)＝2，1≤x<2
答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定 的y与之对应.
答案
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范 围，有着不同的 对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是 空.集 (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间 的函数解析式，并画出函数的图象.
解析答案
对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确唯定一的元素y与之对应，
那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的
一个映.射
函数一定是映射，映射不一定是函数.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD， 底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC (垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯 形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式， 并画出大致图象.
类型二 研究分段函数的性质 例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域；
解析答案
(2)解不等式：f(x)>0；
解 f(x)>0，即x≤－1，
①
4>0
或－－12<x＋x≤2>3，0
②
或 x－>43>，0
③
解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅. 所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).
解析答案
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围. 解 f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无 交点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象；
3，x≥2
2x2，0≤x≤1 C.f(x)＝2，1<x≤2
3，x>2
x2，0≤x≤1 D.f(x)＝2，1<x<2
3，x≥2
1 是( A )
1 23 45
答案
1 23 45
4.已知函数 y＝x－2＋2x1，，xx>≤0 0 ，使函数值为 5 的 x 的值是( C )
答案
知识点二 映射 思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长. 这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？ 答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素， 在B中有唯一确定的元素与之对应”.
答案
映射的概念：
设A，B是两个非空的 集合，如果按某一个确定的 对应关系 f，使
解析答案
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三 角形都对应它的内切圆； 解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f： A→B是从集合A到集合B的一个映射.
解析答案
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}， 对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应 的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个 映射.
解析答案
(2) 集 合 A ＝ {P|P 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 } ， 集 合 B ＝ {(x ， y)|x∈R ， y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； 解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意 一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从 集合A到集合B的一个映射.
解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
解析答案
(2)若 f(x)≥14，求 x 的取值范围； 解 由于 f(±12)＝14，结合此函数图象可知， 使 f(x)≥14的 x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).
(3)求f(x)的值域.
解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].
解析答案
类型三 映射的概念 例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ (1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点 与它所代表的实数对应； 解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实 数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关 系f中，不能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2 C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没 有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.
第2课时 分段函数及映射
学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数； 2.给出分段函数，能研究有关性质； 3.了解映射的概念.
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问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 分段函数 思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0， 则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对 应算不算函数？
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1.如图中所示的对应：
1 23 45
其中构成映射的个数为( A )
A.3
B.4
C.5 D.6
答案
2.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点
在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( B )
2x2，0≤x≤1 A.f(x)＝2，1<x<2
3，x>2
2x2，0≤x<1 B.f(x)＝2，1≤x<2
答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定 的y与之对应.
答案
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范 围，有着不同的 对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是 空.集 (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
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解析答案
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间 的函数解析式，并画出函数的图象.
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对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确唯定一的元素y与之对应，
那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的
一个映.射
函数一定是映射，映射不一定是函数.
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重点难点 个个击破
类型一 分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD， 底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC (垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯 形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式， 并画出大致图象.
类型二 研究分段函数的性质 例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域；
解析答案
(2)解不等式：f(x)>0；
解 f(x)>0，即x≤－1，
①
4>0
或－－12<x＋x≤2>3，0
②
或 x－>43>，0
③
解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅. 所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).
解析答案
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围. 解 f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无 交点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象；
3，x≥2
2x2，0≤x≤1 C.f(x)＝2，1<x≤2
3，x>2
x2，0≤x≤1 D.f(x)＝2，1<x<2
3，x≥2
1 是( A )
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答案
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4.已知函数 y＝x－2＋2x1，，xx>≤0 0 ，使函数值为 5 的 x 的值是( C )
答案
知识点二 映射 思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长. 这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？ 答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素， 在B中有唯一确定的元素与之对应”.
答案
映射的概念：
设A，B是两个非空的 集合，如果按某一个确定的 对应关系 f，使
解析答案
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三 角形都对应它的内切圆； 解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f： A→B是从集合A到集合B的一个映射.
解析答案
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}， 对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应 的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个 映射.
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(2) 集 合 A ＝ {P|P 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 } ， 集 合 B ＝ {(x ， y)|x∈R ， y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； 解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意 一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从 集合A到集合B的一个映射.
解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
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(2)若 f(x)≥14，求 x 的取值范围； 解 由于 f(±12)＝14，结合此函数图象可知， 使 f(x)≥14的 x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).
(3)求f(x)的值域.
解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1. 所以f(x)的值域为[0,1].
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类型三 映射的概念 例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ (1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点 与它所代表的实数对应； 解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实 数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.
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解析答案
跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关 系f中，不能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2 C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没 有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.