函数及其表示学案

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函数及其表示

(一)知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义:

设B A 、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的 x ,在集合B 中都有 的数和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数,通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中,x 叫做自变量, 叫做)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值, {}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素: 、 和 (4)区间的概念

. 2.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 3.分段函数

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

(二)考点分析 考点1:函数的定义

例1.集合}20|{},40|{≤≤=≤≤=y y B x x A ,下列不表示从A 到B 的函数的是( ) (A )x y x f 21:=

→ (B )x y x f 31:=→(C )x y x f 3

2

:=→ (D )x y x f =→:

考点2:判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,称这两个函数相等。 例1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)2

)(x x f =

,33)(x x g =; (2)x

x x f =

)(,⎩⎨

⎧<-≥=;

01

,

01)(x x x g (3),; (4)12)(2

--=x x x f ,12)(2

--=t t t g

考点3:求函数的定义域

题型1:求有解析式的函数的定义域

(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围,实际操作时要注意:① 分母不能为0;② 根式中被开方数应为非负数;③ 零指数幂中,底数不等于0; ④若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑤ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 例1.函数()21

43

f x x x =

-+

-的定义域为( )

A .[)(]22+∞-∞- ,,

B .[)()2,33+∞ ,

C .(][)()22,33-∞-+∞ ,,

D .(]2-∞-,

例2、函数x

x x x f -+=

0)1()(的定义域是( )

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

练习: (1)

; (2)

; (3).

(4); (5); (6).

考点3:求函数的值域

1. 求值域的几种常用方法

(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 例1、322

+--=x x y

例2、2

285y x x =-+- (1)]1,1[-∈x (2)]4,1[∈x (3)]8,4[∈x

(2)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如 例3、x x y 21-+= 例4、13432)(-+-=x x x f

(3)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数32

43

x y x +=

-的值域

例5、

.

(4)分段函数分别求函数值域, 例6、53-++=x x y

例7、函数2

22(03)

()6(20)

x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是( )

A .R

B .[)9,-+∞

C .[]8,1-

D .[]9,1-

(5)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域

考点4求函数解析式

题型1:用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则(

A .32x +

B .32x -

C .23x +

D .23x -

例3.二次函数f(x)满足f(x +1)-f(x)=2x ,且f(0)=1.求f(x)的解析式;

题型2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1.已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ,求)(x f

例2.已知(

)

()11,f

x x f x +=-=则_____________。

题型3:求抽象函数解析式

例1.已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1

(2)(=+,求)(x f

例2、已知:1)(3)(2+=-+x x f x f ,求()f x 表达式.

方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;

(2)若已知复合函数)]([x g f 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(x f

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