关于函数恒成立问题的解题策略

关于恒成立问题的解题策略整理人：凌彬一、恒成立问题的基本类型在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ；③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像．二、恒成立问题解决的基本策略A 、两个基本思想解决“恒成立问题”思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ⇔≥；思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ⇔≤．如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值．此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．B 、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=-对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 内恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >⎧⎨>⎩；同理，若在[, ]m n 内恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n <⎧⎨<⎩． 例3．对于满足2a ≤的所有实数a ，求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值范围． 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数；显然可将a 看作自变量，则上述问题即可转化为在[2, 2]-内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题．解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立，设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0，故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得：3111x x x x ><⎧⎨><-⎩或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)．此类题本质上是利用了一次函数在区间[, ]m n 上的图像是一条线段，故只须保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可．2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用．（1）若二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有0a >且0∆<；（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解．例4．若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围． 分析：该题就转化为被开方数：222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论．解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+=≥+，适合；②当210a -≠时，有222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩即有221191090a a a a ⎧>⎪⇒<≤⎨-+≤⎪⎩； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，[1, 9]a ∈．例5．已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．分析：()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤，62a ∴-≤≤．变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需()f x 的最小值()0g a ≥即可．解：22()()324a a f x x a =+--+，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a ； ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥；73a ∴≤，而4a >，a ∴不存在； ②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥，62a ∴-≤≤； 又44a -≤≤，42a ∴-≤≤； ③当22a ->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥，7a ∴≥-； 又4a <-，74a ∴-≤<-；综上所述，72a -≤≤．变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．法一：分析：题目中要证明()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题．略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立；①()2410a a ∆=--≤， 222222a ∴--≤-+2 —2②24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或；52a ∴-≤≤-；综上所述，52a -≤≤．解法二：（运用根的分布） ①当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥，()54,3a ∴≤∉+∞，a ∴不存在； ②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥；∴22a ≤≤－，42a ∴-≤≤ ③当22a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥-；54a ∴-≤<-；综上所述52a -≤≤．此题属于含参数二次函数，求最值时，轴动区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴定区间动，方法一样．对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题．3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有：()()f x g a >恒成立，则min ()()g a f x <；若对于x 取值范围内的任何一个数，都有：()()f x g a <恒成立，则max ()()g a f x >．例6．已知三个不等式：①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围．略解：由①②得23x <<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2290x x m -+<在(2, 3)x ∈上恒成立，即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9；所以：9m ≤．例7．函数()f x 是奇函数，且在[1, 1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at ≤-+对所有的[1, 1]a ∈-都成立，求t 的取值范围．解：据奇函数关于原点对称，(1)1f =；又因为()f x 在[1, 1]-是单调递增，所以max ()(1)1f x f ==；2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]a ∈-都成立；因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1, 1]-上的最大值1，2221120t at t at ∴-+≥⇒-≥；又∵对所有的[1, 1]a ∈-都成立，即关于a 的一次函数在[1, 1]-上大于或等于0恒成立，222020220t t t t t t t ⎧-≥⎪∴⇒≥=≤-⎨+≥⎪⎩或或即：(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞． 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数()f x 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ：()()f x f x -=-（()()f x f x -=）恒成立；若函数()f x 的周期为T ，则对一切定义域中的x ：()()f x f x T =+恒成立．5、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．例8．对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，求实数a 的取值范围．分析：转化为求函数|1||2|y x x =+--的最小值，画出此函数的图像即可求得a 的取值范围．解：令3, 11221, 123, 2x y x x x x x -<-⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪>⎩；在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，只需3a <-；故实数a 的取值范围是3-∞-（，）．本题中若将“|1||2|x x a +-->”改为“|1||2|x x a +--<”；同样由图象可得3a >． 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．（一）换元引参，显露问题实质例9．对于所有实数x ，不等式：2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+恒成立， 求a 的取值范围．解：因为22log 1a a +的值随着参数a 的变化而变化，若设22log 1a t a =+， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式2(3)220t x tx t -+->恒成立”；这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：求解关于t 的不等式组：230(2)8(3)0t t t t ->⎧⎨∆=+-<⎩； 解得0t <，即有22log 01a a <+，易得01a <<． （二）分离参数，化归值域问题例10．若对于任意角θ总有2sin 2cos 410m m θθ++-<成立，求m 的范围．解：此式是可分离变量型，由原不等式得2(2cos 4)cos m θθ+<，又cos 20θ+>，则原不等式等价变形为2cos 2cos 2m θθ<+恒成立． 故2m 必须小于2cos ()cos 2f θθθ=+的最小值，这样问题化归为怎样求2cos cos 2θθ+的最小值． 由2cos ()cos 2f θθθ=+2(cos 2)4(cos 2)4cos 2θθθ+-++=+4cos 24cos 2θθ=++-+440≥-=； 即cos 0θ=时，有最小值为0，故0m <．（三）变更主元，简化解题过程例11．若对于01m ≤≤，方程2210x mx m +--=都有实根，求实根的范围．解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则2(2)(1)m x x -=-，由原方程知2x ≠，得212x m x -=-；又01m ≤≤，即21012x x -≤≤-1x ≤≤-或1x ≤≤．（四）图象解题，用好数形结合例12．设(0 4]x ∈，ax >恒成立，求a 的取值范围．解：若设1y =2211(2) 4 (0)x y y -+=≥表示为上半圆．设2y ax =，为过原点，a 为斜率的直线． 在同一坐标系内 作出函数图像；依题意，半圆恒在直线上方时，只有0a <时成立，即a 的取值范围为0a <． 例13．当(1, 2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 解：设21(1)y x =-，2log a y x =，则1y 的图像为右图是抛物线；要使对一切(1, 2)x ∈，12y y <恒成立，显然1a >，并且必须也只需当2x =时，2y 的函数值大于等于1y 的函数值；故log 21a >，∴12a <<．（五）合理联想，运用平几性质例14．不论k 为何实数，直线1y kx =+与曲线2222240x y ax a a +-+--=恒有交点，求a 的范围．解：22()42x a y a -+=+，C （a ，0），当2a >-时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，1）到圆心距离不大于半径，则有2124(2)a a a +≤+>-，得13a -≤≤． 评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立， 用判别式来解题是比较困难的。