《理论物理导论》心得

学习《理论物理》心得（第二周） 简介

这篇心得是从第二周开始的，因为第一周没有去上课。

第二周老师讲了分析力学的核心内容：从最小作用量原理到哈密顿正则方程再到泊松括号，按老师的意思，这些工作都是为了以后能理解量子力学做准备。个人收集整理 勿做商业用途

作为一个数院人，我想说虽然这门课的思想是华丽的，但叙述却异常混乱。其中最令人感到惊讶的是随便给两个物理量A ，B 都可以有B

A ∂∂的概念，另一个令人感到困惑的是对于q 和q

的相关性的讨论——有时候他们被看作无关变量，有时候后者又被看作是前者的导数。这两种混乱在讨论一个物理A 关于q 和q

的偏导时更是纠结到一起。个人收集整理 勿做商业用途

为此我试图在这篇心得中，构建一个在数学上不会使引起混乱和歧义的“分析力学”。 一开始我会给出“力学系统”的定义。大家会看到我给出的定义是完全数学的——事实上我只是定义了这个系统在做数学演算时会用到的“数据结构”，而不是陷入令人混淆的文字解释中。个人收集整理 勿做商业用途

其次我定义了“轨迹”的概念。然后用完全数学的语言引入了某个“力学系统”的“物理轨迹”的概念。之后在众多“力学系统”中我选择了“牛顿系统”作更深入的讨论，直到证明“牛顿系统”的“物理轨迹”正是满足“牛顿第二定理”的轨迹。个人收集整理 勿做商业用途

届时大家可能会想，我所做的不过是把一般教课书中的“最小作用量原理”用另外一种语言叙述了一遍，所谓“系统”和“轨迹”的概念非常的多余。然而正是这些看似多余的概念严格的定义“物理量”和“物理量之间的偏导”的概念。在这些严格的数学概念下所谓的哈密顿正则方程也变的不再高深。最后引入的泊松括号也变的意义明显。个人收集整理 勿做商业用途

最后我讨论了一下泊松括号的内涵，并给出扩展泊松括号的概念。在这些对泊松括号的洞见下，一些泊松括号的代数性质也自然浮出水面。个人收集整理 勿做商业用途

力学系统的物理轨迹

定义：一个自由度为n 的系统是指一个从12+n R 到R 的无限阶可微的函数L 。

定义：一个自由度为n 的轨迹是指一个从R 映到n R 2的函数：

要注意的是这里q 和q 是两个无关的从R 映到n

R 的函数。任何两个n 维多元实函数放在一起都可以叫做一个自由度为n 的轨迹。比如一个不连续的q 可以看作是一个发生了“瞬间转移”的轨迹。个人收集整理 勿做商业用途

定义：一个轨迹),(q

q 被称做运动轨迹当且仅当它们可微，且： 不难看出上述定义中q

的在是唯一的。称q 为该轨迹的位矢，q 为该轨迹的速度，q 为该轨迹的加速度。

定义：一个n 维轨迹),(q

q 被称作n 维系统L 的物理轨迹当且仅当： (1)),(q

q 是运动轨迹 (2)对任意1t 和2t ，和任意运动轨迹列∞===..121}0)()(|),{(k k k k k t q t q q

q δδδδ ，如果0|))(),((|max lim 2

1=≤≤∞→t q t q k k t t t k δδ，则 这里实际上是把满足最小作用量原理的轨迹定义成了所谓的“物理轨迹”——使用严格极限语言，而不是变分语言。这样在数学推导中就不会遇到一开始所说的令人困惑的问题。同时要注意的是这样的定义暗示着“最小作用量原理”实际是“作用量极值”定理。个人收集整理 勿做商业用途

定理（拉格朗日）：一个运动轨迹),(q

q 是系统L 的物理轨迹当且仅当 证明：

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰≤≤∞→≤≤∞→≤≤≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞→≤≤∞

→∂∂-∂∂=+⋅∂∂+∂∂-∂∂=+∂∂-⋅∂∂+⋅∂∂=+⋅∂∂+⋅∂∂=+⋅∂∂+⋅∂∂=-++=-++122

1212

121

21122

12

1

212

121

2

1212121212121212121

21|))(),((|max )()]),(),(()),(),(([lim |))(),((|max |))(),((|lim |))(),((|max )()),(),((|))(),((|max )()]),(),(()),(),(([lim |))(),((|max |))(),((|lim |))(),((|max )),(),(()()]()),(),(([)()),(),((lim |))(),((|max |))(),((|lim |))(),((|max )()),(),(()()),(),((lim |))(),((|max |))(),((|)()),(),(()()),(),((lim |))(),((|max )),(),(()),()(),()((lim |))(),((|max )),(),(()),()(),()((lim t t k k t t t k k t t k k t t t k k k t t k k t t t k t t k k t t t k k t t k k t t t k k k k k t t t t t k k k k k k t t t t t k k k k k t t t t t k k k k k t t t t t k k k k k k k t t t t t k k k k k t t t t t t t k k k dt t q t q t q t t q t q y L dt d t t q t q x L dt t q t q t q t q O t q t q t q t t q t q y L dt t q t q t q t t q t q y L dt d t t q t q x L dt t q t q t q t q O t q t q dt t t q t q y L dt d t q t q t t q t q y L dt d t q t t q t q x L t q t q dt t q t q O t q t q dt t q t t q t q y L t q t t q t q x L t q t q dt t q t q O t q t t q t q y L t q t t q t q x L t q

t q dt t t q t q L t t q t q

t q t q L t q t q dt t t q t q L dt t t q t q t q t q L δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ 故运动轨迹),(q

q 是系统L 的物理轨迹等价于： 对任意1t 和2t ，和任意运动轨迹列∞===..121}0)()(|),{(k k k k k t q t q q

q δδδδ ，如果0|))(),((|max lim 2

1=≤≤∞→t q t q k k t t t k δδ，则 用反证法不难证明它等价于（注意连续性）：

0)),(),(()),(),((=∂∂-∂∂t t q t q x

L t t q t q y L dt d 证毕。 为了简化记录并保证数学描述的准确性，下面我们定义“物理量”的概念，以及“物理