2015年高考理科数学海南卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试理综(物理部分)试题(海南卷,含部分解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理综（物理部分）试题（海南卷，含部分解析）一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1如图，a 是竖直平面P 上的一点，P 前有一条形磁铁垂直于P ，且S 极朝向a 点，P 后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a 点。
在电子经过a 点的瞬间。
条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向（）A ．向上 B.向下 C.向左 D.向右【答案】A2如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v 沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折弯，置于磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v 运动时，棒两端的感应电动势大小为ε'，则εε'等于（ ）A.1/2B.22 C.1 D.2 【答案】B【解析】设折弯前导体切割磁感线的长度为L ，折弯后，导体切割磁场的有效长度为l L =，故产生的感应电动势为Blv B ε'===，所以2εε'=，B 正确； 3假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。
如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的（ ）A.4倍B. 2倍C.3倍D. 2倍【答案】D【解析】设f kv =，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有2P Fv fv kv v kv ===⋅=，变化后有22'''''P F v kv v kv ==⋅=，联立解得'v =，D 正确； 4如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端登高。
质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g ，质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）A. mgR 41B. mgR 31C. mgR 21D. mgR 4π 【答案】C5如图，一充电后的平行板电容器的两极板相距l ，在正极板附近有一质量为M 、电荷量为q （q ＞0）的粒子，在负极板附近有另一质量为m 、电荷量为-q 的粒子，在电场力的作用下，两粒子同时从静止开始运动。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理综(物理部分)试题(海南卷,含部分解析)
学霸推荐学习七法一、听视并用法上课听和看注意力集中一、听思并用法上课听老师讲并思考问题三、符号助记法在笔记本上课本上做记号标记四、要点记取法重点要点要在课堂上认真听讲记下五、主动参与法课堂上积极主动的参与老师的讲题互动六、听懂新知识法听懂老师讲的新知识并做好标记七、目标听课法课前预习不懂得标记下，在课堂上不会的标记点认真听讲做笔记带着求知的好奇心听课，听不明白的地方就标记下来，并且课后积极的询问并弄懂这些知识，听明白的知识点也要思考其背后的知识点，打牢基础。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理综（物理部分）试题（海南卷，含部分解析）一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1如图，a 是竖直平面P 上的一点，P 前有一条形磁铁垂直于P ，且S 极朝向a 点，P 后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a 点。
在电子经过a 点的瞬间。
条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向（）A ．向上 B.向下 C.向左 D.向右 【答案】A2如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v 沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小ε，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折弯，置于磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v 运动时，棒两端的感应电动势大小为ε'，则εε'等于（ ）A.1/2B.22C.1D.2 【答案】B【解析】设折弯前导体切割磁感线的长度为L ，折弯后，导体切割磁场的有效长度为22222L L l L ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故产生的感应电动势为2222Blv B Lv ε'==⋅=，所以22εε'=，B 正确； 3假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。
如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的（ ）A.4倍B. 2倍C.3倍D. 2倍 【答案】D【解析】设f kv =，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有2P Fv fv kv v kv ===⋅=，变化后有22'''''P F v kv v kv ==⋅=，联立解得'2v v =，D 正确；4如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端登高。
海南省海口市2015届高三高考调研测试(二)数学(理)试题(含答案)
2
0 的实数解；②该方程有
无 数 个 实 数 解 ； ③ 该 方程 在
,0 内 有 且 只 有 一 个 实 数 根 ；④ 若 x0 是 方 程 的 实 数 根 ， 则
x0 1，其中所有正确命题的序号是
．
三．解答题： （本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请 将答题的过程写在答题．卷．．中指定的位置） 17.（本小题满分 12 分）
C. 93 , 2
D. 93 , 2.8
8.已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，
其中正视图是以 2 为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的 2
外接球的表面积为 ( )
A． 16
B． 9
C． 8
D． 4
9．已知圆 x2 y2 4 ，过点 P(0, 3) 的直线 l 交该圆于 A, B 两点，
x 程为
3 3
2 （ 为参数）的动点，则
1 y1
2
m : 的值为多少？
D． b < a< c
sin x
x ，设 a＝ f ( 1 ) ，
2
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题： （本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分, 把答案填在答题卡中的指定位置）
x3
13.设不等式组 y 4 4x 3y
最大值为 ______．
所表示的平面区域为
12
D ，若圆 C 落在区域 D 中，则圆 C 的半径 r 的
A． i 7?
B． i 15?
C ． i 15?
D． i 31?
S2 i0
是
输出 S 结束
否
S S3 i 2i 1
2015年海南省文昌中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年海南省文昌中学高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）设集合A＝{x∈R||x﹣1|＜2}，B＝{y∈R|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，3）C．（0，3）D．（﹣1，3）3．（5分）已知，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，“存在点P∈A”是“P∈B”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．（5分）数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q＝5，则a p﹣a q＝（）A．10B．15C．﹣5D．205．（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8B．i＞9C．i＞10D．i＞116．（5分）函数y＝，的图象如图所示，则函数y＝ωcos（kx+φ），x∈R的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后，得到y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）在（0，）上（）A．是减函数B．是增函数C．先增后减函数D．先减后增函数7．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3 8．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P 在射线OC上，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣9．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．10．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆＝S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定11．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.12．（5分）如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为km．13．（5分）f（x）＝，函数y＝f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为．14．（5分）如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x ﹣2）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是．15．（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．（Ⅰ）共有个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知f（x）＝2sin x，集合M＝{x||f（x）|＝2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．17．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问卷．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d，独立性检验临界表：18．（12分）△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．19．（12分）以椭圆C：＝1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB ，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．20．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？（Ⅲ）当a＝2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）＝12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|，g（x）＝|x|+a（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2015年海南省文昌中学高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a＝2、b＝1，∴（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i，故选：D．2．（5分）设集合A＝{x∈R||x﹣1|＜2}，B＝{y∈R|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．∅B．[0，3）C．（0，3）D．（﹣1，3）【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣1＜2，即﹣1＜x＜3，∴A＝（﹣1，3），由B中y＝2x＞0，得到B＝（0，+∞），则A∩B＝（0，3），故选：C．3．（5分）已知，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，“存在点P∈A”是“P∈B”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解答】解：根据，得x，y满足条件为：，根据B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，得x，y满足的条件为：以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部，显然，（x，y）在B中，那么它必然在A中，反之不正确，故“存在点P∈A”是“P∈B”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q＝5，则a p﹣a q＝（）A．10B．15C．﹣5D．20【解答】解：当n≥2，a n＝S n﹣S n＝2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3n﹣3＝4n﹣5﹣1a1＝S1＝﹣1适合上式，所以a n＝4n﹣5，所以a p﹣a q＝4（p﹣q），因为p﹣q＝5，所以a p﹣a q＝20故选：D．5．（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8B．i＞9C．i＞10D．i＞11【解答】解：经过第一次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，此时的i应该不满足判断框中的条件…经过第十次循环得到，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i＞10故选：C．6．（5分）函数y＝，的图象如图所示，则函数y＝ωcos（kx+φ），x∈R的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后，得到y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）在（0，）上（）A．是减函数B．是增函数C．先增后减函数D．先减后增函数【解答】解：由图象可知，故，解得，又当x＝0时，2sinφ＝1，故，又直线y＝kx+1过（﹣3，0）、（0，1），∴k＝，∴，平移后的图象的解析式为＝sin2x，由，k∈Z，解得，∴当k＝0时，可得函数y＝g（x）在（0，）上单调递减，故选：A．7．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6＝，a＝2，∴正四棱锥的体积是a2×a＝，故选：A．8．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P 在射线OC上，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由＝﹣，设||＝t，t≥0，则•＝﹣•＝t2﹣1×t×cos＝t2﹣t＝﹣；所以，当t＝时，•取得最小值为﹣．故选：B．9．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴|MF2|＝c，|F1F2|＝2c，∠F1MF2＝90°，∴|MF1|＝＝，∴2a＝，∴椭圆的离心率e＝＝＝．故选：A．10．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环B．S圆＝S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定【解答】解：根据题意：∵①半球的截面圆：r＝，S截面圆＝π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r＝d，S圆环＝π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆＝S圆环，故选：B．11．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣]C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.12．（5分）如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为7km．【解答】解：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．∴∠B+∠D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝52+32﹣2•5•3•cos D＝34﹣30cos D，AC2＝52+82﹣2•5•8•cos B＝89﹣80cos B，∵∠B+∠D＝π，即cos B＝﹣cos D，∴＝，∴可解得AC＝7．故答案为：713．（5分）f（x）＝，函数y＝f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）＝x+1≤0，∴f[f（x）]+1＝x+1+1+1＝0，∴x＝﹣3；当﹣1＜x≤0时，f（x）＝x+1＞0，∴f[f（x）]+1＝log2（x+1）+1＝0，∴x＝﹣；当0＜x≤1时，f（x）＝log2x≤0，∴f[f（x）]+1＝log2x+1+1＝0，∴x＝；当x＞1时，f（x）＝log2x＞0，∴f[f（x）]+1＝log2（log2x）+1＝0，∴x＝所以函数y＝f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{}故答案为：{}．14．（5分）如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x﹣2）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（8，12）．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+（x B﹣x A）+4＝6+x B，由抛物线y2＝8x及圆（x﹣2）2+y2＝16，得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）．15．（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）．（Ⅰ）共有126个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是34579．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C95＝126个，（Ⅱ）对于这些“渐升数”，1在首位的有C84＝70个，2在首位的有C74＝35个，3在首位的有C64＝15个，对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有C53＝10个，第三位是5的有C42＝6，∵70+35+10+6＝111，所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589则第110个“渐升数”即34579；故答案为126，34579；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知f（x）＝2sin x，集合M＝{x||f（x）|＝2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x，集合M＝{x||f（x）|＝2，x＞0}，则：解得：x＝2k+1（k∈Z），所以M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，∵M＝{1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，所以：a n＝2n﹣1．证明：（2）记b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，＝所以：T n＝b1+b2+…+b n++…+）＝17．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问卷．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d，独立性检验临界表：【解答】解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．…（2分）因为ξ表示从这9份问卷中随机抽出的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，又9份问卷中每份被取到的机会均等，所以随机变量ξ服从超几何分布，可得到随机变量的分布列为：随机变量的分布列可列表如下：…（6分）所以Eξ＝0×+1×+2×+3×＝…（8分）（2）K2＝≈3.03…（10分）因为2.706＜3.03＜3.840，所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为0.10…（12分）18．（12分）△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求二面角A﹣GI﹣C的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．【解答】（Ⅰ）证明：因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC，因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED＝HI所以ED∥HI又因为ED∥BC，所以IH∥BC．…（4分）（Ⅱ）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0），E（2，0，0），A（0，0，2），F（3，1，0），C（0，2，0），H（0，0，1），，，，，设平面AGI的一个法向量为，则，，令z1＝1，解得x1＝1，y1＝﹣1，则设平面CHI的一个法向量为，则，，令z2＝﹣2，解得y1＝﹣1，则，，所以二面角A﹣GI﹣C的余弦值为…（8分）（Ⅲ）解：法（一），设则，解得，…（12分）法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，△HKJ与△CKA相似，得，易证HI∥GK，所以…（12分）19．（12分）以椭圆C：＝1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB ，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的离心率为，即c＝，由c2＝a2﹣b2，则a＝2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b＝1，a＝2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2＝1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y＝kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2＝1相切，所以，k2＝m2﹣1．所以＝，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）的最大值为1．所以当时，S△AOB20．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？（Ⅲ）当a＝2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝﹣a＝a（）（x＞0），∴（1）当a＞0时，令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．当a＜0时，f′（x）＝﹣a（），令f′（x）＞0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递增；令f′（x）＜0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递减；（Ⅱ）因为函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f′（2）＝1，所以a＝﹣2，f′（x）＝﹣+2，g（x）＝x3+x2[+f′（x）]＝x3+x2[+2﹣]＝x3+（2+）•x2﹣2x，∴g′（x）＝3x2+（4+m）x﹣2，因为对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3+x2[+f′（x）]在区间[t，3]上总存在极值，所以只需g′（2）＜0 g′（3）＞0，解得﹣＜m＜﹣9；（Ⅲ）∴令F（x）＝h（x）﹣f（x）＝（p﹣2）x﹣﹣3﹣2lnx+2x+3＝px﹣﹣﹣2lnx，①当p≤0时，由x∈[1，e]得px﹣≤0，﹣﹣2lnx＜0．所以，在[1，e]上不存在x0，使得h（x0）＞f（x0）成立；②当p＞0时，F′（x）＝，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，px2+p＞0，F′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．∴F（x）max＝F（e）＝pe﹣﹣4．故只要pe﹣﹣4＞0，解得p＞．所以p的取值范围是[，+∞）．请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠P AB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC•BC＝QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ＝6，AC＝5．求弦AB的长．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠P AC＝∠CBA，∵∠P AC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，由切割线定理得：QA2＝QB•QC＝（QC﹣BC）•QC，∴QC•BC＝QC2﹣QA2．（5分）（2）由AC＝BC＝5，AQ＝6 及（1），知QC＝9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB＝∠ACQ，又∠Q＝∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴＝，∴AB＝．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）＝12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y＝12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，（2）直线l的普通方程为：y＝ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|，g（x）＝|x|+a（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）＝|2x+1|﹣|x|，即h（x）＝，故h（x）min＝h（﹣）＝﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．。
海南高考真题数学
理科数学.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.(1)已知 z (m3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是(A ) 3，1(B ) 1, 3 (C ) 1, +(D )- -，3(2) 已知集合A {1, 2, 3}，B {x|(x 1)(x 2)0，x Z}，则 AUB(A )1(B ) {1，2}(C ) 0，1, 2，3(D ) { 1，0，1，2，3}(3)已知向量 a (1,m), b=(3, 2)，且(a(A ) 8 (B ) 6 (C ) 6 (D ) 8 (4) 圆x 2 y 2 2x8y 13 0的圆心到直线ax y 10 的距离为1， 则a=43(A )3(B )(C ) . 34(D ) 2(5)如图， 小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓 参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为rff贝r b \17 r b(A 24 ( B )18 ( C ) 12 ( D ) 9(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为(A ) 20 n ( B ) 24 n ( C ) 28 n ( D ) 32 nn(7)若将函数y =2sin 2 x 的图像向左平移 一个单位长度，则平移后图象的对称轴为1222~24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题 卡中的横线上).4 5(13) △ABC 的内角 A , B, C 的对边分别为 a, b , c ,若 cosA - , cosC , a 1 ,5 13(A ) xk n n k Z(B ) xk n n k Z ~2 6~2 6k n n ・k nn ・(C ) xkZ(D ) xk Z~2 12~2 12法的程序框图•执行该程序框图，若输入的 x 2，n 2,依次输入的a 为2，2，5,则输出的s (A ) 7 ( B )12 ( C ) 17( D ) 34n3(9 )若 cos --，则 sin2 = 4 57 117 (A )(B )(C )(D )- 255525(10)从区间0 , 1随机抽取2n 个数为，X 2，…，X n , % , y 2，…,/输入口 //输出$ /的平方和小于1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(A ) 42m(11)已知/ 、 2n / 、 4m (B ) (C )mn2 2F2是双曲线E ：1的/ 、 2m (D )n右焦点，点 M 在E 上，MF !与x 轴垂直,sin MF 2F 1 1 ,则E 的离心率为3(A )(B) I(C ) 3(D ) 2 (12)已知函数fx R 满足f,若函数x 1——1与y f x 图像的交点 x为 X 1 , y 1 X 2, y 2 , ?, X m , y m ，则 y i(A ) 0(B ) m(C ) 2m(D) 4m本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算则b _______ .(14), 是两个平面，m n是两条线，有下列四个命题：(15)有三张卡片，分别写有1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________(16) ________________________________________________________________________ 若直线y kx b是曲线y ln x 2的切线，也是曲线y In x 1的切线，b ___________________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•17. (本题满分12分)S n为等差数列a n的前n项和，且a n=1，S728.记b n= lg a n，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 =0, Ig99 =1 .(I )求b1， bn，b101;(ii )求数列b n的前1 000项和.18. (本题满分12分)某险种的基本保费为 a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(I )求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(II )若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%勺概率;(III )求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值19. (本小题满分12分)5如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6点E,F分别在AD,CD上，AE=CF»，4EF 交BD 于点H.将厶DEF 沿EF 折到△ D EF 的位置，OD .10 (I )证明：D H 平面ABCD (II )求二面角B DA C 的正弦值•20. (本小题满分12分)X 2 y 2已知椭圆E:1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,Mt 3两点，点N 在E 上，MAL NA.(I )当t=4 , AM AN 时，求△ AMN 的面积； (II )当2 AM AN 时，求k 的取值范围 (21) (本小题满分12分) (I)讨论函数f(x)的单调性，并证明当 x 2x(II)证明：当 a [0,1)时，函数 g( x)= 一 (x x 为h(a)，求函数h(a)的值域.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清 题号(22) (本小题满分10分)选修4-1 :集合证明选讲x >0 时，(x 2)e xx 20;0)有最小值.设g (x )的最小值N如图，在正方形ABCD E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG过D点作DF丄CE垂足为F.（I）证明：B,C,E,F四点共圆；（II）若AB=1, E为DA的中点，求四边形BCGF的面积•（23）（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（I ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II ）直线I的参数方程是f = tC0^'^ （t为参数），1与C交于A、B两点，1 ABI =15 , （y = rsinof.求I的斜率。
[高考数学] 2015年海南省高考数学(原卷版)(文科)
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2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合，，则A ∪B=A. B. C. D.2.若为实数，且，则 A. B. C. D.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b ）.a=A. B. C. D. 5. 设是数列的前项和，若，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.B. C. D.7.已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为A.B. C. D.8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的、分别为14、18，则输出的A. 0B. 2C. 4D. 14}21|{<<-=x x A }30|{<<=x x B )3,1(-)0,1(-)2,0()3,2(a i iai+=++312=a 4-3-342700260025002400210020001900)1-012n S }{n a n 3531=++a a a =5S 81716151)0,1(A )3,0(B )3,2(C ABC ∆3532135234a b =a9.已知等比数列满足，，则 A. 2 B. 1 C. D.10.已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A. B. C. D.11.如图，长方形的边，，是的中点，点沿着、与运动，记.将动点到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为12. 设函数，则使得成立的的取值范围是 A. B.C. D. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数的图象过点，则 .14.若、满足约束条件，则的最大值为 .15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC. （I ）求；（II ） 若∠BAC=60°,求∠B.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.}{n a 411=a )1(4453-=a a a =2a 2181A B O90=∠AOB C ABC O -O π36π64π144π256ABCD 2=AB 1=BC O AB P BC CD DA x BOP =∠P A B x )(x f )(x f y=211|)|1ln()(x x x f +-+=)12()(->x f x f x )1,31(),1()31,(+∞-∞U )31,31(-),31()31,(+∞--∞U x ax x f 2)(3-=)4,1(-=a x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x y x z +=2)3,4(x y 21±=x x y ln +=)1,1(1)2(2+++=x a ax y =a sin sin BC∠∠B 地区用户满意度评分的频数分布表(I)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）(II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 19、（本小题满分12分）如图，长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E ，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I ） 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20、（本小题满分12分）已知椭圆C ：（>>0）的离心率为，点（2）在C 上.（I） 求C 的方程.（II ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 21、（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=ln x +a （1- x ） （I ） 讨论f （x ）的单调性；（II ） 当f （x ）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
海南省文昌中学2015届高三5月段考数学(理)试卷
2014—2015学年度第二学期高三年级数学(理科)段考试题（总分：150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）1．设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}2．已知a 、b 分别为直线y ＝x ＋1的斜率与纵截距，复数z ＝(a －i )(b ＋i )i 在复平面上对应的点到原点的距离为（ ）A ．1B ．2C ．4D ． 23．已知点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象上，则a 2＋a 10与2a 6的大小关系为（ ） A ．a 2＋a 10>2a 6 B ．a 2＋a 10<2a 6C ．a 2＋a 10＝2a 6D ．a 2＋a 10与2a 6的大小与a 有关4．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)A ．3B ．2C ． 3D ．17．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则ΔPF 1F 2的面积等于（ ） A ．24B ．36C ．48D ．968．函数y ＝cos(2x ＋π6)－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于（ ） A ．(－π6，－2)B ．(－π6，2)C ．(π6，－2)D ．(π6，2)9．某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A ．484种 B ．552种C ．560种D ．612种10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为（ ） A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，5011．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ） A ．C ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足：f (x)+错误！未找到引用源。
2015届海南省海口市高考调研测试(二)理科数学试题及答案
2015年海口市高考调研测试 数学（理科）试题(二)第Ⅰ卷 选择题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)．1．已知集合{|02}A x R x =∈<≤，集合{|(1)(2)0}B x R x x =∈-+>，则()RA B =ð（ ）A ．∅B ．(2,)+∞C ．(2,0)-D ．(2,0]-2．设i 为虚数单位，则复数201520151i z i =-在复平面中对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“若0>>b a ，则ba11<”的逆命题是真命题B ．命题:p x R ∀∈，20x>,则0:p x R ⌝∃∈，020x <C ．“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件D ．“b a >”是“22b a >”成立的充分不必要条件4．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则||||=a b （ ）A．BCD5．现有六本书，其中两本相同，其余四本各不相同，分成三堆，每堆两本，则不同的分法的种数为（ ）A ．9种B ．12种C ．15种D ．18种6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（ ）A． B． C ．4D ．57．执行如图的程序框图，若输出的5n =，则输入整数p 的最大值是（ ）A ．47B ．48C ．49俯视图侧视图正视图D ．508．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的单调增区间为[,12k ππ-5]12k ππ+（k Z ∈），则函数()f x 在区间[0,]2π的取值范围是（ ） A．[1] B．1[,2- C．[ D ．1[,1]2-9． 定义在R 上的奇函数()y f x =满足当0x >时，()ln f x x x =，则当0x <时，()f x '=（ ） A ．ln()1x --+ B ．ln()1x -+ C ．ln()1x ---D ．ln()1x --10．若实数x 、y 满足不等式组034120(1).x x y y a x ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，若使得目标函数11y z x +=+有最小值的最优解为有无穷多个，则实数a 的值为（ ） A ．13B ．12C ．2D ．311．设()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数3()f x ax =+2(0)bx cx d a ++≠都有对称中心00(,())x f x ，其中0x 满足0()0f x ''=。
海南省2015届高三5月模拟数学(理)试题 Word版含答案
第5题海南省2015年高考模拟测试题理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B 案标号.)1、若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z的共轭复数是A ．35i - B. i - D ．i 2、能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是 A ．3()4f x x x =+B ．()x x f x e e -=+C ．()tan2x f x = D ． 5()15xf x n x-=+ 3、若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax的图象在0x=处的切线与圆122=+y x 相切,则a b +的最大值是A. 4B.C. 2D.4、设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)Px y ，则(,)P x y B ∈的概率是A ．121．2417 D ．655、在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=，,AC BC 边上的高分别为,BDAE ，则以,A B 为焦点，且过,D E 两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为A. 1B.C. 2D. 6、根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为A. 34B. 37C. 148D.333 7、下列命题，正确的个数是①直线53x π=是函数sin 2y x x =的一条对称轴1A第8题图②将函数3cos()2y xπ=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4y xπ=+的图像．③设随机变量ξ～)9,3(N，若()0.3P aξ<=，(3)a<，则(6)0.7P aξ<-=④101)x的二项展开式中含有1x-项的二项式系数是210.A. 1B. 2C. 3D. 48、如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD-中，P为11DA的中点，Q为11BA上任意一点，FE、为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是A. 点P到平面QEF的距离B. 三棱锥QEFP-的体积C. 直线PQ与平面PEF所成的角D.二面角QEFP--的大小9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组31030,10x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则tan AOB∠A．34．47D．9410、已知函数()f x=()cosgx xπ=在区间[0,2]上的图像交于,AB两点，则OAB∆的面积是A.8B.2C.8D.411、已知双曲线2213yx-=的左、右焦点分别为12,F F，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使2112sinsinPF FePF F∠=∠，Q点为直线1PF上的一点，且13QF=，则221FQ FF⋅的值为A．225C．52D．212、设等差数列{n a的前n项和为n S，已知()37712012(1)1a a-+-=，()32006200612012(1)1a a-+-=-，则下列结论正确的是A．20122012S=-，20127a a>B．20122012S=，20127a a>C．20122012S=-，20127a a<D．20122012S=，20127a a<第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13、在△ABC 中，2AB=，3AC=，0AB AC⋅<，且△ABC的面积为32，则BAC∠=_______14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产DC第18题图 第15题图俯视图生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中∆的面积为__________.16、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”； ③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；④“ 21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不．正确．．的结论序号）． 三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a .（2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对任意*n N ∈，都有 31164n T ≤<.18. （本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD 出EF EA ；若不存在，说明理由． 19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。
2015年海南省高考理科数学试题及参考答案
2015年海南省高考理科数学试题及参考答案2015年海南省高考理科数学试题及参考答案第Ⅰ卷一、选择题1.设复数z满足1+z/i=1-z，则|z|的值为（B）2.2.sin20°cos10°-cos160°sin10°的值为（C）-1/2.3.命题P：存在自然数n，使得n²>2n，则命题P的否定命题为（B）对于所有自然数n，n²≤2n。
4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（B）0.432.5.已知M(x,y)是双曲线C：-y²=1上的一点，F₁、F₂是C上的两个焦点，若MF₁·MF₂<1，则y的取值范围是（C）(-3/3,-2/3)。
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（D）66斛。
7.设D为ABC所在平面内一点，BC=3CD，则AD的长度为（C）AD=AB-AC/3.8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）(kπ-4,kπ+4)，k∈Z。
9.执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（D）8.10.(x+x+y)的展开式中，xy的系数为1.13.若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$__________。
14.一个圆经过椭圆$\frac{(x-1)^2}{4}+y^2=1$的三个顶点，且圆心在$x$轴上，则该圆的标准方程为__________。
2015年海南省高考数学压轴试卷(理科)【解析版】
2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣92．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝03．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x 5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．26．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±18．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．910．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.812．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A 且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．2015年海南省高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3B．1C．2D．﹣9【解答】解：∵M＝{1，2，﹣3m+（m﹣3）i}（其中i为虚数单位），N＝{﹣9，3}，且M∩N≠∅，∴M中的复数必须为实数，即m﹣3＝0，解得：m＝3．故选：A．2．（5分）正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线方程是（）A．x+2y﹣+＝0B．x﹣2y+﹣＝0C．x﹣2y+﹣π＝0D．x+2y﹣+π＝0【解答】解：y＝sin x的导数为y′＝cos x，正弦曲线y＝sin x在点（，）的切线斜率为k＝cos＝，即有切线方程为y﹣＝（x﹣），即为x﹣2y+﹣＝0．故选：B．3．（5分）若向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（）A．{x|x＞﹣且x≠2}B．{x|x＞﹣}C．{x|x＜﹣且x≠﹣5}D．{x|x＜﹣}【解答】解：因为向量＝（2，x+1），＝（x+2，6），又，的夹角为锐角，所以＝2（x+2）+6（x+1）＝8x+10＞0，得到x＞，又不共线，所以2×6﹣（x+1）（x+2）≠0，则x≠﹣5且x≠2，所以实数x的取值范围为{x|x＞﹣且x≠2}；故选：A．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，则其渐进线方程为（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x D．y＝±2x【解答】解：因为e＝，所以，而焦点在y轴上的双曲线的渐进线方程为：y＝，所以该双曲线的渐进线方程为：y＝±x．故选：B．5．（5分）如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．4B．C．2D．2【解答】解：左视图为矩形，如图，故其面积为故选C．6．（5分）已知α，β表示平面，m，n表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n或相交或异面，因此不正确；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，根据线面垂直、面面平行的判定定理可知：α∥β，正确；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β或α∥β，因此不正确．综上只有③是正确的，故选：C．7．（5分）已知直线x+y﹣a＝0与圆x2+y2＝2交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足条件|+|＝|﹣|，则实数a的值为（）A．B．﹣C．±D．±1【解答】解：由|+|＝|﹣|，两边平方，得•＝0，所以∠AOB＝90°，则△AOB为等腰直角三角形，而圆x2+y2＝2的半径AO＝，则原点O到直线的x+y﹣a＝0的距离为1，所以＝1，即a的值为或﹣．故选：C．8．（5分）现有下列命题，其中正确的命题的序号为（）①命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤﹣1}，则A∩（∁R B）＝A；③直线（m+2）x+3my+1＝0与（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0互相垂直的条件为m＝﹣2；④如果抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝﹣．A．②④B．①②C．③④D．②③【解答】解：对于①命题的否定为：“∀x∈R，x2+x+1≠0”；所以①不正确；对于②A∩（∁R B）＝{x|x＞0}＝A；所以②正确；对于③由（m+2）（m﹣2）﹣3m（m+2）＝0，得m＝﹣2或；所以③不正确；对于④抛物线的标准方程为x2＝﹣2（）y，由准线方程为：y＝1，可得，即a＝﹣．所以④正确；故选：A．9．（5分）已知递增数列{a n}各项均是正整数，且满足a＝3n，则a5的值为（）A．2B．6C．8D．9【解答】解：∵a＝3n，∴a＝3×1＝3，若a 1＝1，则a＝a1＝1，与a＝3×1＝3矛盾，若a 1≥3，则a≥a3，而a＝3，所以3≥a3，即a1≥a3与数列{a n}递增矛盾，于是a 1＝2，得a＝a2＝3×1＝3，a2＝3，a＝a 3＝3×2＝6，a＝a 6＝3×3＝9，而a3＜a4＜a5＜a6∵递增数列{a n}各项均是正整数∴a4＝7，a5＝8，所以a5＝8．故选：C．10．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（，0）对称；③它的周期是π；④在区间[﹣，0）上是增函数．以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（）A．①③⇒②④或②③⇒①④B．①③⇒②④C．②③⇒①④D．①④⇒②③【解答】解：（1）①③⇒②④：由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin （2x+φ），∵f（x）的图象关于直线x＝对称，∴＝±1，∵﹣＜φ＜，∴＜φ+＜，∴只可能φ+＝，解得φ＝．∴f（x）＝，∴＝sinπ＝0，因此f（x）的图象关于点（，0）对称，即②正确；若x∈[﹣，0），则∈，因此函数f （x）在区间[﹣，0）上是增函数，即④正确．因此①③⇒②④．（2）②③⇒①④．由于T＝π＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），由f（x）的图象关于点（，0）对称，∴＝sin＝0，∵﹣＜φ＜），∴φ＝．∴f（x）＝．由＝＝1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称．由（1）可知，f（x）在区间[﹣，0）上是增函数．综上可知：②③⇒①④．综上可得：A正确．故选：A．11．（5分）江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为y＝lg2x，则当这三种门票的张数分别为（）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大．A．1、0.6、0.8B．0.6、0.8、1C．0.6、1、0.8D．0.6、0.6、0.8【解答】解：设3元、5元、8元门票的张数分别为a，b，c，则有，整理得，x＝19.2﹣（5a+3b）≤19.2﹣2＝13.2（万元）．当且仅当时等号成立，解得，a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8．由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．故选：C．12．（5分）“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：根据题意，由+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），得+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），即﹣＞0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．故选：B．二、（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1]．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]14．（5分）已知Ω是不等式组表示的平面区域，A是不等式组表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．【解答】解：区域Ω是不等式组表示的平面区域如图三角形区域OEF，面积为；A是不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，面积为＝4，由几何概型公式可得点P落入区域A的概率为：；故答案为：．15．（5分）抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：由抛物线y2＝x与直线x﹣2y﹣3＝0解得，y＝﹣1或3．故两个交点纵坐标分别为﹣1，3，则围成的平面图形面积S＝＝＝．故答案为：．16．（5分）下列数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现6次．【解答】解：第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i＝1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij＝j+1+（i﹣1）×j＝ij+1．令A ij＝ij+1＝2010，即ij＝2009＝1×2009＝7×287＝41×49＝49×41＝287×7＝2009×1，故表中2010共出现6次．故答案为6．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟．根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如表：某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；50x＝1﹣（++++）×50＝1﹣×50＝，解得x＝；（2）空气质量为良与轻微污染的频率和为×50+×50＝，∴一年中空气质量为良和轻微污染的总天数为365×＝219；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为×50+×50＝＝；则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1﹣＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．（1）求三棱锥E﹣P AB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面P AC的关系，并说明理由；（3）求证：PE⊥AF．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，∴．（2）当点E为BC的中点时，EF||平面P AC．理由如下：∵点E，F分别为CD、PD的中点，∴EF||PC．∵PC⊂平面P AC，EF⊂平面P AC∴EF||平面P AC（3）∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥P A∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD∵AF⊂平面P AD∴AF⊥DC∵P A＝AD，点F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD∩PD＝D∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF．19．（12分）设椭圆的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q 在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为圆M．（1）求椭圆的离心率；（2）直线与圆M相交于E，F两点，且，求椭圆方程；（3）设点N（0，3）在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于，求椭圆C的短轴长的取值范围．【解答】解：（1）由条件可知因为，所以（4分）（2）由（1）可知，所以从而M（c，0）．半径为a，因为，所以∠EMF＝120°，可得：M到直线l的距离为．所以c＝2，所以椭圆方程为．（8分）（3）因为点N在椭圆内部，所以b＞3．（9分）设椭圆上任意一点为K（x，y），则．由条件可以整理得：y2+18y﹣4b2+189≥0对任意y∈[﹣b，b]（b＞3）恒成立，所以有：或者解之得：（13分）20．（12分）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k＝7，a1＝2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．【解答】解：（1）因为k＝7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+6d），整理得a1＝2d，又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n+1，b n＝b1×q n﹣1＝2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得a n b n的前n项和为T n＝n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n}的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以．所以（2）由（a1+2d）2＝a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2＝a1d（k﹣5），因为d≠0，所以，所以．因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，所以，又在正项等差数列{a n}中，，所以，又因为a1＞0，所以有2[4+（m﹣1）（k﹣5）]＝（k﹣3）3，因为2[4+（m﹣1）（k﹣5）]是偶数，所以（k﹣3）3也是偶数，即k﹣3为偶数，所以k为奇数．21．（12分）设函数f（x）＝a2x2（a＞0），g（x）＝blnx．（1）若函数y＝f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3＝0距离的最小值为，求a 的值；（2）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设，b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）＝a2x2，所以f′（x）＝2a2x，令f′（x）＝2a2x ＝1得：，此时，则点到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，即，解之得a＝或；（2）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）＝1＞0且h（1）＝﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）＝（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故解之得．（3）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即，由在x∈R恒成立，则在x∈R恒成立．所以成立，因此．下面证明恒成立．设，则．所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此时G（x）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．一、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（Ⅰ）求证：∠P＝∠EDF；（Ⅱ）求证：CE•EB＝EF•EP．【解答】证明：（1）∵DE2＝EF•EC，∴DE：CE＝EF：ED．∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED．∴∠EDF＝∠C．∵CD∥AP，∴∠C＝∠P．∴∠P＝∠EDF．（2）∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE＝EF：EA．即EF•EP＝DE•EA．∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA＝CE•EB．∴CE•EB＝EF•EP．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ所以x2+y2＝6x即（x﹣3）2+y2＝9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r＝3所以弦长AB＝＝．∴弦AB的长度．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝．（1）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|和y＝5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，即a≥﹣3．。
2015海南高考压轴卷 数学(理) Word版含解析
KS5U2015海南高考压轴卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 合{}i m m M )3(3,2,1-+-=（其中i 为虚数单位），{9,3}N =-，且M N ≠∅ ，则实数m 的值为 （ ）A.3B. 1C. 2D.9- 2.正弦曲线x y sin =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,3π的切线方程是（ ） A.0332=+-+πy x B.0332=-+-πy xC.033323=-+-πy x D.033323=+-+πy x 3.若向量)6,2(),1,2(+=+=x b x a ,又b a,的夹角为锐角,则实数x 的取值范围为( )A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧->45x x C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-<545x x x 且D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<45x x4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，离心率为5，则其渐进线方程为（ ） A.x y 21=B.x y 21±=C. x y 21-= D.x y 2±=5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）A.4B.2第5题图正视图俯视图AB DC DCABC.32D.36. 已知βα, 表示平面，n m ,表示直线，给出下列四个命题：①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥ ③若,,βα⊥⊥n m m ∥n ，则α∥β ④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥ 其中错误的命题个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知直线0=-+a y x 与圆222=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、-=+，则实数a 的值为（ ） A.2 B.2-C.2±D.1±8.现有下列命题:①命题“01,2=++∈∃x x R x ”的否定是“01,2≠++∈∃x x R x ”；②若{}0>=x x A ，{}1-≤=x x B ，则A B C A R =)( ；③直线013)2(=+++my x m 与03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直的条件为2-=m ；④如果抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则41-=a .其中正确的命题的序号为（ ） A.②④ B.①② C.③④ D.②③ 9.已知递增数列{}n a 各项均是正整数，且满足n a n a 3=，则5a 的值为（ ） A.2 B.6 C. 8 D.910.设函数)sin()(ϕ+ω=x x f ()22,0π<ϕ<π->ω,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点（)0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）A.①③⇒②④或②③⇒①④B.①③⇒②④C. ②③⇒①④D.①④⇒②③11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为x y 2lg =，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.A.1、0.、0.8B.0.6、0.8、1C. 0.6、1、0.8D.0.6、0.6、0.8 12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为（ ） A.)1,1(- B. )1,31()21,1( -- C. )1,31()21,( --∞ D.),31()21,(+∞--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、（本大题共4小题，每小题5分） 13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41内，则输入的实数x 的取值范围是 .（第16题）13题14. 已知Ω是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>><+0,0,6y x y x 表示的平面区域，A 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-><02,0,4y x y x 表示的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为_________. 15.抛物线x y =2与直线032=--y x 围成的平面图形的面积为 .16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现次.2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … …三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： API 0～50 51～200 101～150 151～200 201～250 251～300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API 数据按照区间[](]100,50,50,0，(]150,100，(]200,150，(]250,200，(]300,250进行分组，得到频率分布直方图如下图：（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，1==AD PA ，3=AB ，点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥PAB E -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； （3）求证：AF PE ⊥.19.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．（1）求椭圆的离心率；（2）直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a ⋅=- ，求椭圆方程；（3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围．20.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若7=k ，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值P F DE C B A 18题图（2）若存在,k m >*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证：k 为奇数. 21.（本小题满分12分）设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．（1）若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； （2）关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦AP CD //，BC AD ,相交于E 点，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2. （1）求证：EDC P ∠=∠； （2）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 6=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点.（1）把曲线1C ，2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）求弦AB 的长度.C24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =．（１）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（２）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．KS5U2015海南高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.A2.B3.A4.B5.C6.C7. C8.A9.C 10.A 11.C 12.B 解析：1.M N ≠∅ ，则M 中的复数必须为实数，所以3=m . 2x x y cos )(sin ''==,则213cos==πk ,即切线方程为)3(2123π-=-x y ,整理得0332=-+-πy x .故选B.3. 0108)1(6)2(2>+=+++=⋅x x x b a ,则45->x ,又b a,不共线,所以0)2)(1(62≠++-⨯x x ,则5-≠x 且2≠x ,所以实数x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠->245x x x 且.故选A.4.因为5=e ，所以21512=-=-=e ab，而焦点在y 轴上的双曲线的渐进线方程为x b a y ±=，所以该双曲线的渐进线方程为x y 21±=.故选B.5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为3，所以左视图的面积为3223=⨯=s .故选C.6.只有③是正确的.①若α∥β，,,βα⊂⊂n m 则m ∥n 或异面； ②若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥或相交或异面；④m ∥α，n ∥β，n m ⊥，则βα⊥或α∥β.所以只有一个正确的，故选C.故选C.7.-=+两边平方，得0=⋅，所以90=∠AOB ，则AOB ∆为等腰直角三角形，而圆222=+y x 的半径2=AO ，则原点O 到直线的0=-+a y x 的距离为1，所以11100=+-+a ，即a 的值为2或2-.8.①命题的否定为：“01,2≠++∈∀x x R x ”；②{}A x xBC A R =>=0)( ；③由0)2(3)2)(2(=+--+m m m m ，得2-=m 或21；④抛物线的标准方程为y a x ⎪⎭⎫⎝⎛--=2122，由准线方程为1=y ，可得141=-a ，即41-=a .故选A.9. 若11=a ，则111==a a a ，与3131=⨯=a a 矛盾，若31≥a ，则31a a a ≥，而31=a a ，所以31a a ≥与数列{}n a 递增矛盾，于是21=a ，得31321=⨯==a a a ，62332=⨯==a a a ，93363=⨯==a a a ，而6543a a a a <<<，所以85=a .故选C.10.由函数)0)(sin()(>ωϕ+ω=x x f 的周期是π，可知.2=ω这)22)(2sin()(π<ϕ<π-ϕ+=x x f （1）若)(x f 的图像关于直线12π=x 对称，则1)6sin()12(±=ϕ+π=πf . 当1)6sin(=ϕ+π，且22π<ϕ<π-时，3π=ϕ；当1)6sin(-=ϕ+π时，322π-π=ϕk （z k ∈），与 )22π<ϕ<π-矛盾.因此3π=ϕ.这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin )(x x f . 由0sin 3=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称；由06<≤π-x ，得3320π<π+≤x ，可知)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：①③⇒②④是正确的命题.（2）若)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛π0,3对称，则032sin 3=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，又由22π<ϕ<π-知3π=ϕ，这时⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin )(x x f . 由12sin 12=π=⎪⎭⎫⎝⎛πf 可知，直线12π=x 是)(x f 的对称轴；由（1）可知，)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡π-0,6上是增函数.综上可知：②③⇒①④.故选A. 11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为c b a ,,，则有⎪⎩⎪⎨⎧++===++,853,6.0,4.2c b a x ab c b a 整理得2.131522.19)35(2.19=-≤+-=ab b a x （万元）. 当且仅当⎩⎨⎧==,6.0,35ab b a 时等号成立，解得1,6.0==b a ，所以8.0=c .由于xy 2lg =为增函数，即此时y 也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C. 12. 由0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，得0<+-+-++-cx bx a x b 的解集为)1,31()21,1( --，即0>----c x b x a x b 的解集为)1,31()21,1( --.故选B.二、填空题 13. []1,2-- 14. 9215.332 16.6解析：13.若[]2,2-∉x ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉=21,412xx f ，不合题意；当[]2,2-∈x 时，得[]1,2--∈x .14.区域Ω（不含边界）的面积为18，区域A （不含边界）的面积为4，故点P 落入区域A 的概率为92. 15.由⎩⎨⎧=--=,032,2y x x y 得抛物线与直线的交点为)3,9(),01,1(Q P .所以[]dx x x dx x x S )23((9110--+--=⎰⎰dx x x dx x )232(29110+-+=⎰⎰192343201342232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 33232834=+=. 16. 第i 行第j 列的数记为ij A ，那么每一组i 与j 的解就是表中的一个数.因为第一行数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=j A ij 是以2为首项，公差为1的等差数列，所以11)1(2+=⨯-+=j j A ij .所以第j 列数组成的数列{}),2,1(⋅⋅⋅⋅=i A ij 是以1+j 为首项，公差为j 饿等差数列， 所以1)1(1+=⨯-++=ij j i j A ij .令20101=+=ij A ij ，即1200972784149494128772009⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==ij ，故表中2010出现6次. 三、解答题 17. 解：（1）由图可知，509125123150)912581825318257365218253(150⨯-=⨯++++-=x ，解得18250119=x .（2）219)5036525018250119(365=⨯+⨯⨯；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为533652195036525018250119==⨯+⨯.则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=-. 18.解：（1）ABCDPA 平面⊥ ，所以PA S V V ABE ABE P PAB E ⋅==∆--31631312131=⨯⨯⨯⨯=. （2）当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC ，理由如下：因为点F E ,分别为CD 、PD 的中点，所以EF ∥PC . 又因为PAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄，所以EF ∥平面PAC . （3）因为ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂，所以PA CD ⊥. 又是矩形ABCD ，所以AD D ⊥C . 因为A AD PA = ，所以PAD CD 平面⊥. 又PAD AF 平面⊂，所以DC AF ⊥.因AD PA =，点F 是PD 的中点，所以PD AF ⊥. 又D PD CD = ，所以PDC AF 平面⊥， 又PDC PE 平面⊂，所以AF PE ⊥.19.解：⑴由条件可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c Q a b c P 22,,,，因为23=PQ k ，所以得：21=e . （2）由⑴可知，c b c a 3,2==，所以，)0,3(),0,(),3,0(1c B c F c A -，从而)0,(c M .半径为a ，因为221a -=⋅，所以 120=∠EMF ，可得：M 到直线距离为2a， 从而求出2=c ，所以椭圆方程为：1121622=+y x . （3）因为点N 在椭圆内部，所以3>b ，设椭圆上任意一点为),(y x k ，则2222)26()3(≤-+=y x KN .由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y ，对任意[])3(,>-∈b b b y 恒成立， 所以有：⎩⎨⎧≥+--+--≤-,01894)(18)(,922b b b b 或者⎩⎨⎧≥+--⨯+-->-,01894)9(18)9(,922b b 解之得： (]6212,62-∈b .20. （1）因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a dq b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=，①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯；② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-．⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-，因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数， 即3-k 为偶数，所以k 为奇数.21. （1）解法一：设函数22y a x =图象上任意一点为2200(,)P x a x ，则点P 到直线30x y --=的距离为d ==，当02102x a -=，即0212x a =时，min d ==2120a =，或214a =， 又因为抛物线22()f x a x =与直线30x y --=相离，由22,3,y a x y x ⎧=⎨=-⎩得2230a x x -+=，故21120a ∆=-<，即2112a >，所以214a =，即12a =． 解法二：因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==， 得212x a =，此时214y a =，则点2211(,)24a a 到直线30x y --==2120a =，或214a =．（以下同解法一）（2）解法一：不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)， 则另一个零点一定在区间[3,2)--内，所以(2)0,(3)0,≤h h ->⎧⎨-⎩解之得4332≤a <，故所求a 的取值范围为43[,]32．解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，因为[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， 所以1321a -<<--，解之得4332a <<．（3）设21()()()l n 2Fxf x gx x e x=-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-+=-==．所以当0x <<'()0F x <；当x >'()0F x >．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e．设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2e y k x -=，即2ey kx =+-由()2≥e f x kx +-x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 恒成立 ．所以22244(2)4844(0≤k e k e k ∆=-=-=恒成立，因此k =下面证明()(0)2eg x x ->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，则()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，则()(0)2eg x x ->成立．故所求“分界线”方程为：2ey =-．选做题：22.证明：（1）因为EC EF DE ⋅=2，所以DE EF EC DE ::=，又因为DEF ∠是公共角，所以DEF ∆∽CED ∆，所以C EDF ∠=∠.因为AP CD //，所以P C ∠=∠，所以EDF P ∠=∠.（2）由（1）知，EDF P ∠=∠，又FED AEP ∠=∠，所以DEF ∆∽PEA ∆，所以AE EF EP DE ::=， 即EP EF DE AE ⋅=⋅.因为BC AD ,为相交弦，所以EB CE DE AE ⋅=⋅，故EP EF EB CE ⋅=⋅.23. 解：（1）曲线2C ：π4θ=（R ∈ρ）表示直线x y =．曲线1C ：θρcos 6=，θρρcos 62=，所以x y x 622=+，即9)3(22=+-y x ．（2）圆心（3，0）到直线的距离 d =，3=r ，所以弦长AB =23． 24. （1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的 图象（如图所示）,知定义域为(][),23,-∞-+∞ . （2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥-， 又由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤≥-即．。
2015年海南省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)【解析版】
2015年海南省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.）1．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z，则复数的共轭复数是（）A．﹣i B．﹣i C．i D．i2．（5分）能够把圆O：x2+y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）＝4x3+x B．C．D．f（x）＝e x+e﹣x3．（5分）若函数f（x）＝﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x＝0处的切线与圆x2+y2＝1相切，则a+b的最大值是（）A．4B．2C．2D．4．（5分）设集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤2}，B＝{（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A 中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为（）A．1B．C．2D．26．（5分）根据如图所示程序框图，若输入m＝2146，n＝1813，则输出m的值为（）A．1B．37C．148D．3337．（5分）下列命题，正确的个数是①直线x＝是函数y＝sin2x﹣cos2x的一条对称轴②将函数y＝cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数y＝sin（2x+）的图象．③设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜α）＝0.3，（α＜3），则P（ξ＜6﹣α）＝0.7④（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210．（）A．1B．2C．3D．48．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小9．（5分）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝sinπx和函数g（x）＝cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使＝e，Q点为直线PF1上的一点，且＝3，则•的值为（）A．B．C．D．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a7﹣1）3+2012（a7﹣1）＝1，（a2006﹣1）3+2012（a2006﹣1）＝﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2012＝﹣2012，a2012＞a7B．S2012＝2012，a2012＞a7C．S2012＝﹣2012，a2012＜a7D．S2012＝2012，a2012＜a7二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，||＝2，||＝3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC＝．14．（5分）采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中△P AB的面积为．16．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论：①f（x）＝0 是常数函数中唯一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）＝x不是“λ﹣伴随函数”；③f（x）＝x2是一个“λ﹣伴随函数”；④“﹣伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是（填上所有不正确的结论序号）．三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝3S2+2，a2n＝2a n，（1）求等差数列{a n}的通项公式a n．（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n．证明：对任意n∈N*，都有≤T n＜．18．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．19．（12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+＝1的离心率为，椭圆C的右焦点F和抛物线G：y2＝4x的焦点相同．（1）求椭圆C的方程．（2）如图，已知直线l：y＝kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点，且直线l与椭圆C交于A，B两点；过焦点F的直线l′与抛物线G交于C，D两点，记，求λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在最小的正常数m，使得：当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•e x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．四、选修4-1：几何证明选讲选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE＝BA•BF．求证：（1）EF⊥FB；（2）∠DFB+∠DBC＝90°．五、选修4-4：坐标系与参数方程选讲．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t＝﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．六、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|3x﹣1|+ax+3．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2015年海南省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.）1．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z，则复数的共轭复数是（）A．﹣i B．﹣i C．i D．i【解答】解：由题意可知z＝2+i，复数＝＝＝＝i．复数的共轭复数是：﹣i．故选：B．2．（5分）能够把圆O：x2+y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）＝4x3+x B．C．D．f（x）＝e x+e﹣x【解答】解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）＝0，且f（x）为奇函数，故f（x）＝4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）＝ln＝ln1＝0，且f（﹣x）＝ln＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）＝ln为“和谐函数”；C中，f（0）＝tan0＝0，且f（﹣x）＝tan＝﹣tan＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）＝tan为“和谐函数”；D中，f（0）＝e0+e﹣0＝2，所以f（x）＝e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））＝e x+e ﹣x不为“和谐函数”；故选：D．3．（5分）若函数f（x）＝﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x＝0处的切线与圆x2+y2＝1相切，则a+b的最大值是（）A．4B．2C．2D．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝，在x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝，∵f（0）＝﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x＝0处的切线方程为y+＝x，即切线方程为ax+by+1＝0，∵切线与圆x2+y2＝1相切，∴圆心到切线的距离d＝，即a2+b2＝1，（a＞0，b＞0），方法1：∵a＞0，b＞0，∴设a＝sin x，则b＝cos x，0＜x＜，则a+b＝sin x+cos x＝sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x＝时，a+b取得最大值为，法2：设z＝a+b，则b＝﹣a+z，平移直线b＝﹣a+z，由图象知当直线与图象在第一象限相切时，直线的截距最大，此时z最大，圆心到直线的距离d＝＝1，得|z|＝，则z＝或z＝﹣（舍），故a+b取得最大值为，故选：D．4．（5分）设集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤2}，B＝{（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A 中随机地取出一个元素P（x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是（0，2）（0，﹣2）（2，0）（﹣2，0），集合B是抛物线y＝x2 下方的区域由，可求得两图象在第一象限的交点坐标为（1，1）∵抛物线y＝x2 下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为＝5+2×＝，正方形的面积为，∴P（x，y）∈B的概率是故选：B．5．（5分）在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为（）A．1B．C．2D．2【解答】解：设|AB|＝2c，则在椭圆中，有c+c＝2a，∴椭圆的离心率为﹣1，而在双曲线中，有c﹣c＝2a′，∴双曲线的离心率为+1，∴椭圆和双曲线的离心率的乘积为（﹣1）（+1）＝2故选：C．6．（5分）根据如图所示程序框图，若输入m＝2146，n＝1813，则输出m的值为（）A．1B．37C．148D．333【解答】解：由如图所示程序框图，知：该程序的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．∵2146÷1813＝1 (333)1813÷333＝5 (148)333÷148＝2 (37)148÷37＝4∴m＝2146，n＝1813的最大公约数是37故选：B．7．（5分）下列命题，正确的个数是①直线x＝是函数y＝sin2x﹣cos2x的一条对称轴②将函数y＝cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度变为函数y＝sin（2x+）的图象．③设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜α）＝0.3，（α＜3），则P（ξ＜6﹣α）＝0.7④（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210．（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，函数y＝sin2x﹣cos2x＝，x＝时，，所以直线x＝不是函数y＝sin2x﹣cos2x的一条对称轴，所以①不正确．对于②，将函数y＝cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得：y＝cos（2x+），再向左平行移动个单位长度得到：y＝cos（2x++）＝cos2x，不是函数y＝sin（2x+）的图象．所以②不正确．对于③，设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜α）＝0.3，（α＜3），则P（ξ＜6﹣α）＝0.7，所以③正确．对于④，（2﹣）10的二项展开式中，通项公式为：＝，，可得r＝4，故含有x﹣1项的二项式系数为：＝210．故④正确．故选：B．8．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．9．（5分）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的可行域如图阴影部分，tan∠AOB的最大值，就是∠AOB的最大值时的正切函数值，由可得A（1，2），由可得B（2，1），k OB＝，k OA＝2，tan∠AOB＝＝．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sinπx和函数g（x）＝cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：∵sinπx＝cosπx＝sin（），x∈[0，2]，∴可解得：πx＝π﹣（）+2kπ，k∈Z（无解），或πx＝+2kπ，k∈Z ∴可解得：x＝+k，k∈Z，且x∈[0，2]，∴x＝，或，∴解得坐标：A（，），B（，﹣）．∴解得直线AB所在的方程为：y﹣＝﹣（x﹣），联立方程y＝0，可解得：x＝，及OC＝．∴S△OAB ＝S△OAC+S△COB＝＝．故选：A．11．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使＝e，Q点为直线PF1上的一点，且＝3，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由正弦定理可得＝＝2，∵m﹣n＝2，∴m＝4，n＝2，∵＝3，∴||＝3，||＝1，△PF1F2中，cos∠PF1F2＝＝，△QF1F2中，|QF2|＝＝，∴•＝＝．故选：A．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a7﹣1）3+2012（a7﹣1）＝1，（a2006﹣1）3+2012（a2006﹣1）＝﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2012＝﹣2012，a2012＞a7B．S2012＝2012，a2012＞a7C．S2012＝﹣2012，a2012＜a7D．S2012＝2012，a2012＜a7【解答】解：∵（a7﹣1）3+2012（a7﹣1）＝1，（a2006﹣1）3+2012（a2006﹣1）＝﹣1，∴（a7﹣1）3+（a2006﹣1）3+2012（a7﹣1）+2012（a2006﹣1）＝0，即[（a7﹣1）+（a2006﹣1）][（a7﹣1）2+（a2006﹣1）2﹣（a7﹣1）（a2006﹣1）]+2012[（a7﹣1）+（a2006﹣1）]＝0，整理得：[（a7﹣1）+（a2006﹣1）]{[（a7﹣1）﹣（a2006﹣1）]2+（a2006﹣1）2+2012]}＝0，∴（a7﹣1）+（a2006﹣1）＝0，即a7+a2006＝2．∵数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，∴S2012＝＝＝2012，可排除A、C；令f（x）＝x3+2012x，则f′（x）＝3x2+2012＞0，∴y＝f（x）为R上的增函数，又f（a7﹣1）＝1＞﹣1＝f（a2006﹣1），∴a7﹣1＞a2006﹣1，即a7＞a2006，故等差数列{a n}为递减数列，∴a7＞a2012，可排除B，二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，||＝2，||＝3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC＝150°．【解答】解：∵在△ABC中，||＝2，||＝3，且△ABC的面积为，∴＝，即，解得sin∠BAC＝，又•＜0，∴，∴∠BAC＝150°．故答案为：150°．14．（5分）采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为0.25．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，所求概率为＝0.25，故答案为：0.2515．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中△P AB的面积为．【解答】解：几何体的直观图如图：底面是边长为2的正三角形，高为2，顶点P在底面的射影是正三角形的已改顶点，直观图中△P AB是等腰三角形，斜高为：＝，△P AB的面积为：．故答案为：．16．（5分）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ﹣伴随函数”．有下列关于“λ﹣伴随函数”的结论：①f（x）＝0 是常数函数中唯一个“λ﹣伴随函数”；②f（x）＝x不是“λ﹣伴随函数”；③f（x）＝x2是一个“λ﹣伴随函数”；④“﹣伴随函数”至少有一个零点．其中不正确的序号是①③（填上所有不正确的结论序号）．【解答】解：①设f（x）＝C是一个“λ﹣伴随函数”，则（1+λ）C＝0，当λ＝﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）＝0不是唯一一个常值“λ﹣伴随函数”，故①不正确；②∵f（x）＝x，∴f（x+λ）+λf（x）＝x+λ+λx，当λ＝﹣1时，f（x+λ）+λf（x）＝﹣1≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf（x）＝0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）＝0对任意实数x都成立，∴（x）＝x不是“λ﹣伴随函数”，故②正确；③用反证法，假设f（x）＝x2是一个“λ﹣伴随函数”，则（x+λ）2+λx2＝0，即（1+λ）x2+2λx+λ2＝0对任意实数x成立，所以λ+1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f（x）＝x2不是一个“λ﹣伴随函数”，故③不正确；④令x＝0，得f（）+f（0）＝0，所以f（）＝﹣f（0）若f（0）＝0，显然f（x）＝0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）＝﹣（f （0））2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“﹣伴随函数”必有根，即任意“﹣伴随函数”至少有一个零点，故④正确故答案为：①③三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝3S2+2，a2n＝2a n，（1）求等差数列{a n}的通项公式a n．（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n．证明：对任意n∈N*，都有≤T n＜．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由S4＝3S2+2、a2n＝2a n，得，解得，所以；（2）因为，所以，则＝．因为n≥1，n∈N*，所以．18．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB＝EA，所以EO⊥AB．…（1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）因为EO∩OD＝O所以AB⊥平面EOD．…（3分）因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（4分）（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD＝AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（5分）因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…（7分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…（10分）证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为＝（a，b，c），则有所以取a＝1，得＝（1，1，2）．…（12分）因为＝（1，1，﹣1）•（1，1，2）＝0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…（14分）19．（12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为0.005×10＝0.05，所以，利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝72．所以，估计这次考试的平均分是7（2分）．由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值7（5分）…（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有40×（0.3+0.25+0.05）＝24人，成绩在[80，90）这一小组的人数有40×0.025＝10人．所以从这一小组中抽出的人数为人，依题意知，，，，，，，，所以ξ的分布列为：数学期望．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1的离心率为，椭圆C的右焦点F和抛物线G：y2＝4x的焦点相同．（1）求椭圆C的方程．（2）如图，已知直线l：y＝kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点，且直线l与椭圆C交于A，B两点；过焦点F的直线l′与抛物线G交于C，D两点，记，求λ的取值范围．【解答】解：（1）椭圆的离心率，抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），所以椭圆中的c＝1，a＝2，b2＝3．所以椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则由，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4＝0（①），由解得或；由消去y可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0，由解得，所以．由①可得，y1•y2＝（kx1+2）•（kx2+2）＝k2x1•x2+2k（x1+x2）+4＝，所以，当l'的斜率不存在时，C（1，2），D（1，﹣2），此时，；当l'的斜率存在时，设l'的方程为y＝m（x﹣1），（m≠0），由消去y可得m2x2﹣（2m2+4）x+m2＝0，所以x 3•x4＝1，，所以，则λ＝＝，因为，所以，所以．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在最小的正常数m，使得：当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•e x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx．∴f′（x）＝1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）由于x＞0，f（x）＞kx﹣恒成立，∴k＝lnx+．构造函数k（x）＝lnx+．∴k′（x）＝﹣＝．令k′（x）＝0，解得x＝，当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0．∴函数k（x）在点x＝处取得最小值，即k（）＝1﹣ln2．因此所求的k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．（3）结论：这样的最小正常数m存在．解释如下：f（a+x）＜f（a）•e x⇔（a+x）ln（a+x）＜alna）•e x⇔＜．构造函数g（x）＝，则问题就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．对于g（x）求导得g′（x）＝．令h（x）＝lnx+1﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx﹣1，显然h′（x）是减函数．又h′（1）＝0，所以函数h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，而h（）＝ln+1﹣＝﹣2+1+＝＜0，h（1）＝ln1+1﹣ln1＝1＞0，h（e）＝lne+1﹣elne＝1+1﹣e＝2﹣e＜0．所以函数h（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，令为x1和x2（x1＜x2），并且有：在区间（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0即g′（x）＜0；在区间（x1，x2）上，h（x）＞0即g′（x）＞0．从而可知函数g（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在区间（x1，x2）上单调递增．g（1）＝0，当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．还有g（x2）是函数的极大值，也是最大值．题目要找的m＝x2，理由是：当a＞x2时，对于任意非零正数x，a+x＞a+x2，而g（x）在（x2，+∞）上单调递减，所以g（a+x）＜g（a）一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明m≤x2；当0＜a＜x2时，取x＝x2﹣a，显然x＞0且g（a+x）＝g（x2）＞g（a），题目所要求的不等式不恒成立，说明m不能比x2小．综合可知，题目所要寻求的最小正常数m就是x2，即存在最小正常数m＝x2，当a＞m时，对于任意正实数x，不等式不等式f（a+x）＜f（a）•e x恒成立．四、选修4-1：几何证明选讲选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE＝BA•BF．求证：（1）EF⊥FB；（2）∠DFB+∠DBC＝90°．【解答】（1）证明：连接AD，则∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°在△ADB和△EFB中，∵BD•BE＝BA•BF，∴…．．（2分）又∠DBA＝∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．（4分）则∠EFB＝∠ADB＝90°，∴EF⊥FB…．．（5分）（2）在△ADB中，∠ADB＝∠ADE＝90°又∠EFB＝90°∴E、F、A、D四点共圆；…（7分）∴∠DFB＝∠AEB…．．（9分）又AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，∴∠DFB+∠DBC＝∠AEB+∠DBC＝90°…（10分）五、选修4-4：坐标系与参数方程选讲．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t＝﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【解答】解：（1）曲线M（θ为参数），即x2＝1+y，即y＝x2﹣1，其中，x＝sinθ+cosθ＝sin（θ+）∈[﹣，]．把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝（其中t为常数）化为直角坐标方程为x+y﹣t＝0．由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以﹣+1＜t≤+1满足要求，当直线和曲线M相切时，由有唯一解，即x2+x﹣1﹣t＝0 有唯一解，故有△＝1+4+4t＝0，解得t＝﹣．综上可得，要求的t的范围为（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）当t＝﹣2时，曲线N即x+y+2＝0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t＝﹣．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2＝0和直线x+y+＝0之间的距离，为＝．六、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|3x﹣1|+ax+3．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．。
2015年高考海南地理试卷及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）地理注意事项：1。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答题前,考生务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时，将答案卸载答题卡上，写在试卷上无效。
4。
考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷本卷共20小题，每小题3分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.下图所示半岛夏季沿海地区气温可达46℃，内陆则高达49℃。
读图，完成以下问题.1.该半岛夏季干热的主要原因是（ )A。
沿岸暖流的增温作用 B.受干热的西北风影响C。
背风坡增温效应较强 D。
受干热的西南风影响2。
该半岛耕地灌溉水源主要来自（）A.河流水B.冰雪融水C.地下水D. 湖泊水【答案】1.D 2。
C 【考点定位】该组试题主要考查区域气候的形成原因、区域水资源类型等。
【名师点睛】该组试题以区域等高线图为切入点，将等高线图判读、区域气候的形成原因、区域水资源类型等高中地理主干知识联系起来,凸显近年来高考地理重视主干知识考查的特点。
要求学生能够准确提取图中“波斯湾”、海拔较低、低纬度等信息，做出精确的空间位置判断，并依次推测出该区域自然环境特征，注重学生获取信息能力和空间定位能力的考查。
电解铝业是高耗能、高污染产业.近年来,我国新建电解铝产能主要分布在西北地区.有人认为,我国电解铝业西移大势所趋.下图示意铝工业主要部门及其在我国的主要分布省区（2010年前）.据此完成以下问题.3．西北地区大规模发展电解铝业依赖的优势条件是（ )A．廉价而充足的电力 B.良好的生态环境C．充足的原料供应 D.良好的工业基础4．电解铝业由东、中部转移到西北地区,会导致（）A.能耗降低 B。
产品价格提高C.污染排放减少 D。
运输成本增加5。
海南省2015届高三5月模拟数学(理)试题
海南省2015年高考模拟测试题理科数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数12zi-的共轭复数是 ( ) A ．35i - B. i - C ．35i D ．i【答案】B 【解析】试题分析：由题意2z i =+，2(2)(12)24212(12)(12)5z i i i i i i i i i +++++===--+，所以z i =-.考点：复数的概念与运算.2.能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是 ( ) A ．3()4f x x x =+ B ．()xxf x e e -=+ C ．()tan2x f x = D ． 5()15xf x n x-=+ 【答案】B 【解析】试题分析：圆O 的圆心是原点，半径为4，函数3()4f x x x =+是奇函数，且图象过原点，()tan2x f x =及5()ln 5xf x x-=+都是奇函数且过原点，因此A 、C 、D 三个函数都是“和谐函数”，而()xxf x e e -=+是偶函数，且()2f x ≥，不是“和谐函数”，选B.考点：函数奇偶性与对称性.3.若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切,则a b +的最大值是 ( )A. 4B.C. 2D.【答案】D考点：导数与切线，直线与圆的位置关系，基本不等式. 4.设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是 ( ) A ．121 B ．32 C ．2417 D ．65【答案】C 【解析】试题分析：如图，集合A 是正方形ABCD 内部（含边界），8ABCD S =，集合B 是抛物线2y x =下方的点（含边界），抛物线与正方形的交点为(1,1),(1,1)M N -，122301117(2)(2)0236S x x dx x x x =--=--=⎰曲边ODM ，所以正方形ABCD 内部且在抛物线2y x =下方区域的面积为7178263S =-⨯=，所求概率为17173824P ==.考点：几何概型.5.在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=，,AC BC 边上的高分别为,BD AE ，则以,A B 为焦点，且过,D E 两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为 ( ) A. 1 B.C. 2D.【答案】C 【解析】试题分析：设2AB c =，则BD AE c ==，AD BE ==，设椭圆的长轴长为2a，则2(1a c =，1c e a ===，设双曲线的实轴长为2'a，则2'1)a c =，'1'c e a ===，所以'1)2ee ==. 考点：椭圆与双曲线的定义和离心率.6.根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为( ) A. 34 B. 37 C. 148 D.333第5题【答案】B 【解析】试题分析：本题实质是辗转相除法求最大公约数的算法，按照程序，,,m n r 的值依次为(1813,333,333)，(333,148,148)，(148,37,37)，(37,0,0)，因此最终输出结果为37m =.考点：程序框图，算法.7.下列命题，正确的个数是 ( )①直线53x π=是函数sin 2y x x =的一条对称轴 ②将函数3cos()2y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4y x π=+的图像． ③设随机变量ξ～)9,3(N ，若()0.3P a ξ<=，(3)a <，则(6)0.7P a ξ≤-=④ 101)x的二项展开式中含有1x -项的二项式系数是210.A. 1 B . 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】试题分析：sin 222sin(2)3y x x x π=-=-,52333πππ⨯-=，53x π=不是对称轴，A 错；将函数3cos()2y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得3cos(2)2y x π=+，再向左平行移动4π个单位长度，得3cos[2()]cos 242y x x ππ=++=，B错；因为(6)32a a +-=，故(6)()0.3P a P a ξξ>-=<=，因此(6)1(6)0.7P a P a ξξ≤-=->-=，C正确；101)x的二项展开式的通项为10310102110101()(1)2kk kk k k kk T C C x x---+=-=-，令10312k -=-，则4k =，因此1x -项的二项式系数为410210C =，D 正确，选B.考点：三角函数的对称轴，图象变换，正态分布，二项式定理.8.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 ( )A. 点P 到平面QEF 的距离B. 三棱锥QEF P -的体积C. 直线PQ 与平面PEF 所成的角D.二面角Q EF P --的大小【答案】C考点：空间线面间的位置关系，空间距离与角.9.已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组31030,10x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则tan AOB ∠ 的最大值等于 ( )A ．34 B ．57 C ．47 D ．941A 第8题图【答案】A 【解析】试题分析：如图，题设不等式组表示的平面区域为CMN ∆内部（含边界），(1,2)M ，(2,1)N ，4cos5OM ON MON OM ON⋅∠===⋅，3sin 4MON ∠=，所以3tan 4MON ∠= ，而AOB ∠的最大值为MON ∠，因此tan AOB ∠ 的最大值为34.考点：二元一次不等式组表示的平面区域，向量的夹角，两直线的夹角.10.已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[0,2]上的图像交于,A B 两点，则OAB ∆的面积是 ( )【答案】A 【解析】试题分析：sin cos x x ππ=，tan 1x π=，,4x k k Z πππ=+∈，1,4x k k Z =+∈，因为[0,2]x ∈，所以14x =或54，1(4A ，5(,4B ，线段AB 与x 轴相交于点3(,0)4M ，所以13(24228OAB OMA OMB S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+=. 考点：简单的三角方程，三角形的面积.11.已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，Q 点为直线1PF 上的一点，且13QF =，则221FQ F F ⋅的值为 ( ) A ．225 B．52 D ．【答案】A 【解析】试题分析：双曲线中1,a b ==则2c =，2e =，12(2,0),(2,0)F F -，由2112sin sin PF F ePF F ∠=∠得122PF e PF ==，又1222PF PF a -==，所以14PF =，22PF =，设00(,)P x y ，则10PF ex a =+，即0421x =+，032x =，代入双曲线方程得02y =（不妨取正），即3(2P，17(,2PF =-，由13PQ QF =得1321(,48PQ PF ==-，2225(8F Q F P PQ =+=-，21(4,0)F F =-，所以221F Q F F ⋅2525()(4)082=-⨯-+=，选A.考点：双曲线的性质，向量的数量积的坐标运算. 12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是 ( )A ．20122012S =-，20127a a >B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =，20127a a < 【答案】D 【解析】试题分析：记3()2012f x x x =+，它是奇函数，由题意72006(1)(1)f a f a -=--，因此72006110a a -+-=，即72062a a +=，从而120122a a +=，1201220122012()20122a a S +==，又()f x 是增函数，由题意7200610,10a a ->-<，所以720061a a >>，数列{}n a 是递减数列，20127a a <，选D.考点：等差数列的性质，函数的奇偶性与单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______【答案】150 【解析】 试题分析：113sin 23sin 222S AB AC BAC BAC =∠=⨯⨯⨯∠=，1sin 2BAC ∠=，∵0AB AC ⋅<，∴90BAC ∠>︒，∴150BAC ∠=︒.考点：三角形的面积，向量的夹角.14.采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________ 【答案】0.25 【解析】试题分析：20组数中表示恰有2天下雨的是191,271,932,812,393共5组，因此概率为50.2520=. 考点：随机试验.15.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中PAB ∆的面积为__________.第15题图俯视图【答案】7 【解析】试题分析：在直观图中，PAB ∆的底边2AB =，AB=，122S =⨯=.考点：三视图.16.若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于 “λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不．正确．．的结论序号）． 【答案】①③ 【解析】试题分析：①()0f x c =≠时，取1λ=-，则()()0f x f x λλ++=对任意x R ∈恒成立，()f x c =是一个“λ—伴随函数”， ①错；②()f x x =时，()()0f x f x x x λλλλ++=++=不能恒成立，②正确；③2()f x x =时，222()()()(1)210f x f x x x x x λλλλλλ++=++=+++=不能恒成立，③错误；④若()f x是“21—伴随函数”，则11()()022f x f x ++=恒成立，令14x =-，则有111()()0424f f +-=，那么1()4f 和1()4f -如果不为0，则它们的符号相反，一正一负，于是()f x 在11(,)44-上至少有一个零点，④正确.故填①③.考点：新定义.（创新题）三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a . （2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对任意*n N ∈，都有31164n T ≤<. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析.考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列与不等式.18.（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求 出EFEA；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2（3）13EF EA = 【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证明线面垂直，题中在平面ABE ⊥平面ABCD ，为了应用面面垂直的性质，取AB 中点为O ，由已知可得,EO AB DO AB ⊥⊥，从而就有AB ⊥平面DEO ，结论得证；（2）求直线与平面所成的角，以及第（3）小题的线面平行问题，我们可以建立空间直角坐标系，利用空间向量来解题，在（1）的证明过程中正好有,,AB EO DO 三线两两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，设1OB =，就有(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =，设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则有sin |cos ,|EC OD θ=〈〉；（3）设EFEAk =，求出F 点坐标，再求出平面FBD 的法向量n ，由EC n ⊥可求出k .当然本题题型只要根据刚才探讨出的k 值对应的点F ，证明线面平行.试题解析：证明：（1）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥．……4分 解：（2）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，DC第18题图所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以)1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以 ||3sin |cos ,|||||EC OD EC ODEC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE 所成角8分 （3）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ．因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………12分考点：线线垂直，线面角，线面平行.19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人。
2015年海南卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学本试卷共24题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理科数学(参考答案)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．2．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．3．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D4．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B5．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．6．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．7．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．8．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．9．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．10．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．11．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．12．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．14．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．15．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．16．【解答】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．18．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．19．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．21．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；11 / 12当m ＞1时，由g （t ）的单调性，g （m ）＞0，即e m ﹣m ＞e ﹣1．当m ＜﹣1时，g （﹣m ）＞0，即e ﹣m +m ＞e ﹣1．综上，m 的取值范围是[﹣1，1]22．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴AD 是∠CAB 的角平分线，又∵圆O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，∴AE=AF ，∴AD ⊥EF ，∴EF ∥BC ；（2）解：由（1）知AE=AF ，AD ⊥EF ，∴AD 是EF 的垂直平分线，又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，连结OE 、OM ，则OE ⊥AE ，由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE ，∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1， ∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF 的面积为×﹣××=．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ．同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C 2与C 3交点的直角坐标为（0，0），． （2）曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．24．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．12/ 12。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
理科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=
（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝
2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a =
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现
（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列｛a n｝满足a1=3，a1+ a3+ a5=21，则a3+ a5+ a7=
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
5.设函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-1
,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
（A ）81 （B ）71 （C ）6
1 （D ）51 7.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则
MN =
（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，
则输出的a =
（A ）0
（B ）2
（C ）4
（D ）14
9.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与
DA 运动，∠BOP=x 。
将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ） 的图像大致为
11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则E 的离心率为
(A)5 (B)2 (C)3 (D)2
12.设函数f’(x)是奇函数f (x)(x ∈R)的导函数，f （−1）=0，当x >0时，x f’(x)－f (x)
＜0，则使得f (x) >0成立的x 的取值范围是
(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)
(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ=________.(用数字填写答案)
14.若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ，则z = x ＋y 的最大值为____________..
15.(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________.
16.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=－1，a n +1=S n S n+1，则S n =________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ) 求C
B ∠∠sin sin ； (Ⅱ) 若AD=1，DC=
22，求BD 和AC 的长. 18. （本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。
假设两地区用户的评价结果相互独立。
根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率
19. （本小题满分12分）
如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F 。
过带你E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：9x 2+ y 2 = m 2 (m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有 两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.
（I ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（II ）若l 过点(3
m ，m ),延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？ 若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由.
21. （本小题满分12分）
设函数f (x )=e mx +x 2−mx .
(Ⅰ)证明：f(x)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有｜f(x 1)− f(x 2)｜≤e −1,求m 的取值范围
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC 的底边BC 交于
M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两
点.
（I ）证明：EF 平行于BC
（II ） 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN=
,求四边形EBCF 的
面积。
23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:)0(,sin ,cos ≠⎩
⎨⎧==t t t y t x 为参数，αα，其中0≤α＜π ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，曲线C 3：ρ=32cos θ . （I ）.求C 2与C 3交点的直角坐标
（II ）.若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
设a 、b 、c 、d 均为正数，且a +b =c +d ,证明：
（I ）若ab ＞cd ，则d c b a ++＞；
（II ）d c b a ++＞是d c b a --＜的充要条件.。