第2讲数阵图初步-完整版

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数阵图-奥数优秀课件

2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
解析：横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
解析：横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
2+3+4+5+6=20 中间的数是 : 26-20=6 2+5=4+3=7
【经典例题】
例题1 把2~6这五个数分别填入下图的“○”中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
解析：横行三数之和与竖列三数的和是 : 13×2=26 各个数的和是：
7个数字总和：（1+7）×7÷2=28
中间数字为：30-28=2
2÷2=1
边上的数字和：10-1=9，
2+7=4+5=3+6
（答案不唯一）
【课堂练习】
练习3：把3~9这七个数字分别填入下图的各“○”中，使每条线上三个“○”内数的和等
于16.
【课堂练习】
练习3：把3~9这七个数字分别填入下图的各“○”中，使每条线上三个“○”内数的和等
【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3 ＋……＋10＋a＋b=30×2，即55＋a＋b=60，a＋b=5。在 1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8， 9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。

奥数知识点简单数阵图

简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。

先求重叠数。

数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。

例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。

但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。

简单数阵图(修订)

1
4 2 6 3 5
随堂练习1
• 把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
7 2 1 4 5 3 6
（二）封闭型数阵图（像围墙）
例1：将1—6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9。三条线上3
9×3=27 1+2+3+4+5+6=21 3 27-21=6 1+2+3=6
有趣的数阵图
• 数阵图：将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。 • 数阵图是一种趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙。这里介绍三种形式的数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
例1
把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
4 3 5 2
12×3=36 1+2+3+4+5+6=21 36-21=15
6
1
所给数中和为15的三个数： 4，5，6
例2：将1—6分别填在与例1相同的图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于10.
1
6 4
10×3=30 1+2+3+4+5+6=21 30-21=9 1+3+5=9 或 2+3+4=9
所给数 1~6的和
重叠数之和
1~6中和为6的三个数：1，2，3
封闭型数阵图（像围墙）
• 多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。 • 突破关键：确定顶点上的数字，公共的和 • 边数x公和=数和+重叠数和
练习：
1.将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上的三个数的和等于12.

小学奥数之数阵图解题方法(完整版)

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

数阵图

数阵图
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和
数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。

简单数阵图ppt课件

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12
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9
例3：把1~6这六个数分别填入三角形三条边的六个 “ ”内，使每条边上的三个数的和相等。
a
b
c
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10
练一练：把1~8这八个数分别填入“ ”内，使每
条边上的三个数的和相等。
1
5
6
8
4
3
7
2
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11
例4：将1~9这九个数填入九个圈中，使每个三角形和每条线段上的三个数字之和相等。
1+2+3=6
1~6中和为6的三个数：1，2，3
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4
练习：
1.将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上的三个数的和等6 1+2+3+4+5+6=21 36-21=15
5
1
所给数中和为15的三个数： 6 4，5，6
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5
例2：将1—6分别填在与例1相同的图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于10.
1
10×3=30
1+2+3+4+5+6=21
6
4
30-21=9
1+3+5=9 或 2+3+4=9
3
2
5
或1+2+6=9
所给数1~6中和为9的三个数：1，3，5或2，3，4 或1，2，6
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6
评注：在找到重叠数之后还要把它们填入图形中看看能不能成立，并不是每组重叠数都能成功的。
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三年级幻方与数阵图初步完整版课件

例题3
将 1 ～ 10分别填入下图的○内（9 已经填好），使图中每个○内的数（第一行除外）都等于它上方与它相连的两个○内的数的差。
6 10 1
8
4
7
5
2
3
一、幻和：幻方中，行、列、对角线上的数之和相等，这个和称为幻和。
二、中心数求幻和：3阶幻方中，幻和是中心数的3倍。三、特殊数阵：如果两组数和相等，那么这两组数相等。
21 这个幻方的中心数是______，幻和是 _6__3___。中心数：（18+24）÷2=21
知识提炼
2 如果中心数未知，那么就需要找到经过中心的同一直线上的两个数。它们的和除以_____
即为中心数。
牛刀小试2-2
填空。如果 9 + 5 + ▲ = 4 + ▲ + ★，那么★ = ______。
练习4-2
将1～10 分别填入下图的○内，使图中三条直线上四个数的和都相等，每个三角形三个顶点上
的数的和也相等。
10
6
10个数之和：（1+10）×10÷2=55 设中间数为a，则三条线上和为：55+2a
2 1
当a=1，和为55+2×1=57 57÷3=19 要使每条直线上的四个数之和等于19 5
1 14
15
6
10
2 13
幻和：8+5+9+12=34
练习1-2
在下图的空格内填上合适的数后，图中每行、每列上的数的和都相等。 “*”所在的空格内填的数是多少？
练习1-2
在下图的空格内填上合适的数后，图中每行、每列上的数的和都相等。 “*”所在的空格内填的数是多少？

一年级奥数专题数阵图之初步知识点习题

数阵图1.概念简析数阵图：就是把一些数按照一定的规则,排列成各种各样的图形,这种图形就称作数阵图。

幻方就是一种特殊的数阵图,而数独可以说是幻方的延伸。

2.解题步骤（1）分拆法：将总和进行拆分。

（2）求关键数：其中的关键数也叫公共数。

例1如右图所示,把适当的数填到三角形的空圈里,使每条直线上3个圈中的数相加都是10.1.在圆圈中填数,使每条线上的三个数之和都等于15.问空白处的三个数的和为_______.2.在下面的○里填上适当的数,使每条线上的三个数之和都是12.问空白处的三个数之和为_________.例2如右图,把3、4、6、7四个数填在四个空格里,使横行、竖行三个数相加都等于14,问怎么填？1.把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中,使横行、竖列三个数的和都是14。

问最中间的数字为_____.2.把数字1,2,3,5,6,7,9填在下面的○里,使每边上的和为15.问最上行左右两个数字之和为_______.例3如右图所示,把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈内,要求分别满足以下条件：（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9；（3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10.1.见图。

把2、3、4、5、6填入下图的五个方格里,使横行、竖行三个数之和相等,那么当它们的和取11、12、13时。

问最中间数分别是___、___、___.（按前后顺序回答,答案用一个空格隔开,例如：2 3 4）2.将1,2,3,4,5,6这6个数分别填入下图中,使两个大圆上4个数的和都等于14.问已知数字4上面的数字为_______.例4如右图所示,圆圈里填上不同的数,使每条直线上的三个数相加之和都等于10.1.把2,3,4,5,6这五个数分别填入圆圈中,使每条线上三个数相加的和都等于12.问最中间的数为______.2.把3,4,5,6,7这五个数分别填入下面的空格里,使横行、竖行的三个数相加都得15.问最中间的数为_______.例5如图所示,在圆圈里填上不同的数,使每条直线上三个数相加之和都是15.（圆圈内数字不考虑数字0）1.在下列两图的空格中填上数,使每条对角线上的三个数相加都等于16（圆圈中的数字不能相同,也不考虑数字0）。

小学一年级奥数课件简单数阵ppt

中间数是3,10-3=7，两端配成7, 2配5，3配4, 4配3,5配2.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
思维小妙方
数阵图歌
数阵图，真有趣，每条线，和相等，找准突破点，先下手为强，已知数越多，就是关键点，先找中间数，尝试变容易。
5
1
3
10
2
4
5
左下角为1
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
玩一玩
使每条线上三个数相加等于图中间的数。
（2）至少填三种答案。
3
5
10
2
4
2
3
5
3
3
10
2
2
5
左下角为2
左下角为3
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
小朋友们，你们画出左下角为4、5时的数阵图吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
试一试
小动物们去乐园玩“摩天轮”，要使每条线上的三个数相加等于10.那么问号处是几号呢？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

数阵图(二)(含详细解析)

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

小学数学数阵图

解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七个数字，分别填入 2 图中各个 ○内，使每条线段上的三个 ○内数的和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9，如果每个圆环所填的数的和都相等，那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解最大为14，最小为11
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圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4

2 第2讲数阵图初步

第二讲数阵图初步兴趣篇1、在图中的3个空白○内填入不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数的和等于11。

2、请将1、2、4、6这4个数填在图中各个空白区域内，使得每个圆圈里的4个数的和等于15。

3、请在三个○内填入3个数，使得每条直线上的数之和都相等。

4、把1~8这8个数分别填入8个方格中，使得各列上两个数之和相等，各行4个数之和也相等。

5、在毛毛虫身体上的7个小圆中分别填入1~7这7个数，使得三个大圆上的数字之和相等。

6、在3×3的方格内填入1~3这3个数字各3次，使得每行每列以及两条对角线上的3个数字之和都相等。

7、将1~6这6个数分别填入图中的6个○内，使得“大”字三笔上的各个数之和等于9.8、将1~6这6个数分别填入图中的6个○内，使得每个正方形四个顶点的数之和为13.9、将1~6这6个数分别填入图中的6个方格内，使得每横行3个数与竖行4个数之和相等。

这个和最大是多少？最小是多少？10、把1~7这7个数分别填入各个○内，使得每条直线上的3个○内所填的数之和都相等，如果中心○内填的数相等，那么就是为一种填法，请写出所有可能的填法。

拓展篇1、将1~9这9个数分别填入图中的○内，使得每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15，现在已经填好了其中的3个，请你在图中填出剩下的数。

2、在图中的8个内分别填入不同的自然数，使得正方形的每条边上的3个数的和相等。

现在已经填好了5个数，那么每条边上的各个数的和是多少？补充完整。

3、把1~12这12个数分别填入图中的○内，使得图中的3个三角形3条边上的6个数之和相等。

4、图由四个交叠的长方形组成的，在交点处有8个○，请把1~8这8个数分别填入这些○内，使得每个长方形的四个数之和都相等。

5、在方格内填入三个0，两个2，两个3，两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和是7。

6、请在图中的每个小圆圈填入1或2使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？7、图中的6个○内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面两个数最小是几？8、把1~8这8个数分别填入图中的8个○内，使得任意两个由线段直接相连的○内的数字之和都不等于1.9、图中的7个○填入7个连续自然数，使得没两个相邻○内所填数之和都等于它们连线上的已知数，问：标有“★”的○内填的数是多少？10、小悦是8月11日15点整出生的，她想把1~7这7个数填入图中7个□里，每个数只能填一次，使得三条线上的三个数之和恰好是8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？11、把1~6这6个数字填入图中的6个○内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？12、把1~11这11个数分别填入图中“六一”图形的11个空格，使得每一条直线上的两个或者三个数之和相等。

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第2讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某种情况下还需要考虑对称性。

典型问题兴趣篇1．在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数，使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。

答案：解析：在数阵图问题中，一般要从已知条件最多的部分人手分析，如图1所示，可发现左边的线上已知两个数，从这里人手就可以求出这条线上的第三个数，依次类推，可得图2中○内的数，进而得题目答案．2．请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数之和都等于15。

答案：解析：先看上面的圆圈，4个数的和是15，其中有两个数是5和7，所以剩下两个数的和是15-5-7=3．可填的数字是1、2、4，6，所以这两个数只能是1和2．同理，得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7，所以这两个数只能是1和6．因为两个圆圈共有1，所以必须把1填在中间，剩下4填在右边圆圈里，正好满足题意。

3．如图2-3所示，请在3个空白○内填入3个数，使得每条直线上3个数之和都相等。

答案：解析：为叙述方便，将空白圆圈标上字母，如图所示：比较图中两条粗直线，它们共有A.由于两条直线的和相同，所以除了A之外，剩下的数求和也得相同，即7+B=9+8=17，由此可得B=10．于是公共和为8+10+3=21．利用公共和即可填出整个数阵图．4．把1～8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内，使得各列上2个数之和都相等，各行4个数之和也相等。

答案：不唯一，例如：解析：1+2+3+4+5+6+7+8=36，由36÷4=9，得每列两个数之和是9，由36÷2=18，得每行四个数之和是18.先把9写成两个数的和，只能是1+8=2+7=3+6=4+5，这恰好是1～8．正好是(1、8)，(2、7)，(3、6)，(4、5)，共4组．把这4组数依次填入表中，如图1所示．但此时行和不等于18，则适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行和18了，如图2所示．5．如图2-5，在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1～7这7个数，使得3个大圆上的数之和相等。

答案：不唯一，例如：解析：因1+2+3+4+5+6+7=28，即所有数的和是28.又上下2个大粗圆的和正好等于所有数的和，则公共和一28÷2—14.将空白圆圈都标上字母，如图1所示．①若G=7，则E+F=C+D=A+B=7，把7分成两个数相加，只能是1+6=2+5=3+4=7；如图2所示，就是一种正确昀填法．②若G=6，则C+D=6，E+F=A+B=8，把8分成两个数相加，只能是1+7=3+5=8，所以C、D只能是2和4；如图3所示，就是一种正确的填法．③若G=5，则C+D=5，E+F=A+B=9，把9分成两个数相加，只能是2+7=3+6=9，所以C、D只能是1和4；如图4所示，就是一种正确的填法．④若G=4，则C+D=4 E+F=A+B=10，把10分成两个数相加，只能是3+7=4+6=10，但与G=4矛盾，舍去．⑤若G=3，则C+D=3, E+F=A+B=11，把11分成两个数相加，只能是4+7=5+6=11，所以C、D只能是1和2；如图5所示，就是一种正确的填法．6．在如图2-6所示的3×3方格表内填人1～3这3个数各3次，使得每行每列以及，两条对角线上的3个数之和都相等于9。

答案：答案不唯一，例如：解析：表格中3行9个数的总和是(1+2+3)×3=18，所以每行3个数字之和等于18÷3=6，即每行每列以及两条对角线上的3个数字之和都等于6．从1、2、3中选3个数，和等于6，只能是1+2+3=6或2+2+2=6．①先满足每行每列都有一个1、2、3，可以第一行填1、2、3，第二行填2、3、1，第三行填3、1、2．如图1所示．但其中一条对角线不合题意，这说明对角线不太好凑，所以还是先凑对角线．②对角线的和也是6，所以也只能是1+2+3=6或2+2+2=6这2种情形，通过尝试不难发现，两条对角线不可能都是1、2、3，因此只能是1、2、3与2、2、2，如图2所示，剩下4个数就很显然了，填出之后即可得答案．7．将1～6这6个数填人图2-7中的6个O内，使“大”字三笔上的各数之和都等。

答案：答案不唯一，例如解析：在计算3笔划上各数的总和时，中心圆算了3次，其他圆各算1次．因此3倍的公共和等于所有数的和加上中心圆的2倍．不妨设中心圆为A，则上述关系写成算式就是3×公共和一所有数的和+2×A。

又所有数的和为1+2+…+6=21，公共和=9，所以A=3．尝试一下就可以得到答案．8．把1～6这6个数分别填人图2-8中的6个O内，使得每个正方形4个顶点的数之和都等于13。

答案:答案不唯一，例如：解析：6个数的总和是1+2+3+4+5+6=21．由题意，左边正方形4个顶点的数之和是13，因此最右边2个数的和是21-13=8．同理，最左边2个数的和也是8，所以中间2个数的和是21-8-8=5．8要表示成1～6中两数之和只有2种办法：2+6和3+5.可以把2、6填在左边，3、5填在右边，剩下1和4的和恰好是5，填在中间即可如答案所示．也可根据公有关系，先求中间的2个数，同样能得到答案．9．把1～6这6个数分别填入图2-9中的6个方格内，使得横行3个数之和与竖列4个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？答案：最大13；最小11解析：如图1所示，图中有一个特别的位置，就是行与列交叉处的公共方格A，如果把行和与列和相加，这个方格会算到2次，而其他方格只算到1次，换句话说，就是2倍的公共和恰好等于所有数的和再加上A写成算式就是2×公共和一所有数的和+A所有数的和是固定的，因此要让横行、竖列的和最大或最小，A就应该尽量大或尽量小．所有数的和=1+2+3+4+5+6=21．①A最小填1，2倍的公共和是21+1=22，公共和是22÷2=11，具体填法如图2所示．②A最大填6，2倍的公共和是21+6=27，但27除以2不是整数，因此A 最大只能填5，公共和是26÷2=13，具体填法如图3所示，10.把1～7这7个数分别填入图2- 10中各○内，使每条直线上3个○内所填数之和都相等，如果中心○内填的数相等，那么就视为同一种填法。

请写出所有可能的填法。

答案：解析：在计算3条直线的总和时，中心圆算了3次，其他圆各算1次．因此3条直线的总和，恰好等于所有数的总和加上中心圆的2倍．设中心圆为A，则上述关系写成算式是：3×直线和=所有数的和+2×A.又所有数的和为1+2+…+7=28.①如果中心圆填1，则直线和的3倍等于28+1×2=30，每条直线的和为30÷3=10，尝试一下就可以填出，如答案图1所示．②如果中心圆填2，则直线帮的3倍等于28+2×2=32，此时求不出直线和，因此这种情况是不可能的．③依次验证中心圆填3、4、5、6、7的情况，可以知道当中心圆填3、5、6时求不出直线和，当中心圆填4、7时可以填出，如答案图2、图3所示．所以一共有3种填法，拓展篇1．将1～9这9个数分别填入图2 -11中的○内，使得图中所有三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15。

现在已经填好了其中3个，请你在图中填出剩下的数。

答案：解析：利用中心三角形，可先填出4．接着再借助其他三角形，依次填出每个圆圈内的数字，如图所示：2．在图2 -12中的8个○内分别填入8个不同的自然数，使得正方形每条边上3个数的和相等。

现在已经填好了5个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。

答案：21解析：如图所示，将三个空白○分别用字母A、B和C来表示．比较上面和右边的两个和，这两条边上3个数的和相等，而B是它们的公共部分，所以9+A=1+16=17，则A=8．此时最下面一行3个数都已知了，这3个数之和是7+6+8=21．即每条边的和都是21.因此，C为21-1-7=13，B为21-1-16=4．如答案所示．3．把1～12这12个数分别填入图2-13中的○内，使图中3个小三角形3条边上的6个数之和相等。

答案：答案不唯一，例如：解析：在对每个小三角形求和的时候，都是一条边一条边地加的，而每条边上都有2个圆，这样一来这2个圆就总是同时被计算到．于是把位于同一边的2个圆配成对，把这12个圆配成6对，如图1所示．想要3个小三角形的和相同，只要这6对圆的和相同即可．方法一：可以利用等差数列的特点进行首尾搭配．如图2所示：方法二：因1+2+…+12=(1+12)×12÷2=78，要等分成6组，则每组的和是78÷6=13.把13分成两个数相加，自然是：1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7=13.按上述分组配对的方法，将1～12这12个数一对对地填入图中即可得到答案。

4．图2-14是由4个交叠的长方形组成的，在交点处有8个○。

请把1～8这8个数分别填入这些○内，使得每个长方形上的4个数之和都相等。

答案：答案不唯一例如：解析：把图1所示的2个粗线长方形相加，正好就是这8个圆的总和，所以公共和的2倍就是1+2+3+…+8=36，那么公共和就等于18.图1中每个长方形求和时都是把4个圆相加，在加的时候有一些圆总是同时被计算到．比如图2中两个粗线圆，它们既属于上面的长方形，也属于左侧的长方形，在计算这2个长方形的时候，它们都被计算到了．再利用图形的对称性，不难看出其他圆也都有类似约特点．由此可见，本题的8个圆圈其实都是成双成对的。

根据它们在求和对，总是被同时计算到，将其分为4组，如图3所示，只要这4组圆的和都相同，那么每个长方形的和也就都相同了．根据等差数列的规律，将1～8前后搭配即可配成和为9的4组，如图4所示：依照上述配对方法将1～8配对填入，即得答案．5．在图2 - 15中的方格内填入三个○，两个2，两个3，两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内的数之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数之和郝是7。

答案：答案不唯一，例如：解析：第一种情形：O在上，2在下，如答案图1所示，此时第二行一定填3和4，第三行自然就是3和2．第二种情形：2在上，0在下，如答案图2所示．此时第二行还缺5，一定填2和3，而第三行自然就填4和3．6．请在图2 - 16的每个小○内填人1或2，使得每个大圆圈上4个数之和两两不同。

那么所填数的总和是多少？答案：9解析：如图l，先看位于下方的左右2个大圆，它们共用了2小圆（图中粗线所示）．由于是公共的小圆，所以它们怎么填对这2个大圆来说都一样，因此，想要大圆互不相同就得看剩下的4个小圆，这4个小圆中2个属于左侧大圆，2个属于右侧的大圆，只要前1对小圆的和不等于后1对小圆的和，那么2个大圆的和就互不相同了，由图1不难发现，原来小圆是分组配对的，而且每组恰有2个．因此，要想3个大圆的和两两不同，只需要3组小圆的和两两不同即可．由于只能填1或2，所以这三对圆的和只能是2=1+1,3=1+2,4=2+2．如图2所示，就是一种正确填法．当然还可以有其它填法。