第2讲 数阵图初步-完整版

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第2讲数阵图初步

内容概述

各种较为基本的数阵图问题,了解重数的概念,并以此进行分析;学会分析特殊位置上的数值;某种情况下还需要考虑对称性。

典型问题

兴趣篇

1.在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数,使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。

答案:

解析:在数阵图问题中,一般要从已知条件最多的部分人手分析,如图1所示,可发现左边的线上已知两个数,从这里人手就可以求出这条线上的第三个数,依次类推,可得图2中○内的数,进而得题目答案.

2.请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内,使得每个圆圈里4个数之和都等于15。

答案:

解析:先看上面的圆圈,4个数的和是15,其中有两个数是5和7,所以剩下两个数的和是15-5-7=3.可填的数字是1、2、4,6,所以这两个数只能是1和2.

同理,得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7,所以这两个数只能是1和6.因为两个圆圈共有1,所以必须把1填在中间,剩下4填在右边圆圈里,正好满足题意。

3.如图2-3所示,请在3个空白○内填入3个数,使得每条直线上3个数之和都相等。

答案:

解析:为叙述方便,将空白圆圈标上字母,如图所示:比较图中两条粗直线,它们共有A.由于两条直线的和相同,所以除了A之外,剩下的数求和也得相同,即7+B=9+8=17,由此可得B=10.于是公共和为8+10+3=21.利用公共和即可填出整个数阵图.

4.把1~8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内,使得各列上2个数之和都相等,各行4个数之和也相等。

答案:不唯一,例如:

解析:1+2+3+4+5+6+7+8=36,由36÷4=9,得每列两个数之和是9,由36÷2=18,得每行四个数之和是18.先把9写成两个数的和,只能是1+8=2+7=3+6=4+5,这恰好是1~8.正好是(1、8),(2、7),(3、6),(4、5),共4组.把这4组数依次填入表中,如图1所示.

但此时行和不等于18,则适当调整一下上下两个数的顺序,就可以凑出行和18了,如图2所示.

5.如图2-5,在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1~7这7个数,使得3个大圆上的数之和相等。

答案:不唯一,例如:

解析:因1+2+3+4+5+6+7=28,即所有数的和是28.又上下2个大粗圆的和正好等于所有数的和,则公共和一28÷2—14.将空白圆圈都标上字母,如图1所示.

①若G=7,则E+F=C+D=A+B=7,把7分成两个数相加,只能是

1+6=2+5=3+4=7;

如图2所示,就是一种正确昀填法.

②若G=6,则C+D=6,E+F=A+B=8,把8分成两个数相加,只能是1+7=3+5=8,所以C、D只能是2和4;如图3所示,就是一种正确的填法.

③若G=5,则C+D=5,E+F=A+B=9,把9分成两个数相加,只能是2+7=3+6=9,所以C、D只能是1和4;如图4所示,就是一种正确的填法.

④若G=4,则C+D=4 E+F=A+B=10,把10分成两个数相加,只能是3+7=4+6=10,但与G=4矛盾,舍去.

⑤若G=3,则C+D=3, E+F=A+B=11,把11分成两个数相加,只能是4+7=5+6=11,所以C、D只能是1和2;如图5所示,就是一种正确的填法.

6.在如图2-6所示的3×3方格表内填人1~3这3个数各3次,使得每行每列以及,两条对角线上的3个数之和都相等于9。

答案:答案不唯一,例如:

解析:表格中3行9个数的总和是(1+2+3)×3=18,所以每行3个数字之和等于18÷3=6,即每行每列以及两条对角线上的3个数字之和都等于6.从

1、2、3中选3个数,和等于6,只能是1+2+3=6或2+2+2=6.

①先满足每行每列都有一个1、2、3,可以第一行填1、2、3,第二行填2、

3、1,第三行填3、1、2.如图1所示.但其中一条对角线不合题意,这说明对

角线不太好凑,所以还是先凑对角线.

②对角线的和也是6,所以也只能是1+2+3=6或2+2+2=6这2种情形,通过尝试不难发现,两条对角线不可能都是1、2、3,因此只能是1、2、3与2、2、2,如图2所示,剩下4个数就很显然了,填出之后即可得答案.

7.将1~6这6个数填人图2-7中的6个O内,使“大”字三笔上的各数之和都等。

答案:答案不唯一,例如

解析:在计算3笔划上各数的总和时,中心圆算了3次,其他圆各算1次.因此3倍的公共和等于所有数的和加上中心圆的2倍.不妨设中心圆为A,则上

述关系写成算式就是3×公共和一所有数的和+2×A。又所有数的和为1+2+…+6=21,公共和=9,所以A=3.尝试一下就可以得到答案.

8.把1~6这6个数分别填人图2-8中的6个O内,使得每个正方形4个顶点的数之和都等于13。

答案:答案不唯一,例如:

解析:6个数的总和是1+2+3+4+5+6=21.由题意,左边正方形4个顶点的数之和是13,因此最右边2个数的和是21-13=8.

同理,最左边2个数的和也是8,所以中间2个数的和是21-8-8=5.8要表示成1~6中两数之和只有2种办法:2+6和3+5.

可以把2、6填在左边,3、5填在右边,剩下1和4的和恰好是5,填在中间即可如答案所示.也可根据公有关系,先求中间的2个数,同样能得到答案.

9.把1~6这6个数分别填入图2-9中的6个方格内,使得横行3个数之和与竖列4个数之和相等.这个和最大是多少?最小是多少?

答案:最大13;最小11

解析:如图1所示,图中有一个特别的位置,就是行与列交叉处的公共方格A,如果把行和与列和相加,这个方格会算到2次,而其他方格只算到1次,换句话说,就是2倍的公共和恰好等于所有数的和再加上A写成算式就是2×公共和一所有数的和+A

所有数的和是固定的,因此要让横行、竖列的和最大或最小,A就应该尽量大或尽量小.

所有数的和=1+2+3+4+5+6=21.

①A最小填1,2倍的公共和是21+1=22,公共和是22÷2=11,具体填法如图2所示.

②A最大填6,2倍的公共和是21+6=27,但27除以2不是整数,因此A 最大只能填5,公共和是26÷2=13,具体填法如图3所示,

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