三角形拓展(一)(学而思培优)

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三角形培优精选推荐(一)2024

三角形培优精选推荐（一）引言概述:本文旨在为读者推荐一系列优秀的三角形培优课程。

三角形作为高中数学中重要的基础概念之一，对于学习高等数学以及应用数学领域具有重要的影响。

因此，在选择合适的三角形培优课程时，我们特意挑选了一些精选推荐，以帮助读者更加系统地掌握三角形的相关知识和技能。

以下将分为五个大点来详细介绍这些课程的特点与优势。

正文内容:1. 三角形基础知识的系统学习- 角度和边长的定义与计算- 三角形的分类与特性- 三角形中的角度关系- 三角形的周长与面积的计算公式- 基础解析几何中的三角形问题2. 三角形相关性质的深入研究- 三角形的内部与外部角- 三角形的中位线、高线、中心和外心- 海伦公式与正弦定理、余弦定理的应用- 各类特殊三角形的性质及其证明- 解析几何中的三角形性质与问题3. 三角函数与三角形应用- 三角函数的定义与基本关系- 三角函数的图像与性质- 三角函数的基本运算法则- 三角函数的应用于三角形的边长、角度关系- 三角函数在解析几何中的应用问题4. 三角恒等变换- 基本三角恒等变换的推导与证明- 三角等式的化简与应用- 三角方程的解法与应用- 三角恒等变换在几何证明中的运用- 三角函数图像的平移和伸缩5. 三角形的扩展应用- 三角恒等变换在解析几何中的应用- 三角函数在三角测量中的实际应用- 三角形与向量、复数的关系与应用- 三角函数与微积分的关系与应用- 三角函数与物理学问题的联系与应用总结：通过上述五个大点的详细阐述，我们介绍了一系列优秀的三角形培优课程。

这些课程不仅系统地介绍了三角形的基础知识与相关性质，还深入探讨了三角函数与三角形应用、三角恒等变换以及三角形的扩展应用。

通过学习这些课程，读者将能够更加全面地理解和应用三角形的概念和原理，为未来的数学学习和应用打下坚实的基础。

初中几何学霸内部秘籍系列1(学而思培优竞赛)

初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优竞赛）模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。

结论：PB=PA。

模型证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,∴PB=PA。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____；（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC。

解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等，∴AP 平分∠BAC模型练习1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

证明：如图延长BA，过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

角平分线模型模型 2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的角平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。

结论：△OPB≌△OPA。

模型证明：∵O P 是∠MON 的角平分线∴∠AOP=∠BOP，OP=OP又OA=AB∴△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

三角形培优训练100题集锦.docx

三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 .2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .AEFB D C3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠ BAE.AB D E C4 、以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 ,连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（ 1）如图①当ABC为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（ 2）将图①中的等腰Rt ABD 绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．5、如图，ABC 中，AB=2AC，AD平分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥AC.ACBD6、如图， AD∥ BC， EA,EB分别平分∠ DAB,∠ CBA， CD 过点 E，求证 ;AB＝ AD+BC。

第三节三角形的边和角-学而思培优

第三节三角形的边和角-学而思培优
三角形是平面几何中的基本概念之一，它由三条线段组成，其中包括三个顶点和三条边。

在研究三角形时，我们常常需要了解它的边长和角度。

1. 三角形的边
三角形的三条边可以根据长度的不同进行分类。

从长度上看，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 等边三角形：三条边的长度相等。

- 等腰三角形：两条边的长度相等。

- 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2. 三角形的角
三角形的三个角可以根据大小的不同进行分类。

从角度上看，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

- 直角三角形：其中一个角为直角，即90°。

- 锐角三角形：三个角都小于90°。

- 钝角三角形：其中一个角大于90°。

3. 三角形的边和角关系
除了边长和角度之间的分类，三角形的边和角还有一些特殊的关系。

- 三角形的外角和内角之和等于180°。

- 等边三角形的三个角都是60°。

- 等腰三角形的两个底角相等，顶角小于两个底角。

- 直角三角形中，直角边的边长和斜边的边长之间有特殊的关系，即勾股定理。

以上是关于三角形的边和角的一些基本概念和关系。

通过对这些概念和关系的研究，我们可以更好地理解和应用三角形的性质。

参考资料：
- 学而思培优课程资料
- 《小学数学》教材。

学而思全等三角形培优

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．OF E DCBAFEDCBADCB A F E O DC B A OD C BA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEFF DC BA【例12】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】（1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB A【例14】如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEAM EDC B A【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBA MFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．【习题1】已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.家庭作业B AAMNB CD【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【备选2】如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.月测备选ABCDEOC D B AFE DCBAG第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．【例2】已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．BB C F ED C B A【例4】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．BCF ED CB ABFGE DC B AFE A B D C【例9】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．【例11】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)GEDCBAF EDCBAN MD C B A【例10】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．家庭作业图 6G E F D B C A F ED CB AD FE C B AA【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．ADOCBA B CD E OPDBOCA【例8】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． CD B PA【例11】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例14】如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥CB于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．家庭作业DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲全等三角形与旋转问题【例1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．（2）求证：CD=CEA CACB(3) 求证：CF 平分∠MCN（4）求证：DE ∥AB【例2】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．G FEDCBAACBA CB【例3】如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥．求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAC HFE D B A【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ; FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FEDCB A【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC与EB 的位置关系，并写出推理过程．【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选A B C D E【备选2】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲轴对称和等腰三角形【例1】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．APMCQB【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=o ，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=o ，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．E D C B A E D C B AO DC B AA BCD E【例5】如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．【例6】如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M ND 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBAE D C BAA BCDMNPl【例9】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．PBANMCBAMBOAlBA【例11】如图，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．【补充】例题中的条件不变，求DN MN-的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且2DM=，N是AC上的一个动点，则DN MN+的最小值是MDCBA【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．【习题4】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼家庭作业NMDCBA【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DOECB A NE BMADFEDCBA【例5】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDENMDCBA板块二、全等与角度【例10】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【习题1】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．21EABCDMNNM DCBA家庭作业CEDB AD CB A DECBA【备选1】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NC D E B M A。

第二节与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角-学而思培优第二节与三角形有关的角本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。

同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。

1.三角形内角和定理及其应用三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。

这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。

2.三角形的外角三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。

它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

此外，三角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。

这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。

3.几何模型在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。

例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。

4.思想方法在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。

基础演练1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。

2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。

3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角形的顶角为100度。

4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。

2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。

3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角分是锐角三角形。

5.已知如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30度，则∠C的度数为150度。

6.已知如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于XXX60度，在B处测得灯塔C位于XXX25度，则∠ACB=95度。

7.已知如图11-2-5所示，∠XXX∠E+∠F，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为360度。

初一数学下册(北师版) 05三角形拓展(一)-知识点总结

1
三角形拓展（一）
【例1】如图，8处在4处的南偏西57°的方向，。

处在4
处的南偏东15°方向，。

处在8处的北偏东82°方向，求 Z C 的度数。

【例2】已知，如图，。

是48上一点，E 是4C 上一点，
8E 、CD 相交于点F ,，4=62°，ZACD=35°。

ZA8E= 20°。

⑴匕8DC 的度数；
⑵匕8JD 的度数。

【例3】如图，已知W aD 中，4D 是小云。

外角AEAC 的平分
线，且交8C 的延长线于 D ，你能比较匕4C8与 Z 8的大小吗？说出你的理由。

【例4】如图，AA8C 的一条外角平分线是CE ，万是CA 延长
线上一点，FG 〃 EC 交A8于点G ，已知Z DCE =50 °， Z A8C = 40°，求ZFGA 的度数。

【例5】如图，在△ABC中, D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：
【例6】如图，^ABC是等边三角形ZCBF : ZACD : ZBAE
=1 ： 2 ：2, Z DEF-Z DFE=38°，求出^DEF的
每个
ZBEOZBACo
内角度数。

【例7】⑴如图，则N A+N B+/C+/D +Z E=
3
⑵如图，则AA + AB+ZC+ZD +AE+AF=
【例8】⑴如图，求AA+AB+AC+AD + AE + AF=
角的和。

⑵如图，求AA+AB+AC+AD =。

第二节解直角三角形及应用-学而思培优

第二节解直角三角形及应用一、课标导靛二、核心纲要1.直角三角形的性质（如下表所示）如下右图所示，在Rt△ABC 中，C B A C ∠∠∠=∠、、,90 的对边分别为a ，b ，c ，斜边中线长为d ．2．解直角三角形(1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． (2)解直角三角形的基本类型（如下表所示）．3．几种常见的兰角形（如下表所示）4．相关概念(1)仰角和俯角都是视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角，如下左图所示．(2)如下中图所示，坡面的铅直高度h 和水平宽度L 的比叫做坡度（坡比）．用字母i 表示，即⋅=lhi 坡度一般写成1：m 的形式，如5:1=i 等，把坡面与水平面的夹角，记作α（叫做坡角），那么lhi =.tan α= (3)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角．如下右图所示，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东,30 南偏东 45（东南方向），南偏西,60 北偏西45（西北方向）．本节重点讲解：一个性质，四个图形，五个概念．三、全能突破基础演练1．在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m ，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )m ．αcos 5.A αcos 5.B αsin 5.C αsin 5.D2．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图28-2-1所示，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为,30同一时刻，一根长为1m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2m ，则树的高度为( )m.36.+A 12.B 324.-C 10.D3．图28-2-2所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD OE m CD E AB CD ⊥=-,24,//￠于点E ．已测得⋅=∠1312sin DOE 根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过小时才能将水排干．4．如图28-2-3所示，在△ABC 中，,32,45,30==∠=∠AC B A o 求△ABC 的面积．5．小红在学习教科书上相关内容后自制了一个测角仪(如图28-2-4(a)所示），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD 的高度(如图28-2-4(b)所示）．她先在A 处测得楼顶C 的仰角,30=α再向楼的方向直10 米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角,60o=β若小红的目高(眼睛到地面的高度)AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：).24.25,73.13,41.12≈≈≈6．图28-2-5是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由045改为030．已知原传送带AB 长为4m.(1)求新传送带AC 的长度．(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2m 的通道，试判断距离B 点4m 的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由（计算结果精确到0.1m ，参考数据：，45.2624.2573.1.341.12≈≈≈≈，，，）7．如图28-2-6所示，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A 、B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为,60然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500 米，在点D 测得端点B 的俯角为,45求岛屿两端A 、B 的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈3).41.12,73.1≈8．如图28-2-7所示，一艘货轮在A 处发现其北偏东45方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60方向的C 处．(1)求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离．(2)若货轮以45海里／时的速度从A 处向正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里／时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）?能力提升9．一副直角三角板按图28-2-8所示放置，点C 在FD 的延长线上，=∠=∠=∠E ACB F CF AB o ,90,//,212,45,30==∠AC A 则CD 的长为10.学校校园内有一小山坡，如图28-2-9所示，经测量，坡角,30 =∠ABC 斜坡AB 长为12m ．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1:3（即为CD 与BC 的长度之比），A 、D 两点处于同一铅垂线上，则开挖后小山坡下降的高度AD 为 m ．11.如图28-2-10所示，△ABC 内接于⊙0，,m BC =锐角,α=∠A 则⊙0的半径为，△ABC 的面积的最大值为12.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且,2=AC 设,tan m BOC =∠则m 的取值范围是13.如图28-2-11所示，四边形ABCD 中，,30,45,60,90,2o CAD ACB B BCD CD =∠=∠=∠=∠=求AB 的长．14.如图28-2-12所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点ABD CDB DAB E ∠=∠=∠,90,.6,30,45==∠=AB DCA 求AE 的长和△ADE 的面积．15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28-2-13所示，把一张长方形卡片AB-CD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知,36 =∠α求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题(结果精确到1mm).16.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图28 -2 -14所示，观测点设在A 处，离益阳大道的距离AC 为30m.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为.75,8 =∠BAC s (1)求B 、C 两点的距离．(2)请判断此车是否超过了益阳大道60km/h 的限制速度？（计算时距离精确到1m ，参考数据：,732.13,732.375tan ,2588.075cos ,9659.075sin ≈≈≈≈)/7.16/60s m h km ≈17.如图28 -2 -15所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500m ，高10m ，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m ，加固后背水坡EF 的坡比.3:1=i (1)求加固后坝底增加的宽度AF ．(2)求完成这项工程需要土石多少立方米（结果保留根号）?18．如图28 -2 -16所示，在△ABC 中，P AC BC ,2,3==为BC 边上一个动点，过点P 作PD∥AB，交AC 于点D ，连接BD ．(1)若,45oC =∠请直接写出：当=PCBP时，△BDP 的面积最大． (2)若α=∠C 为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时，△BDP 的面积最大？中考链接19.（2012．杭州）如图28-2 -17所示，在Rt△ABO 中，斜边.1=AB 若,36,// =∠AOC BA OC 则( )．A.点B 到AO 的距离为o54sin B ．点B 到AO 的距离为36tan C ．点A 到OC 的距离为54sin 36sin D ．点A 到OC 的距离为54sin 36cos o20.（2012．张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图28-2-18(a)所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图28-2-18(b)所示，其中,23,15,90km CD km BC AB D B ====∠=∠ 请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据).45.2673.13414.12≈≈≈，， (2)求∠ACD 的余弦值．巅峰突破21．如图28-2-19所示，在△ABC 中，C C A ∠=∠=∠,80,60的平分线与∠A 的外角平分线交于点D ，连接BD ，则BDC ∠tan 的值是( )．1.A 21.B 3.C 33.D22.如图28-2-20所示，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，,120,21=∠=ADB DC BD ,2=AD 若△ADC 的面积为,33-则=∠BAC。

经典学而思全等三角形全套

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如下图：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAOF E DCBA【补充】，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE += EDCBA【例10】如下图，AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． GA BC DEF【例12】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如下图：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】〔1〕如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作形ABDE 和形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.〔2〕园林小路，曲径通幽，如下图，小路由白色的形理石和黑色的三角形理石铺成.中间的所有形的面积之和是a 平方米，圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB A【例14】如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB MEDC BA于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例15】ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】如图，I 是ABC △的心，且CA AI BC +=．假设80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴如左以下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵如右以下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，D M EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBA MFED CB A18.补充：如图，60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．【习题1】：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．家庭作业BAAM NBCDFEDC B A【习题2】：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，假设2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】如下图：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【备选2】如下图，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：月测备选A BCDE OAAB BD CD +=．【备选3】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . 〔1〕求证：BG ＝CF .〔2〕请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.FE DCBAG第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，那么BC 边上的中线AD 的长的取值围是什么？【补充】：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．【例2】：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点BB CF ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】如下图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB AB''=，AC A C ''=，F E D C BA B C FED CBAAD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，假设BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F G E D C B AF E A B D CF EDCBA【例10】 △ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例11】如下图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的容，选做)NMDCBA【例10】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．假设3AD =，4BE =，那么线段DE 的长度为_________．【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】如右以下图，在ABC ∆中，假设2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A【备选1】如图，AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A求证：∠E =∠F【备选2】如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．D CBA【例2】 ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例3】如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDCA【例4】如图，ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，A B C D EF求ABC ∆的面积．【补充】如下图：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】如图，E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】如下图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCADOCBA B CD E O【例8】如下图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【例10】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，那么ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，那么EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例11】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【稳固】等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，那么BD AD BC +=．【例13】如下图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．D CBA【例14】如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．CBHG D AB C E【例15】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．家庭作业DECFBA【习题4】如下图，AD平行于BC，DA E=EA B∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如下图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲全等三角形与旋转问题【例1】：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．〔1〕求证：AN BM =．A〔2〕求证：CD=CE(3) 求证：CF 平分∠M〔4〕求证：DE ∥AB【例2】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．ACAC BA CG FE DCBA【例3】如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】如图，D 是等边ABC ∆的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由．PDC BA【例5】如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，形OGHK 绕形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004)如图，点E 是形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥．求证：DE BF =．FED CBA【补充】如下图，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，假设四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【稳固】如图，形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？假设存在，求出此时x 的值及S ．假设不存在，请说明理由．FEDC BA【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A【习题1】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．EDCBA【习题2】 (省黄冈市2021年初中毕业生升学考试)：如图，点E 是形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．家庭作业CD【习题4】：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【备选2】如图，形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲轴对称和等腰三角形【例1】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，假设150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】如图，点O 是等边AO AD =一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，那么COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．【例5】如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；假设不存在，请说明理由．【例8】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比拟合理？aBA【例9】如图，45AOB ∠=︒，角有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．ABCD MNPl【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】如图，点M 在锐角AOB ∠的部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例11】如图，形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．M BO A lBA N M D A【补充】例题中的条件不变，求DNMN-的最小值与最大值．【补充】如图，形ABCD的边长为8，M在DC上，且2DM=，N是AC上的一个动点，那么DN MN+的最小值是MDCBA【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，那么第三边长为．【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两局部，那么这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【习题3】等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值围．【习题4】(2004XX)在以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【习题5】判断以下图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼月测备选家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ．100︒或140︒D ．80︒或140︒【备选2】等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两局部，求腰长和底长．【备选3】 (省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】在形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDC B AE‘E PDCB A第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短- -可修编.【例1】 ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，那么AB 的长为()A . aB . kC .2k h+D . h MDCBA【例4】：如图，ABCD 是形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DFEDCBA- -可修编.【例5】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (市数学竞赛试题，XX 市数学竞赛试题)如下图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =°，求证：AD 平分∠CDEN MDCB ACEDBA- -可修编.板块二、全等与角度【例10】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】在正ABC ∆取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.D CBAD E CBA。

经典学而思全等三角形全套教学内容

第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．OF E DCBAFEDCBADCB A F E O DC B A OD C BA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEFF DC BA【例12】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】（1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB A【例14】如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEAM EDC B A【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBA MFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．【习题1】已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长. 家庭作业B AAMNB CD【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【备选2】如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.月测备选ABCDEOC D B AFE DCBAG第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．【例2】已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．BB C F ED C B A【例4】如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例6】如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．BCF ED CB ABFGE DC B AA【例9】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．【例11】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做) GEDCBAF EDCBAN MD C B A【例10】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．家庭作业图 6G E F D B C A F ED CB AD FE C B AA【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =． ADOCBA B CD E OPDBOCA【例8】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． CD B PA【例11】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例14】如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥CB于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．家庭作业DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲全等三角形与旋转问题【例1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．（2）求证：CD=CEA C(3) 求证：CF 平分∠MCN（4）求证：DE ∥AB【例2】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．G FEDCBAACBA CB【例3】如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥．求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAC HFE D B A【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ; FED CBA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FEDCB A【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．家庭作业EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC与EB 的位置关系，并写出推理过程．【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选A B C D E【备选2】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【备选3】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲轴对称和等腰三角形【例1】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．APMCQB【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=o ，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=o ，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．E D C B A E D C B AO DC B AA【例5】如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．【例6】如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M ND 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBAE D C BAA BCDMNPl【例9】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．PBANMCBAMBOAlBA【例11】如图，正方形ABCD中，8AB=，M是DC上的一点，且2DM=，N是AC上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．【补充】例题中的条件不变，求DN MN-的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且2DM=，N是AC上的一个动点，则DN MN+的最小值是MDCBA【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．【习题4】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼家庭作业NMDCBA【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .DOECB A NE BMADDA【例5】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDENMDCBA精品文档精品文档板块二、全等与角度【例10】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】【例12】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.C E DB A D CB A D EC B A。

第一节与三角形有关的线段-学而思培优

第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。

文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。

最后，文章提供了基础演练题目。

1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。

2.三角形的分类：按边分类。

3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。

4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。

2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。

3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。

2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。

3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。

6.三角形具有稳定性。

7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。

2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。

8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。

9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。

基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。

求估计池塘岸边A、B两点的距离。

已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。

3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。

4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。

第十一章三角形综合测试题-学而思培优

三角形综合测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )．cm cm cm A 4,6,8. cm cm cm B 4,2,1. cm cm cm c 6,5,12. cm cm cm D 6,3,2.2．已知△ABC 的一个内角是,,40B A ∠=∠那么C ∠的外角的大小是( )． 140.A 80.B 或 100 80.C 或 140 100.D 或 1403．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形4．下列命题中，结论正确的是( )．①外角和大于内角和的多边形只有三角形，②一个三角形的内角中，至少有一个不小于.60③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变． ①②③④.A ①②④.B ①③④.C ①④.D5．如下图所示，4321∠∠∠∠、、、恒满足关系式是( )．3241.∠-∠=∠+∠A 3421.∠-∠=∠+∠B3241.∠+∠=∠+∠C 4321.∠+∠=∠+∠D6．小聪从点P 出发向前走20m ，接着向左转,30 然后他继续再向前走20m ，又向左转,30他以同样的方法继续走下去，当他走回点P 时共走的路程是( )A ．120米B ．200米C ．240米D ．300米7．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种8．如右图所示，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是( )．360.A 540.B 720.C o D 630.9．在△ABC 中，若,AC AB =其周长为12，则AB 的取值范围是( )．6.>AB A 3.<AB B 63.<<AB C 74.<<AB D10.如右图所示，一块均匀长草的凸四边形ABCD 草地上，恰好可放养90只兔子，COD AOD COD S S S ∆∆∆=,2:1: 4,2==∆COB S 则△AOB 内可放养( )只兔子．10.A 20.B 30.C 40.D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.如果一个三角形两边为2cm ，7cm ，且三角形的第三边为偶数，则三角形的周长是 12.已知等腰三角形的两边长是6cm 和10cm ，则它的周长为13.要使五边形木架不变形，则至少要钉上根木条．14.若一个多边形的每一个外角都等于,60 则这个多边形共有条对角线．15.将一副直角三角板如下左图所示放置，使含 30角的三角板的一条直角边和含 45角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为16．如下中图所示，在△ABC 中，BP ，CP 分别平分,ACB ABC ∠∠和且,110 =∠P 则=∠A17.已知：如下右图所示，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于AC CD E ⊥,交AB 于,,A BCD D ∠=∠则 BEA ∠的度数为18．如下左图所示图形，则G F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为19.如下中图所示，设,α=∠CGE 则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A20.如下右图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中21∠+∠6543∠+∠+∠+∠+的度数和为三、解答题（第21—23题每题6分，第24～27题每题8分）21.某中学要在一块三角形花圃里种植两种不同的花草，同时拟从A 点修建一条小路到边BC.(1)若要使修建小路所用的材料最少，请在图(a)上画出小路AD;(2)若要使小路两侧种不同的花草面积相等，请在图(b)上画出小路AE ，其中E 点满足的条件是，并说明理由．22. -个多边形的每个外角都相等，如果它的外角与相邻内角的度数之比为1:3，求这个多边形的边数．23.已知：如右图所示，在△ABC 中，D AC AB ,=是AB 边上一点．(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，写出2AB 与)(DB CD +的大小关系．(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．24. 一个零件的形状如右图所示，按规定A ∠应等于C B ∠∠、,90 应分别是,2030o和李叔叔量得,142 =∠BDC 就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？试用三角形有关知识说明理由．25.如下图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪（图中阴影部分）．(1)图(a)所示中草坪的面积为，(2)图(b)所示中草坪的面积为，(3)图(c)所示中草坪的面积为，(4)如果多边形的边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为26．如图(a)所示，在么A 内部有一点P ，连接BP 、CP ，请回答下列问题：(1)求证：.21∠+∠+∠=∠A P(2)如图(b)所示，利用上面的结论，你能写出五角星五个“角”的和吗？(3)如图(c)所示，如果在么BAC 间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想写、、21∠∠A ∠∠∠∠、、、543之间有什么等量关系．27.如下图所示，△AOB 是含 45角的直角三角尺，即,OB OA =且.2=∆AOB s(1)求A 、B 两点的坐标．(2)若M 是AB 的中点，C 是x 轴负半轴上的一点，问：是否存在点C ，使得?AOB ACM s s ∆∆=若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，设P 是OC 上的动点，过点P 作AB PD ⊥于点D ，交y 轴于点Q ，当点P 在OC 上运动时，下列两个结论：①OAB PQB ∠+∠的值不变；②BDQ pOQ S S ∆∆+的值不变，只有一个正确，请判断出正确结论并求其值．。

学而思八年级数学之三角形全等(一)深化三角形全等工具性思想

M
N
A
CB
D
2
缺个边的条件
4．等量差
E
AB
CD F
缺个边的条件
5．角平分线的性质
A
E F
B
DC
【例2】如图， △ABC与△ADE均为等腰直角三角形， ∠BAC＝∠EAD＝90°，求证： △BAE≌△CAD。
【例3】已知：如图，ABCD是正方形。G是BC 上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F。求证：△ABF≌△DAE 。
3
【例4】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D
是AB上一点，E是AC延长线上一点，且DB＝EC ，连结DE，交BC于F点。求证：DF＝EF
【例5】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点， ⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、 C 的距离的关系(不要求证明)
【例1】如图，点B、E、C、F在一条直线上， BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D。
求证：AC=DF。

1
缺个角的条件 1．公共角 2．对顶角 3．平行线 4．度数相等 5．同角或等角的补角(余角) 6．等角加(减)等角
缺个边的条件 1．公共边
A
D
O
B
C
缺个边的条件 2．中点
C
D
A
M
B
缺个边的条件 3．等量和
B
O
N
A
MC
【例5】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点， ⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM。试
B 判断△OMN的形状，并证明你的结论。
O
N

八年级数学寒假专题——三角形拓展(一)北京实验版知识精讲

初二数学寒假专题——三角形拓展（一）实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——三角形拓展（一）【典型例题】例1. 已知，如图1，D是△ABC形内一点，求证：AB＋AC>DB＋DC分析：此题是证明线段不等的问题，证题时需要利用三角形的三边关系，把AB、AC放在公式大量一边，把BD、DC放在公式小量一边，但由现有图形中的三角形很难做到这一点，因此必须设法构造新的三角形。

证明1：如图1－1，延长BD交AC于E在△ABE中，AB＋AE>BE，即AB＋AE>BD＋DE同理DE＋CE>DC两式相加得AB＋AE＋CE＋DE>BD＋DC＋DE所以AB＋AE＋CE>BD＋DC即AB＋AC>DB＋DC证明2：如图1－2，过D任作直线交AB于E，交AC于F在△AEF中，AE＋AF>EF＝DE＋DF同理BE＋DE>DB，CF＋DF>DC三式相加，得AE＋BE＋AF＋CF＋DE＋DF>DB＋DC＋DE＋DF∴AE＋BE＋AF＋CF>DB＋DC即AB ＋AC>DB ＋DC注：制造三角形，利用三角形三边关系定理和推论证明线段和差不等时应注意，除了保证求证中的所有大量（或与大量有关的量）出现在所得不等式的大量一边，使所有小量（或与小量有关的量）出现在所得不等式的小量一边外，若在一个所得不等式中的大量一边有一个求证中没有的线段，则一定还要保证这线段在另外所得的不等式中出现在小量一边，以便最后各不等式相加时，能消去这条线段，上例中，若连结AD ，不能证明本题结论，试一试，为什么？例2. 已知，如图，△ABC 中，∠=BAC 90 ，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点，求证：∠>∠CED B分析：此题是证明两个角不等的题目，故想利用“三种形的外角大于与它不相邻的内角”去证，从图形上不难发现∠CED 是△AEC 的外角，所以∠>∠CED 1，∠>∠CED ACE ，如果∠1或∠ACE 与∠B 有联系，那么问题便迎刃而解，注意条件，∠=⊥BAC AD BC 90，是双垂直图形，故∠1＝∠B 证明：∠=⊥BAC AD BC 90，∴∠+∠=∠+∠=B ACB ACB 90190 ，∴∠=∠B 1在△ACE 中∠>∠∴∠>∠CED CED B 1，注：通过上例，同学们可从中体会双垂直图形在解题过程中的应用，此题证明过程中寻找中间角“∠1”的思想，是几何中重要的解题思路之一，另外，当证明角的不等关系时，我们要想到“三角形外角性质”。

三角形中的模型

E D
五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一）
李海君
3. 在 △ ABC 中，D 在 AB 的延长线上，E 在 AC 的延长线上
A
B
C
S△ ABC : S△ ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
记忆技巧：D,E 两点都在三角形外 4. 在 △ ABC 中，D、E 在三角形外，不一定在延长线上，但两个外角都是 90 度
五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一）
李海君
（3）连比：甲：乙＝3:4，乙：丙＝5:2，
那么甲：丙＝？
因为两个比中都有乙，所以我们把乙当做桥，利用比得性质：甲：乙＝3:4＝3×5:4×5，乙：丙＝5:2＝5×4:2×4 乙在两个比中的份数相等，所以甲：乙：丙＝3×5:4×5:2×4，所以甲：丙＝3×5: 2×4＝15:8
这个比表明 S△ ABC 的面积是 35 份， S △ A D E 的面积是 8 份先求出一份是：16÷8=2（平方厘米）
S △ ABC 的面积是 35 份：2×35=70（平方厘米）
例 2：如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形 BDE 的面积是多少？（第四届“迎春杯”试题改编题）
记忆技巧：D,E 两点都在三角形上 2. 在 △ ABC 中，D 在 AB 的延长线上，E 在 AC 上。或 D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上
E
A D C
B
S△ ABC : S△ ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
记忆技巧：D,E 两点，一个在三角形上，一个在三角形外
学而思培优
五年级秋季班第一讲三角形中的模型（一）

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三角形两大模型(上)
【例1】如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向方向，C处在B处的北偏东82°方向方向，求求 ∠C的度数。

【例2】已知，如图，D是AB上点，E是AC上点，BE、CD 上一点，上一点，相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°。

∠ABE＝ 20°。

⑴∠BDC的度数； ⑵∠BFD的度数。

【例3】如图，已知△ABD中，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，且交BC的延长线于 D，你能比较∠ACB与 ∠B的大小吗？说出你的理由。

【例4】如图，△ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，上点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°，， ∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。

1

【例5】如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：意点，试说明：∠BEC＞∠BAC。

【例6】如图，△ABC是等边三角形∠CBF∶∠ACD∶∠BAE ＝1∶2∶2，∠DEF－∠DFE＝38°，求出△ ，求出△DEF的每个内角度数。

【例7】⑴如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＝_____ 。

2

⑵如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F＝_____ 。

【例8】⑴如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E ＋∠F＝ _____ 。

⑵如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝_____ 。

【例9】如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋ ∠H八个角的和。

3

。