第二章向量范数与矩阵范数
向量范数与矩阵范数的相容性
x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1
max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A
max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2
与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k
n(
i 1
n k 1
aikk
)2
n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2
n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]
n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
《向量和矩阵的范数》PPT课件
h
1
三种常用范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
n
1-范数：
x 1
x1
x2
xn xi
i 1
2-范数： x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
? 范数： x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1in
xi
}
h
2
一般范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
1
(n max 1in
xi
p)p
故有 x x n p x
p
令
p
1
, n p
1limxFra bibliotekxp
p
h
4
范数的等价性 对于任意向量 x R n ，如果存在正数
c1, c2 ，均有
x
p c1
x, q
x q c2
x
，则称范数
p
x
与
p
x 等价。 q
范数的等价关系具有传递性。如果范数 x 与 x 等价，
（5） I 1，其中 I 为单位阵。
h
14
矩阵范数的另一个等价定义
设 A R nn , x Rn ，矩阵 A 的范数 A max Ax
x 1
h
15
常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
例如
A
3 0
2
4
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为
Chapter1_2_向量范数与矩阵范数
设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小，使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。
矩阵分析 第二章
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||⋅||为将V映射为非负数的函数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。
下面讨论如下：1.设||⋅||为线性空间V n的范数，任取它的一个基x1,x2,…,x n,则对于任意向量x,它可以表示为x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n其中，(ξ1,ξ2,…,ξn)T为x的坐标。
由此定义C n(或R n)中的范数如下：||ξ||C =ϕ(ξ)=||ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n||则容易验证||ξ||C确实为C n中的范数.2.反之, 若||ξ||C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||x||=φ(x)=||ξ||C其中x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n。
则容易验证φ(x)确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复(或实)列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数，即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. (范数的乘法)若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 设||⋅||comp为R m上的范数，且对x∈ (R+)m为单调增加的(即,若x,y∈(R+)m,且x i≤y i,那么||x||comp≤||y|| comp成立.),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||⋅||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个复合范数为||x||=||U(x)|| comp ,其中，U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T.证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
2.2-2 矩阵范数与向量范数的相容性
矩阵论/矩阵分析视频公开课武汉理工大学理学院统计学系金升平本视频内容：矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数矩阵范数与向量范数的相容性的概念，为矩阵与向量的联合起来进行分析，提供了理论保障“矩阵范数诱导的向量范数”将告诉我们：对于任意矩阵范数，都可找到与之相容的向量范数二、矩阵范数与向量范数的相容性1. 矩阵范数与向量范数的相容性定义3,v m v Ax A x ≤⋅则称矩阵范数∙m 与向量范数∙v 相容.设∙m 是Cn×n上矩阵范数，∙v 是C n上向量范数，如果, ,n nnA Cx C ⨯∀∈∈下标使用的原因：矩阵--m atrix ，向量--v ector定理1(1) 矩阵范数分别与相容；1, m F ⋅⋅12, ⋅⋅(2) 矩阵范数与向量范数相容.m ∞⋅12, , ∞⋅⋅⋅以矩阵范数与向量范数为例证之.1m ⋅1⋅设(),n nij A a C⨯=∈()12,,,.Tnn x x x x C =∈则11111nnnnij j ij i j i j jAx a x a x =====≤∑∑∑∑和的绝对值小于等绝对值之和。
将x j 放大11111.n n ij m i j nk k a x A x ===⎛⎫⎪⎝≤⎭=⋅∑∑∑2. 由矩阵范数诱导的向量范数, .Hnvmx xax C =∈设是上一个矩阵范数，取,0.na C a ∈≠且m⋅n nC⨯定义可以证明，它是上的向量范数，称为由矩阵范数nC ∙m所诱导的向量范数.事实上，(1) 正定性：当0≠x ∈C n时，xa H≠OHvmxxa =>而当x =0Hxxa ==（2）齐次性：当时，C λ∈HHvvmmxxaxaxλλλλ===（3）三角不等式：()HH Hv mmx y x y axa ya+=+=+HHmmxaya≤+v vx y=+定理2Cn×n上任意一矩阵范数∙m与它所诱导的向量范数∙v 相容.()Hv mAx Ax a=证明只需证相容性即可()HmA xa=()Hm mA xa≤m vA x=See you next time武汉理工大学理学院统计学系金升平矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数（完）下一讲内容：向量范数诱导的矩阵范数。
向量与矩阵范数
向量与矩阵范数在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。
向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础.§1 向量范数定义1．1 设V 是数域()或C R 上的线性空间，如果对于任意V ∈x 按照某种法则对应于一个实数x，且满足：1） 非负性0≥x .当且仅当=x 0时，0=x ； 2） 齐次性k k =x x；3） 三角不等式 对任意,V ∈x y 总有，+≤+x y x y；则称实数x为线性空间V 上向量x 的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V 称为赋范线性空间.由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质：（1） 当≠x 0时，11||||=x x ；（2） 对任意向量V ∈x ，有||||||||-=x x ；（3）||||||||||||||y -≤-x y x ； （4）||||||||||||||y -≤+x y x .性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为||||||||||||||||=-+≤-+x x y y x y y ， 所以||||||||||||-≤-x y x y .同理可证||||||||||||||()||||||-≤-=--=-y x y x x y x y ， 即||||||||||||-≥--x y x y .综上有||||||||||||||y -≤-x y x .若用y -代替性质（3）中的y ，便得到性质（4）.n C 上最著名的范数是p 范数，也称赫尔德（hölder ）范数11()nppi pk x ==∑x，T 12(,,,)n n x x x =∈x C .这里1p ≤<∞，其中最常用的是1,2p =时的p 范数，即11nik x ==∑x ；12221()ni k x ==∑x 。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
3.3向量和矩阵的范数
y
2
定理1：设 x R n , 则x的三种基本范数l, l 2 , l满足下面的不等式关系 ： 1
(1) x 2 x 1 n x (2) x (3) x
2
x2 n x x1n x
对于以上三种范数而言，它们的值是不同的。但有 如下的定义： 定义2(范数等价)：x R n， 对于任意两种范数 x 和 x 总存在两个与x无关的正实常数c1,c2,使得
k
记为： x (k) x * . lim
k
例如：按照
l 范数的定义 x (k) x * max x i( k ) x * i
1i n
故， x ( k ) x * x (k) x * lim
k
0(k ).
定理3 ：
设{x ( k ) }是R n中的一个向量序列，且 * R n，则lim x ( k ) x * x
例：有了距离，对
方程组Ax b的数值计算解x c与其准确解x *之间 的误差就可以度量了。 如定义其绝对误差为 x c x * ，相对误差为 x c x* x
*
。
例： x* (0.0002140.0003090.000397T 设 , , )
x (0.0001860.0003420.000504T , , ) c 当限定范数为 1范数时，请计算 与x* l x c 之间的绝对误差和相对 误差。
lim l p ( x i )
p i 1
n
p
1
p
在R n空间中，向量 [ x1 , , x n ]T 和y [ y1 , , y n ]T 的内积记作( x , y), x 可定义为 (x, y) x i y i x T y.
矩阵和向量范数详解-数值计算方法
度量。Rn空间的向量范数 || ·|| 对任意x, y R满n足条件：
(1)
|| x|| 0 ;
|| x|| 0
x
0
（正定性)
(2) || x|| | | || x|| 对任意 C (齐次性)
(3) || x y|| || x|| || y|| （三角不等式)
定义：向量X
( x1,
gg
范数是绝对值的概念的推广，绝对值是一维概念，绝对 值的几何意义就是长度，那么很自然就有了：n维向量长度 就是范数。范数可以推广到无穷维空间。
1. 范数
向量范数和向量的模
向量的模表示的是向量的大小，比如向量
X ( x1, x2...x的n )模为
X x12 x22 ...xn2
向量的范数用于衡量一个向量的大小，是更广义
向量和矩阵范数
主要内容
1、什么是范数 2、向量范数 3、矩阵范数
2
1. 范数
范数是什么？
范数具有“长度”的概念，在线下代数、泛函分析 等相关数学领域，范数表征的是矢量空间中所有矢量的 正长度和大小。范数是对向量和矩阵的一种度量,实际 上是二维和三维向量长度概念的一种推广。
简单来说向量范数可以理解为向量的长度，矩阵范 数可以理解为矩阵的变化大小。
意义：矩阵的谱或叫矩阵的谱半径，在特征值估计、广义逆矩阵 等理论的建树中，都占有极其重要的地位；
定理 对任意算子范数 || ·|| 有( A) || A ||
即 A 的谱半径是A的任意一种范数的下界
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u代入 | | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
向量和矩阵的范数
一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。
将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。
将非负实数或称为向量x的欧氏范数。
对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。
对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。
定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。
下面我们给出几种常用的向量范数。
1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。
解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。
证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
第二章 向量与矩阵的范数
n
1
p
+ ( ∑ bi )
p i =1
n
1
p
p 证明 以 q = 代入下式 p −1 n n p ∑ ai + bi = ∑ ai + bi ai + bi
i =1 n
p −1
则
∑ a +b
i =1 i n i =1
p
i
= ∑ ai + bi ai + bi
i =1 p q
i =1 n
A
p
= max
X ≠0
AX X
p p
常用的矩阵 范数 常用的矩阵P--范数为 矩阵 范数为
A 1 ，A 2 和 A ∞ 。
定理 设 （1） ）
A∈C
j
m ×n
，则
m
A 1 = max( ∑ aij ) ,
i =1
j = 1, 2, L , n
1 H
列和范数。 我们称此范数为矩阵 A的列和范数。 （2） A ）
AB ≤
m m1 n
=
∑∑ ∑a
i =1 p j =1 k =1 p k =1
m
n
p
ik
b kj ≤
∑∑∑
i =1
m
n
p
j =1 k =1
a ik b kj
∑ ∑ [( ∑
i =1 j =1 m i =1 k =1 m1
a ik )( ∑ b kj )]
k =1 p n
= (∑ = A
∑
p
a ik )( ∑
n
i
bi ≤ (∑ ai )
p i =1
n
1
向量范数与矩阵范数
任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M)，使 下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时， 该向量的其它任何一种范数也会任意小（大）。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0
3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A
max
|
2
|
|1|
|
0
|,
13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32
52
12
82
22
02
22
112,
14 21 4
AT
A
21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
2-6向量范数与矩阵范数的相容性
证明
(1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax≠0 ，从而有
A max
x0
Ax x
v
v
0
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数k∈C，
kA max
x 0
kAx x
v
v
k max
x 0
Ax x
v
v
k A
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
A B max
x 0
( A B) x x Ax x
v v v
v
max(
x 0
Ax x
v
v
Bx x
v
v
)
max
x 0
max
x 0
Bx x
v
v
A B
即||A||满足三角不等式。 上述定义的实值函数||A|| n×n， A的范数。 (4) 对任意的方阵A，B∈C是矩阵
n
k 1 max aij
j i 1
n i 1
，并取单位向量 ek 0, ..., 0,1, 0, ..., 0
Aek
1
T
则 ek 1 1 ，且有 k
1
，于是
Aek
1
| aik |
i 1
n
即||Ax||1在单位球面{ x | ||x||1=1 }上的极大值点为ek，
n ,n C T
1 2
证明：设 A (aij ) C ， x 1 , 2 ,
Ax 2
n i 1
第2章 范数
若A ∈ C n×n , 则仍有
n || A ||1= max ∑ | aij |, — 列范数 1≤ j ≤ n i = 1 n || A ||∞ = max ∑ | aij |, — 行范数 1≤i ≤ n j = 1
但
|| A ||2 = λmax ( AH A), — 2范数
4 −3 , X=[-3 5]T,分别求 、X 分别求A、 分别求 例2 A = 2 1
1≤ k ≤ n 1≤ k ≤ n
所以 同理可证: 同理可证
|| x || ∞ ≤ || x ||1 ≤ n || x || ∞
|| x || ∞ ≤ || x || 2 ≤ n || x || ∞
( ( 定义3 设{x ( k ) }为R n中一个向量序列, 记x ( k ) = ( x1 k ) , x2k ) ,L, 定义3 ( xnk ) )T , x* = ( x1*, x2 *,L, xn *)T . 若 lim xi( k ) = xi * (i = 1,2,L, n), k →∞
|| A ||2 = 矩阵AT A的最大特征值, — 2范数 它们满足如下相容关系：
|| Ax ||1 ≤|| A ||1 ⋅ || x ||1 , || Ax ||∞ ≤|| A ||∞ ⋅ || x ||∞ ， || Ax ||2 ≤|| A ||2 ⋅ || x ||2 , || Ax ||2 ≤|| A ||F ⋅ || x ||2 .
2.3
向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的 收敛性, 我们需要对R 中的向量(或 ⅹ 中的矩阵) 收敛性 我们需要对 n中的向量 或Rnⅹn中的矩阵 的大小引进某种度量——向量(或矩阵 的范数. 的大小引进某种度量——向量 或矩阵)的范数 ——向量 或矩阵 的范数 先考虑R 中向量的长度, 然后可定义向量(或矩阵 或矩阵)的范 先考虑 n中向量的长度 然后可定义向量 或矩阵 的范 数. 定义1 定义1 在Rn中，对α=(a1,a2, L,an)T，β
向量范数和矩阵范数知识点总结
向量范数和矩阵范数知识点总结《向量范数和矩阵范数知识点总结：一场有趣的数学冒险》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠向量范数和矩阵范数这俩家伙，那可真是数学世界里一对有趣的“难兄难弟”啊！咱先说向量范数，它就像是给向量套上了一个“紧箍咒”，用来衡量这个向量的大小或长度。
想象一下，向量就像个调皮的小猴子，在数学丛林里上蹿下跳，而向量范数就是那个抓住它、给它定个大小的“如来佛祖的手掌”。
它能让我们清楚地知道这个向量到底有多“厉害”或者多“弱小”。
这玩意儿有好多类型呢，比如咱常见的1-范数、2-范数啥的。
它们各有各的特点，就像不同的魔法技能。
1-范数呢，就像是给向量的每个分量都贴上了个小标签，然后把这些标签加起来，简单粗暴。
而2-范数就有点高深了，它是通过一个神奇的公式算出来的，就像给向量做了一次美容，让它以最帅气的样子展现出来。
再来说说矩阵范数，这可是个大家伙。
它就像个“大管家”，管理着矩阵这个“大家庭”。
矩阵范数可以衡量矩阵的“能量”或者说“影响力”。
想象一下，矩阵就像个有很多房间的大房子，矩阵范数就是给这个房子估个价。
矩阵范数也有好多分类，像什么Frobenius 范数啊，那可是矩阵范数界的明星。
它把矩阵的每个元素都照顾到了，算出一个综合的值。
这就好像给矩阵进行了一次全面的体检，看看它到底有多健康。
学这些范数的时候啊，那可真是一场刺激的冒险。
有时候感觉就像在走迷宫，到处都是弯弯绕绕，一不小心就迷路了。
但当你突然找到了那条正确的路，哇，那种感觉简直爽翻了！就像你在黑暗中突然找到了一盏明灯。
不过别怕，虽然它们有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多做几道题，慢慢地就会和它们成为好朋友啦。
当你真正掌握了它们，就会发现它们其实也没那么可怕，反而还挺有趣的呢！总之，向量范数和矩阵范数就像是数学世界里的宝藏，只要我们勇敢地去挖掘，就一定能找到属于我们自己的惊喜。
加油吧，小伙伴们！让我们一起在这场有趣的数学冒险中勇往直前！。
向量与矩阵的范数
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一
确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 下面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
计算方法三⑤
15/35
•矩阵范数的性质：
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
——弗罗贝尼乌斯 (Frobenius)范数 简称F范数
12/35
几种常用的矩阵范数：
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数
计算方法三⑤
13/35
Matlab中计算矩阵的范数的命令(函数)：
(1) n = norm(A) 矩阵A的谱范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根
定义：设A非奇异，称||A-1|| ||A|| 为矩阵A的条件数, 记为Cond (A)，即Cond (A)= ||A-1||||A||.
当cond(A)>>1，则方程组称为“病态”的； 当cond(A)较小时，则方程组称为“良态”的。
计算方法三⑤
28/35
>>cond(a,p)
通常使用的条件数有：
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX=λX
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都是定义在Rn上的连续函数.故 在有界闭集合S上必取得 最小值C1和最小值C2,即对一切非0向量x有
C1 x
即
x
x x
C2
C1 x x p-范数的等价关系:
x xLeabharlann C2 x .
证毕
x 2 x 1 n x 2, x 2 n x , x 1 n x .
问题1: δA ,δb 和δx 的关系是怎样的? δA 和δb 大小对δx 的影响是怎样的?
扰动方程组可写成 代入Ax b, 得 整理,得
Ax A x A x x b b
A x A x x b
x A A 1 b Ax
k 1
n
x
n k 1
k
yk
其中ek是单位向量. 又因
x y xk yk (k 1, 2, , n).
于是
lim x y . x y
定理1 设
和
是定义在R
n上的两个范数,则存在正数C
1
和C2,使对 x R n C1 x x
C2 x . (即任两范数都等价.) n S x | 1, x R x , 由于,向量范数 证明:令单位球面集合
Ax A p max 1
x
p
p
, A R
nn
,
定理4 矩阵的p范数有如下计算公式：
ai , j max Ae j A 1 max 1 j n 1 j n
i 1 n n
1
1
矩阵1-范数亦称为列范数
T a max A ei A max i , j 1i n 1i n j 1 T T A 2 max ( A A) ( A A).
xn
1 2 2
x
max xk
1 k n
分别称为1-范数、2-范数和∞-范数（或一致范数）。 很显然，单位向量的p-范数都等于1。
例1 试求向量
x (1,2,3)T
的三种常用p-范数。 解： x 1 2 3 1 2 3 6; 1
x 2 1 2 2 2 3 14; x max{1 , 2 , 3 } 3.
已得出
1 A x 1 A1 A 两边除以 x
b
A x
x
A1 A 大小直接影 响解的相对 误差
b A x A1 1 1 x x A A x 1 A b A x A 1 A1 A x x A A
例5 求2阶矩阵
2.0002 1.9998 A 1.9998 2.0002 条件数 ( A)
解 因为
1 A 2.00022 1.99982
1
所以有
2.0002 1.9998 1.9998 2.0002 10000 2.0002 1.9998 1.9998 2.0002 16
,
矩阵∞-范数亦称为行范数 矩阵2-范数亦称为谱范数
例2 计算下列矩阵的三种p范数
0 2 2 G 0 2 3 0 0 2
解
G 1 max{0, 4,7} 7;
G
max{4,5, 2} 5;
0 0 0 25 97 GT G 0 8 2 , det I GT G 2 25 132 , (GT G) 2 0 2 17 25 97
定理3 设‖‖是Rn上的一个向量范数。则非负函数
nn max , A R , Ax A 1 x
是定义在Rn×n上的一个矩阵范数。 由该定义给出的矩阵范数也称为从属于向量范数 的矩阵范数，也称为由向量范数诱导出的算子范数。 显然，单位矩阵的算子范数等于1。
矩阵的p-范数即是由向量p-范数诱导出的算子范数：
G2
2
17.4243 4.1743.
定义4 设 A C
nn
, 则称
( A) max { } ( A )
为A的谱半径。这里 ( A) 表示A的谱集（即A的特征值全体） 定理 6 设A C nn , 则有 （1）对C n×n上的任意矩阵范数，有 ( A) A ; （2）对给定的ε> 0 ,存在C n×n上一个算子范数,使得
I A1 A A1 b Ax
1
两边取范数得
1 x I A1 A A1 b A x 1 A 1 A1 A
b
A x
1 A 1 A1 A
b
A x
问题2: 决定这种影响的原因是什么?
1i n
充分性. 设对 0, K 0,当k>K时,有
x(k ) x
/ C2 .
从而
x( k ) x C2 x( k ) x
.
2.1.2 矩阵范数
nn nn 定义2 非负函数 : R R, 叫做 R 上的矩阵范数,如果 nn (1)正定性: 对 A R , 有 A 0, 且 A 0 A 0. nn 和 R, 有 A A . A R , (2)齐次性: 对 nn A , B R , 有 A B A B . (3)三角不等式: 对 nn 有 AB A B . A , B R , (4)相容性: 对 nn R 事实上, 是一个n2的线性空间.这是因为,如果令
第二章 线性方程组的敏度分析
•向量范数与矩阵范数 •线性方程组的敏度分析
2.1 向量范数与矩阵范数
2.1.1 向量范数
定义2.1.1 一个从Rn到R的非负函数‖· ‖叫做Rn上的向量 范数。如果它满足：
1
n x, y R , , R 注：性质（2）（3）可以合并为：对
x 0 x 0, （2）齐次性：对x R n和 R, 有 x x . n （3）三角不等式：对x, y R , 有 x+ y x y .
Ei, j ei eT j ,1 i, j n.
则 A ai, j R
nn
n
, 都可表示为 A ai , j Ei , j .
i 1 j 1
n
因此: (1) 任意两个矩阵范数都是等价的; (2) 矩阵序列的范数
(k ) nn (k ) A R a 收敛等价于其元素收敛.即当 i, j
显然
1 ( A) A1 1 A 1 , 2 ( A) A1
2
A 2 , ( A) A1
A .
1 2 ( A) 1 ( A) n 2 ( A), n 1 ( A) 2 ( A) n ( A), n 1 2 ( A ) ( A ) n 1 ( A). 2 1 n
A
,从而有
x ( A) A b .
x A b
定义1 称数 ( A) A1 A 为线性方程组 Ax b 的条件数.
由定理1知，条件数在一定程度上刻划了扰动方程组解的 影响程度。当条件数很大时，就说方程组是病态的；反之， 称方程组是良态的。 条件数是用矩阵范数定义的。使用不同的范数，对应的条 件数的大小可能有所区别，但条件数“大”或“小”的本质 是不会变的。常用的条件数有：
2.2 线性方程组的敏度分析
问题提出: 设 x 满足非奇异线性方程组
Ax b, A Rnn , b Rn .
x +δx 满足线性扰动方程组
( A δA)( x x) b b, A Rnn , b Rn .
其中, δA 称为矩阵A的扰动,δb称为向量b的扰动. 问题1: δA ,δb 和δx 的关系是怎样的? δA 和δb 大小对 δx 的影响是怎样的? 问题2: 决定这种影响的原因是什么? 在以下的讨论中,假定A 和A +δA 是非奇异的. 即原方程组 和扰动方程组的解 x 和 x +δx 都是唯一存在的.
A ( A) .
定理 7 设 A C nn , 则 lim Ak 0 ( A) 1.
k
定理 8 设 是 C nn 上的一个矩阵范数,且 I 1, 假定 A C nn满足 A 1, 则I-A可逆,且有 1 1 . ( I A) 1 A
lim A( k ) A 0 lim ai(,kj) ai , j , i, j 1, k k
, n.
定义3 若矩阵范数 M 和向量范数 V 满足 nn n , A R , x R , Ax V AM xV 则称矩阵范数
M
和向量范数
V 是相容的。
1 A b A A 1 A1 A A b
A1 A 1 A1
b A A b A A A
定理2.2.1 设‖.‖是Rn×n上的一个满足条件‖I‖=1的矩阵范 数.并假设A∈Rn×n非奇异, b∈Rn非零;再假定δA ∈Rn×n满 足 ‖A-1‖‖δA‖<1.若 x 和 x+ δx 分别是线性方程组
( A) A A1
4 2500 10000.
x 2 y
2
2
x 2 y 2.
例3 向量范数是定义在Rn上的连续实函数.
证明 由范数的定义性质可知:
x x y+ y x y y x y x y , y yx x x y x