二次函数全章教案

第二十二章二次函数教案（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。

（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时，具体安排如下：22．1 节二次函数…………………………7 课时22．2 用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3 实际问题与二次函数…………………3 课时教学活动小结及测试…………………3 课时（三）、本章教学目标分析（1 ）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。

②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。

③经历二次函数图象平移的过程。

④了解y=ax2，y=a（x＋m）2，y=a（x＋m）2＋n三类二次函数图象之间的关系。

⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。

⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。

⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。

⑧能运用配方法将y = ax2+bx+c变换成y =a(x-h)2+ k的的形式。

⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。

探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。

⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

经历数学建模的基本过程。

感受数学的应用价值。

发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

(2)学法教法建议1．在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2.教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。

3.教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。

注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理(如图象的变换)。

4.教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。

课后反思的面积S 与宽x 之间的函数关系式； 3.写出圆的面积y 与它的周长x 之间的函数关系；（通过学生已经知道了二次函数的定义，针对其学习的情况通过实际问题的解决使他们学以致用，加强巩固）四、课堂练习2 ．P3 练习第1 ，2 题。

五、小结1 ．请叙述二次函数的定义．2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：知识与技能 使学生会用描点法画出y=a x 2 3的图象，理解抛物线的有关概念。

过程与方法 使学生经历、探索二次函数 y=ax 2图象性质的过程。

情感态度与价值观 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数 y=ax 2 的 图象、会用待定系数法确定二次函数 y=ax 2的解析式； 用描点法画出二次函数 y=ax 2 的图象以及探索二次函数性质是教学 的难点。

一课时 一、情境导入 师： 1 ，同学们可以回想一下，一次函数的性质 是如何研究的?2 ．我们能否类比研究一次函数性质方法来 研究二次函数的性质 呢?如果可以，应先研究 什么?——图象3．一次函数的图象是什那么二次函数的图象是 什么?板书课题二、范例师生：画二次函数 y=x 2 的图象。

解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值 表：(生独立完成)x … － 3 － 2 －2 在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点3 连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函 数 y=x 2 的图象，如图所示。

师：可做适当演示； 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 生：讨论 师：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物 线的顶点．课题22.1.2 二次函数(第二课时) 教学目标 教学重点 教学难点课时安排课前准备教学过程当a>0 时，抛物线y=a x2开口___ ，在对称轴的左边，曲线自左向右_____ ；在对称轴的右边，曲线自左向右_____ ，______ 是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察下图，回答以下问题；(1)点A 与点B 横坐标大小关系如何?是否都小于0？2) 点A 与点B 纵坐标大小关系如何?(3) 点C 与点D 横坐标关系如何?是否都大于0?(4)点 C 与点 D 纵坐标大小关系如何? 师生明确：当X<0时，函数值y 随着x 的增大而当X>O 时，函数值y 随X 的增大而 _ ；当X ＝ ___ 时，函数值y=a x2(a>0) 取得最值，最值y= ______3.观察函数y＝- x2、y=-2x2的图象，让学生讨论、交流，达成共识：当a<O 时，抛物线y=ax2开口，在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右，是抛物线上位置最高的点。

图象的这些特点，反映了当a<O 时，函数y=a x2的性质；进一步明确：当x<0时，函数值y随x的增大而；与x>O 时，函数值y 随x 的增大而当x=0 时，函数值y ＝ a x2取得最值是五、课堂小结：1．如何画出函数y=a x2的图象?2．函数y＝a x2具有哪些性质?抛物线开口方向对称轴顶点坐标2y=ax2a>0a<0一、情境导入教学过程批注1．师生复习回顾：二次函数y＝2 x2的图象是，它的开口向，顶点坐标是__________ ；对称轴是_____ ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ____ ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而，函数y＝ax2与x＝时，取最值，其最值是。

2．师：二次函数y＝2x2＋1 的图象与二次函数y＝2 x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?引出课题，板书课题二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第 2 个问题，你将采取什么方法加以研究?( 画出函数y ＝2 x2+1 和函数y ＝2 x2的图象，并加以比较)问题 2 你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

问题3 ：当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?1. 教师引导学生观察上表，当x 依次取－3 ，－2，－1，0，1，2，3 时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x 取同一数值时，函数y＝2x2＋1 的函数值都比函数y＝2 x2的函数值大1。

（教师可以提前安排学生画好y=2x2与y=2（x－1）2图象留待后面备用。

）师：今天我们就一起来学习——板书课题二、做一做、想一想、议一议师：在刚才的图中，你能再画出函数y=2（x－1）2 －2 的图象，并将它与函数y=2（x－1）2的图象作比较吗?生：一生上前板演，众生独立完成后小组交流讨论，各小组派代表上台展示讨论结果；师：倾听、指导；生：思考填表问题2：结合上面所画图象以及上表，你能分别找到函数y=2（x－1）2＋1与函数y=2（x－1）2、y=2x2 图象的关系吗?问题3：你能发现函数y=2（x－1）2＋1有哪些性质? 对于问题 2和问题 3 ，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2（x－1）2＋1 的图象可以看成是将函数y=2（x －1）2的图象向上平称1 个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移 1 个单位再向上平移1 个单位得到的。

当x<1 时，函数值y 随x 的增大而减小，当x > 1 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=1 时，函数取得最小值，最小值y=1。

三、归纳提升问题：你能说出函数y=－1（x－1）2＋2 的图象与函数y=－1x2的图象的关系，由此进一步说出这象，进而观察得到这个函数的性质。

师生共同：将y= x2＋6x+21 化成y=a(x－h)2＋k形式，并确定顶点坐标和对称轴。

师生：解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；x … 3 4 5 6 7 8 9 …y … … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y= x2＋6x+21 的图象。

说明：(1) 列表时，应根据对称轴是x ＝6 ，以6 为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。

相应的函数值是相等的。

(2) 直角坐标系中x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许x 轴、y轴选取的长度单位不同。

所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；当x <6 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x>6 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝6 时，函数取得最大值，最大值y ＝3 三、做一做1 ．请你按照上面的方法，画出函数y ＝1x2 －4x＋10 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?教学要点(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2 ．通过配方变形，说出函数y ＝－2x2＋8x －8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?教学要点(1) 在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，5、求二次函数y对称轴，并说出该函数具有哪些性质五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：a 0;b 0;c 0; b2- 4ac0。