第二节初等函数和多元函数
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
第二节多元函数
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形 该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面 正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在 平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例 求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解 由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例 求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例 证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性 定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内 有定义, 若 在点P0(x0, y0)处连续. 定义 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)
高等数学课程简介
使 x 2 x 6 有定义,必须满足 x 2 － x －6≥0，即
( x 3)( x 2) 0 ， x ≥ 3 或 x ≤－ 2 ，即 x 2 x 6 的 定 义 域 为 解得 ( , 2 ] [ 3 , ;)
2x 1 2x 1 而使a r c s i n 有定义,必须满足∣ ∣≤1，即 7 7
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来．
解
离家距离
王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．
离家距离
6 3
9
O
时间
O
1 2 3 4 5
时间
如果给上页左图标明具体的数值如上页右图， 则可由解析表 达式表示为
一、数学模型的含义
数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一 个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和 假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近 似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的 现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理 对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实， 不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应 用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物 的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机.
《高等数学》课程简介
本课程是计算机信息管理、电子商务、经济 信息管理、市场营销、会计电算化、投资理财、 物流等专业的一门必修专业基础课程。 通过本课程的学习，使学生系统地获得一元 函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函 数微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识， 掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生 初步具有用数学方法解决实际问题的能力。
多元函数的基本概念52774
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
第二节多元函数的基本概念
第二节 多元函数的基本概念内容分布图示★ 领域 ★ 平面区域的概念★ 多元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 二元函数的图形★ 二元函数的极限 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 二元函数的连续性 ★ 例 10★ 二元初等函数 ★ 例 11-12★ 闭区域上连续函数的性质★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-2 ★ 返回内容提要：一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、多元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）求二元函数222)3arcsin(),(y x y x y x f ---=的定义域.例2（讲义例2）已知函数,),(2222y x y x y x y x f +-=-+ 求),(y x f . 二元函数的极限例3（讲义例3）求极限 2222001sin )(lim yx y x y x ++→→. 例4 求极限.)sin(lim 22200y x y x y x +→→例5（讲义例4）求极限 22limy x y x y x ++∞→∞→. 例6 求极限 .2lim 42430y x x xy y x ++→→ 例7 求 .)(lim 220xy y x y x +→→例8（讲义例5）证明2200lim yx xy y x +→→不存在. 例9 证明26300lim y x y x y x +→→不存在. 二元函数的连续性例10（讲义例6）讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.例11 求.1)ln(lim 210⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-→→x y x y y x 例12 求.lim 10yx y e x y x ++→→课堂练习1.设,,22y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 求).,(y x f 2. 若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时, 函数),(y x f 都趋向于A , 能否断定?),(lim ),(),(00A y x f y x y x =→3.讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x y x xy y x f 的连续性.。
(完整版)《高等数学》(经管类)教学大纲
《高等数学》（经管类）教学大纲大纲说明课程代码：4915001总学时：128学时(讲课128学时)总学分：8分课程类别：必修适用专业：经管类本科一年级学生预修要求：初等数学一、课程性质、目的、任务本课程是本科经管类各专业的一门公共基础课，教学内容主要有一元与多元微积分；级数；常微分方程初步。
本课程教学目的是使学生获得从事经济管理和经济研究所必需的微积分方面的知识；学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；培养抽象思维和逻辑推理的能力；树立辩证唯物主义的观点，同时，本课程也是后继经济应用数学（如概率统计等）的必要基础。
二、课程教学的基本要求：1、正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数、极限、无穷小、连续、导数、微分、不定积分、定积分、曲面的方程、偏导数、全微分、二重积分、常微分方程、无穷级数的收敛与发散性、边际、弹性。
2、正确理解下列基本定理和公式并能正确应用：极限的主要定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、定积分作为变上限的函数及其求导的定理、牛顿—莱布尼兹公式。
3、牢固掌握下列基本公式：基本初等函数的导数公式、基本积分公式、函数e x 、sinx 、cosx 、α)1(x +、ln(1+x)的幂级数展开式。
4、熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商求导法则与复合函数的求导法则、隐函数的求导法、反函数的求导法、直接积分法、换元积分法、分部积分法、二重积分计算法、级数收敛性的比较判别法，达朗贝尔判别法、莱布尼兹判别法、幂级数收敛半径的求法、变量可分离的一阶微分方程的解法、一阶线性微方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法、拉格朗日乘数法、最小二乘法。
5、会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的经济问题。
6、在学习过程中，逐步培养熟练的运算能力，抽象的思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力。
知识的获得与能力的培养是同一过程的两个侧面，知识是发展能力的内容，能力是掌握知识的条件，我们既努力获得新知识，同时也注意不断提高分析问题和解决问题的能力。
多元函数的基本概念
| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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多元函数
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的 偏导数，记作
z f x x0 , f ( x , y ) . , , z x x0 x x0 x x 0 0 x x y y0 y y0 y y0
第四部分 多元函数微积分学
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 偏导数与全微分 二元函数的极值 二重积分的概念和性质 直角坐标系下二重积分的计算 极坐标系下二重积分的计算 二重积分的应用
第一节 多元函数、极限和连续
（一）多元函数 1.二元函数、多元函数的定义
多元函数的性质
（1）多元连续函数的和、差、积、商（若分母不为０） 都是连续函数； （2）多元连续函数的复合函数都是连续函数； （3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． （4）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它 的最大值和最小值各一次． （5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两 个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任 何值至少一次．
dz Ax B y .
2. 性质
定理 1（可微的必要条件） 如果 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微分，则它在该点的偏导
z z 数 , 存在，且 A z , B z , x y x y
dz z x z y x y
图11.1-3
（二） 二元函数的极限与连续 1. 二元函数的极限 定义 设二元函数 z f ( x, y) ，如果当点 (x, y) 以任何
方式趋近于点 ( x0 , y0 ) 时， f (x, y) 总是无限地趋近于一个 确定的常数 A ，则称常数 A 为函数 z f (x, y) 在 x x0 ，
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
第二讲多元函数
第一节 多元函数
一. 多元函数 二. 元函数的极限与连续
引例：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元， 外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁
7 5x 4 y 瓶，外地牌子的果汁 8 6 x 7 y 瓶. 问：店
2
旋转抛物面
z a x y
2 2
2
z x y
2
2
上半球面
正圆锥面
复杂的二元函数的例子
z sin x sin y
z sin x 2 y 2
z xye
x2 y2
并非每一个曲面都表示 一个二元函数
x2 y 2 z 2
z x2 y2
2 2
z x y
值之间的任何值至少一 次.
D上连续, 且 性质３ （零点定理） 若函数f ( x, y)在有界闭区域
它取得一个大于零的函 数值和一个小于零的函 数值, 则至少 有一点( , ) D, 使得f ( , ) 0.
性质４ （有界性定理）
它必在D上有界.
若函数f ( x, y)在有界闭区域 D上连续, 则
小结：
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域， 是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 p0处的极限, 而
该点又在此函数的定义 区域内 , 则极限值就是函数在该 点的
函数值,即
p p0
lim f ( P) f ( p0 )
思考题: 一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。
例如, 二元函数
z 1 x y
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作 E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U.注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U.点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .例如, 设平面点集 E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得E ⊂U (O , r ), 其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即 R n=R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即 22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x .采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n中定义了距离以后, 就可以定义R n中变元的极限: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n. 如果 ||x -a ||→0, 则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a .显然, x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n, δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =,其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2121R R R R R +=.这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )，其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.定义2 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(l i m ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作 A P f P P =→)(l i m 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为 2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,可见∀ε >0, 取εδ=, 则当 δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε, 因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.讨论: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似. 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解:y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅==1⨯2=2.定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点. 又如, 函数11sin22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则 )()(l i m 00P f P f p p =→.例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xyyx y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}. P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(l i m )2,1(),(==→f y x f y x .一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是 )()(l i m 00P f P f P P =→.例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.。
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
82多元函数的概念
f ( x y , x y ) ( x y )( x y )
,y )xy . 故 f(x
y s 法2 设 x x y t
则
故
s t y 2 s t2 s t2 f( s ,t ) ( ) ( ) st 2 2 f(x ,y )xy .
s t x 2
n 维空间
n 元有序数组 ( x , x , , x ) 的全体称为 n 维空间, 1 2 n 记作 R n , 即
n R R R R ( x , x , , x ) x R , k 1 , 2 , , n 1 2 n k
n 维空间中的每一个元素 ( 称为空间中的 x , x , , x ) 1 2 n 一个点, 数 xk 称为该点的第 k 个坐标 . 当所有坐标 xk 0时， 称该元素为 R n 中的零元, 记作 O.
第二节 多元函数的概念
引例:
圆柱体的体积 2 Vr h,
r
( r , h ) r 0 , h 0
h
定量理想气体的压强 R T ( V , T ) V 0 , T T p (R 为常数） , 0 V abc ) b 三角形面积的海伦公式 ( p a 2 S p ( p a )( p b )( p c ) c ( a , b , c ) a 0 , b 0 , c 0 , a b c
求 f (1,2)、 f (1,0)、 f (0,0). 解
2 1 2 f (1 ,2) 2 2 5 1 2 1 0 f (1 ,0 ) 2 0 2 1 0
f (0,0) 0.
例4 已知 解 法1
2 2 f ( x y , x y ) x y ,求 f ( x, y).
多元初等函数
多元初等函数在数学中，多元初等函数是指由几个未知量共同组成的函数。
简言之，这是一种以更复杂的方式表达数学概念的工具。
多元函数的主要应用之一是将复杂问题拆分成较小的子问题，以便进一步降低复杂度。
如果我们考虑一个中学生要解决的两个数学题，这两个数学题可以表达为一个多元函数：f(x1, x2, x3,...,xn) = f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+...+fn(xn) 其中，f1(x1)...fn(xn)分别代表两个子问题。
这样，我们就可以把一个复杂的问题拆分成多个更容易理解的子问题，从而使学生能够更轻松地理解并解决这两个数学题。
此外，多元函数可以作为统计学的一种重要工具。
在统计学中，多元分析是一种研究多个变量之间关系的统计学方法。
多元分析通常是找出不同变量之间的相关关系。
如果我们想研究一个变量的变化如何影响其他变量的变化，我们可以将这个变量作为自变量，而其他变量作为因变量，然后使用多元函数来表达它们之间的关系，以便更好地理解它们之间的联系。
另外，多元函数还可以用来表示复杂的物理现象。
例如，从电子学的角度来看，电磁场是由电场和磁场组成的，电场和磁场之间有着千丝万缕的关系，他们之间的变化都会影响另一个量的变化。
因此，我们可以使用多元函数来表达它们之间的关系，从而使我们能够更好地了解物理现象。
最后，多元函数还可以用来表示经济学中的经济模型。
经济模型是一种将复杂的经济现象抽象化之后，运用数学方法分析经济问题的理论工具。
例如，我们可以使用多元函数来表达价格和产量之间的关系，或者消费者的收入、物价和消费模式之间的关系，这就是经济学中的需求函数，它可以帮助我们对这些复杂的经济模型进行有效的分析。
总之，多元函数的应用非常广泛，它可以用来表示数学、物理学和经济学中的概念，并可以帮助我们降低复杂度，更好地理解它们之间的联系。
多元初等函数
多元初等函数多元初等函数（MPF）是一类在数学上比较重要的函数，它可以用来构建和理解更复杂的函数。
它是一类可以描述任意变量与另外几个变量之间关系的函数。
多元函数的函数形式和一元函数的形式非常相似，但是，它们的定义域和值域还是有一定的差别的。
多元初等函数也可以称为多变量函数，或者多变量函数的多元构建。
它是一种比较特殊的函数，它的定义主要是不同的多元构建。
可以把多元构建想象成是一个多维的方阵，其中每一行和每一列都可以使用某种方式来定义函数。
一般而言，多元初等函数是描述不同多变量之间的关系的函数。
在多变量函数中，个体变量之间可以有一系列不同的关系，比如线性、指数、对数、偏对数等。
以线性关系为例，可以把多元函数看作是一个多维的线性方程组，它可以用于描述不同变量之间的线性关系。
而偏对数又主要是用来描述变量之间的凹凸关系，也就是不同的变量之间会有一些模式性的关系。
要理解多元初等函数，首先必须了解函数的构成和定义。
首先，多元初等函数是由一个或多个变量和一个常量组成的。
在一般情况下，函数中变量是没有任何限制的，但是为了方便，通常只考虑不同变量之间的线性关系。
其次，函数的定义域可以是一个实数、一个实区间、一个实集合或者一个实平面等。
定义域是函数的变量可以取的取值范围，它决定了函数的表达式是否有效。
最后，函数的值域可以是一个实数、一个实区间、一个实集合或者一个实平面等。
函数的值域是函数的变量可以取的有效值范围，它决定了函数的值取值是否有意义。
多元函数在实际应用中也是非常有用的。
它可以用来描述不同变量之间的复杂的相互关系，比如经济学中的多变量分析，工程技术中的多变量实验设计，甚至和生物学中的多变量数据分析等。
它可以有效的帮助我们理解多变量的相互关系，而多元初等函数也是常见的多变量函数的构建，所以熟练掌握多元初等函数，对我们学习相关知识有很大的帮助。
总之，多元初等函数是一种非常常见的函数，它可以有效的描述任意多个变量之间的关系，而在现实生活中，也有很多应用需要这种函数的支持。
多元初等函数
多元初等函数多元初等函数是数学中一类重要的函数，也是统计学、机械学、信号处理等领域中重要的基础知识。
这些函数能够用来描述和分析复杂的系统和问题，并为解决这些问题提供解决方案。
多元初等函数在研究中又称多项式函数，它由多个线性项组成，它们在多项分析中最常见的数学形式是一元多项式函数。
一元多项式函数的线性项形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n$。
其中，a_0、a_1、a_2、cdots、a_n是常数系数。
多元初等函数形式可以表示为：$f(x_1,x_2,cdots,x_n) = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + cdots + a_nx_n$，即函数中含有不到n个变量，变量之间是独立的。
一个多元函数的定义域为所有变量的取值的集合，而其值域是所有可能的函数值的集合。
多元初等函数有着丰富的性质，常见的性质有：（1）多项式的值总是不负的；（2）当全部变量都设置为1时，其值是一个正数；（3）把任意一个变量设置为1，其值总是大于0；（4）若任意一个变量取值为0，多项式的值总是为0；（5）多项式的局部极大值或极小值一定是取值最大或最小的解，即多项式的极值一定是取值最大或最小的解；（6）多项式总是具有参数不变的单调性。
多元初等函数在工程应用中有着广泛的用途。
它可以用作数据拟合，可以建立多变量的线性回归模型，用来估算各变量之间的关系。
此外，多元初等函数还可用来解决线性规划问题、优化问题、统计问题等。
总之，多元初等函数是一类重要的数学函数，它具有许多优秀的性质，并且在工程应用中有着重要的应用价值。
多元初等函数的研究和应用将极大地提高科学研究的效率，为社会发展作出巨大贡献。
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解 1 求 f [j (x)] 时, 应将 f (x) 中的 x 视为j (x),
因此 f [j( x)] 1 1 sin x
2 求j[ f ( x)] 时, 应将j ( x)中的 x 视为 f ( x),
因此
j [ f ( x)] sin 1 .
1 x
例 3 设 f ( x 1) x2 , 求 f (2x 1). 解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2, 再将 u = 2x 1 代入, 即得复合函数
则盒子的底面积为 (a 2x)2 ，高为 x， 因此所求的函
数关系为
V x(a 2x)2 , x 0, a . 2
例 6 由直线 y = x， y = 2 x 及 x 轴所围的等 腰三角形 OBC ，在 底 边 上任取一点 x [0, 2]. 过 x 作垂直 x 轴的直线， 将图上阴影部分的面积表 示成 x 的函数 .
y B
y=x
O
x1
y=2x
C 2x
解 设阴影部分的面积为 A ，当 x [0, 1) 时，
A 1 x2. 2
y
当 x ∈ [1, 2] 时，
B
A 1 1 (2 x)2.
y=x
2
所以
O
y = 2x
C
1x
2x
A
1 2
x2
, x [0, 1)，
2 x
1 2
x2
y
3 2x tan 3x x2 sin x 2x
等等, 都是初等函数 .
二、建立函数关系举例
例 5 设有一块边
x
长为 a 的正方形薄板， 将它的四角剪去边
x
长相等的小正方形
制作一只无盖盒子，
a 2x
试将盒子的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积表示成小正方形边长的函数.
解 设剪去的小正方形的边长为 x, 盒子的体积为V.
第二模块 函数、极限、连续
第二节 初等函数与多元函数
一、初等函数 二、建立函数关系举例 三、多元函数的概念
一、初等函数
1.基本初等函数
幂函数 y xa(a 为任意实数); 指数函数 y a x(a 0, 且 a 1);
对数函数 y log a x (a 0,且 a 1);
y loga (sin x 2x ) 是由 y u, u loga v, v sin x 2x 复合而成的.
3.初等函数
由基本初等函数及常数 经过有限次四则运算和 有限次复合构成,并且可以用一个数学式子表示的 函数, 叫做初等函数.例如
y
ln5x 3x sin2 x ，
三角函数 y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；
反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；
等五类函数统称为基本初等函数 .
x2
y2
1>
0
,
即
1 < x2 + y2 ≤ 4
O1
2x
所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域， 是有界区域.
再将 D 投影到 x 轴上，得到区间 [1 , 2]，则区域
D 内任一点的横坐标 x ， 满足不等式 1 ≤ x ≤ 2,
在 [1 , 2] 内任取一点 x ，
y=x
y
作平行于 y 轴的直线， 2
f (2x 1) [(2x 1) 1]2 4( x 1)2 .
例 4 指出 y (3x 5)10, y loga (sin x 2x ) 是由哪些函数复合而成的.
解 y (3x 5)10是由 y u10 和 u 3x 5 复合 而 成 的.
例 8 求下列函数的定义域 D，并画出 D 的图形：
(1) z arcsin x arcsin y ;
2
3
(2) z 4 x2 y2
1
.
x2 y2 1
解 (1) 因为要使函数 z arcsin x arcsin y
2
3
有意义, 应有
x
2 ≤ 1 ,
解
z
(
,1）
2
sin(
2
1)
1 12 1
2,
类似地，可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , ···, xn)，多于一个自变量的函 数统称为多元函数.
2. 二元函数的定义域
二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线 所围成的区域，用 D 表示. 围成区域的曲线称为 区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 连 同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以 被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内， 则称此区域为有界区域.
所以在 y 轴上得到区间 [1 , 2]. 在区间 [1, 2] 内任意取
一点 y , 作平行于 x 轴的直线， 由图可知对于所给的
y ，D 内对应点的横坐标 x 满足
y
y ≤ x≤ 2,
2
y=x
故 D 用形如 ② 的不等式组
y=1
表示为
1
1 ≤ y ≤ 2,
y ≤ x≤ 2 .
O
1
2 x=2x
例 1 试求函数y u2 与 u cos x 构成的复 合 函 数.
解 将 u cos x 代入 y u2 中，即为所求的复 合函数
y cos 2 x,
其定义域为 (, ) .
例2
设 f (x) 1 , j( x) sin x ,
1 x
求
f [j(x)],j[ f (x)].
1,
x
[1,
2]
.
三、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 定义 1 设有三个变量 x , y 和 z , 如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时. 变量 z 按 照一定的规律 f , 总有确定的数值与它们对应， 则 称 z 是 x , y 的二元函数， 记为
z f ( x, y),
由图可知，对于所给的
x , D 内对应的纵坐标
1
y=1
y 满足：
1 ≤ y ≤ x,
因此区域 D 用形如 ① O
1
2 x=2x
的不等式组表示为
1 ≤ x ≤ 2 ,
1 ≤ y ≤ x .
若想把 D 用形如 ② 的不等式组表示， 则将 D 投影 到 y 轴上，因为直线 x = 2 与 y = x 的交点为 (2 , 2)，
2.复合函数
若函数 y = F(u), 定义域为 U1 , 函数 u = j (x) 的值
域为 U2, 其中 U2 U1, 则 y 通过变量 u 成为 x 的函数,
这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的
复合函数, 记为
y F[j ( x)],
其中变量 u 称为中间变量.
其中 x, y 称为自变量， z 称为因变量．自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .
二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为
z , z xx0 y y0
( x0 , y0 )
或 f ( x0 , y0 ).
例 7 设 z sin(xy) 1 y2 , 求z ( ,1) 2
f (2x 1) [(2x 1) 1]2 4( x 1)2 .
方法二 因为 f (x 1) = x2 = [(x 1) + 1]2, 于 是
问题转化为求 y = f (x) = (x 1)2 与 j (x) = 2x 1 的 复合函数 f [j (x)] , 因此
y ≤ 1,
3
即
2 ≤ x ≤ 2,
3 ≤ y ≤ 3,
所以函数的定义域 D 是以 x = ± 2 , y = ± 3 为边界的矩 形闭区域.
y 3
2
O
2x
3
(2) 因为要使函数
z 4 x2 y2
1
y
x2 y2 1
有意义， 应有
4 x2 y2 ≥ 0 ,