第九讲和第十讲 统计1107班 王凤娇 翻译

STA333第九讲

检验配对数据：Wilcoxon符号-秩检验

9.1 Wilcoxon符号-秩检验

我们回顾一下猴子数据：

►例：猴子的刺激。一位生理学家希望知道猴子更喜欢大脑区域A的刺激还是大脑区域B的刺激。

在该实验中，14只猴子被教导要按下两个按钮。当灯亮起时，压在按钮1总是导致区域A的刺激；压在按钮2总是导致区域B的刺激。学习按按钮后，猴子再测试15分钟，在这段时间内记录压两个按钮的频率。频率越高，喜欢这种刺激的程度越高。

数据显示在下面。每只猴子被测试两次，因此这是一个成对数据的例子。该数据的形式是（X，Y）对。

我们已经在上一讲中做了这些数据的符号检验。

符号检验一个明显的问题是它丢弃了很多关于数据的信息。它考虑到了差异的方向，但不是每对数之间的差的大小。

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在这一点上，我将讨论另一种方法，使用配对样本比较两个群体。这种新的方法称为Wilcoxon符号-秩检验，它不是一个基于二项分布的检验，所以我们将不得不考虑有点不同的东西。

试验的性质

假设在一个区间尺度上，我们有n对测量值（X1，Y1），（X2，Y2），...，（X n，Y n）的随机样本。区间尺度测量是考虑测量值之间的距离有意义的一种测量。令D i= X i- Y i，每对的不同分数（就像在符号检验）。

假设。要试验的假设与在第8讲的符号检验是相同的，即我们是在比较两个群体真实的中位数M x和M y ：

H0 ：M x = M y 与H a ：M x ≠M y （双侧检验）

M x > M y （上尾检验）

M x < M y （下尾检验）与往常一样，基于相关研究的问题，你选择的合适的备择假设H a。

检验统计量的推导。让我们用相同猴子的刺激的数据来说明符号检验。14组得分差（D i ′s）分别为：

–20，–7，–14，–13，–26，+5，–17，–9，–10，–9，–7，+3，+2，–17 首先，删除其中D i=0的所有观测值。剩下的这些观测值，我们基于绝对值（即：不考虑符号）的基础对这些D i的值进行排序，然后给每个观测值分配秩。结果如下：

D i +2 +3 +5 -7 -7 -9 -9 -10 -13 -14 -17 -17 -20 -26

秩 1 2 3 4.5 4.5 6.5 6.5 8 9 10 11.5 11.5 13 14

秩为1的与最小的值（绝对值）对应，秩为2的与下一个大的对应，以此类推。如果两个值的的得分差相同，我们通常将秩平均后对应这些观测值。关于这个更多的请看下一节。

本例中，V=6（即：1+2+3）。

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►课堂练习：工作周5天与4天的里程比较。灵活地安排时间能减少资源的需求？湖县伊利诺伊州卫生局对灵活的四天工作周做了试验。该部门记录了一年中一个普通的每周5天工作制的7个工人的里程。然后它变成一个灵活的4天工作制，再记录一年的行驶里程。这项研究的目的是确定是否里程小而导致了4天日程安排。

计算Wilcoxon符号-秩统计量V。

那么，现在我们要弄清楚如何得到p值。要做到这一点，首先要了解V在不同情况下的行为：

●如果原假设H0：M x = M y是真实的，正秩总和与负秩总和将大致相等。在这种情况

下，V≌n(n+1)/4。

●如果（假设）H a ：M x > M y是真实的，它将会导致看到很多的组都是X i > Y i ，因

此更多的组的D i >0。所以，较大的秩差将趋于正，最终我们将会看到V的值增

加了。

●同样的观点也可用于进行下尾检验和双边检验。

检验统计量V的原分布。（只是一个提醒：这不是二项分布）。V的抽样分布可以通过查看标记（+）和（-）的可能的排列来获得，然后计算每一个可能的排列的与标记（+）有关的秩和。如果原假设H0为真，那么每一个标记（+）和（-）的可能的排列很可能相等。

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►课堂练习。假设我们有n=4（X，Y）对不打结的秩，所以我们得到四个唯一的D i。发现V的完整的原假设分布：与正得分有关的秩和。

p值。根据定义，任何假设检验的p值是证明作为实际样本中观察到的样本至少违背H0（并接受H a）的可能性大小。在这种情况下，p值将是来自V的原假设分布的一些可能性。

我们将用R计算它。然后，我们可以在一些预先确定的显着性水平α下比较它。

假设。

1．样本是随机的。

2．样本是连续的。

3．差的分布是对称的。

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9.2问题，问题：处理打结和零

假设2基本上确保所有的观察值将是唯一的，即在任何地方都没有重复值。但是当然，人们四舍五入的值，使用独立尺度，等等。这就是真实的世界。因此，如果连续性的假设是错误的，是否存在D i 为零的值，或者绝对值D i 打结？

另外还有两种方式，违反连续性假设会影响结果：

●蒙混的零。我们所谓的在符号检验的情况下的零点蒙混（因为它是相当虚假的）使

在符号-秩检验的情况下更有意义。在Wilcoxon符号-秩检验中，D i= X i -Y i为零的

值，差异应该得到尽可能小的绝对值，因为零的绝对值小于任何其他数字。我们不

妨给他们零秩，从零开始计数，而不是一。他们对秩和的统计量V没有什么贡献。

●打结的秩。前面问题的处理情况，其中单个值给了一对完全相同的值。但第二类错

误导致一个不同的问题：如果我们有两个单个值D i 打结？（看看猴子数据：这种

情况是相当普遍存在的。）

在这种情况下赋予秩并不是问题：如前所述，习惯上，以下列方式处理打结的秩：将打结的秩平均后在赋予它们，如果不打结就不用了。

举例来说，如果你有两个打结的得分占据位置3和4，将它们的秩均记为3.5。将占据7,8,9位置的三个打结的得分对应的秩记为8。这是处理打结数据较好的方法，因为不论是否存在打结的得分，固定的得分数目的秩和将会是相同的。事实上，R 固有的功能可以完成这些：

> d <- c(12,43,43,19)

> rank(d)

[1] 1.0 3.5 3.5 2.0

然而，主要的问题是打结得分的出现会使V的原假设分布改变。因为这个，检验的p 值或许会改变。这有可能会改变测试的结果，慎重考虑很重要的！

►练习（你自己）。和以前一样，假设我们有n=4（X，Y）对数，但不同的是在第3和4位置的观测值之间有一个打结的数，因此对应的秩也就变成了1，2.5，2.5，4。找出这个例子中V的原假设分布，看看它的原假设分布与没有打结秩的例子的不同。

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