椭圆和双曲线的方程、性质(学生)
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。
3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。
- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。
4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。
二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。
3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。
- 双曲线的面积无限大。
4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。
5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
椭圆与双曲线的性质对比
椭圆与双曲线的性质对比椭圆和双曲线是二次曲线的两种重要形式。
它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将对椭圆和双曲线的性质进行比较分析。
一、定义与基本方程1. 椭圆椭圆可以由平面上到两个给定点的距离之和恒定于常数的点构成。
这两个点称为椭圆的焦点。
椭圆的基本方程为：(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
2. 双曲线双曲线可以由平面上到两个给定点的距离之差恒定于常数的点构成。
这两个点也称为双曲线的焦点。
双曲线的基本方程为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
二、形状与图像椭圆和双曲线在几何形状上有明显的差异。
1. 椭圆椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于椭圆形。
所有椭圆上的点到椭圆的两个焦点的距离之和始终等于常数。
因此，椭圆的图像是有界的。
2. 双曲线双曲线是一个开放的曲线，其形状类似于双曲线形。
所有双曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之差始终等于常数。
因此，双曲线的图像是无界的。
三、焦点与离心率1. 焦点椭圆和双曲线都有焦点，但它们在位置上有一定的差异。
对于椭圆而言，焦点位于椭圆的中心轴上。
而对于双曲线而言，焦点位于双曲线的中心轴之外。
2. 离心率离心率是衡量椭圆或双曲线扁平程度的指标。
离心率的计算公式为：e = √(a² - b²) / a在椭圆中，离心率的值介于0和1之间（0≤ e < 1）。
离心率越接近0，椭圆的扁平程度越高。
而在双曲线中，离心率的值大于1（e > 1）。
离心率越大，双曲线的扁平程度越高。
四、对称性与渐近线1. 对称性椭圆和双曲线都具有对称性。
双曲线和椭圆的知识点
双曲线和椭圆的知识点一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上的一种曲线，由两个相交的直线割成两个分支。
它的定义式为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b为正实数。
双曲线有以下基本性质：1. 双曲线关于x轴、y轴对称；2. 双曲线有两条渐近线，即与x轴和y轴夹角趋近于0或π/2的直线；3. 双曲线在两条渐近线处无界；4. 双曲线分为左右两个分支，左分支开口向左，右分支开口向右；5. 双曲线在x=a和x=-a处有垂直渐近线。
二、椭圆的定义和基本性质椭圆是平面上一条封闭弧形，其所有点到两个定点之距离之和等于定长（即椭圆长轴），定义式为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1或(x-h)^2/b^2+(y-k)^2/a^2=1，其中(h,k)为椭圆中心坐标，a和b为长短半轴长度。
椭圆有以下基本性质：1. 椭圆关于x轴、y轴对称；2. 椭圆有两条主轴，即长轴和短轴，交于椭圆中心；3. 椭圆的离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离；4. 椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和等于椭圆长轴长度；5. 椭圆在x=h处有垂直渐近线。
三、双曲线和椭圆的参数方程双曲线的参数方程为x=acosht，y=bsinht或x=asect，y=btant，其中t为参数。
这两种参数方程对应左右两个分支。
椭圆的参数方程为x=h+acosθ，y=k+bsinθ或x=h+bsinθ，y=k+acosθ，其中θ为参数。
四、双曲线和椭圆的焦点双曲线有两个焦点F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率。
椭圆也有两个焦点F1(h+ae,k)和F2(h-ae,k)，其中a、b、h、k、e均已定义。
五、双曲线和椭圆的面积双曲线面积公式为S=abπ，其中a和b分别为左右两个分支的半轴长度。
椭圆面积公式为S=abπ，其中a和b分别为长轴和短轴长度。
六、双曲线和椭圆的应用1. 双曲线在物理学中有许多应用，如描述电磁波传播、天体运动等。
双曲线和椭圆的标准方程
双曲线和椭圆的标准方程双曲线和椭圆是常见的二次曲线，它们具有重要的数学应用和丰富的几何性质。
本文将介绍双曲线和椭圆的标准方程，以及它们的基本性质和图像特征。
一、双曲线的标准方程双曲线是平面直角坐标系中的一种曲线，它与直线的距离之差等于常数的点的集合。
它的标准方程分为两种形式，即横轴双曲线和纵轴双曲线。
1. 横轴双曲线的标准方程横轴双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，焦点在横轴上。
横轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为左、右支，两支曲线均向外扩张。
2. 纵轴双曲线的标准方程纵轴双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，焦点在纵轴上。
纵轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为上、下支，两支曲线均向外扩张。
二、椭圆的标准方程椭圆也是平面直角坐标系中的一种曲线，它与两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
和双曲线一样，椭圆的标准方程也分为两种形式，即横轴椭圆和纵轴椭圆。
1. 横轴椭圆的标准方程横轴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，长轴在横轴上。
横轴椭圆的图像呈现出一个类似于圆形的形状，但是在两端被“压扁”，长的轴变为短的轴。
2. 纵轴椭圆的标准方程纵轴椭圆的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，长轴在纵轴上。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆与双曲线性质
椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。
以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。
主轴的中点是椭圆的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。
3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。
4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。
以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。
主轴的中点是双曲线的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率大于1。
3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。
4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。
它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。
椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。
椭圆和双曲线知识点表格
椭圆和双曲线知识点表格椭圆和双曲线知识点表格椭圆和双曲线是高中数学中比较重要的内容之一，它们在数学、物理、工程和经济学中都有广泛的应用。
下面我们将针对椭圆和双曲线的相关知识点进行详细的说明和比较。
椭圆椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状像一个拉长的圆形。
下面是椭圆的主要特点：1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，所有到这两个焦点的距离之和是常数。
2. 中心性质：椭圆的中心位于椭圆的长轴和短轴的交点处，也就是它的几何中心。
3. 离心率性质：离心率是用来描述椭圆形状的一个参数，它等于焦距与长轴长度之比。
4. 方程性质：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆长轴和短轴的长度。
双曲线双曲线也是一个平面上的闭合曲线，不同于椭圆的是，它的两条渐近线永远不会相交。
下面是双曲线的主要特点：1. 焦点性质：双曲线同样有两个焦点，所有到这两个焦点的距离之差是常数。
2. 中心性质：和椭圆一样，双曲线的中心位于它的几何中心，也就是它的两条渐近线的交点处。
3. 离心率性质：离心率也是用来描述双曲线形状的一个参数，它等于焦距与渐近线距离之比。
4. 方程性质：双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$ 和$b$ 分别为双曲线横轴和纵轴的长度。
椭圆和双曲线的比较虽然椭圆和双曲线都是平面上的闭合曲线，但它们之间还是有一些明显的差异。
下面是椭圆和双曲线的比较：1. 形状差异：椭圆形状更加圆润，而双曲线则更倾向于沿着两个方向无限延伸。
2. 焦点性质差异：椭圆的焦点距离和为常数，而双曲线的焦点距离差为常数。
3. 离心率性质差异：椭圆的离心率范围是 $0 \le e \lt 1$，而双曲线的离心率范围是 $e \gt 1$。
4. 应用领域差异：椭圆在天文学、植物学和热力学等领域有广泛应用，而双曲线则在光学、电磁学和近代物理学等领域有广泛应用。
椭圆方程,双曲线方程,抛物线方程联立
椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。
通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。
本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。
一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。
二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。
双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。
通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。
三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。
抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。
抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。
四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。
以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。
这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。
结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。
双曲线方程及其性质(学生版)-高中数学
双曲线方程及其性质1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新Ⅱ卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程直线的点斜式方程及辨析双曲线中的定直线问题2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程求双曲线中三角形(四边形)的面积问题根据韦达定理求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程双曲线中的轨迹方程双曲线中的定值问题2021年新Ⅱ卷，第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解1.双曲线的定义平面上一动点M x ,y 到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 的距离的差的绝对值为定值2a 且小于F 1F 2 =2c 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F 1,F 2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离F 1F 2 叫做双曲线的焦距2.数学表达式：MF 1 -MF 2 =2a <F 1F 2 =2c3.双曲线的标准方程焦点在x 轴上的标准方程焦点在y 轴上的标准方程标准方程为：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)标准方程为：y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)4.双曲线中a ，b ，c 的基本关系(c 2=a 2+b 2)5.双曲线的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)范围x ≤-a 或x ≥ay ∈R y ≤-a 或y ≥ax ∈R 顶点坐标A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)B 1(0,-b )，B 2(0,b )A 1(0,-a )，A 2(0,a )B 1(-b ,0)，B 2(b ,0)实轴A 1A 2 =2a 实轴长，A 1O =A 2O =a 实半轴长虚轴B 1B 2 =2b 虚轴长，B 1O =B 2O =b 虚半轴长焦点F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0,-c )，F 2(0,c )焦距F 1F 2 =2c 焦距，F 1O =F 2O =c 半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)渐近线方程y =±baxy =±a bx离心率e =ca(e >1)e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=1+b a 2⇒e =1+b a2离心率对双曲线的影响e 越大，双曲线开口越阔e 越小，双曲线开口越窄6.离心率与渐近线夹角的关系e =1cos α7.通径：(同椭圆)通径长：MN =EF =2b 2a，半通径长：MF 1 =NF 1 =EF 2 =FF 2 =b 2a8.双曲线的焦点到渐近线的距离为b考点一、双曲线的定义及其应用1.(2024·河北邢台·二模)若点P 是双曲线C ：x 216-y 29=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“PF 1 =8”是“PF 2 =16”的()A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件2.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A 、B 两点，且AB =5，若双曲线的实轴长为8，那么△ABF 2的周长是()A.5B.16C.21D.263.(2024高三·全国·专题练习)若动点P x ,y 满足方程x +2 2+y 2-x -2 2+y 2 =3，则动点P 的轨迹方程为()A.x 294-y 274=1 B.x 294+y 274=1C.x 28+y 24=1D.x 216-y 212=11.(2024·陕西榆林·模拟预测)设F 1，F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的左，右焦点，过F 1的直线与y 轴和C 的右支分别交于点P ，Q ，若△PQF 2是正三角形，则|PF 1|=()A.2B.4C.8D.162.(23-24高三下·山东青岛·阶段练习)双曲线x 2a2-y 212=1(a >0)的两个焦点分别是F 1与F 2，焦距为8;M 是双曲线上的一点，且MF 1 =5，则MF 2 =．3.(23-24高二上·四川凉山·期末)已知点M 2,0 ，N -2,0 ，动点P 满足条件PM -PN =2，则动点P 的轨迹方程为()A.x 23-y 2=1x ≥3B.x 23-y 2=1x ≤-3C.x 2-y 23=1x ≥1 D.x 2-y 23=1x ≤-1 考点二、双曲线的标准方程1.(2024高三下·全国·专题练习)双曲线方程为x 2k -2+y 25-k =1，则k 的取值范围是()A.k >5B.2<k <5C.-2<k <2D.-2<k <2或k >52.(2023高三上·湖北孝感·专题练习)过点2,2 且与椭圆9x 2+3y 2=27有相同焦点的双曲线方程为()A.x 26-y 28=1B.y 26-x 28=1C.x 22-y 24=1D.y 22-x 24=13.(22-23高二下·甘肃武威·开学考试)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5.4.(23-24高三上·河北张家口·开学考试)“k >2”是“x 2k +1-y 2k -2=1表示双曲线”的( )．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2024·辽宁·二模)已知双曲线C ：x 2-y 2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为()A.x 2-y 2=1B.y 2-x 2=1C.x 2-y 2=2D.y 2-x 2=26.(2022高三·全国·专题练习)已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点P3,27,Q-62,7,求该双曲线的标准方程．考点三、双曲线的几何性质1.(2024·福建福州·模拟预测)以y=±3x为渐近线的双曲线可以是()A.x23-y2=1 B.x2-y29=1 C.y23-x2=1 D.y2-x29=12.(2024·广西柳州·模拟预测)双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为( )．A.5B.4C.455D.233.(2024·河南新乡·三模)双曲线E:x2a2+a+2-y22a+3=1的实轴长为4，则a=.4.(2024·湖南益阳·模拟预测)已知双曲线x2m -y2n=1(m>0,n>0)与椭圆x24+y23=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为()A.6B.7C.8D.95.(2022·福建三明·模拟预测)已知双曲线C1:x2+y2m=1m≠0与C2:x2-y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为( ).A.x±y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=06.(2024·贵州·模拟预测)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”C:x2 25-2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为．1.(24-25高三上·江苏南通·开学考试)过点P2,3的等轴双曲线的方程为.2.(2024·安徽合肥·一模)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4，则C的渐近线方程为()A.y=±15xB.y=±3xC.y=±1515x D.y=±33x3.(23-24高三上·河南漯河·期末)已知双曲线C:mx2-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为mx+3y =0，则C的焦距为.4.(24-25高三上·山东泰安·开学考试)若双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个焦点F5,0，一条渐近线方程为y=34x，则a+b=．5.(2024·河南新乡·模拟预测)(多选)已知a>0,b>0，则双曲线C1:x2a2-y2b2=1与C2:x2a2-y2b2=4有相同的()A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线考点四、双曲线的离心率1.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．2.(2024·上海·高考真题)三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3.(2024·全国·高考真题)已知双曲线的两个焦点分别为0,4,0,-4，点-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.24.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A x1,y1，交双曲线的渐近线于点B x2,y2且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是．5.(2022·全国·高考真题)双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为()A.52B.32C.132D.1726.(2024·广东江苏·高考真题)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．1.(2024·河南周口·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为()A.5B.455C.355D.522.(2024·四川成都·模拟预测)双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则其离心率为( )．A.233B.63C.103D.2633.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线的倾斜角为5π6，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.54.(2024·山东·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与E 的右支交于A ，B 两点，且BF 2 =2AF 2 ，若AF 1 ⋅AB=0，则双曲线E 的离心率为()A.3B.173C.233D.1035.(2024·福建泉州·一模)O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，点P 在E 上，直线PF 1与直线bx +ay =0相交于点M ，若PM =MF 1 =2MO ，则E 的离心率为．考点五、双曲线中的最值问题1.(22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习)P 为双曲线x 2-y 2=1左支上任意一点，EF 为圆C :(x -2)2+y 2=4的任意一条直径，则PE ⋅PF的最小值为()A.3B.4C.5D.92.(22-23高三下·江苏淮安·期中)已知F 1,F 2分别为双曲线x 29-y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，则PF 12-PF 2PF 2最小值为()A.19B.23C.25D.853.(22-23高二上·浙江湖州·期末)双曲线x 2m -y 2n =1(m >0,n >0)的离心率是2，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线左支上一点，则PF 2 PF 1的最大值是()A.32B.2C.3D.41.(22-23高三下·福建泉州·阶段练习)双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线P A ，PB 与x =12分别交于M ，N 两点，则MN 的最小值为.2.(2022高三·全国·专题练习)长为11的线段AB 的两端点都在双曲线x 29-y 216=1的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为()A.75B.5110C.3310D.323.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知A ,B 分别是双曲线C :x 29-y 25=1的左、右顶点，P 是双曲线C上的一动点，直线P A ，直线PB 与x =2分别交于M ,N 两点，记△PMN ，△P AB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S 1S 2的最小值为()A.316B.181 C.34D.2581考点六、双曲线的简单应用1.(23-24高三上·江西·期末)阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =5，从F 2发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则sin ∠F 2F 1E =()A.56B.55C.45D.2552.(22-23高二上·山东德州·期末)3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm (数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为()A.5748cm B.2878cm C.5744cm D.2874cm 3.(2023·浙江杭州·二模)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线(F 1，F 2为焦点)上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24-y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P 3,102 处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则OM=．4.(2024·全国·模拟预测)在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线F 2P 和反射光线PE 互相垂直时(其中P 为入射点)，cos ∠F 1F 2P 的值为()A.5+14B.5-14C.7+14D.7-145.(2024·吉林延边·一模)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图)．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x 2-y 24=1(-2≤y ≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．6.(2023·广东茂名·三模)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，从F 2发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过F 1；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分∠F 1PF 2.若双曲线C 的方程为x 29-y 216=1，则下列结论正确的是()A.射线n 所在直线的斜率为k ，则k ∈-43,43B.当m ⊥n 时，PF 1 ⋅PF 2 =32C.当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13D.若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF2=12一、单选题1.(23-24高三下·重庆·期中)已知双曲线y212-x2b2=1b>0的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±13x B.y=±3x C.y=±3x D.y=±33x2.(2024·湖南邵阳·模拟预测)若点-3,4在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线上，则C的离心率为()A.259B.2516C.53D.543.(2024·全国·模拟预测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个顶点坐标为(-2,0)，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x4.(2024高三上·全国·专题练习)已知双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C上的一点，且PF1=5,PF2=3,∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是()A.7B.72C.73D.745.(2024·全国·模拟预测)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F c,0到其渐近线的距离为32c，则该双曲线的离心率为()A.12B.32C.2D.26.(2024·四川·模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A ，B 两点，若AF 1 =2F 1B ，AB =BF 2 ，则cos ∠F 1BF 2=()A.118B.19C.29D.237.(2024·全国·模拟预测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率分别为e 1,e 2，若e 1∈55,1 ，则e 2的取值范围是()A.1,255B.1,355C.255,+∞D.355,+∞二、填空题8.(2024·湖南岳阳·三模)已知双曲线C 过点(1,6)，且渐近线方程为y =±2x ，则C 的离心率为．9.(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C ，则C 的方程为.10.(2024高三·全国·专题练习)求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点A (3,2)和点B (23,1)的椭圆；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(-2,2)的双曲线．一、单选题1.(2024·江西·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，AB ⊥AF 2，tan ∠AF 2B =43，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±32xB.y =±3xC.y =±32x D.y =±62x 2.(2024·山西太原·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为0,-6 ，若动点P 位于y 轴右侧，且到两定点F 1-3,0 ，F 23,0 的距离之差为定值4，则△APF 1周长的最小值为()A.3+45B.3+65C.4+45D.4+653.(2024·广东广州·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，一条渐近线的方程为y =2x ，直线y =kx 与C 在第一象限内的交点为P .若PF =PO ，则k 的值为()A.52B.32C.255D.4554.(2024·湖南长沙·二模)已知A 、B 分别为双曲线C :x 2-y 23=1的左、右顶点，过双曲线C 的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P 、Q 两点(点P 、Q 异于A 、B )，则直线AP 、BQ 的斜率之比k AP :k BQ =()A.-13B.-23C.-3D.-325.(2024·河北·三模)已知O 是坐标原点，M 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 右支上任意一点，过点M作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为12b 2，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.26.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若AB =83AF 1 ，且cos ∠F 1BF 2=14，则双曲线C 的离心率为()A.2B.53C.43D.37.(2024·宁夏银川·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为(0,b )，若C 上存在点P使得PB <b 成立，则C 的离心率取值范围是()A.2+12,+∞ B.5+32,+∞ C.2,+∞D.5+12,+∞二、填空题8.(2024·浙江·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线渐近线上的点，且F 1M ⋅F 2M=0，若MF 1 =2MF 2 ，则该双曲线的离心率e =.9.(2024·辽宁·模拟预测)设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线C :x 29-y 26=1的两个焦点，点P 在C 上，cos ∠F 1PF 2=45，则|OP |=10.(2024·广西来宾·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上一点P 满足sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=3，以F 2为圆心的圆与F 1P 的延长线相切于点M ，且F 1M =3F 1P ，则双曲线的离心率为.1.(2024·天津·高考真题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=12.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.4553.(2023·全国·高考真题)设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-44.(2023·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2．过F 2向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若PF 2 =2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A.x 28-y 24=1B.x 24-y 28=1C.x 24-y 22=1D.x 22-y 24=15.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C 的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．6.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点-4,0 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P ．证明:点P 在定直线上.7.(2022·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，抛物线y 2=45x 的准线l 经过F 1，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若∠F 1F 2A =π4，则双曲线的方程为()A.x 216-y 24=1B.x 24-y 216=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 24=18.(2022·北京·高考真题)已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±33x ，则m =．9.(2022·全国·高考真题)若双曲线y 2-x 2m2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2-4y +3=0相切，则m =．10.(2022·全国·高考真题)记双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值．11.(2021·全国·高考真题)双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为．12.(2021·全国·高考真题)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.13.(2021·北京·高考真题)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1离心率为2，过点2,3 ，则该双曲线的方程为()A.2x 2-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.5x 2-3y 2=1D.x 22-y 26=114.(2021·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则C 的焦距为．15.(2021·全国·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。
高三数学知识点双曲线椭圆
高三数学知识点双曲线椭圆高三数学知识点：双曲线和椭圆双曲线和椭圆是高中数学中重要的曲线类别，它们在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将详细介绍双曲线和椭圆的定义、性质、方程及其应用。
一、双曲线1. 定义及性质双曲线是由平面上满足一定条件的点构成的曲线。
它的定义是：平面内到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。
两个给定点叫做焦点，常数叫做离心率。
双曲线的形状与焦点和离心率有关。
2. 方程双曲线的标准方程有两种形式：独立变量在分子和分母上的方程和独立变量在一项上的方程。
常见的双曲线方程有：横轴双曲线方程、纵轴双曲线方程、一般方程等。
3. 性质和参数双曲线具有许多重要的性质和参数，如焦点、离心率、短轴、长轴、渐进线等，这些性质和参数在解决具体问题和计算曲线方程时非常重要。
4. 应用双曲线在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述天体的轨迹、椭圆轨道上的行星运动等。
二、椭圆1. 定义及性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
两个定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆的形状与焦点和离心率有关。
2. 方程椭圆的标准方程也有两种形式：横轴椭圆方程和纵轴椭圆方程。
椭圆方程可以用于描述椭圆的形状和位置。
3. 性质和参数椭圆也具有一些重要的性质和参数，如焦点、离心率、长轴、短轴、焦距、半焦距等。
这些性质和参数对于解决问题和计算曲线方程非常有帮助。
4. 应用椭圆在物理学、天文学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用。
例如，椭圆可以用于描述行星轨道、天体运动、电子轨道等。
三、双曲线与椭圆的区别与联系1. 区别双曲线和椭圆的最大区别在于它们到焦点的距离之和是否等于常数。
双曲线是距离之差的绝对值等于常数，而椭圆是距离之和等于常数。
2. 联系双曲线和椭圆具有一定的联系和相似之处。
它们都是由到焦点的距离之和或之差等于常数的点构成的曲线，因此它们在数学中有类似的性质和参数。
四、总结双曲线和椭圆是高三数学中重要的知识点，它们的定义、性质、方程和应用都需要我们深入理解。
双曲线的简单几何性质学生版
(2)x2 y2 4
2.若双曲线的渐近线方程为y 4 x,则双曲线 3
的离心率为
1.双曲线的简单几何性质： 范围、对称性、顶点、渐近线、离心率
2.数学思想方法：“类比”和“数形结合”
体验高考
1.2011安徽高考双曲线2x2 y2 8的实轴长是（ ）
A.2
y2 - x2 1 (a 0, b 0) a2 b2
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
* ybx a
e c (e 1) a
* yax b
巩固练习
1.求以下双曲线的焦点坐标、顶点坐标、 实轴长、虚轴长、渐近线方程、离心率.
1、范围
y a或y a, x R
y
a
o
x
-a
【练习一】写出以下双曲线的范围
x2 y2 (1) 1
4 12 (2) x2 y2 1
20 16
3 y2 x2 1
9 16
探究双曲线
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
的简单几何性质
2、对称性
(-x,y)
y (x,y)
4.双曲线的渐近线
▲规定：直线
ybx a
叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么？ y
a
x
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？b
x2 y2 a2 b2 =1
y2 a2
x2 b2
椭圆和双曲线标准方程
椭圆和双曲线标准方程椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的标准方程及其性质，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这两种曲线。
一、椭圆的标准方程。
椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹，这两个给定点称为椭圆的焦点。
椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\)和\(b\)分别为椭圆在\(x\)轴和\(y\)轴上的半轴长，且\(a > b\)。
椭圆的中心在原点\((0,0)\)处，长轴与\(x\)轴重合，短轴与\(y\)轴重合。
椭圆的性质，椭圆是对称图形，关于\(x\)轴和\(y\)轴对称；焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数；长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、双曲线的标准方程。
双曲线是平面上一点到两个给定点的距离之差等于常数的动点轨迹，这两个给定点称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\)和\(b\)分别为双曲线在\(x\)轴和\(y\)轴上的半轴长，且\(a > 0, b > 0\)。
双曲线的中心在原点\((0,0)\)处，两支曲线分别与\(x\)轴和\(y\)轴相交。
双曲线的性质，双曲线有两支，每支都是无限延伸的曲线；焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于常数；两支曲线之间的距离决定了双曲线的形状。
三、椭圆和双曲线的图形。
椭圆和双曲线都是常见的曲线，它们在几何学和物理学中有着重要的应用。
椭圆常用于描述行星、原子轨道等规律运动的轨迹；双曲线常用于描述双曲线函数、电磁场等现象。
椭圆和双曲线的图形可以通过数学软件进行绘制，也可以通过手工绘图的方式来展现。
通过观察椭圆和双曲线的图形，我们可以更直观地理解它们的性质和特点。
四、椭圆和双曲线的应用。
椭圆和双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
初中数学知识归纳椭圆与双曲线的性质
初中数学知识归纳椭圆与双曲线的性质初中数学知识归纳：椭圆与双曲线的性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线形状，在初中数学中也有一定的涉及。
它们具有一些特定的性质，本文将对椭圆和双曲线的性质进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、椭圆的性质椭圆定义为平面上到两个不同定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以得到一些椭圆的性质。
1. 中心：椭圆的中心是两个焦点的中点，记作O。
2. 长轴和短轴：连接两个焦点的线段称为长轴，它的长度为2a；连接两个顶点的线段称为短轴，它的长度为2b。
3. 离心率：离心率e定义为焦点与中心的距离之比，即e=√(a^2-b^2)/a。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化成一个圆。
4. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a。
5. 坐标方程：椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是中心的坐标。
二、双曲线的性质双曲线定义为平面上到两个不同定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以得到一些双曲线的性质。
1. 中心：双曲线的中心是两个焦点的中点，记作O。
2. 长轴和短轴：连接两个焦点的线段称为长轴，它的长度为2a；连接两个顶点的线段称为短轴，它的长度为2b。
3. 离心率：离心率e定义为焦点与中心的距离之比，即e=√(a^2+b^2)/a。
离心率的取值范围是e>1。
4. 焦点性质：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2a。
5. 渐近线性质：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的关系是两者的距离趋于零。
渐近线的方程为y=±b/a * x。
6. 坐标方程：双曲线的标准方程是(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是中心的坐标。
三、椭圆与双曲线的应用椭圆和双曲线在生活中有许多应用。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结椭圆和双曲线是高中数学中重要的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆与双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行总结。
一、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 椭圆的性质：- 两个焦点F1、F2与椭圆的中心O满足关系：OF1 + OF2 = 2a。
- 椭圆的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 椭圆的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个圆。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 椭圆的重要公式：- 椭圆的周长C = 4a(E(e))，其中E(e)为第二类椭圆积分。
- 椭圆的面积S = πab。
二、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差恒为常数2a的点P所构成的图形轨迹。
2. 双曲线的性质：- 两个焦点F1、F2与双曲线的中心O满足关系：|OF1 - OF2| = 2a。
- 双曲线的半长轴为a，半短轴为b，有关系式a > b。
- 双曲线的离心率e满足关系e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
- 双曲线的离心率大于1。
- 对于双曲线的每个点P，其到焦点的距离之差等于常数。
3. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为中心坐标。
4. 双曲线的重要公式：- 双曲线的渐近线方程为y = ±b/a * x。
- 双曲线的面积S = πab。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线类型，具有各自的定义、性质和方程。
掌握椭圆和双曲线的知识，有助于我们理解和解决与这两类曲线相关的问题。
高考双曲线椭圆知识点
高考双曲线椭圆知识点高考是每个中国学生都必须面对的一场考试，而数学是高考中最为重要的一门科目之一。
在数学中，双曲线和椭圆是高考中重要的知识点。
本文将从双曲线和椭圆的定义、性质以及应用方面进行探讨。
首先，我们先来了解一下双曲线的基本概念。
双曲线是一类曲线，它在平面上可以被定义为满足一定条件的点的集合。
在笛卡尔坐标系中，双曲线的方程可以写为Ax^2 + By^2 = C，其中A、B、C为常数，A和B不能同时为0。
双曲线有两支，分别位于x轴的两侧，并且曲线与x轴的交点称为双曲线的顶点。
双曲线具有一些重要的性质。
首先，双曲线与x轴和y轴的关系是不对称的，也就是说，如果一点(x, y)在双曲线上，那么它的对称点(-x, y)也在双曲线上。
其次，双曲线的两支在无穷远处趋于与x轴平行的直线，这个直线称为双曲线的渐近线。
另外，双曲线还具备焦点和准线的概念。
焦点是双曲线上的一个特殊点，具有一定的几何性质，而准线是与双曲线有特殊关系的一条直线。
接下来，让我们转移到椭圆的知识点。
椭圆是平面上一类特殊的曲线，它的定义与双曲线有所不同。
在笛卡尔坐标系中，椭圆的方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴。
椭圆的形状由长轴和短轴的长度所决定，当长轴的长度大于短轴的长度时，椭圆看起来更加扁平，反之则更加延长。
和双曲线一样，椭圆也具备一些重要的性质。
首先，椭圆与x轴和y轴对称，也就是说，如果一点(x, y)在椭圆上，那么它的对称点(-x, y)、(x, -y)、(-x, -y)也都在椭圆上。
其次，椭圆有两个焦点，它们与椭圆上的任意一点的距离之和是一个常数。
此外，椭圆的长轴和短轴的长度也决定了椭圆的离心率，离心率为0时，椭圆退化为一个圆。
不仅如此，双曲线和椭圆在现实生活中也有一些应用。
例如，在物理学中，双曲线和椭圆可以用来描述行星的轨道和天体的弹道。
此外，在工程中，双曲线和椭圆也常常用来设计桥梁和道路的曲线。
椭圆和双曲线知识点总结
椭圆和双曲线知识点总结椭圆和双曲线是解析几何学中重要的曲线类型，它们具有广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机图形学等。
对于学习者来说，掌握椭圆和双曲线的基本概念和性质非常重要。
本文将对椭圆和双曲线的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这两种曲线。
1. 椭圆椭圆是一种闭合的曲线，由平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点构成。
其中，距离之和等于常数的直线被称为准线，椭圆的准线经过椭圆的中心点。
椭圆有以下几个重要的性质：1.1 焦点和准线：椭圆的焦点是椭圆的两个定点，准线是距离之和等于常数的直线。
1.2 主轴：通过椭圆的两个焦点和中心点可以确定一条直线，称为主轴。
主轴上的两个点，分别与椭圆上的两个焦点重合。
1.3 长轴和短轴：主轴上的两个端点与椭圆上的焦点相连，分别与椭圆上的两个准线相交，形成的线段分别被称为椭圆的长轴和短轴。
1.4 离心率：椭圆的离心率是一个表示椭圆形状的数值，它等于焦点到准线的距离与椭圆长轴的比值。
离心率小于1的椭圆被称为椭圆，离心率等于1的特殊椭圆称为圆。
1.5 方程：椭圆方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心点坐标，a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
2. 双曲线双曲线也是一种闭合的曲线，其定义方式与椭圆类似，但是距离之差等于常数。
双曲线的准线与焦点之间的关系与椭圆相反。
双曲线有以下几个重要的性质：2.1 焦点和准线：双曲线的焦点是双曲线的两个定点，准线是距离之差等于常数的直线。
2.2 主轴：通过双曲线的两个焦点可以确定一条直线，称为主轴。
主轴上的两个点，分别与双曲线上的两个焦点重合。
2.3 长轴和短轴：主轴上的两个端点与双曲线上的焦点相连，形成的线段分别被称为双曲线的长轴和短轴。
2.4 离心率：双曲线的离心率也是一个表示双曲线形状的数值，它等于焦点到准线的距离与双曲线的长轴的比值。
2.5 方程：双曲线方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为双曲线的中心点坐标，a和b分别为双曲线长轴和短轴的长度。
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型(学生版)
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】 焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】 利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题2023·新高考1卷T 161已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ,F 2A =-23F 2B ，则C 的离心率为．2022·新高考2卷16题2已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．2022年新高考I 卷第16题3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．4(2023·全国·高考真题)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷(理)T 10--第三定义5椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.132023全国乙卷·理11·文126设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021·全国·高考真题)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为()A.13B.12C.9D.6【题型1】点差法(弦中点模型)中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)k AB ⋅k OM =e 2-1k AB ⋅k OM =-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则M x 1+x 22,y 1+y 22，k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1【思考】(1)椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；(2)在双曲线中是否有类似的性质？(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则Mx 1+x 22,y 1+y 22 ，仍有k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆x 2b 2+y 2a2=1上，代入A ，B 坐标得①:x 12b 2+y 12a 2=1②：x 22b 2+y 22a2=1两式相减得：x 12-x 22b 2+y 12-y 22a 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-a 2b 2∴k AB ⋅k OM =-a 2b2(2)∵A ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入A ，B 坐标得x 12a 2-y 12b 2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：k AB ⋅y M =p2024·江西鹰潭·一模1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60°的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆E 的离心率为()A.33B.63C.223D.2772024·湖南邵阳·二模1已知直线l :x -2y -2=0与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点.若弦AB 被直线m :x +2y =0平分，则椭圆C 的离心率为()A.12B.24C.32D.542024·宁波十校·3月适应性考试1已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，斜率为-19的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P 的坐标为-1,1 ，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D .若直线CD 的斜率为-19，则E的离心率为.2024·福建龙岩·一模1斜率为-1的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于A ,B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA ⊥TB ，点P ,Q 分别是△OAT ,△OBT 的重心，点R 是△TAB 的外心.记直线OP ,OQ ,OR 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，若k 1k 2k 3=-18，则椭圆C 的离心率为.2024·浙江温州·一模1斜率为1的直线与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于两点A ,B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC ⊥BC ，△OAC 和△OBC 的重心分别为P ,Q ，△ABC 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为k 1，k 2，k 3，若k 1k 2k 3=-8，则双曲线E 的离心率为.2024·吉林白山·一模1不与坐标轴垂直的直线l 过点N x 0,0 ，x 0≠0，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在两点A ,B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为x 1,y 1 ．若x 1=2x 0，则C 的离心率为()A.33B.12C.22D.322024·浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E :y 2=4x 上的两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 关于直线x =ky +4对称，直线AB 与x 轴交于点C x0,0 ，下列说法正确的是()A.E 的焦点坐标为1,0B.x +xC.x 1x 2是定值D.x 0∈-2,2【题型2】点差法(第三定义)第三定义k PA ⋅k PB =-1k PA ⋅k PB =e 2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a 2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a 2．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A (m ，n )，B (-m ，-n )的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a2．【证明】A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设P x1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a2=e 2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的k PA ⋅k PB =k OM ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设P x 1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2-y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2=e 2-1法二：构造中位线设P x ,y ，B (x ,y )∵P ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入双曲线方程得x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =k PB ⋅k OM =b 2a2=e 2-1同理可得，当焦点在y 轴上时，椭圆有：k PA ⋅k PB =-a 2b 2；双曲线有：k PA ⋅k PB =a 2b21已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3 C.62D.522已知双曲线C 1:x 220-y 210=1的左､右顶点分别为A ,B ，抛物线C 2:y 2=4x 与双曲线C 1交于C ,D 两点，记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1k 2为.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-2,0 ，F 22,0 ，A 为椭圆C 的左顶点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一、二象限的交点分别为M ，N ，若直线AM ，AN 的斜率之积为13，则椭圆C 的标准方程为()A.x 23+y 2=1B.x 26+y 22=1C.x 29+y 25=1D.x 28+y 24=12024·浙江绍兴·二模1已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：x 2-y 2=1a >0,b >0 上，且点A ，B 关于原点对称，∠CAB =90°.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若AN =3AM，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.232024届·河南天一大联考(六)·T 141已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，左､右顶点分别为A 1、A 2，点M 在C 上运动(与A 1、A 2枃不重合)，直线MA 2交直线x =54a 于点N ，若FN ⋅MA 1 =0恒成立，则C 的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试1已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.632024届·湖北省腾云联盟高三联考1已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题2已知A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan ∠AMB =-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=±a上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设ΔPF1F2的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。
数学中的椭圆与双曲线方程
数学中的椭圆与双曲线方程椭圆与双曲线方程在数学中具有重要的地位和应用。
它们在几何图形的研究、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆与双曲线方程的概念、性质以及解法。
一、椭圆方程椭圆是平面上一组点，到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为椭圆的离心率。
椭圆的方程可以用坐标系表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心点坐标；a和b分别表示椭圆在x轴和y 轴上的半长轴。
根据椭圆的离心率可将方程进行相应的变换。
二、双曲线方程双曲线也是平面上一组点的集合，其定义与椭圆类似。
双曲线的方程可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = -1其中，(h, k)为双曲线的中心点坐标；a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半长轴，且a² > b²。
三、椭圆与双曲线方程的解析法1. 根据方程的形式来判断：椭圆方程左侧和右侧系数都为正数；双曲线方程左侧系数为正数，右侧系数为负数。
2. 将方程转化为标准形式，即将中心移到坐标原点，确保(x - h)²和(y - k)²的系数为1。
3. 使用平移、旋转等变换将方程变为标准形式。
4. 掌握常见的椭圆与双曲线的形状和特点，根据方程参数的取值可以判断椭圆或双曲线的长短轴、中心、焦点等属性。
四、椭圆与双曲线方程的应用椭圆和双曲线在几何学中具有重要的应用，例如描述行星的轨道、椭圆拟合等。
此外，在物理学和工程学中，椭圆和双曲线也有广泛的应用。
1. 光学：椭圆的反射性质被应用于卫星天线的设计、太阳能聚光器等领域。
2. 工程学：双曲线被应用于设计抛物线形的桥梁、抛物面天花板等。
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第二讲椭圆和双曲线的方程、性质
教学目标：熟练运用椭圆、双曲线定义和性质解题。
1.一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点
A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时，点P 的轨迹
是 （ ）.
2.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B
两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ）
A ．
2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．22
1189x y += 3.椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324
⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
D ．314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
4.若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :122
2
222=+b y a x (022>>b a )的焦
点相同且12a a >.给出如下四个结论:
① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ②
11
22
a b a b >; ③ 2
2212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-.
其中,所有正确结论的序号是( ) A.①③ B①③④
C ．①②④
D ．②③④
5.过椭圆14
162
2=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线，切点为B A ,，过B A ,的直线与两坐标轴的交点为N M ,，则MON ∆的面积的最小值为（ ）
A.
23 B. 32
C. 2
1 D. 2
6.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准
线分别交于A , B 两点, O 为原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积
则p （ ） A ．1 B ．32
C ．2
D ．
作业：
2222
1.1(6)1(59)( )
10659. .. .x y x y m n m m n n
A B C D +=<+=<<----曲线与曲线的焦距相等离心率相等焦点相同准线相同
2229545,.
x y M +=、以椭圆的焦点为焦点且经过点的椭圆方程为
3.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ,上顶点为A,离心率为1
2
,点P 为第
一象限内椭圆上的一点,若112:2:1PF A PF F S S ∆∆=,则直线1PF 的斜率为______________.
2245945,,(1,1).||||.
F x y P A PA PF +=+、已知是椭圆的左焦点是此椭圆上的动点是一定点求的最小值和最大值
5.双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．25
B ．
45
C
D
6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为()3,0F ,离心率等于3
2
， 则双曲线的方程是（ ）
A ．22.1
4x A -
= 22
.145x y B -= 22.125x y C -= 22
.12x D -=
7.若04
π
θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222:1
sin sin tan y x C θθθ-=（ ）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π
6，则双曲线的渐近线方程为__________________．。