2019-2020学年四川省资阳市简阳市简城学区九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年四川省资阳市简阳市简城学区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 若关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0有一个根为0，则m 的值( )A. 0B. 1或2C. 1D. 22. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. 圆B. 等边三角形C. 平行四边形D. 等腰梯形3. 如图，▱ABCD 中，AB =4，BC =8，则CD =( )A. 4B. 8C. 12D. 244. 等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为( )cm ．A. 13B. 17C. 13或17D. 17或115. 菱形ABCD 中，有一个角为60°，较短的对角线长为4，则菱形ABCD 的面积为()A. B. 16 C. D.6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A. 对角相等B. 对角互补C. 对边相等D. 对角线互相平分7. 若0是关于x 的方程(m −2)x 2+3x +m 2−4=0的解，则m 的值是( )A. ±2B. −2C. 2D. 08. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为( )A. x +y =3B. 3x +y 2=2C. 2x −x 2=3D. x(x 2−2)=09. 方程2x 2−3x +1=0化为(x +a)2=b(a,b 为常数)的形式，正确的是( )A. (x −32)2=16B. (2x −34)2=116C. (x −34)2=116 D. 以上都不对10.如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于()A. 20B. 10C. 4√13D.2√13二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）11.若关于x的一元二次方程(m+3)x2−(m2−9)x+m+2=0的一次项系数为0，则m=．12.已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是______ cm，面积是______ cm2．13.已知(m−2)x|m|+x=1是关于x的一元二次方程，则m的值是______．14.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD=3，DC=4，则DE的长为__________．15.如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC，则∠DAE=______．16.如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．17.方程2x2−3x−1=0，则x1+x2=___________．18.在△ABC中，MN//BC分别交AB，AC于点M，N，若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为______．19.如图，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD=16°，则∠BAC=______°.三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）20.解方程：(x−1)2=4．21.用公式法解方程：2x2−6x+1=0．22.解方程：x2−8x−9=0．23.解方程：(1)x(2x+3)=4x+6.(2)x2−2x−8=0(用因式分解法)24.尺规作图．如图，已知线段a，b(a>b)，请用尺规作一条线段AB，使AB=a−b．25.商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价60元时，每天可销售100件，当每件商品售价低于60元时，每降价1元，日销售量就增加10件．据此规律，请回答：(1)当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？(2)在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品应降价多少元时，商场日盈利可达到2240元？26.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF.求证：CE=DF．27.如图，一架25m长的梯子AB，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m.求：(1)这个梯子的顶端距离地面的高度；(2)当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，梯子的顶端距离地面的高度．28.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．(1)请判断△CMN的形状，并说明理由；(2)如果MC=3ND，CD=4，求线段MN的长．29.19.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)若∠BAC=90°，求证：四边形ADCF是菱形．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了一元二次方程的解法和一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．根据一元二次方程的定义得到m−1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．解析：解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−3m+2=0有一个根为0，∴m2−3m+2=0，且m−1≠0，∴(m−1)(m−2)=0，且m−1≠0，解得m=2，故选D．2.答案：A解析：【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一分析各个选项即可得到结果．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等．四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD，由此可解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，故选A．4.答案：B解析：解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3<7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17．故选：B．题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要进行分类讨论．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查菱形性质及勾股定理等知识，解答本题的关键是知道菱形面积等于对角线乘积的一半．【解答】解：如下图：由题意得，∠ABC=60°，AC=4，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=4，在Rt△ABO中，BO=√AB2−AO2=2√3，故BD=2BO=4√3=8√3，∴菱形ABCD的面积为：4×4√3×12故选A．6.答案：B解析：【分析】本题考查了平行四边形的性质考查了矩形的性质，解答时对照两个图形的性质，逐一进行分析即可，得解．【解答】解：A.对角相等，矩形、平行四边形都具有，不合题意；B.对角互补，矩形具有而平行四边形不具有，符合题意；C.对边相等，矩形、平行四边形都具有，不合题意；D.对角线互相平分，矩形、平行四边形都具有，不合题意．故选B．7.答案：A解析：解：把x=0代入方程(m−2)x2+3x+m2−4=0得方程m2−4=0，解得m1=2，m2=−2，所以m=±2．故选：A．先把x=0代入方程(m−2)x2+3x+m2−4=0得方程m2−4=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程方程和一元一次方程的解：能使一元二次方程或一元一次方程，左右两边相等的未知数的值是一元二次方程或一元一次方程的解．8.答案：C解析：【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；B、该方程有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程的未知数x 的最高次数是3，故本选项错误； 故选C ． 9.答案：C 解析：【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x +a)2=b 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先把二次项系数化为1得到x 2−32x =−12，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方后利用完全平方公式即可得到答案．【解答】解：2x 2−3x +1=0，2x 2−3x =−1，x 2−32x =−12， x 2−32x +(34)2=−12+(34)2， (x −34)2=116．故选C ．10.答案：C解析：解：如图，连接BD ，AC ．在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，∠DAB =90°，则由勾股定理易求得BD =AC =2√13． ∵矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点， ∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF =12AC =√13，EF//AC ， 又GH 为△BCD 的中位线，∴GH =12AC =√13，GH//AC ， ∴HG =EF ，HG//EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形．同理可得：FG =12BD =√13，EH =12AC =√13，∴EF =GH =FG =EH =√13，∴四边形EFGH 是菱形．∴四边形EFGH 的周长是：4EF =4√13，故选：C ．根据矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，利用三角形中位线定理求证EF =GH =FG =EH ，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH 的周长即可．此题主要考查学生对菱形的判定、三角形中位线定理、和矩形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是利用三角形中位线定理求证EF =GH =FG =EH ．11.答案：3解析：【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，先根据一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式得{m +3≠0,−(m 2−9)=0,求得m 的值即可． 【解答】解：由题意，得{m +3≠0,−(m 2−9)=0,所以m =3． 12.答案：20；24解析：解：如图，四边形ABCD 是菱形，BD ，AC 分别是其对角线且BD =6，AC =8，求其面积和周长．∵四边形ABCD 是菱形，BD ，AC 分别是其对角线，∴BD ⊥AC ，BO =OD =3cm ，AO =CO =4cm ，∴AB =5cm ，∴菱形的周长=5×4=20cm ；S 菱形=12×6×8=24cm 2． 故本题答案为：20cm ；24cm 2．根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．13.答案：−2解析：【分析】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题．掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不为0，且最高次数为2，得出m −2≠0且|m|=2，然后求m 值即可．【解答】解：根据题意知：m −2≠0且|m|=2，解得：m=−2，故答案为−2．14.答案：2.5解析：【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵CD⊥AB，AD=3，CD=4，∴AC=√AD2+CD2=√32+42=5，∵E是AC的中点，∴DE=12AC=12×5=2.5．故答案为2.5．15.答案：22.5°解析：解：∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°，∵BE=BC，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=12(180°−∠ABD)=67.5°，∴∠DAE=∠DAB−∠BAE=90°−67.5°=22.5°，故答案为：22.5°．由正方形的性质得到AB=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ABD=∠DBC=45°，推出AB=BE，根据三角形的内角和定理求出∠BAE=∠BEA=67.5°，根据∠DAE=∠DAB−∠BAE即可求出答案．本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠BAE的度数是解此题的关键．16.答案：18√3解析：【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，矩形的性质有关知识，易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积．【解答】解：∵AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．如图，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．∵∠ABC=60°，∴∠ADF=60°．∵纸条等宽，∴AE=AF．在△ABE和△ADF中，{∠ABC=∠ADF ∠AEB=∠AFD AE=AF，∴△ABE≅△ADF．∴AB=AD．∴四边形ABCD是菱形．∴BE=3cm，AE=3√3cm．∴四边形ABCD的面积为6×3√3=18√3(cm2)．故答案为18√3．17.答案：32解析：【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．根据根与系数的关系进行计算即可．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2−3x−1=0的两个根，∴x1+x2=32．故答案为32．18.答案：1解析：【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵MN//BC，∴△AMN∽△ABC，∴AMAB =MNBC，即11+2=MN3，∴MN=1，故答案为1．19.答案：37解析：解：由折叠的性质可知，CB=CD，∠ACB=∠ACD，∵∠CBD=16°，CB=CD，∴∠DCB=180°−16°×2=148°，∴∠ACB=∠ACD=360°−148°2=106°，∵CA=CB，∴∠BAC=180°−106°2=37°，故答案为：37．根据翻转变换的性质得到CB=CD，∠ACB=∠ACD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．本题考查的是翻转变换、等腰三角形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．20.答案：解：两边直接开平方得：x−1=±2，∴x−1=2或x−1=−2，解得：x1=3，x2=−1．解析：利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a(a ≥0)；ax 2=b(a,b 同号且a ≠0)；(x +a)2=b(b ≥0)；a(x +b)2=c(a,c 同号且a ≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．21.答案：解：2x 2−6x +1=0，b 2−4ac =(−6)2−4×2×1=28，x =6±√282×2， x 1=3+√72，x 2=3−√72．解析：先求出b 2−4ac 的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能熟记公式是解此题的关键．22.答案：解：(x +1)(x −9)=0，x +1=0或x −9=0，所以x 1=−1，x 2=9．解析：【分析】利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)． 23.答案：解：(1)x(2x +3)−2(2x +3)=0，(x −2)(2x +3)=0，∴x −2=0或2x +3=0，解得：x 1=2或x 2=−32；(2)∵(x +2)(x −4)=0，∴x +2=0或x −4=0，解得：x 1=−2或x 2=4．解析：(1)移项后提公因式因式分解法求解可得；(2)十字相乘法因式分解后求解即可．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24.答案：解：如图，AB为所作．解析：本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先在射线AM上截取AC=a，再截取CB=b，则线段AB满足条件．25.答案：解：(1)当每件商品售价为55元时，比每件商品售价60元低了5元，即60−55=5(元)则每天可销售商品150件，即100+5×10=150(件)，商场可获日盈利为(55−40)×150=2250(元)．答：每天可销售150件商品，商场获得的日盈利是2250元；(2)设商场日盈利达到2240元时，每件商品售价为x元．则每件商品比60元低了(60−x)元，每件可盈利(x−40)元，每日销售商品为100+10×(60−x)=700−10x(件)．依题意得方程(700−10x)(x−40)=2240，整理，得x2−110x+3024=0，解得x=56或54．60−56=4，60−54=6答：降价4元或6元时，商场日盈利可达到2240元．解析：(1)首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；(2)设商场日盈利达到2240元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利；是解答本题的关键，注意判断所求的解是否符合题意．26.答案：证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB−AE=BC−BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，{BC=CD∠B=∠BCD=90∘BE=CF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴CE=DF．解析：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．27.答案：解：(1)根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：√252 − 72=24(米)；答：梯子距离地面的高度为24米；(2)设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，根据题意，25= √(24−x)2 + (7+x)2，解得，x=17米，即梯子顶端距离地面的高度为24−17=7(米)．答：梯子顶端距离地面的高度为7米．解析：本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列式求解是解答的关键．(1)已知梯子的长度和梯子底端B离墙的距离，直接用勾股定理求解梯子的顶端距离地面的高度；(2)设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，根据滑动后构造的还是直角三角形，可用勾股定理列式求出x，然后求出滑动后梯子的顶端距离地面的高度．28.答案：(1)证明：△CMN是等腰三角形，理由如下：由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，∵∠ENA=∠DNC，∴∠ANM=∠CNM∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN，∴△CMN是等腰三角形；(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．∴HC=DN，NH=DC．∵MC=3ND=3HC，∴MH=2HC，设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，CD=√(3x)2−x2=2√2x=4，∴x=√2．∴MH=2√2．在Rt△MNH中，MN=√MH2+NH2=√8+16=2√6．解析：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．(1)由折叠的性质可得：∠ENM=∠DNM，推出∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；(2)首先过点N作NH⊥BC于点H，易得DC=NH，DN==HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，由勾股定理，求得CN与x，然后在Rt△MNH中，由勾股定理即可求得MN的长．29.答案：(1)见解析；(2)见解析．解析：【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．(1)首先利用平行线的性质得出△AEF≌△DEB，进而得出D为BC的中点；(2)先证明四边形ADCF是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出AD=DC，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵AF//BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE，∴△AEF≌△DEB(AAS)，∴AF=DB，∵AF=DC，∴DB=DC，即D是BC的中点；(2)证明：∵AF//DC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，DB=DC，∴AD=12BC=DC，∴四边形ADCF是菱形．。