幂函数与二次函数专题练习

幂函数与二次函数专题练习
一、选择题
1.(2020·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()
A.1，3
B.－1，1
C.－1，3
D.－1，1，3
解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A
2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()
A.a>0，4a＋b＝0
B.a<0，4a＋b＝0
C.a>0，2a＋b＝0
D.a<0，2a＋b＝0
解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为
x＝2，即－b
2a
＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1
a的图象可能是()
解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1
a
的图象知应选
B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1
a
的图象均不适合，综
上选B.
答案 B
4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1
B.1
C.2
D.－2
解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B
5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞)
D.(－∞，－6)
解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 A 二、填空题
6.已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253
，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
123
，则P ，Q ，R 的大小关系是________.
解析 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
223
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫
123
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫
253
，即P >R >Q . 答案 P >R >Q
7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a
x ＋1
在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________.
解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝
1
x ＋1
在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝
a
x ＋1
在[1，2]上是减函数可得a >0， 故0<a ≤1. 答案 (0，1]
8.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥
⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________. 解析 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－2，－12，
∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 答案 1 三、解答题 9.已知幂函数f (x )＝x
(m 2＋m )－
1
(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并
求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围. 解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2
(m 2＋m )－
1
，即21
2＝2 (m
2＋m )－1
.
∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *
，∴m ＝1.∴f (x )＝x 1
2，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎨⎧2－a ≥0，
a －1≥0，2－a >a －1，
解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡
⎭⎪⎫1，32.
10.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－3
2∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝94－9
2－3＝－214，
f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－214，15.
(2)对称轴为x ＝－
2a －1
2.
①当－2a －12≤1，即a ≥－1
2时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3满足题意； ②当－
2a －12>1，即a <－1
2时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意. 综上可知，a ＝－1
3或－1.
11.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵f (x )＝x 2
＋bx ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 22－b
2
4，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.
又f (f (x ))＝(f (x ))2
＋bf (x )＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，
当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 2
4，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件. 答案 A
12.(2019·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m
9－m 5－1
是幂函数，对任意
的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a
＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0
D.无法判断
解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，
解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015.
∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数. 由a ＋b >0，得a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0. 答案 A
13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，
（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实
根，则实数k 的取值范围是______.
解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 答案 (0，1)
14.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝⎩
⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围. 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b
2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2. ∴F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，
－（x ＋1）2
，x <0.
∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，
从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，
即b ≤1x －x 且b ≥－1
x －x 在(0，1]上恒成立. 又1x －x 的最小值为0，－1
x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].。