高等代数多项式月测试题(2010年10月)

《高等代数》多项式月测试题

(2010年10月21日

胡付高命题)

一、填空题(每小题5分,共20分)

1．用g (x )=x 2−x +2除f (x )=x 4+2x +5,商式为

;余式为.2．多项式f (x )=[4(5x −4)2000x 2−2x −1]2010(8x 3−11x 2+2)2011的所有系数之和=

,常数项=.3．能被任一多项式整除的多项式是;能整除任意多项式的多项式一定是.4.已知(x −1)2|Ax 4+Bx 2+1,则A =,B =.二、判断题(对的打√,简述原因或证明;错的打×,并举反例.每小题4分,共20分)

1．若p (x )|f (x )g (x ),则p (x )|f (x )或p (x )|g (x ).

2．若整系数多项式在有理数域上可约,则它一定有有理根.

3．若整系数多项式有有理根,则它在有理数域上一定可约.

4．若p (x )在数域P 上不可约,且p (x )|f (x )g (x )以及p (x )|[f (x )+g (x )]成立,则p (x )|f (x )且p (x )|g (x ).

5．若两个多项式在复数域上不互素,则它们一定有公共的复根.　

三、设f (x )=x 4+x 3−3x 2−4x −1,g (x )=x 3+x 2−x −1,求(f (x ),g (x )).(共10分)

四、设f (x )=x 5−x 3+4x 2−3x +2.

(1)判断f (x )在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;

(2)求f (x )在R 上的标准分解式.(共15分)

五、设f (x )是一个整系数多项式.证明:若对某个整数m ,使得f (m )与f (m +1)都是奇数,则f (x )没有整数根.(共10分)

六、设f (x )与g (x )互素,证明:

(1)f (x )与f (x )−g (x )互素;

(2)f (x )g (x )与f (x )−g (x )互素.(共15分)

七、设p 是素数,a 是整数,f (x )=ax p +px +1,且p 2|a +1.证明:f (x )在有理数域上不可约.(共10分)

选做题:

1、设f (x ),g (x ),h (x )为实系数多项式,它们适合下列关系: (x 2+1)h (x )+(x −1)f (x )+(x −2)g (x )=0

(x 2+1)h (x )+(x +1)f (x )+(x +2)g (x )=0

证明:f (x ),g (x )都能被x 2+1整除.

2、已知f (x )是一个n 次多项式,对于k =0,1,2,···,n 时有f (k )=k k +1,试求f (n +1).提示:作ϕ(x )=(x +1)f (x )−x .