孝感市高考数学备考资料研究专题 (选修)例题习题再利用点滴体会

高考复习中，例题、习题再利用点滴体会
安陆二中 沈辉 安陆一中 管秀娟
摘要：高中数学课堂教学尤其是复习课教学，教师应重视课本中例题的再利用，通过对课本例习题深入挖掘、变形推广、引申改造，引导学生总结方法，拓宽解题思路，激发学生的求知欲，培养学生驾驭课本知识的能力，从而提高数学高考复习备考的质量。

关键词：高三数学 复习 习题再利用
课本中的例题、习题，都是编者精心设计筛选的，具有一定的典型性、代表性、示范性和功能性，其中许多例题、习题蕴含着丰富的内涵和背景。

通过对我省近几年高考试卷进行分析不难发现，湖北高考数学命题一贯坚持重视和关注数学教科书而不是各种复习资料这一高考数学改革方向，一些高考题就是把课本和平时练习中的题目通过给出新的情景、改变设问方式、适当变更条件等手段改编而成，许多题目都能在课本上找到“影子”。

因此，尽管剩下的复习时间已经不多只剩下八十多天，但在马上将要进行的二轮复习中我们仍然要注意回归课本。

只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。

回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，教师应有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让学生进一步掌握这类问题的本质及其通性通法，培养学生发散思维能力，只有这样复习才有实效。

下面本人结合近几年的高三教学实践，就高考复习中对课本例题、习题的再利用谈点体会。

一、旧题新做，推陈出新
在复习过程中，部分例题在经过一次讲解之后，往往被放置一边，久而久之，造成了学生轻视旧题，一味求全猎奇，从而走入题海的现象。

实际上，好的例题犹如一部名著，可以一讲再讲，细细揣摩，尤其在复习阶段的教学中，将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖掘出新意，找出易错点，留给学生的印象也深刻的多。

在高二讲不等式放缩时，我讲过一个例题：证明22312111123++<+-n +…+n n 1212-<。

高三复习不等式时，我又把这个题进行了改编加以利用：
例1 观察下列式子
23211672<+<， 353121181022<++<， 474
1312111013222<+++<， 595
1413121112162222<++++<……由此猜想出一般性的结论，并加以证明。

如此一来，陈题新做、老题新讲，既消除了学生对陈题的乏味感，又有所创新，变教师的传授为学生的探究，学生的思维也更“活”了。

二、多题一讲，融会贯通
有些例题，图形的结构、问题的背景、解决的方法有类似之处，甚至有些题目就是同一题设条件，只是求证的结论的表现形式不同而已，因此进行多题一讲是很有必要的。

它可以使学生感觉到很多题目可以借助于同一核心知识来解决，只要将题目的内涵与外延挖掘彻
底，进而灵活运用就可以了。

这样可促使学生的数学复习更有信心，不至于被大量的复习资料弄得无所适从。

例2 【题组训练】
①已知00>>>m b a ,，求证：a b m a m b >++ 【人教A 版选修4－5第22页】 ②已知数列}{n a 满足2
+=n n a n ，*N n ∈，试比较n a 与1+n a 的大小 ③已知00<>>m b a ,，且00>+>+m b m a ,，求证：a
b m a m b <++ ④已知00>>>m b a ,，求证：b
a m
b m a <++ 通过分析比较，可发现上述习题有共同特点，它们都可运用作差比较法解决。

我们在讲例时通过比较归类，能发现很多题目大同小异，具有同一解法，可以把它们归入到有关的知识体系中去。

这样，既可以培养学生的创新思维以及训练学生的发散思维，又可使学生对所学的内容更加感兴趣，感到高效、易学、切合实际，感到一切都是通过转化成已经解决的问题来达到解决新问题的目的。

三、一题多解，总结方法
有些试题，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。

这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。

对于小题，有小题的解法，如果作为大题，又有大题的解法。

例3 由圆92
2=+y x 外一点)12,5(P 引圆的割线交圆于B A 、两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

【人教A 版必修2第四章习题】
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。

这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。

（解法略）
分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的
曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

解法2 因为M 是AB 的中点，所以AB OM ⊥， 所以点M 的轨迹是以||OP 为直径的圆，圆心为)6,2
5(, 半径为∴=,2
132||OP 该圆的方程为：222)2
13()6()25(=-+-y x 化简，得 .012522=--+y x y x 其中.33≤≤-x 分析3 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。

由于动点M 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M 的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。

解法3 设过P 点的割线方程为：)5(12-=-x k y ，它与圆92
2=+y x 的两个交点为B A 、，AB 的中点为M .联立 ⎩⎨⎧=++-=,
912)5(22y x x k y 利用韦达定理和中点坐标公式，可A P x
y M O B
得M 点的轨迹方程为：.012522=--+y x y x 其中.33≤≤-x
分析4 （点差法）从整体的角度看待问题。

这里由于中点M 的坐标),(y x 与两交点),(),(2211y x B y x A 、通过中点公式联系起来，又点、、M P B A 、构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。

（解法略）
上述四种解法都是求轨迹问题的基本方法。

其中解法1、2局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于中点弦有关的问题。

对于解法5通常利用AB PM k k =可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。

总之，我们在复习讲例时运用“一题多解”和“一题多想”的方法，能使知识掌握得深入透彻，学生的数学学习将会更“活”更有成效。

四、一题多变，开阔视野
有些试题，题设条件中虽然不同，但思考的方法、解决的途径却是相通的。

能将一题进行适当变换，让学生在变中寻求不变，这对学生思维的开拓发散必有益处，对处在紧张复习阶段的学生从“题海”中解脱无疑也是一个很好的策略。

如果我们教师在平常的复习、备课中注意这方面的研究，对学生在短时间内提高成绩、培养能力定能起积极作用。

例4 已知直线2-x y =：l 与抛物线x y 22
=交于B 、A 两点，O 为坐标原点，求证：090AOB =∠【人教A 版选修2－1第73页第6题】
证明见教材（其它方法如向量法等从略），不妨作以下思考与探究：
【思考一】设直线过点)0,2(Q ,把直线绕点Q 旋转到2=x 的位置，很容易发现结论任然成立，那么结论是否与直线的方向无关呢？
探究一: 直线2ky x +=：l 与抛物线x y 22
=交于B 、A 两点，O 为坐标原点，求证：090AOB =∠. （证明略）
【思考二】考虑直线所过的定点)0,2(Q 与抛物线方程x y 22
=的系数关系，能否将直线l 和抛物线推广到一般情况呢？
探究二: 直线2p ky x +=：l 与抛物线)0(22>=p px y 交于B 、A 两点，O 为坐标
原点，求证：090AOB =∠. （证明略）
【思考三】此命题的逆命题是否成立呢？若成立，则我们可以得到结论成立的充要条件。

探究三: 直线m ky x +=：l 与抛物线)0(22
>=p px y 交于B 、A 两点，O 为坐标原点，则090AOB =∠成立的充要条件是p m 2=. （证明略）
这样将课本中的例题、习题适当的改造，做到一题多用，使学生大开眼界，拓宽思路，何乐而不为。

总之，多数高考题都能在课本中找到它们的影子，因此在指导学生复习时，只要我们认真研究课本，充分利用课本，让我们的例习题教学“活”起来，就能把学生从众多的资料中、题海中解放出来，你会发现，许多意外的惊喜等着你。

参考文献
[1]汤服成主编．中学数学解题思想方法．广西师范大学出版社，1998
[2] 宋京伟．浅谈例题教学的思维引申．中学数学杂志,1999(3)
[3]张 琥．形式新颖 内涵丰富 —— 一道高考试题的解法研究与解题感悟．中国数学
教育，2010（1-2）。