直线平面平行、垂直的判定 及其性质知识点
中考考点平行线与垂直线的性质与判定
中考考点平行线与垂直线的性质与判定【正文】平行线与垂直线是中考数学中的重要考点，掌握它们的性质与判定方法对于正确解题至关重要。
本文将重点介绍平行线和垂直线的性质及如何判断它们的方法。
1. 平行线的性质与判定平行线是指在同一平面内不相交的两条直线。
下面是平行线的性质：（1）平行线的斜率相等：两条平行线的斜率相等。
这是判断平行线的重要条件之一。
（2）平行线的任意一对内角相等，任意一对外角相等：对于两条平行线来说，当一条截取它们之间的任何一条横线时，形成的内角和外角都是相等的。
（3）平行线上的同位角互等：当两条平行线被一条横线所截取时，同位角是指位于两条平行线同一侧的内角或外角，它们互相等于或互相补等于。
根据平行线的性质，我们可以得出一些判定方法：（1）斜率法：当两条直线的斜率相等时，可以推断它们为平行线。
我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
（2）同位角等于等于内错角：当两条直线被一条横线所截取时，如果同位角的度数相等，则可以断定这两条直线是平行线。
2. 垂直线的性质与判定垂直线是指在同一平面内相交的两条直线，相交点称为垂足。
下面是垂直线的性质：（1）垂直线的斜率之积为-1：如果两条线段的斜率之积为-1，可以推断它们为垂直线。
（2）垂直线上的同位角互补：当两条直线相交时，同位角是指位于相交直线同一侧的内角，它们之和为180度。
垂直线的判定方法：（1）斜率之积为-1法：计算两条直线的斜率，将其乘积进行判断。
若乘积为-1，则两条线段垂直。
（2）同位角之和为180度：当两条直线相交时，通过测量同位角的和是否等于180度来判定是否垂直。
【结论】中考考点中的平行线和垂直线是数学常见的概念，掌握它们的性质和判定方法对于解题至关重要。
通过斜率法、同位角等重要的判断方法，我们可以准确地确定两条直线是平行线还是垂直线。
在中考中，我们需要灵活运用这些知识来解决与平行线和垂直线相关的问题，提高我们的数学分析和解决问题的能力。
小学数学中的平行线和垂直线
小学数学中的平行线和垂直线在小学数学课程中，平行线和垂直线是非常基础的概念。
理解并能够准确识别平行线和垂直线，对于学生建立起几何形状的准确概念和进行几何运算都非常重要。
本文将详细介绍小学数学中的平行线和垂直线的概念、性质以及相关应用。
一、平行线的概念与性质1.1 平行线的定义在平面上，如果两条直线不相交，并且在同一个平面上不存在其他直线与这两条直线相交，那么这两条直线就是平行线。
1.2 平行线的判定在小学数学中，我们通常使用以下三种方法来判定两条直线是否平行：（1）同位角相等法：如果两条直线被一条横截线所截，那么同位角相等的话，这两条直线就是平行线；（2）转角法：如果两条直线被一条截线所截，而转角相等的话，则这两条直线是平行线；（3）平行线的性质：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行线。
二、垂直线的概念与性质2.1 垂直线的定义在平面上，如果两条直线相交，并且相交的角度为90度，那么这两条直线就是垂直线。
2.2 垂直线的判定在小学数学中，我们通常使用以下两种方法来判定两条直线是否垂直：（1）两条互相垂直的直线上的线段互成直角；（2）如果两条直线的斜率乘积等于-1，那么这两条直线是垂直的。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用例子。
3.1 矩形的性质矩形是一种特殊的四边形，其中每条边都是两两平行且相等的。
所以在矩形中，每条边上的线段都互相平行，并且对角线互相垂直。
3.2 平行线分割线段如果一条直线与两条平行线相交，那么它将会把这两条平行线分割成多段线段，这些线段的长度比例是相等的。
这个性质在我们进行几何运算和问题求解时非常有用。
3.3 垂直平分线在数学中，如果一条直线与另一条直线相交，并且把另一条直线的中点划分成两个相等的部分，那么这条直线就是垂直平分线。
垂直平分线与被分割的线段互相垂直。
结语平行线和垂直线是小学数学中的基础概念，对于建立几何概念和进行几何运算非常重要。
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
3 直线、平面平行、垂直的判定与性质
直线、平面平行、垂直的判定与性质一．《考纲》要求 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线垂直的有关性质与判定定理．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 二．命题方向 线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多以选择题与解答题． 三．知识解析（一）直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）． 直线与平面平行判定定理的符号表示：a b αα⊄⊂，，且////a b a α⇒． 直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．注：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行．通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的的重要方法． （二）面面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 平面与平面平行的判定定理的符号表示：//////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒I ，，，，． 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.注：平面与平面的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行. （三）直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果与这斜线的射影垂直，那么它也与这斜线垂直． 逆定理：在平面内的一条直线，如果与这斜线垂直，那么它也与这斜线的射影垂直． 4．直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．如图①，090α<<o o．当直线与平面平行或在平面内时，规定直线与平面成角为0o 如图②．当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成角为90o 如图③．（四）平面与平面垂直 1．二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．二面角的平面角α和 在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面β内分别作垂直与棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直定义：如果两个相交平面所成的二面角是90o ，就说这两个平面互相垂直．4．平面与平面垂直判定定理：考点一：证明直线与平面平行的常用方法1．利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法来证明，这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只能排除这两种位置关系后才能得出“直线a 与平面平行”这一结论． 2．利用直线与平面平行的判定定理，使用该定理时，应注意定理成立时所满足的条件． 3．利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行．（1）已知直线在一平面内，由两平面平行，则一平面内的直线与另一平面无公共点，推得线面平行． （2）一直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行．例1 如图，正方体中，侧面对角线11AB BC 、上分别有两点E F 、，且11B E C F =．求证：EF ∥平面ABCD ．l图① 图② CDD 1A 1B 1C 1AB F E考点二：证明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合． 2．利用面面平行的判定定理． 3．利用两个平面垂直于同一直线．4．证明两个平面同时平行于第三个平面．例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点，问：当点Q 是1CC 上的点，问当点Q 在什么位置时，平面1//D BQ PAO 平面．考点三：证明线线垂直、线面垂直 证明线线垂直的方法1．计算两直线所成的角为90︒（包含异面直线所成的角） 2．由线面垂直的性质（若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥） 证明线面垂直的方法 1．线面垂直的定义． 2．线面垂直的判定定理3．平行线垂直平面的传递性（a b b a αα⊥⇒⊥∥,） 4．面面平行的性质（a a ααββ⊥⇒⊥,∥）5．面面垂直的性质（l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I ,,,） 6．面面垂直的性质（l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥I ,,）例3 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 是CD 和PC 的中点，求证：（Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PCD ．例4 如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ABCD ⊥平面．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD SAD ⊥平面；（Ⅱ）求证：//PQ SCD 平面；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ABCD ⊥平面，并证明你的结论．CD D 1A 1B 1C 1AB P OQ A BED C PF D ABCSP Q考点四：线面角和二面角1．求直线与平面所成的角，一般分为两大步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 2．求二面角是作出二面角的平面角，常用的方法为定义法和垂面法． 例5 如图，已知DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=︒，P Q ,分别为AE AB ,的中点． （Ⅰ）证明：PQ ∥平面ACD ； （Ⅱ）求AD 平面与ABE 所成角的正弦值．例6 如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，PA PD =2PB =，E F ,分别是BC PC ,的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值．考点五：求距离问题分别例7 如图，在四面体PABC 中，PC AB ⊥，PA BC ⊥，点D ，E F G，，是棱AP AC ，，BC PB ，中点．（Ⅰ）求证：//DE BCP 平面；C BADE P QCDA B PEF（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．例8 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E F ，分别是AB PD ，的中点，又是二面角P CD B --为45︒． （Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．（Ⅲ）设2AD CD ==，，求点A 到平面PEC 的距离．五．巩固练习 （一）选择题： （1）若直线m n 、和平面αβ、，下列四个命题中，正确的是（ ） （A ）若////m n αα，，则//m n （B ）若m n αα⊂⊂，，//m β，//n β，则//αβ （C ）若m αβα⊥⊂，，则m β⊥ （D ）若m αββ⊥⊥，，m α⊄，则//m α（2）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 （3）给出下列四个命题，其中正确的个数是（ ） ①平行于同一平面的两个平面平行； ②夹在两个平行平面间的线段相等； ③与一对异面直线都平行的两个平面平行； ④两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面； ⑤一个平面与两个平行平面相交，交线平行． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）在空间中，有如下命题：A B CDFPE①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线． 其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （5）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E F H K 、、、分别为AC '、CB '、A B B C '''、的中点，G 为ABC△的重心．从K H G B '、、、中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） （A ）K （B ）H （C ）G （D ）B '（6）已知平面αβ、满足//αβ，AB 和CD 是夹在α与β之间的线段，AB CD ⊥，且2AB =，如果直线AB与α所成的角为30o ，那么线段CD 的长的取值范围是（ ）（A） （B ）[1)+∞， （C）[1（D）)+∞ （7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，121AA AB ==，1AD BC ，上移动，且始终保持11//MN DCC D 平面，设BN则函数()y f x =的图象大致是（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）（8）定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥．那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） （A ）一条线段，但要去掉两个点 （B ）一个圆，但要去掉两个点 （C ）一个椭圆，但要去掉两个点 （D ）半圆，但要去掉两个点 （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ） （A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个（10）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，160ACC ∠=o ，145BCC ∠=o ，侧棱1CC 的长为1，则该三棱柱的高等于（ ） （A ）12（B（C （D （11）如图，在棱长均为1的三棱锥S ABC -中，E 为棱SA 的中点，F 为ABC △的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是（ ）（A ） （B ）111（C（D）2（12）在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）（A ）30o（B ）45o（C ）60o（D ）90o（13）已知二面角l αβ--为60o ，动点P 、Q 分别在面αβ、内，P 到βQ 到α的距离为P Q 、两点之间距离的最小值为（ ）（A（B ）2 （C）（D ）4（二）填空题：（14）下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N 、P 、分别为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是 （写出所有符号要求的图形序号）． （15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的序号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD △三条高线的交点；③若分别作ABC △和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．（16）P 为ABC △所在平面外一点，且PA PB PC 、、两两互相垂直，则下列命题： ①PA BC ⊥；②PB AC ⊥；③PC AB ⊥；④AB BC ⊥．其中正确的个数是 ．（17）设αβγ、、为彼此不重合的三个平面，l 为直线，则给出下列命题：①若//αβ，αγ⊥，则βγ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，且l αβ=I ，则l γ⊥； ③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β．上面命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．①② （三）解答题：（18）如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=o ，//AF DE ，DE DA ==22AF =．（Ⅰ）求证：//AC BEF 平面；（Ⅱ）求四面体BDEF 的体积．A① ② ③④（19）如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P Q 、分别在BD 和SC 上，并且12BP PD =：：，//PQ SAD 平面，求线段PQ 的长．（20）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面． （Ⅰ）求证：AE BE ⊥；（Ⅱ）求三棱锥D AEC -的体积； （Ⅲ）设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN DAE 平面．（21）如图，PO ABCD ⊥平面，点O 在AB 上，//EA PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC AB ⊥， BC CD BO PO ===，12EA AO CD ==．（Ⅰ）求证：BC ABPE ⊥平面；（Ⅱ）直线PE 上是否存在点M ，使//DM PBC 平面，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．（22）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：//PD AEC 平面；（Ⅱ）求证：AEC PDB ⊥平面平面．A（23）如图，在ABC △中，2B π∠=，2AB BC P ==，为AB 边上一动点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA △沿PD 翻折至PDA '△，使平面PDA PBCD '⊥平面．（Ⅰ）当棱锥A PBCD '-的体积最大时，求PA 的长；（Ⅱ）若点P 为AB 的中点，E 为A C '的中点，求证：A B DE '⊥．（24）如图，已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，1CD =A 作AE CD ⊥，垂足为叠，E GF ，、分别为AD CE 、的中点，现将ADE △沿AE 折使得DE EC ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：//FG BCD 平面；（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR BCD ⊥平面，并说明理由．CB。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=A a||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。
图形条件α∩β＝∅a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αl⊥αl⊥β结论α∥βα∥βα∥β性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a α∥β a⊂β结论a∥b a∥α二、直线、平面垂直的判定及其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形条件b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥αl ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）性质语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行.图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上ⅱ. 线在面内 ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）例题1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是A. EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥bC. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cD. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD3下列命题正确的是（ D F ）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α4在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥βB ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥nC ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥aD ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD8题图 9题图9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.课堂练习A 组3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线与垂直线是几何学中非常重要的概念，它们的性质和判定方法在解决各种几何问题时起着关键作用。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质，并讨论它们的判定方法。
一、平行线的性质与判定1. 平行线的性质：平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线具有以下性质：（1）平行线的对应角相等：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。
也就是说，对于平行线AB和CD，若直线EF与AB、CD交于点M和N，则∠EMN = ∠DMN。
（2）平行线的同位角相等：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的同位角相等。
也就是说，对于平行线AB和CD，若直线EF与AB、CD交于点M和N，则∠AME = ∠DNE。
（3）平行线的内错角相等：当两条平行线被一条截线相交时，所形成的内错角相等。
也就是说，对于平行线AB和CD，若直线EF与AB、CD交于点M和N，则∠EMD = ∠MNE。
（4）平行线的外错角相等：当两条平行线被一条截线相交时，所形成的外错角相等。
也就是说，对于平行线AB和CD，若直线EF与AB、CD交于点M和N，则∠EMN = ∠MND。
2. 平行线的判定：平行线的判定方法有多种，以下是常用的两种方法：（1）同位角判定法：若两条直线被一条截线相交，且所形成的同位角相等，则这两条直线平行。
（2）内错角判定法：若两条直线被一条截线相交，且所形成的内错角相等，则这两条直线平行。
二、垂直线的性质与判定1. 垂直线的性质：垂直线是指两条线段或直线相交时，所形成的角为直角的线。
垂直线具有以下性质：（1）垂直线上的角相等：若一条直线与两条垂直线相交，形成的对应角相等。
（2）相邻角垂直：垂直线将相邻角分成两组，每组的两个角之和为180度。
2. 垂直线的判定：垂直线的判定方法有多种，以下是常用的两种方法：（1）互补角判定法：若两条角的度数之和为90度，则这两条角所对应的直线垂直。
（2）垂直角判定法：若两条线段或直线所形成的角相等且为直角，则这两条线段或直线垂直。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点上课讲义
、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定）ii.思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜想在什么条件下直线a与平面a平行.（a||b）直线与平面平行的判断※判定定理的证明知识点二、直线与平面平行的性质线面平行，则线线平行特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行知识点三、平面与平面平行的判定判定、直线、平面垂直的判定及其性质定义判定语言描述如果直线1和平面a 内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线1与平面①互相垂直， 记作1丄a一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直图形I/条件 b 为平面a 内的任一直线，而I 对这 一直线总有I 丄aI 丄 m ， I 丄 n ， m n n = B ， m，n 结论I 丄 1丄要点诠释：定义中“平面 二内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”.面角的平面角的三个特征 ：i .点在棱上ii .线在面内 iii . 与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I — 的棱I 上任取一点0，以点0为垂足，在半平面 ，内分别作垂直于棱I 的射成的 AOB 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0°180°.dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两知识点二、二面角I •二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（ 角一AB —.（简记 P — AB — Q ）知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直图形7丿 /结果aAp =l a -l- B =90° 口 a 丄 B/丄u u 二◎丄 0(垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是 “任何”“随意”“无数”等字眼)知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直 线面垂直(如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD 3下列命题正确的是( DF)A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a //a ,则平面a 内有且仅有一条直线与 a 平行C. 若直线a //a ,则平面a 内任一条直线都与 a 平行D. 若直线a //a ,则平面a 内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b ， a / a ,b a ，那么b /a4在空间，下列命题正确的是(A) 平行直线的平行投影重合 (B) 平行于同一直线的两个平面平行 (C) 垂直于同一平面的两个平面平行 (D) 垂直于同一平面的两条直线平行2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是(A ) A.a a ,b a ,a // bB .ba ,a // b例题1.如图，若是长方体 ABCD-ABC D 被平面EFGH 截去几何体 EFGH I C 后得到的几何体，其BB 上异于B I 的点，且EH// A D I ，则下列结论中不正确的是 A. EH // FG B. 四边形EFGH 是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台加咫圈)5已知m、n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A .m , n,m //3,n a/3B.a//B，m,n m // nC.m± a,m 丄n n // aD.n / m,n丄a m± a6.下列命题中错误的是(A) 如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面(B) 如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C) 如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么I丄平面(D) 如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设Hi两条氏线"久0址两个平血，则alb的一个允分条件址(A) 。
平行线和垂直线的性质和判定
平行线和垂直线的性质和判定平行线和垂直线是几何中常见的概念和性质，在数学学科中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质以及如何进行判定，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面上没有任何交点的直线。
下面我们将介绍平行线的一些性质和判定方法。
1. 平行线的性质：（1）平行线与同一直线的交线对应的内角相等。
例如，直线AB和直线CD平行，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A和角E相等，角B和角F相等，角C和角D相等。
（2）平行线与同一直线的交线对应的同位角相等。
同位角是指两条直线上相对于同一直线的对应角。
如果直线AB和直线CD平行，它们与第三条直线EF相交，那么角A和角C是同位角，角B和角D是同位角，它们的度数相等。
2. 平行线的判定方法：（1）同位角相等法：如果两条直线上同位角相等，则它们是平行线。
这个方法基于平行线的性质，通过观察同位角的度数是否相等来判断直线的平行性。
（2）斜率相等法：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
直线的斜率是斜率运算对直线的特定定义，利用斜率相等可以判断直线是否平行。
二、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的直线。
下面我们将介绍垂直线的一些性质和判定方法。
1. 垂直线的性质：（1）垂直线与同一直线的交线对应的内角为90度。
例如，直线AB和直线CD垂直，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A与角E之间的夹角、角B与角F之间的夹角以及角C与角D之间的夹角都是90度。
2. 垂直线的判定方法：（1）斜率互为负倒数法：如果两条直线的斜率互为负倒数，则它们是垂直线。
这个方法基于垂直线的性质，通过观察直线的斜率是否满足斜率互为负倒数的关系来判断直线是否垂直。
（2）直角三角形判定法：如果两条直线上某一对对应角的度数之和为90度，则它们是垂直线。
通过观察直线与第三条直线所形成的直角三角形，判断其内角的度数之和是否为90度，从而确定直线的垂直性。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
直线和平面平行、垂直的判定和性质
直线和平面平行、垂直的判定和性质1．在直线和平面的位置关系中，平行关系不仅应用较多，而且是学习平面和平面位置关系的基础，所以直线和平面平行的判定和性质是本单元的重点之一．判定定理说明要证一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行即可．对于直线和平面平行的性质定理、要注意避免“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误，线面平行和线线平行，是指过这条直线的任意一个平面和已知平面的交线与这条直线平行，尽管直线可以和平面内无数条直线平行，但不能说直线和平面内的任何直线平行．反证法是常用的一种证明方法．要会用反证法证明线面平行的判定定理．2．斜线和平面所成的角，定量地反映了斜线和平面的位置关系，它是通过转化为平面内的两条相交直线所成的角来度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．直线和平面所成的角，应分三种情形:(1)直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角就是直角；(3)直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角的度数是0°．综上所述，直线和平面所成角的范围是[0，].3．在应用三垂线定理及其逆定理时，重点在于先寻找平面的垂线，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，这是因为垂线是确定斜线在平面内射影的关键．三垂线定理及其逆定理揭示了平面的斜线和它在这个平面上的射影必定同时垂直于平面内的直线的实质．在学习三垂线定理时，要注意处于各种位置的射影关系图形的识别和掌握，进而达到灵活应用的目的.典型题目分析例1．下列命题中①两条异面直线所成角α 的范围是0°＜α＜180°．②两条互相垂直的直线不一定相交．③分别和两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线．④两条异面直线所成角的大小是惟一的，角的位置可以平移变化．⑤两条异面直线的公垂线有且只有一条．⑥若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的个数是().A．1B．2 C 3D．4分析:对照有关概念，找出结论与条件不相符合的命题．解:由异面直线所成角的定义，公垂线定义知①③⑥错误，②④⑤正确，故选C．例2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=3，BC=4，则异面直线A1B1与BC1的距离是________.分析:证A1B1⊥面BC1.解:在面BC1内作B1E⊥BC1于点E.长方体AC1中，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥面BC1，从而A1B⊥B1E，于是B1E的长就是异面直线A1B1和BC1间的距离.矩形BCC1B1中，BC1=，所以B1E=.即所求距离为.点评:本题将异面直线的距离问题转化为同一三角形内的点线距离问题.例3．E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求EF到平面AA1C1C的距离.分析:转化为EF与AC间的距离.解:如图所示，连结BD分别交AC、EF于O、G，则BD⊥AC，BD⊥EF.正方体A1C中，AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD.∴BD⊥AA1，而AA1、AC是平面AA1C1C内两条相交直线.∴BD⊥平面AA1C1C，又BD⊥EF，于是线段OG的长就是EF到平面AA1C1C的距离. 在正方形ABCD中，OG=.所以EF到平面AA1C1C的距离是.点评:将线面距离化为线线距离是一种常用转化方法，应注意正确使用这种方法.例4．点P在ΔABC所在平面上射影为O，如果PA⊥BC，PB⊥AC，则O为ΔABC的（）.A、垂心B、重心C、内心D、外心分析:作出PA在平面ABC上的射影，证明BC与之垂直.解:如图，连结OA，OB，则OA是PA在平面ABC上的射影.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理，AC⊥OB，∴O是ΔABC的垂心，故选A.点评:三角形的内心、外心、垂心、重心分别是三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线、三条高、三条中线的交点.课外练习：1．RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离为12，若点P到AC和BC 的距离相等，求：点P到AC的距离.2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB=BC=CD=a.则直线AD和BC所成角的正弦值为（）.A、B、C、D、3．在棱长为4的正方体，ABCD-A1B1C1D1中，A1到BD的距离等于_________.4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别是AD、DD1、DC的中点，求证：B1K⊥平面CMN.参考解答：1．如图，过P作PD⊥平面ABC，D为垂足，过D作DE⊥AC，DF⊥BC.分别连结PE和PF，则DE和DF分别是PE和PF在平面ABC内的射影.∵AC⊥DE，∴AC⊥PE，∵DF⊥BC，∴BC⊥DF，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE和PF是P到AC和BC的距离，∴PE=PF，∴DE=DF，∵CEDF是内角均为90°的四边形，∴CEPF是正方形，∴CD=´DE，在RtΔPCD中，PC=24，PD=12，∠PDC=90°，∴CD=，∴DE=，在RtΔPDE中，PD=12，DE=，∠PDE=90°，∴PE=，即P到AC、BC的距离均为.2．D3.4. 如图，分别连结BK和C1K，证明RtΔCDM≌RtΔBCK,证明RtΔCC1K≌RtΔCDN.设CM∩BK=P，∵∠KBC=∠PCK，∴∠PBC+∠BCP=90°，∴∠CPB=90°，∴CM⊥BK，∵BK是B1K在平面ABCD上的射影，∴B1K⊥CM.同理可证：B1K⊥CN，CN∩CM=C，∴B1K⊥平面MNC.在线测试选择题1．下列命题正确的是（）A、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面B、两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行C、一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直，那么这两个二面角相等或互补D、五边形中有两组不相邻的边平行，那么这个五边形是平面图形2．设P是正ΔABC所在平面外一点，PA=PB=PC=.若ΔABC的边长为1，则直线PC和平面ABC所成的角是（）.A、90°B、60°C、45°D、30°3．平面α内的∠MON=60°，PO是平面α的斜线段，PO=3，且PO与∠MON的两边均成45°角，那么点P到平面α的距离为（）.A、B、C、D、4．已知三个平面α、β、γ，一条直线l，要得到α//β，必须满足下列条件中的（）.A、l//α, l//β且l//γB、lγ, 且l//α，l//βC、α//γ且β//γD、l与α、β所成角相等5．已知a,b是两条直线，以下四个条件中：①α⊥γβ⊥γ②α内有不共线的三点到β的距离相等③aα, bα, a//β, b//β④a,b是异面直线且aα, a//β, b//β, b//α能推出α//β的是（）.A、④B、②，③C、②D、①，③答案与解析答案：1、D 2、D 3、A 4、C 5、A解析：1．答案：D．如A中α⊥β，α∩β=l, l'⊥β, l'⊥l, 但l'//α，矛盾.故排除A；B、C很容易否定.故本题应选D.2．答案：D．过P作PO⊥平面ABC，则垂足O为正ΔABC的中心.连结OC，则∠PCO为直线PC和平面ABC所成的角.在RtΔPOC中，OC=，PC=，则cos∠PCO=.从而∠PCO=30°，故选D.3．答案：A．如图，过P作PH⊥平面α，则垂足H在∠MON的平分线上，且PH的长为点P到平面α的距离.作HQ⊥OM，垂足为Q，在RtΔPQO中，PQ=OQ=.在RtΔOQH中，HQ=OQ·tan30°=.在RtΔPHQ中，PH=.选A.4．答案：C．平面与平面平行满足传递性.5．答案：A．当平面α、β是两个相交平面时，①不一定成立.当这三点在平面β两侧时，②不成立.当平面α、β是两个相交平面时，③不一定成立.因此选A.怎样学习立体几何我们学习每一门课，都应有不同的学法，学习《立体几何》时，应注意下面四点。
直线和平面平行、垂直的判定和性质
直线和平面平行、垂直的判定和性质1．在直线和平面的位置关系中，平行关系不仅应用较多，而且是学习平面和平面位置关系的基础，所以直线和平面平行的判定和性质是本单元的重点之一．判定定理说明要证一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行即可．对于直线和平面平行的性质定理、要注意避免“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误，线面平行和线线平行，是指过这条直线的任意一个平面和已知平面的交线与这条直线平行，尽管直线可以和平面内无数条直线平行，但不能说直线和平面内的任何直线平行．反证法是常用的一种证明方法．要会用反证法证明线面平行的判定定理．2．斜线和平面所成的角，定量地反映了斜线和平面的位置关系，它是通过转化为平面内的两条相交直线所成的角来度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．直线和平面所成的角，应分三种情形:(1)直线和平面斜交时，直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角就是直角；(3)直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角的度数是0°．综上所述，直线和平面所成角的范围是[0，].3．在应用三垂线定理及其逆定理时，重点在于先寻找平面的垂线，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，这是因为垂线是确定斜线在平面内射影的关键．三垂线定理及其逆定理揭示了平面的斜线和它在这个平面上的射影必定同时垂直于平面内的直线的实质．在学习三垂线定理时，要注意处于各种位置的射影关系图形的识别和掌握，进而达到灵活应用的目的.典型题目分析例1．下列命题中①两条异面直线所成角α 的范围是0°＜α＜180°．②两条互相垂直的直线不一定相交．③分别和两条异面直线都垂直的直线叫做这两条异面直线的公垂线．④两条异面直线所成角的大小是惟一的，角的位置可以平移变化．⑤两条异面直线的公垂线有且只有一条．⑥若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的个数是().A．1B．2 C 3D．4分析:对照有关概念，找出结论与条件不相符合的命题．解:由异面直线所成角的定义，公垂线定义知①③⑥错误，②④⑤正确，故选C．例2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=3，BC=4，则异面直线A1B1与BC1的距离是________.分析:证A1B1⊥面BC1.解:在面BC1内作B1E⊥BC1于点E.长方体AC1中，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，所以A1B1⊥面BC1，从而A1B⊥B1E，于是B1E的长就是异面直线A1B1和BC1间的距离.矩形BCC1B1中，BC1=，所以B1E=.即所求距离为.点评:本题将异面直线的距离问题转化为同一三角形内的点线距离问题.例3．E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC的中点，求EF到平面AA1C1C的距离.分析:转化为EF与AC间的距离.解:如图所示，连结BD分别交AC、EF于O、G，则BD⊥AC，BD⊥EF.正方体A1C中，AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD.∴BD⊥AA1，而AA1、AC是平面AA1C1C内两条相交直线.∴BD⊥平面AA1C1C，又BD⊥EF，于是线段OG的长就是EF到平面AA1C1C的距离.在正方形ABCD中，OG=.所以EF到平面AA1C1C的距离是.点评:将线面距离化为线线距离是一种常用转化方法，应注意正确使用这种方法.例4．点P在ΔABC所在平面上射影为O，如果PA⊥BC，PB⊥AC，则O为ΔABC的（）.A、垂心B、重心C、内心D、外心分析:作出PA在平面ABC上的射影，证明BC与之垂直.解:如图，连结OA，OB，则OA是PA在平面ABC上的射影.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理，AC⊥OB，∴O是ΔABC的垂心，故选A.点评:三角形的内心、外心、垂心、重心分别是三角形的三条角平分线、三条边的垂直平分线、三条高、三条中线的交点.课外练习：1．RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离为12，若点P到AC和BC 的距离相等，求：点P到AC的距离.2．在空间四边形ABCD中，若AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，且AB=BC=CD=a.则直线AD和BC所成角的正弦值为（）.A、B、C、D、3．在棱长为4的正方体，ABCD-A1B1C1D1中，A1到BD的距离等于_________.4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、K分别是AD、DD1、DC的中点，求证：B1K⊥平面CMN.参考解答：1．如图，过P作PD⊥平面ABC，D为垂足，过D作DE⊥AC，DF⊥BC.分别连结PE和PF，则DE和DF分别是PE和PF在平面ABC内的射影.∵AC⊥DE，∴AC⊥PE，∵DF⊥BC，∴BC⊥DF，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE和PF是P到AC和BC的距离，∴PE=PF，∴DE=DF，∵CEDF是内角均为90°的四边形，∴CEPF是正方形，∴CD=´DE，在RtΔPCD中，PC=24，PD=12，∠PDC=90°，∴CD=，∴DE=，在RtΔPDE中，PD=12，DE=，∠PDE=90°，∴PE=，即P到AC、BC的距离均为.2．D3.4. 如图，分别连结BK和C1K，证明RtΔCDM≌RtΔBCK,证明RtΔCC1K≌RtΔCDN.设CM∩BK=P，∵∠KBC=∠PCK，∴∠PBC+∠BCP=90°，∴∠CPB=90°，∴CM⊥BK，∵BK是B1K在平面ABCD上的射影，∴B1K⊥CM.同理可证：B1K⊥CN，CN∩CM=C，∴B1K⊥平面MNC.在线测试选择题1．下列命题正确的是（）A、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面B、两条直线在两个相交平面内的射影都是平行直线，那么这两条直线互相平行。
平行线与垂直线的性质与判定方法
平行线与垂直线的性质与判定方法平行线与垂直线是几何学中常见的概念，它们在许多数学问题和实际情境中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质，并说明它们的判定方法。
一、平行线的性质1.定义：平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
记作∥。
2.性质1：平行线上的任意两点与另一直线的交点的连线，与平行线上的任意两点与该直线的交点的连线相交于同一直线上。
3.性质2：平行线与同一条直线的两条相交线段的比例相等。
4.性质3：平行线的错位角、内错角、同旁内角和同旁外角相等。
二、垂直线的性质1.定义：垂直线是与另一条直线形成直角的线段。
记作⊥。
2.性质1：垂直线与同一条直线的两条相交线段的乘积相等。
3.性质2：垂直线的错位角互补，即错位角的和为180°。
4.性质3：垂直线的内错角互补，即内错角的和为180°。
三、平行线的判定方法1.方法1：同位角相等法。
若两条直线被一条横截线所截，且截线上的同位角相等，那么这两条直线是平行线。
2.方法2：平行线与传统几何图形的关系法。
在平行线与其他几何图形（如矩形、正方形等）相交的条件下，可以判定出平行线的存在。
3.方法3：斜率法。
若两条直线的斜率相等且不为无穷大，则这两条直线是平行的。
四、垂直线的判定方法1.方法1：垂直线的定义法。
两条直线的斜率相乘为-1时，它们是互为垂直的。
2.方法2：对称法。
若两条直线关于某点对称且这条直线垂直于另一条直线，那么这两条直线是垂直的。
3.方法3：垂直线与传统几何图形的关系法。
在垂直线与其他几何图形（如正方形、直角三角形等）相交的条件下，可以判定出垂直线的存在。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
学好这些性质和方法，对于解决相关的数学问题和实际生活中的空间关系具有重要的指导意义。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和应用平行线与垂直线的性质与判定方法。
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如果两个平面平行，那 么其中一个平面内的直 线平行于另一个平面
图形
条件 结论
α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a
a∥b
α∥β a⊂β
a∥α
二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
定义
判定
语言描述 如果直线l和平面α内的任意一条 一条直线与一个平面内的两条相交
直线都垂直，我们就说直线l与平 直线都垂直，则这条直线与该平面
3下列命题正确的是（ D F
）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,bα，那么b∥α
例题
1.如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段
为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱
D. 是棱台
2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ） A.aα,bα,a∥b B .bα,a∥b C. bα,c∥α,a∥b,a∥c D. bα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD
※判定定理的证明
知识点二、直线与平面平行的性质 性质
文字描述
一条直线与一个平面平行，则这条直线 与该平面无交点
一条直线和一个平面 行，则过这条直线的 平面与此平面相交， 直线和交线平行．
图形
条件
a∥α
结论
a∩α＝∅
线面平行，则线线平行
特别提示
a∥αa⊂ a∥b
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线 面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义
文字描述 两个平面相交，如果它们所成的
二面角是直二面角，就说这两个 平面垂直.
图形
判定
一个平面过另一个平面的垂线，则 这两个平面垂直
结果
α∩β=l α⊥β
α-l-β=90o
（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼
知识点五、平面和平面垂直的性质 面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个
在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’ ． （1）要经过平面 内的一点P 和棱BC将木料据开，应怎样画线？ （2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？
E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D
一、直线、平面平行的判定及其性质
知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系 直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点 没有公共点
Байду номын сангаас
符号表示 a⊂α
a∩α=A
a||α
图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（
直线与平面平行的判断
判 定
文字描述 直线和平面在空间平面永无交点，则直线和 平面外的一条直线一次平面内的一条
平面平行（定义）
直线平行，则该直线与此平面平行
图形
条件
a与α无交点
结论
a∥α
b∥α
线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）
垂直于同一个平面的两条直线平 行.
图形
条件 结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线 个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记） 二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上
ⅱ. 线在面内
ⅲ. 与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱 叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：.
4.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC；
在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.
4在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m∥β，n∥βa∥β
B．a∥β，m∥n C．m⊥a,m⊥nn∥a
面
垂直.
互相垂直，记作l⊥α
图形
条件
b为平面α内的任一直线，而l ⊥，⊥，∩＝B，， 对这一直线总有l⊥α
结论
⊥
⊥
要点诠释：定义中“平面
内的任意一条直线”就是指“平面
内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直
线面垂直）
知识点二、直线和平面垂直的性质
性质
语言描述
一条直线垂直于一个平面，那么 这条直线垂直于这个平面内的所 有直线
知识点三、平面与平面平行的判定
判定
如果两个平面无公共点，责成这 一个平面内有两条相交直线与另 如果两个平面
两个平面平行
一个平面平行，那么这两个平面 线，那么这两
平行．
α∩β＝∅
a， b⊂β
l⊥
a∩b＝P
l⊥
a∥α
b∥α
α∥β
α∥β
α∥
知识点四、平面与平面平行的性质 性质
文字描述
如果两个平行平面同时和第三平面 相交，那么他们的交线平行
求证：EF‖平面BCD
8题图 9题图
9.如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形， ∠DAB=60 ， ,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.
课堂练习
A组
3.m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是____ ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n； ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β； ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
D．n∥m,n⊥am⊥a 6.下列命题中错误的是
（A）如果平面⊥平面，那么平面内一定直线平行于平面 （B）如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面 （D）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点