多元函数的极值与应用

多元函数的极值与应用摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性Extreme value of function and applicationAbstract ：This article is about the function extreme solution bya function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singularKeywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 定理[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i jnx x n i j i j g fx x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''=在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C ===224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi i i k k klL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例 4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c -+-+-=化简,得 0002221x y z x y z a b c++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1L x yz x a L y xz yb L z xy zc x y z a b c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===;min 2V V abc ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值. 解 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a au αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++22222()33a a αβαβ=++++≥等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .不等式法[4]4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z=++的极小值.解 0,0,0,x y z >>>(,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z x y z=++++4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式 柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有21122()n n a b a b a b +++≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,na a a 与1,2,nb b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值.例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值.解 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立； 即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =. 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值.解 因为 1(2)2y x z f =+-,代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤-≤≤ (2)或211f z z ≥-≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥,即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3. 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. 解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l += 下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩容易解出2x y == 根据题意,22 ⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一 数形结合法[7]解 设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=， 即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二 消元法解 设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+ 故当sin 21θ=，即193x y ==时，22383x y +=达到最小值.当sin 21θ=-，即x y =-=2238x y +=达到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤ 当且仅当x y =时等号成立 因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-， 当且仅当x y =时等号成立即 223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值 由于222x u xu +≤， 所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+=即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1）（4）若0,0x y <>，则问题转化为（2）解法四 拉格朗日乘数法解 设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190F x x y x F y y x yF x xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=；若 x y =-，则219x =，x y =-=x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率.二.多元函数极值的应用多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图），CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α， 光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值.作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+--解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y =+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少解 依题意，利润函数为1402025255510x y S x y π=-=+-++ 且 25x y +=设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元.问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x -⎧=⎨=-⎩下的极值问题. 作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Me c c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。