布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数-word文档
布尔运算
布尔运算乔治·布尔（George Boole，1815.11.2~1864.12.8）是英国的数学家。
布尔出版了《逻辑的数学分析》《思维规律的研究》著作。
一、乔治·布尔布尔是一个皮匠的儿子。
由于家境贫寒，布尔不得不在协助养家的同时，为自己能受教育而奋斗。
1835年，布尔开办了自己的学校。
在备课的时候，布尔在阅读法国数学家拉格朗日的论文时，有了变分法方面的新发现。
变分法是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。
1847年，出版了《逻辑的数学分析》。
发明了“处理二值之间关系”的逻辑数学计算法，包括：联合、相交、相减。
1849年，布尔被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。
1849年，布尔被邀请到爱尔兰科克女王学院担任数学教授。
1854年，出版了《思维规律的研究》最著名的著作。
1855年，布尔与玛丽·埃弗雷斯特结婚。
1857年，布尔当选为伦敦皇家学会会员，不久荣获该会的皇家奖章。
1864年，布尔死于肺炎。
二、数学运算⒈产生布尔用数学方法研究逻辑问题，成功地建立了逻辑演算。
布尔用等式表示判断，把推理看作等式的变换。
这种变换的有效性不依赖人们对符号的解释，只依赖于符号的组合规律。
这一逻辑理论，人们常称它为布尔代数。
⒉表示方法①或→∨②与→∧③非→┐④等价→=⑤真/假→1/0三、计算机运算布尔运算，其实就是逻辑运算。
布尔代数，其实就是逻辑代数。
逻辑运算（logical operators）通常用来测试真/假值。
最常见到的逻辑运算就是循环的处理。
用来判断是否该离开循环或继续执行循环内的指令。
1930年，逻辑代数在电路系统上获得应用。
随后，由于计算机等数字电路的发展，出现各种复杂的电路系统。
但是，变换规律也遵守布尔所揭示的规律。
四、三维图形在图形处理操作中，引用了这种逻辑运算方法。
以使简单的基本图形组合，产生新的形体。
并由“二维图形”的布尔运算，发展到“三维模型”的布尔运算。
布尔代数与逻辑函数
布尔代数与逻辑函数布尔代数是一种由英国数学家乔治·布尔于19世纪中期发展起来的代数体系，它在计算机科学和逻辑学中起着重要的作用。
布尔代数通过对逻辑函数的运算和推理，描述了逻辑关系和逻辑推理的规则。
本文将介绍布尔代数的基本概念和运算规则，以及它与逻辑函数的关系。
一、布尔代数的基本概念布尔代数是一种由逻辑数学中的一元逻辑和二元逻辑运算构成的代数系统。
它由两个基本元素组成，分别是真值和逻辑变量。
真值表示一个命题的真假，通常用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
逻辑变量则表示一个命题中的可变部分，可以取0或1两个值。
二、布尔代数的运算规则布尔代数具有以下几种基本的运算规则：1. 与运算（AND）：表示逻辑与关系，用符号“∧”表示，在数字电路中常用乘号“*”代替。
2. 或运算（OR）：表示逻辑或关系，用符号“∨”表示，在数字电路中常用加号“+”代替。
3. 非运算（NOT）：表示逻辑非关系，用符号“¬”表示，在数字电路中常用上划线“-”表示。
4. 异或运算（XOR）：表示逻辑异或关系，用符号“⊕”表示。
5. 同或运算（XNOR）：表示逻辑同或关系，用符号“⊙”表示。
这些运算规则在布尔代数中可以通过真值表或逻辑公式进行演算。
三、逻辑函数的定义与应用逻辑函数是布尔代数中的重要概念，它是一个或多个逻辑变量与运算符的组合，得到一个布尔值的函数。
逻辑函数在计算机科学和电子工程中有广泛的应用，特别是在数字电路和逻辑设计中。
逻辑函数可以通过真值表或逻辑表达式来描述。
真值表是逻辑函数的一个常用表示方法，它列出了函数在所有可能输入组合下的输出结果。
逻辑表达式则是通过逻辑运算符和逻辑变量的组合来表示逻辑函数。
四、逻辑函数的简化与优化在实际的逻辑设计中，逻辑函数往往需要进行简化和优化，以减少电路的复杂度和功耗。
常用的逻辑函数简化方法包括代数运算、卡诺图方法和奎因-麦克拉斯基算法等。
这些方法通过对逻辑函数进行等价变换和合并，找出最简逻辑表达式，从而实现逻辑电路的最优设计。
第二章系统可靠性模型
图 De Morgan 律 ② 文氏图
（5）覆盖律
15
①A∪A'B＝A∪B
覆盖律文氏图为。
图 覆盖律 ① 文氏图
② A（A'∪B）= AB
覆盖律文氏图为。
图 覆盖律②文氏图
16
③ AB∪A'C∪CB = AB∪A'C
覆盖律文氏图见下图
图 覆 盖 律 ③ 文 氏 图
17 ④ （A∪B）(A'∪C）(C∪B） = （A∪B）(A'∪C） 覆盖律文氏图见下图 所示。
P (x x x )
Pr ( x1 ) Pr ( x2 ) Pr ( x3 ) Pr ( x1 x2 ) Pr ( x1 x3 ) Pr ( x2 x3 ) Pr ( x1 x2 x3 )
30
即 Pr ( x1 x2 x3 )
Pr ( x1 ) Pr ( x2 ) Pr ( x3 ) Pr ( x1 x2 ) Pr ( x1 x3 ) Pr ( x2 x3 ) Pr ( x1 x2 x3 )
逻辑代数有三大分支：① 以集合为研究对象的称集合代 数；② 以开关线路分析的形式表示的称开关代数；③以命题 为研究对象称命题代数。 由于产品失效或成功是由零、部件失效或成功的集合形成 的，所以研究产品失效，首先应研究集合的运算。
1. 集合的并、交、补运算
集合是指具有某种特定性质的总体或全体。 为分析直观起见，用文氏图来说明集合的运算。 （1）集合的并仍为集合,如图2-7（a)中阴影部分
12
A∩B = A· B = AB
书中讲了布尔代数的七个定理 : (1) 基元互补律、(2) 双 补律、(3)德· 摩根定律（Ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ律）、(4) 等 幂律、(5) 复盖律、（6）归并律和（7）对偶性定理。
布尔代数讲义
1 格？
1 格？
格的基本性质
12） 分配不等式
a(bc)≤(ab)(ac) 对偶 a(bc)≥(ab)(ac)
证:
a≤ab, a≤ac a≤(ab)(ac)
b≤ab, c≤ac bc≤(ab)(ac)（性质10） a(bc)≤(ab)(ac)
i) 下界存在,其一为ab： 由(ab)a=(aa)b=ab 有：ab≤a 同理，ab≤b 从而，ab 是a,b的下界。
ii) ab为最大下界： 设c 是a,b 的任一下界， 即c≤b, c≤a, 由c(ab)= (ca)b=cb=c 有：c≤ab
所以，ab 是a,b的最大下界。
2 格是代数结构
3) 同理可证? a,bL, {a,b}的最小上界存在，且lub(a,b)=ab
反对称性： a,bL, 若a≤b, b≤a，即ab=a,ba=b， 于是由交换律，有a=ab=ba=b
传递性： a,b,cL,若a≤b,b≤c，即ab=a, bc=b 于是，由ac=(ab)c = a(bc)= ab=a
得a≤c
2 格是代数结构
2)证明 a,bL,{a,b}的最大下界存在，且glb(a,b)=ab
（a） （b）
3 布尔代数
例7 设<S；, >是一个分配格, 对于任意 的 a,b,c∈S, 如 果 ab=ac, ab=ac, 则有b=c。
证明 b=b(ba)=b(ca) =(bc)(ba)=(cb)(ca) =c(ba)=c(ca)=c。
有界格
3 布尔代数
设<S；, >是一个格, 如果存在一个元素 a∈S, 对于任意的x∈S, 均有x≤a (或a≤x), 则称a是格S的一个最大(或最小)元。当一个格中 最大元、最小元均存在时, 则称S是个有界格。
数字电路中的逻辑代数和布尔运算
数字电路中的逻辑代数和布尔运算数字电路是计算机科学中的一个重要内容，而逻辑代数和布尔运算则是数字电路设计的基础。
逻辑代数是一种描述和分析逻辑关系的数学工具，而布尔运算则是逻辑代数的一种具体实现方式。
在数字电路中，我们常常需要处理和存储大量的数据。
为了实现高效的数据处理和存储，数字电路通常会采用二进制形式来表示和操作数据。
逻辑代数的主要目的就是研究和描述二进制数据之间的逻辑关系，并提供一种统一的符号表示和操作方式。
逻辑代数的基本元素是逻辑变量和逻辑运算符。
逻辑变量通常用0和1来表示，分别表示逻辑上的假和真。
而逻辑运算符则用来表示逻辑操作，包括与、或、非、异或等。
这些逻辑运算符可以帮助我们实现逻辑关系的转换、判断和运算。
布尔运算则是逻辑代数的一种具体实现方式。
布尔运算是一种基于布尔代数的计算方法，通过使用逻辑运算符和逻辑变量，可以实现复杂逻辑函数的计算和控制。
布尔运算在数字电路设计中起到了至关重要的作用，它可以帮助我们设计和实现各种数字逻辑电路，包括逻辑门、寄存器、计数器等。
逻辑代数和布尔运算的基本原则是：逻辑运算符和逻辑变量之间的关系是固定的，可以通过真值表或逻辑表达式进行描述。
通过对逻辑表达式的分析和转化，我们可以将复杂的逻辑问题简化为简单的逻辑运算问题，从而更好地实现数字电路的设计和优化。
在数字电路设计中，我们通常会使用逻辑门来实现逻辑运算。
逻辑门是一种输入和输出都是逻辑变量的电子元件，它通过控制输入信号的传递和转换，来实现不同的逻辑功能。
逻辑门的种类包括与门、或门、非门、异或门等，它们可以通过组合和连接来实现各种复杂的逻辑运算。
除了逻辑门，我们还常常使用逻辑函数和逻辑表达式来描述和分析逻辑关系。
逻辑函数是描述逻辑运算结果和输入之间关系的数学函数，它可以通过真值表和逻辑表达式进行表示和计算。
而逻辑表达式则是一种用逻辑运算符和逻辑变量表示逻辑运算关系的表达式，通过对逻辑表达式的分析和优化，我们可以得到更好的逻辑功能和性能。
布尔代数
第五章布尔代数布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究出现的。
英国哲学家George Boole于1847年的论文“逻辑之数学分析”及“思维法则之研究”中引入了布尔代数。
本世纪30年代C.E. Shannon发表了“继电器和开关电路的符号分析”一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路。
50年代苏联科学家把布尔代数发展成为接点网络实用中的通用理论，从而使布尔代数成为计算机科学中的重要基础理论。
从逻辑上讲，布尔代数是一个命题演算系统;从抽象代数观点讲，布尔代数是一个代数系统;从集合的观点讲，它是一个集合代数;从工程技术的观点讲，布尔代数是电路代数，电子线路的设计离不开它;5.1 布尔代数的基本定义和性质定义5.1.1给定一个具有三个运算的代数结构<S，⊕，⊙，′>，其中，⊕，⊙是S上的二元运算，′是S上的一元运算，0，1∈S。
若对于 x，y，z∈S(1) x⊕y=y⊕x，x⊙y=y⊙x (交换律)(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z，x⊙(y⊙z)=(x⊙y)⊙z(结合律)(3)x⊕(y⊙z)=(x⊕y)⊙(x⊕z)，x⊙(y⊕z)=(x⊙y)⊕(x⊙z)(分配律)(4)x⊕0=x，x⊙1=x (同一律)(5)x⊕x′=1，x⊙x′=0(有补律)则称<S，⊕，⊙，′>称为布尔代数(Boolean Algebra)，⊕，⊙，′分别称为它的并(布尔和)，交(布尔积)和补运算，0和1分别称为它的零元和么元。
一个布尔代数通常记为<S，⊕，⊙，′，0，1>。
例5.1.1二值（元）布尔代数<B，⊕，⊙，′，0，1>，其中B={0，1}1⊕1=1⊕0=0⊕1=1，0⊕0=0，1=0′1⊙1=1，1⊙0=0⊙1=0⊙0=0，0=1′例5.1.2集合代数<P(A)，∪，∩，′，Φ，A>例5.1.3*命题代数定理5.1.1在一个布尔代数中，0和1 都是唯一的;定理5.1.2在一个布尔代数中，任一元素的补元是唯一的;证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.3在一个布尔代数中<S，⊕，⊙，′0，1>中，则对∀x∈S，(x′) ′=x定理5.1.4条件同上，则0′=1，1′=0;定理5.1.5条件同上，则对∀x∈S，x⊕x=x，x⊙x=x(幂等律)证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.6条件同上，则对∀x∈S，x⊕1=1，x⊙0=0(零一律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.7条件同上，则对∀x，y∈S，x⊕(x⊙y)=x，x⊙(x⊕y)=x(吸收律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.8条件同上，则对∀x，y∈S，(x⊙y)′=x′⊕y′，(x⊕y) ′=x′⊙y′(De morgan律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.9条件同上，若对x，y，z∈S，x⊙y=x⊙z，x⊕y=x⊕z，则y=z (消去律)证明(利用集合中类似证明方法)定理5.1.10 条件同上，则对∀x，y∈S，x⊙y=x⇔x⊕y=y证明(利用吸收律)对偶原理: 在布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>中，若P是某个已经得到证明的定理，将定理中的条件和结论(1)⊕与⊙互换; (2) 0与1 互换则由此而得的新定理仍然成立;5.2 格定理5.2.1设<S，⊕，⊙，′，0，1>为一个布尔代数，则集合≤={<x，y>| x⊙y=x∧x∈S∧y∈S}称为S上的偏序关系。
布尔代数和逻辑运算
布尔代数和逻辑运算布尔代数和逻辑运算是计算机科学的重要基础，它们描述了物理计算的基本规则和过程。
在本文中，我们将深入探讨布尔代数和逻辑运算的概念、应用以及在计算机科学中的重要性。
1. 布尔代数和逻辑运算的概念布尔代数是一种数学分支，它研究的对象是符号逻辑系统。
在布尔代数中，所有的值都只有两个可能结果，分别为真和假。
这些值可以用0和1来表示，其中0代表假，1代表真。
在布尔代数中，有三种基本的运算：与、或和非。
其中，“与运算”（AND）表示只有当两个布尔值都为真时才为真；“或运算”（OR）表示至少有一个值为真时为真；而“非运算”（NOT）则是表示一个值的相反。
2. 布尔代数和逻辑运算的应用布尔代数和逻辑运算在计算机科学的许多领域中都有广泛的应用。
例如，在编程中，程序员可以使用逻辑运算符将多个布尔表达式组合起来，以便更有效地控制程序的流程。
逻辑运算符还可以用于检测输入数据的有效性，或者在编写自动化测试时，检测特定行为的结果。
此外，布尔代数和逻辑运算也广泛用于电路设计，因为它们可以描述如何将逻辑门连接以执行特定的功能。
逻辑门是电路的基本组成部分之一，它们接受一个或多个输入信号，并根据它们的值产生一个输出信号。
逻辑门种类有多种，包括与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）和异或门（XOR），它们可以通过组合进行构建，形成电路的基本单元，为计算机处理和存储信息提供支持。
3. 布尔代数和逻辑运算在计算机科学中的重要性计算机科学是一个高度逻辑和数学化的学科，它需要处理大量的数据，并进行各种计算和分析。
布尔代数和逻辑运算提供了一些基本的工具，可帮助计算机科学家有效地描述和操作数据，从而实现复杂的计算和分析任务。
例如，在人工智能领域中，逻辑推理系统（LRS）依赖于布尔代数和逻辑运算。
LRS是一种基于逻辑符号和规则的人工智能技术。
它使用布尔代数和逻辑运算来表示和处理知识和信息，从而实现推理、决策和问题求解等任务。
离散数学布尔代数与逻辑
离散数学布尔代数与逻辑离散数学是数学的一个分支，研究离散的、离散的结构和离散的现象。
而布尔代数是离散数学的重要组成部分，是代数学中关于二元关系的理论。
同时，与布尔代数密切相关的是逻辑学，研究命题的真值、论证的正确性以及推理的方法。
一、布尔代数基础布尔代数是一种逻辑代数，它使用逻辑运算符号和变量，描述和分析命题逻辑关系。
在布尔代数中，变量只有两个取值，即真（用1表示）和假（用0表示）。
布尔代数的基本运算包括逻辑与、逻辑或和逻辑非。
逻辑与表示当且仅当两个变量都为真时，结果为真；逻辑或表示当至少有一个变量为真时，结果为真；逻辑非表示当某个变量为真时，结果为假，反之亦然。
在布尔代数中，可以使用真值表来描述和分析布尔函数的取值情况。
布尔函数是指由布尔代数运算符组成的表达式，它接受一个或多个输入变量，并产生一个输出变量。
布尔函数在逻辑电路设计、计算机科学、编程等领域中有广泛的应用。
通过真值表分析布尔函数的取值规律，可以优化逻辑电路的设计和布尔函数的运算。
二、逻辑学与命题逻辑逻辑学是研究推理和论证的科学，其中命题逻辑是逻辑学的一个重要分支。
命题逻辑的基本概念是命题，它是陈述句，可以被判断为真或假。
命题逻辑使用逻辑连接词和命题变量来组成复合命题，并通过逻辑运算符来描述复合命题之间的关系。
逻辑连接词包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、蕴涵和等价。
逻辑与表示两个命题同时为真时，复合命题为真；逻辑或表示两个命题至少有一个为真时，复合命题为真；逻辑非表示命题的否定，即真变为假，假变为真；蕴涵表示如果第一个命题为真，则第二个命题为真，否则为假；等价表示两个命题具有相同的真值。
逻辑学通过推理规则和推理方法来分析和判断复合命题的真假。
其中包括代入规则、假言推理、拒取否定、双重否定等推理规则。
通过应用这些推理规则，可以推导出逻辑上正确的结论，并解决实际问题中的逻辑推理和决策问题。
三、离散数学中的应用离散数学是计算机科学和信息技术的基础学科，广泛应用于计算机算法、数据结构、数据库、图论等领域。
布尔代数和逻辑函数化简 224页PPT文档
6.1.2 异步时序电路分析举例
例1 时序电路如图所示，分析其功能。
“1”
“1”
1J
Q1
1J
Q2
CP
C1 1K
Q1
C2 1K
Q2
解: 异步时序电路的分析与同步基本一 样， 但多一个时钟方程。与同步时序电路相 比，异步电路的分析麻烦。具体过程如下：
6.1.2 异步时序电路分析举例
J1=K1=1 Q1n+1=Q1n CP1=CP J2=K2=1 Q2n+1=Q2n CP2=Q1n
2.画出状态迁移关系，画出状态迁移图
Q3n Q2nQ1n Q3n+1 Q2n+1Q1n+1 C 000 0 0 1 0 001 0 1 0 0 010 0 1 1 0 011 1 0 0 0
100 0 0 0 1
101 0 1 0 1
110 0 1 0 1 111 0 0 0 1
Q1n+1=J1Q1n+K1Q1n=Q3nQ1n Q2n+1=Q1nQ2n+Q1nQ2n Q3n+1=J3Q3n+K3nQ3n =Q1nQ2nQ3n
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3 C
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3 C
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
6.1.1 同步时序电路分析举例
3. 功能描述
101
逻辑运算 逻辑问题 布尔代数 真假
《逻辑运算：从布尔代数到解决逻辑问题》一、概述在日常生活中，我们经常会遇到各种逻辑问题，如何有效地思考和分析这些问题成为了一个关键的能力。
逻辑运算作为一个重要的工具，可以帮助我们理清思路，解决问题。
本文将围绕逻辑运算、逻辑问题、布尔代数以及真假等主题展开讨论，帮助读者更好地理解这些概念。
二、逻辑运算的基础1. 什么是逻辑运算逻辑运算是一种对命题进行思维操作的数学分支，常见的逻辑运算有与、或、非等。
它在数学、计算机科学、哲学等领域都有着重要的应用。
2. 布尔代数布尔代数是逻辑运算的数学基础，它使用0和1来表示命题的真假，同时定义了与、或、非等逻辑运算的基本规则。
通过布尔代数，我们可以对复杂的逻辑问题进行简化处理。
三、深入理解逻辑问题1. 逻辑问题的本质逻辑问题通常是指需要通过逻辑推理和分析来得出结论的问题。
这类问题往往涉及到命题之间的关系，要求我们准确理解各种逻辑关系，从而给出正确的答案。
2. 逻辑问题的解题技巧解决逻辑问题需要我们具备一定的逻辑思维能力。
在面对逻辑问题时，我们可以采用分析、归纳、推理等方法，逐步深入分析问题的本质，找出合适的解题思路。
四、探究真假的边界1. 真假的相对性对于命题的真假，很多时候并不是非黑即白的。
事实上，有些命题的真假是相对的，取决于具体的背景和条件。
2. 真假的逻辑推理在面对真假问题时，我们可以运用逻辑运算的方法进行推理和分析。
通过分解命题、引入假设等方式，可以帮助我们更清晰地理解真假问题的本质。
五、总结与展望1. 逻辑运算和逻辑问题是我们日常思维活动中常常遇到的内容，通过学习逻辑运算和布尔代数，我们可以更好地理清思路，解决问题。
2. 真假的判断和推理需要我们具备一定的逻辑思维能力，通过不断的练习和思考，我们可以不断提高自己的逻辑能力。
3. 未来，在逻辑运算和逻辑问题领域，我们可以进一步研究和探讨更为复杂和深入的问题，为日常生活和学术研究带来更多启发。
个人观点：对于逻辑运算和逻辑问题，我始终坚信它们是我们思维世界中的宝贵财富。
逻辑代数与布尔代数
逻辑代数与布尔代数逻辑代数（Logic Algebra）和布尔代数（Boolean Algebra）是数学中重要的分支，它们都与逻辑推理和计算机科学紧密相关。
本文将探讨逻辑代数和布尔代数的基本概念、运算规则以及应用领域。
一、逻辑代数的基本概念和运算规则逻辑代数是研究命题和命题之间逻辑关系的代数体系。
在逻辑代数中，我们用符号和运算规则来表示和处理命题。
常见的逻辑运算包括“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）和“蕴含”（→）等。
1. 与运算（∧）：表示两个命题同时为真时，结果为真；否则为假。
2. 或运算（∨）：表示两个命题中至少有一个为真时，结果为真；否则为假。
3. 非运算（¬）：表示一个命题的否定，即真命题变为假命题，假命题变为真命题。
4. 蕴含（→）：表示若 A 成立，则 B 也成立的逻辑关系。
当 A 为真而 B 为假时，蕴含关系为假；否则为真。
在逻辑代数中，通过这些基本的逻辑运算可以构建出复杂的逻辑表达式，并进行真值运算和推理。
二、布尔代数的基本概念和运算规则布尔代数是逻辑代数的特殊形式，它只涉及真（1）和假（0）两个值。
布尔代数是由乔治·布尔（George Boole）于19世纪提出的，被广泛应用于电子电路设计和计算机科学领域。
布尔代数的基本运算规则与逻辑代数一致，即“与”、"或"、"非"和“蕴含”等运算。
不同的是，布尔代数只涉及两个数值：真（1）和假（0）。
通过布尔代数的运算规则，我们可以对称差、补集等运算进行操作，并利用这些运算规则简化逻辑表达式，从而使计算和推理更加高效。
三、逻辑代数与布尔代数的应用领域逻辑代数和布尔代数在现代科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中几个应用领域的简要介绍：1. 电子电路设计：布尔代数广泛应用于电子电路的设计和分析。
通过布尔代数的运算规则，可以简化电路的逻辑表达式，实现电路的优化设计和功能实现。
数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起-文档资料
数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起数学的主要内容是计算和证明。
在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。
费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。
这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。
与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。
他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。
实际上这正是数理逻辑的总纲领。
他希望建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。
真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。
布尔确信符号化会使逻辑变得严密。
他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。
所以逻辑命题可以表示如下：凡x是y可以表示成x（1－y）＝0；没有x是y可以表示成xy＝0。
它还可以表示矛盾律x （1－x）＝0；排中律x＋（1－x）＝1。
布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。
当x、y不是类而是命题，则x＝1表示的是命题x为真，x＝0表示命题x 为假，1－x表示x的否定等等。
显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。
特别是它遵从德莫尔根定律。
美国哲学家、数学家小皮尔斯推进了命题演算，他区别了命题和命题函数。
一个命题总是真的或假的，而一个命题函数包含着变元，随着变元值选取的不同，它可以是真也可以是假。
皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。
对现代数理逻辑贡献最大的是德国耶拿大学教授、数学家弗雷格。
数学家布尔
二十岁的时候，布尔开办了自己的私立学 校。当时的教科书有很多不足。在备课的 时候对教科书的错误表示惊讶，接着是不 满与轻蔑，他开始更加认真地研究数学， 布尔靠自学才能掌握这些数学知识。通过 不断的努力，便决定阅读大量数学家的论 文。阅读拉格朗日的论文时，布尔有了变 分方面的新发现。
1840年，发表第一篇论文。 1847年，布尔出版了《逻辑的数学分析》 （《The Mathematical Analysis of Logic》）。 1849年。他被任命位于爱尔兰科克的皇后学 院的数学教授。 1854年，他出版了《思维规律》（《The Laws of Thought》），这是他最著名的著作。 布尔在1855年结婚。
1864年，他在暴风雨天气中尽管已经 湿淋淋的了仍坚持上课引起的，于爱尔 兰死于肺炎。为了纪念他，科克女王大 学树立了一扇巨大的朝向东方的布尔纪 念窗。
人们很早就想利用计算的方法来探索人类 思维中的逻辑推理过程。十七世纪，莱布尼兹 就试图发明一种通用的科学语言，借助于这种 语言的符号和语法结构来指导推理，就像数学 中的公式计算一样。但是由于各种原因，莱布 尼兹的想法并没有实现，因此他对逻辑代数的 发展并没有直接的影响。事实上，布尔关于逻 辑代数的工作应该是首创的，他所建立的“布 尔代数”基本上完成了逻辑的演算工作。
在计算机中布尔逻辑定义若干布尔逻辑函数， 有时候称为操作符。每个函数根据一个或者 更多的输入，用一个逻辑算法来计算输出值。 该算法根据输入所取真和假的组合来决定什 么时候输出真（0真1假；1真0假。相对 的）。每个逻辑函数类似于一个现实世界的 逻辑运算，可以用来定义各种逻辑的情况。
布尔代数起源于数学领域，是一个用于集 合运算和逻辑运算的公式：〈B，∨，∧， ¬ 〉。其中B为一个非空集合，∨，∧为定 义在集合B上的两个二元运算，¬术的数学基础 奠基者
布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数-word文档
布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数-word文档布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数乔治·布尔（GeorgeBoole，1815年～1864年）1815年11月生于英格兰的林肯。
他的父亲是皮匠，由于家境十分贫寒，无力供他读书。
他的学问主要来自于自学。
年仅12岁的布尔就掌握了拉丁文和希腊语，后来又自学了意大利语和法语。
尽管他曾考虑想过要当牧师，但最终他还是决定从事教育行业。
布尔从16岁就开始任教，以此维持生活。
在协助养家的同时并为自己受教育而奋斗拼搏。
而后来他还开办了自己的学校。
在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。
在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。
变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。
从20岁起布尔对数学产生了浓厚兴趣，广泛涉猎著名数学家牛顿、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔记。
这些笔记中的思想，1847年被用于他的第一部著作《逻辑的数学分析》之中。
1848年，布尔出版了《逻辑的数学分析》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。
1849年他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。
1854年，他出版了《思维的规律》，这是他最著名的著作。
在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。
布尔撰写了微分方程和差分方程的课本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。
1854年，已经担任柯克大学教授的布尔再次出版《思维规律的研究──逻辑与概率的数学理论基础》。
以这两部著作，布尔建立了一门新的数学学科。
布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。
在布尔代数里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用基础的逻辑符号系统描述物体和概念。
这种代数不仅广泛用于概率和统计等领域，更重要的是，它为今后数字计算机开关电路设计提供了最重要数学方法。
第4章逻辑门和布尔代数
Output Y
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 X … X
AB
CD
00 01 11 10
00 0 0 X 1
01 0 0 X 1
11 0 1 X X
10 0 0 X X
包含无关项的逻辑表达式的化简
Input A B CD 0 000 0 001 0 010 0 011 0 100 0 101 0 110 0 111 1 000 1 001 1 010
WX
11 10
YZ
00 01
00 0 0 0 0
01 0 0 1 1
11 0 1 1 0
10 1 1 0 0
组合逻辑电路的竞争和冒险
前面只讨论了稳态的电路特性，也就是输入已经稳定很长时间 后输出的特性
实际电路中，门有延迟，在输入信号发生跳变的时候，有冒险 现象
X
Y
Y=X+((X’)’)’
=X+X’
XY
四变量卡诺图的相邻示例
X’Z’
四变量卡诺图的相邻示例
X
五变量卡诺图的相邻示例
ABC
DE
000 001
011 010
110 111
101 100
00
01
11 10
五变量卡诺图的相邻示例
ABC
DE
000 001
011 010
110 111
101 100
00
01
11 10
五变量卡诺图的相邻示例
组合逻辑电路的竞争和冒险
静态1型冒险
一个输入组合对，它们a)只
有一个变量不同；b)两种输 X
Y
入组合都输出1。
静态0型冒险
布尔和他的逻辑代数，还有诗
布尔和他的逻辑代数，还有诗““纯数学是由布尔在一部他称之为思维规律的著作中发现的。
”──伯特兰·罗素”一从0和1开始大家都认同：我们生活在一个信息时代。
但你可能会问，怎样表达信息呢？用0和1呗，十七世纪的德国人萊布尼茨早已回答了这个问题。
就用0和1？这么简单，你怎么去计算信息呀？这容易，十九世纪的英国人布尔笑了：0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0。
好吧，但你怎么做逻辑运算去处理信息呢？噢，二十世纪的美国人香农说他有办法：这逻辑运算嘛，可以用“与”（and）、“或”（or）、“非”（not）三个基本“门电路”，把它们如下对应起来加以执行就可以了：•1 and 1 = 1；1 or 1 = 1；not 1 = 0；•1 and 0 = 0；0 and 0 = 0；•1 or 0 = 1；0 or 0 = 0；•not 0 = 1哇，这些都有了，你马上明白：只要有“开”（代表1）和“关”（代表0）这两种基本操作的器件，电脑便能够表示、存储、传输和计算信息了！二布尔的生平故事科学和技术的发展通常都经过许多人的承传接力，上面说的信息技术也不例外。
不过，我们这里只讲布尔的故事。
乔治·布尔（George Boole，1815年11月2日－1864年12月8日）出生于英格兰的林肯（Lincoln）镇，父亲约翰是个颇为穷困的鞋匠，但对科学和算术有业余爱好，母亲玛丽安·乔伊斯是个佣人。
布尔有一个妹妹玛丽安妮和两个弟弟威廉及查尔斯。
布尔自幼表现出对古典语言的特别兴趣，父亲便请一位卖书的朋友教了他一点拉丁文。
布尔接着自学了一些希腊语，后来还自学了法语、德语和意大利语。
布尔14岁时就读于林肯镇的一间技校（Bainbridge Commercial Academy），但16岁就因家境困窘而缀学，此后余生再也没有机会进入任何学校读书。
他幻想过当一名牧师，但后来父亲生意衰落，他作为长子便担负起了支撑全家生活的责任。
布尔与布尔代数
月的冷雨中步行三公里而受凉引起的），不幸于爱尔兰的科克去世，终 年仅 49 岁。
布尔短暂的一生中，其研究内容大致可分为逻辑和数学两部分。 他在数学上的成就是多方面的，对代数几何学、微分方程、概率论、 拓扑学和控制系统的研究都有所建树，当代数学不少研究课题溯源于他 的工作。在逻辑方面，他的主要成果和贡献，就是用一套符号来进行逻 辑演算，即逻辑的数学化。在布尔代数中，符号可以按照固定的规则来 处理，而得出合乎逻辑的结果。 1847 年，布尔出版了这方面的第一本书，《逻辑的数学分析，论 演绎推理的演算法》，开始在这方面崭露头角。1854 年，他又出版了 《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》一书，完满地 讨论了这个主题，并奠定了逻辑数学的基础。可以说，布尔凭着他卓越 的才干，创造了逻辑代数系统，为这一学科以后的发展铺平了道路。 布尔以自学成才而著称于世，一生共发表了 50 篇学术论文和两部 教科书，成为 19 世纪数理逻辑的最杰出代表。以他的名字命名的布尔 代数已发展为结构极为丰富的代数理论，并且无论在理论方面还是实际 应用方面，都显示出它的重要价值，特别是在自动化技术、电子计算机 的逻辑设计等工程技术领域中被广泛应用。 布尔不仅个人成就非凡，其子女后代也在许多领域多有建树。长女 玛丽嫁给数学家 C.H.欣顿，三个外孙都有科学建树；另一个女儿艾丽 西亚在四维几何方面的研究中取得成果，以后又与数学家 H.S.M.考克 斯特合作，继续开展研究工作；第四个女儿露西成为英国在大学担任化 学教授的第一位女性；布尔最小的女儿 E.莉莲，便是在国际文坛广受 好评、影响深远的小说《牛虻》的作者 B.L.伏尼契。 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
在这一时期，布尔潜心致力于他自己的数学研究，主要贡献在于利 用代数的方法来研究推理、证明等逻辑问题，形成了代数学的一个独立 分支，即逻辑代数，又称为布尔代数，为日后逻辑学的研究奠定了数学 基础。1844 年，布尔发表了著名的论文《关于分析中的一个普遍方法》， 因此获皇家学会的奖章，此时的布尔年仅 29 岁。
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布尔的《逻辑的数学分析》与布尔代数
乔治·布尔（GeorgeBoole，1815年～1864年）1815年11月生于英格兰的林肯。
他的父亲是皮匠，由于家境十分贫寒，无力供他读书。
他的学问主要来自于自学。
年仅12岁的布尔就掌握了拉丁文和希腊语，后来又自学了意大利语和法语。
尽管他曾考虑想过要当牧师，但最终他还是决定从事教育行业。
布尔从16岁就开始任教，以此维持生活。
在协助养家的同时并为自己受教育而奋斗拼搏。
而后来他还开办了自己的学校。
在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。
在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。
变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。
从20岁起布尔对数学产生了浓厚兴趣，广泛涉猎著名数学家牛顿、拉普拉斯、拉格朗日等人的数学名著，并写下大量笔记。
这些笔记中的思想，1847年被用于他的第一部著作《逻辑的数学分析》之中。
1848年，布尔出版了《逻辑的数学分析》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。
1849年他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。
1854年，他出版了《思维的规律》，这是他最著名的著作。
在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。
布尔撰写了微分方程和差分方程的课
本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。
1854年，已经担任柯克大学教授的布尔再次出版《思维规律的研究──逻辑与概率的数学理论基础》。
以这两部著作，布尔建立了一门新的数学学科。
布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。
在布尔代数里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用基础的逻辑符号系统描述物体和概念。
这种代数不仅广泛用于概率和统计等领域，更重要的是，它为今后数字计算机开关电路设计提供了最重要数学方法。
布尔一生发表了50多篇科学论文、两部教科书和两卷数学逻辑著作。
为了表彰他的成功，都柏林大学和牛津大学先后授予这位自学的成才的数学家荣誉学位，他还被推选为英国皇家学会会员。
他也是19世纪最重要的数学家之一。
布尔在1855年结婚，他的妻子是皇后校园一位希腊文教授的侄女。
1864年，布尔死于肺炎，肺炎是他在暴风雨天气中尽管已经湿淋淋的了仍坚持上课引起的。
数字计算机首先来源于理论突破，是逻辑代数为开关电路设计奠定了的数学基础。
逻辑代数又称布尔代数，正是以它的创立者──英国数学家布尔而命名。
（。