一元二次方程根的非对称式值及构造一元二次方程解题
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
第5讲一元二次方程的特殊根问题
第5讲一元二次方程的特殊根问题一元二次方程是高中数学中的重要内容。
在第5讲中，我们将讨论一元二次方程的特殊根问题。
这些特殊根包括相等根、相反数根以及特殊的实数根。
我们将探讨这些特殊根的性质和求解方法。
首先，我们将讨论相等根。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知系数，a≠0。
如果方程的根相等，即只有一个解x = x_1 = x_2，那么我们称之为相等根。
在这种情况下，我们可以使用判别式来判断方程是否有相等根。
判别式的公式为D = b^2 - 4ac。
如果判别式为零，即D = 0，那么方程有相等根。
我们还可以使用求根公式来求解方程的相等根，求根公式为x = -b/2a。
接下来，我们将讨论相反数根。
如果方程的根满足x_1 = -x_2，那么我们称之为相反数根。
在这种情况下，我们可以使用系数与根的关系式来判断方程是否有相反数根。
对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果a、b和c满足a/c = b^2/a^2，那么方程有相反数根。
当方程有相反数根时，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = -b/2a ± √(b^2 -4ac)/2a。
最后，我们将讨论特殊的实数根。
一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
当判别式为正数时，方程有两个不同的实数根。
当判别式为零时，方程有两个相等的实数根。
当判别式为负数时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
判别式为负数时，我们可以通过使用复数的平方根来求解方程。
复数的平方根公式为√(-x)=±(√x)i，其中i是虚数单位。
在解决一元二次方程的特殊根问题时，我们需要掌握判别式的计算、系数与根的关系式、求根公式以及复数的平方根公式。
通过掌握这些技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的一元二次方程问题。
总结一下，第5讲讨论了一元二次方程的特殊根问题，包括相等根、相反数根以及特殊的实数根。
我们学习了判别式的计算方法、系数与根的关系式、求根公式以及复数的平方根公式。
韦达定理含答案-
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练A 组1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．B 组9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤115．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
非对称韦达定理的处理技巧
非对称韦达定理的处理技巧非对称的“韦达定理”的突破技巧在一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 中，如果 $\Delta>0$，设它的两个根分别为 $x_1,x_2$，则我们可以利用公式 $x_1-x_2,x_1^2+x_2^2,x_1x_2$ 等来快速处理。
但在涉及到$x_1,x_2$ 的不同系数的代数式时，比如求 $1/x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a$，借此我们往往能够利用韦达定理快速求解。
但是，在有些问题中，我们会遇到涉及 $x_1,x_2$ 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，这时就相对较难地转化到应用XXX定理来处理了。
特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 $x$ 或$y$，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难。
接下来，我们来谈谈常见的突破方式。
突破方式一：配凑成正常的韦达定理处理结构对于非对称的结构 $x_2=tx_1$，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来解决问题。
例如，将 $x_2=tx_1$ 代入 $x_1x_2$ 中，得到 $x_1x_2=x_1(tx_1)=tx_1^2$，然后再利用公式 $x_1+x_2=(-b/a),x_1x_2=(c/a)$，即可求得 $x_1$ 和$x_2$。
突破方式二：转化为二元一次方程对于非对称的结构 $\lambda x_1+\mu x_2$，我们可以将其转化为二元一次方程，再通过二元一次方程的解法求解。
例如，对于 $\lambda x_1+\mu x_2$，我们可以设 $y=\lambdax_1+\mu x_2$，然后将其代入另一个方程中，得到一个二元一次方程，然后再通过求解该方程来得到 $x_1$ 和 $x_2$。
举例说明：例1：函数 $f(x)=3ax-ax^2+x+1$ 在 $x_1,x_2$ 处有极值，且 $1< x_2/x_1 \leq 5$，求 $a$ 的取值范围。
一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解
一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解一元二次方程是代数学中的重要概念，它涉及到根的性质和解的唯一性问题。
本文将详细讲解一元二次方程的根的性质以及解的唯一性，帮助读者更好地理解和应用该知识。
一、一元二次方程的定义与一般形式一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，而x是未知数，且a ≠ 0。
一般形式的一元二次方程包括三个系数。
二、一元二次方程的解的定义一元二次方程的解即满足方程的x值，也就是能够使方程两边等于0的x值。
解可以是实数解或者复数解。
三、一元二次方程的根的性质1. 实根与复根一元二次方程的根可以分为实根和复根两种情况。
实根是指方程的解为实数，能够在实数范围内找到对应的x值，使得方程成立。
例如，x^2 - 4x + 3 = 0的解x = 3和x = 1即为实根。
复根是指方程的解为复数，无法在实数范围内找到对应的x值，使得方程成立。
例如，x^2 + 4 = 0的解x = ± 2i即为复根，其中i为虚数单位。
2. 根的数量一元二次方程的根的数量与方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 -4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程有两个共轭的复根。
3. 根的性质一元二次方程的根具有以下特点：（1）有理根和无理根根可以分为有理根和无理根两种。
有理根是指能够表示为两个整数的比的根，例如1、2、-3等都为有理根。
无理根是指不能表示为两个整数的比的根，例如√2、√3等都为无理根。
（2）根的和与根的积设方程的两个根为α和β，则有以下关系：α + β = -b/aα * β = c/a此外，还有一个重要的推论：一元二次方程的两个根之和等于系数b的相反数除以系数a，两个根的积等于常数项c除以系数a。
四、一元二次方程解的唯一性对于一元二次方程，解的唯一性意味着方程只有一组解，即只有一个满足方程的x值。
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)初中数学竞赛：XXX定理韦达定理是一元二次方程的根与系数的关系，最初由16世纪法国数学家XXX发现。
它包含了丰富的数学内容，并有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：求方程中参数的值、求代数式的值、讨论根的符号特征、构造一元二次方程辅助解题等。
XXX定理具有对称性，可以通过设而不求、整体代入的方法解题。
它与代数、几何中的许多知识结合，可以生成丰富多彩的数学问题，解这些问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
例题求解】例1】已知α、β是方程x^2-x-1=0的两个实数根，则代数式α^2+α(β^2-2)的值为。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为α、β的对称式，即α^2+β^2和αβ，然后代入已知条件求解。
例2】如果a、b都是质数，且a^2-13a+m=0，b^2-13b+m=0，那么ba/(ab+2)的值为(。
)。
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x^2-13x+m=0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
例3】已知关于x的方程：x-(m-2)x^4=01)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2.思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。
例4】设x1、x2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x1^2+x2^2有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即判别式△≥0.转化是数学中重要的思想方法，但需注意转化前后问题的等价性。
已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x^2-2mx+(m-2)^2的两个根。
非对称韦达定理的处理技巧
非对称的“韦达定理”的突破技巧在一元二次方程20ax bx c ++=中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a =，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -，2212x x +，1211x x +之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求12xx ，12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。
特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种12x x λμ+中12,x x 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，接下来，我们来谈谈常见的突破方式。
1. 函数131)(23++-=x ax ax x f 在21,x x 处有极值，且5112≤<x x ,求a 的取值范围；解：令012)(2'=+-=ax ax x f ，则有221=+x x ，ax x 121=⋅。
令21x t x =，则21x tx =（15t <≤），得211(1)x x t x +=+，2121x x tx =， 所以tt x x x x 212212)1()(+=+，即214++=t t a ，因为51≤<t ，解得591≤<a 。
点评：像这种非对称的结构21x tx =，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来。
21x tx =，得211(1)x x t x +=+，2121x x tx =，所以()()2212121x x t x x t++=2. 设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，则AP PB的取值范围为 . 解析：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k （*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ，注意到1122x x AP PB x x ==，令λ=21x x ，则12x x λ=，所以()1221x x x λ+=+，2122x x x λ=，所以()()2212121x x x x λλ++=，即.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0>∆可得 952>k ， 从而有5362045324422<+<k k ，所以536214<++<λλ， 解得551<<λ.结合10<<λ得151<<λ. 综上，151<≤PBAP .小结：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点,A B ，且满足QA QB λ=之类的，或者是QAQB 之类的。
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法如下：
对于一元二次方程形如ax²+bx+c=0的情况，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 首先，计算该方程的判别式Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值可以分
为三种情况：
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式可得: x₁ = (-b + √Δ) / 2a
x₂ = (-b - √Δ) / 2a
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根据求根公式可得：
x₁ = x₂ = -b / 2a
- 当Δ < 0时，方程没有实数根，只有两个共轭虚根。
根据求根
公式可得：
x₁ = (-b + √-Δ) / 2a
x₂ = (-b - √-Δ) / 2a
2. 根据计算得到的解x₁和x₂验证是否满足原方程。
将x₁和x₂代
入方程ax²+bx+c=0中，若两个解均使方程成立，则证明解是正确的。
标准解法中，通过求解方程的判别式Δ，可以判断方程的根的性质。
然后利用求根公式得到方程的实数根或共轭虚根。
最后通过验证解的
方法，验证计算得到的解是否满足原方程。
一元二次方程公式法、配方法
一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法 形如x 2＝a (a ≥0)的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．5．配方法 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)化成(x ＋a b 2)2＝2244aac b -的形式后，当b 2－4ac ≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1； (2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．6．公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝aac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】例1：用配方法解方程2x 2＋7x －4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a )2＝k 的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x 2＋27x －2＝0．移项，得x 2＋27x ＝2．配方，得x 2＋27x ＋(47)2＝2＋(47)2＝1681，即(x ＋47)2＝1681． 解这个方程，得x ＋47＝±1681，x ＋47＝±49．即x 1＝21，x 2＝－4．说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x 2－4x ＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x 2－4x ＋3＝2x 2－4x ＋2＋1＝2(x －1)2＋1．例6：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4；解：(1)方程可变形为2x 2＋7x －4＝0．∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81＞0，∴x ＝49722)4(24772±-=⨯-⨯⨯-±-．∴x 1＝21，x 2＝－4．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x422-＝0B ．322xx -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0D ．5x ＝3x －1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) (3)方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A ．3，－4，－2B ．3，2，－4C ．3，－2，－4D ．2，－2，0(4)一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2(5)若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－1 (6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1(7)方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根(8)方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6(9)若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或1(10)关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2B ．－21 C ．－2 D ．21 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x ＋1＝9x 2； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2；(4)3y 2－2y ＝2y 2－3y ＋5．3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝49； (2)x 2＝1．96； (3)3x 2－48＝0； (4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2＝144；(6)(6x －7)2－9＝0．5．用配方法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0(3)x 2－7x ＋2＝0；(4)9x 2＋6x －1＝0；(5)5x 2－2＝－x ；(6)3x 2－4x ＝2．6．用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0； (2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2－35x ＝2； (4)0．8x 2＋x ＝0．3；(5)4x 2－1＝0；(6)x 2＝7x ；(7)3x 2＋1＝23x ；(8)12x 2＋7x ＋1＝0．7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．10．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x 2－4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x 2－4x ＝0，1，－4，0； (3)x 2－12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(3－2)y 2＋(3－2)y －5＝0，3－2， 3－2，－5．3．m ≠－1，m ＝214．(1)x 1＝23，x 2＝－23； (2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－21，x 2＝21； (5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝32，x 2＝35． 5．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－6－21，x 2＝－6＋21；(3)x 1＝2417-，x 2＝2417+； (4)x 1＝321+-，x 2＝321--；(5)x 1＝10411--，x 2＝10411+-；(6)x 1＝3102+，x 2＝3102-．6．(1)x 1＝x 2＝1；(2)x 1＝－4－42，x 2＝－4＋42；(3)x 1＝6975-，x 2＝6975+；(4)x 1＝41，x 2＝－23； (5)x 1＝21，x 2＝－21；(6)x 1＝0，x 2＝7；(7)x 1＝x 2＝33；(8)x 1＝－31，x 2＝－41．7．(1)x ＝－2或x ＝21；(2)x ＝－4或x ＝35．8．x 1＝2131+，x 2＝2131-． 9 把1代入ax 2＋bx ＋c 中，得ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．10 (1)∵3y 2－6y ＋11＝3y 2－6y ＋3＋8＝3(y －1)2＋8又(y －1)2≥0，∴3(y －1)2＋8＞0． 即3y 2－6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x 2－7x －4＝－10(x 2＋107x ＋104) ＝－10［(x ＋207)2＋400111］＝－10(x ＋207)2－40111．又－10(x ＋207)2≤0，∴－10(x ＋207)2－40111＜0．即－10x 2－7x －4的值恒小于零．11 ∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程。
构造一元二次方程解题的六种方法
构造一元二次方程解题的六种方法类型一、利用根的定义构造：若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。
解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，又1/q ²－2/q－5=0 即（1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。
方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。
(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.7. 已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．证明，由已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，得n²(p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0，∴方程的两个实数根为x1＝x2＝1．根据根与系数的关系，得1×1=m(n-p)/p(m-n)化简得mn＋np＝2mp，∴1/m+1/m=2/p（m≠n）当m＝n时，由已知可得p＝m，此时亦有1/m+1/m=2/p成立，。
一元二次方程的解法解题步骤是什么
一元二次方程的解法解题步骤是什么一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b 是一次项系数；c叫作常数项。
1方法一、公式法先判断△=b²-4ac，若△<0原方程无实根；若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
方法二、配方法先把常数c移到方程右边得：aX²+bX=-c将二次项系数化为1得：X²+（b/a）X=- c/a方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：X²+（b/a）X +（b/（2a））²=- c/a +（b/（2a））²方程化为:（b+（2a））²=- c/a +（b/（2a））²①、若- c/a +（b/（2a））²<0，原方程无实根；②、若- c/a +（b/（2a））² =0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；③、若- c/a +（b/（2a））²>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b²-4ac））/（2a）。
2学好一元二次方程，重要的是要学会背公式。
除了最主要的求根公式你要背上外，就是要学会总结不同方程解决形式。
形如x^2+2bx+b^2=0，你要能熟练的将其变为（x+b）^2=0这样的形式；形如x^2+(a+b)x+ab=0的形式，你要熟练将其变为（x+a)(x+b)=0；再高阶的，二次项前面也有系数的，你也要学会变形。
总之掌握将普通二项式变为两个一项式的乘积是你必须要掌握的。
当你变不了的时候，你就要使用求根公式来解决。
一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题
一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：()002≠=++a c bx ax 其中c b a ,,为常数，x 为未知数。
根的判别式：ac b 42-=∆ 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0<∆时，方程①无实根；0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；ab x 2-= 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。
aacb b x 2422,1-±-=（二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 0222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。
顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a bx 2-=为对称轴，1、（1）0<a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最大值，即ab ac y 442max-=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最小值，即ab ac y 442min-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。
3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.（三）一元二次不等式的概念：形如()002≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2与0的不等号可以是><≥≤,，，或≠.（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的解法【方法一】求根公式法步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式aacb b x 2422,1-±-=. 【例1】求解下列方程.（1）0442=-+x x （2）0122=-+x x【练习】解下列方程.（1）03522=-+x x （2）862=-x x【方法二】十字相乘法利用十字相乘法求解方程()002≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程()002≠=++a c bx ax 必须有实根.十字分解依据：对于方程()002≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。
构造一元二次方程的问题
构造一元二次方程的问题构造一元二次方程方程的常用方法有： 一、利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把两个变元看成是某个字母的一元二次方程的两根。
1、已知a 2＋11a ＋16=0，b 2＋11b ＋16＝0，（b a ≠），则abb a +＝ 。
3、已知βββββ++≠=-+=-+a a a a a 则且,,01,0122＝ 。
4、若a 2＋11a ＋16=0，b 2＋11b ＋16=0（b a ≠），则=-ba ab 。
5、已知2222),(,13,13b a a b b a b b a a +≠=-=-则＝ 。
6、已知a 、b 满足abb a b b a a +=--=--则,012,01222＝ 。
7、若b a ≠，且a 2＝3a －1，b 2＝3b －1，则a －3＋b －3＝ 。
8、若a －1＋a －2－2＝0，b 4＋b 2＝2，且ab 2≠1，则a 2＋b 2＝ 。
9、已知3m 2－2m －5=0，5n 2＋2n －3＝0，其中m 、n 为实数，则nm 1-＝ 。
10、设a 2＋2a －1＝0，b 4－2b 2－1＝0，且1－ab 2≠0，则（ab ab 122++）2008的值为 。
11、设实数s ，t 分别满足19s 2＋99s ＋1=0，t 2＋99t ＋19＝0，并且st ≠1，则ts st 14++＝ 。
12、已知实数b a ≠，且满足（a ＋1）2＝3－3(a ＋1)，3(b ＋1)＝3－（b ＋1）2，则baaa b b +的值为 。
13、设a 1，a 2，b 1，b 2都是实数，a 1≠a 2，且有1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a 。
求证:1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a 。
14、若a 1、a 2、…、a n ，b 1、b 2、…、b n 均为实数，求证：222112221222212)())((n n n n b a b a b a b b b a b a ++≥++++15、已知正整数a 、b 、c 满足c b a >>，且36－6（a ＋b ＋c ）＋(ab ＋bc ＋ca)＝0，81－9（a ＋b ＋c ）＋(ab ＋bc ＋ca)＝0，求a 、b 、c 的值。
一元二次方程解题技巧与方法
一元二次方程解题技巧与方法一、直接开平方法。
1. 解方程(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x - 3=±4。
- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。
- 当x - 3=-4时，解得x=-4 + 3=-1。
- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。
2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0- 解析：- 首先对原方程进行化简，2(x + 1)^2=8，则(x + 1)^2=4。
- 然后根据直接开平方法，x+1=±2。
- 当x + 1 = 2时，x=2 - 1=1。
- 当x + 1=-2时，x=-2 - 1=-3。
- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-3。
二、配方法。
3. 解方程x^2+6x - 7 = 0- 解析：- 对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先进行配方。
- 在x^2+6x中加上一次项系数一半的平方，即((6)/(2))^2=9。
- 原方程变形为x^2+6x + 9-9 - 7 = 0，即(x + 3)^2-16 = 0。
- 移项得(x + 3)^2=16。
- 根据直接开平方法，x + 3=±4。
- 当x+3 = 4时，x = 1；当x + 3=-4时，x=-7。
- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-7。
4. 解方程2x^2-5x+2 = 0- 解析：- 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x + 1 = 0。
- 配方：x^2-(5)/(2)x+((5)/(4))^2-((5)/(4))^2+1 = 0。
- 即(x-(5)/(4))^2-(25)/(16)+1 = 0，(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。
- 根据直接开平方法，x-(5)/(4)=±(3)/(4)。
- 当x-(5)/(4)=(3)/(4)时，x = 2；当x-(5)/(4)=-(3)/(4)时，x=(1)/(2)。
一元二次方程有两个不相等的实数根例题
标题：深度剖析一元二次方程有两个不相等的实数根例题在数学领域中，一元二次方程是一个极其重要的概念。
通过解一元二次方程，我们可以求得其中的未知数，并在实际问题中得到具体的应用。
本文将围绕一元二次方程有两个不相等的实数根例题展开深入讨论，帮助读者更深入地理解和应用这一概念。
一、一元二次方程的定义和特点1.1 一元二次方程的表达式一元二次方程是指只包含一个未知数的二次方程，通常以ax^2+bx+c=0的形式表示，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
1.2 一元二次方程的实数根对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果其判别式Δ=b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；如果Δ<0，则方程无实数根。
而本文将重点讨论一元二次方程有两个不相等的实数根的情况。
二、一元二次方程有两个不相等的实数根例题接下来，我们以具体的例题来解析一元二次方程有两个不相等的实数根的求解过程。
例题：求解方程2x^2+5x-3=0的实数根。
解题步骤：1. 确定a、b、c的值，即a=2，b=5，c=-3。
2. 计算判别式Δ=b^2-4ac，代入已知值得到Δ=5^2-4*2*(-3)=25+24=49>0，所以方程有两个不相等的实数根。
3. 根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√Δ)/2a，带入已知值得到x1=(-5+√49)/4=1，x2=(-5-√49)/4=-3/2。
4. 得出方程2x^2+5x-3=0的两个实数根分别为1和-3/2。
三、总结与回顾通过以上例题的求解过程，我们深入理解了一元二次方程有两个不相等的实数根的情况。
在这个过程中，我们了解了一元二次方程的定义和特点，学会了如何运用判别式和求根公式来求解实数根。
个人观点与理解在实际问题中，一元二次方程有两个不相等的实数根的情况代表着问题可能存在两种不同的解，这为我们在解决实际问题时提供了更多的可能性。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
【高考数学】非对称韦达定理的处理技巧
非对称的“韦达定理”的突破技巧在一元二次方程20ax bx c ++=中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：12b x x a+=-，12cx x a =，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -，2212x x +，1211x x +之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求12xx ，12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了。
特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种12x x λμ+中12,x x 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，接下来，我们来谈谈常见的突破方式。
1. 函数131)(23++-=x ax ax x f 在21,x x 处有极值，且5112≤<x x ,求a 的取值范围； 解：令012)(2'=+-=ax ax x f ，则有221=+x x ，ax x 121=⋅。
令21x t x =，则21x tx =（15t <≤），得211(1)x x t x +=+，2121x x tx =， 所以tt x x x x 212212)1()(+=+，即214++=t t a ，因为51≤<t ，解得591≤<a 。
点评：像这种非对称的结构21x tx =，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来。
21x tx =，得211(1)x x t x +=+，2121x x tx=，所以()()2212121x x t x x t++=2. 设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，则APPB的取值范围为 . 解析：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k （*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ，注意到1122x x AP PB x x ==，令λ=21x x ，则12x x λ=，所以()1221x x x λ+=+，2122x x xλ=，所以()()2212121x x x x λλ++=，即.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0>∆可得 952>k ， 从而有5362045324422<+<k k ，所以536214<++<λλ， 解得551<<λ.结合10<<λ得151<<λ. 综上，151<≤PBAP .小结：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点,A B ，且满足QA QB λ=之类的，或者是QAQB 之类的。
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例题选讲
例1设m、n是一元二次方程0
7
3
2=
-
+x
x的两
根，求n
m
m+
+4
2的值。
(2012江苏南通中考)
例2 已知x1，x2是方程0
5
3
42=
-
-x
x的两根，
求2
12
43
x x
+的值。
例3 已知m、n是方程0
1
2=
-
-x
x的两个实数
根，求()2
2
2-
+n
m
m的值。
(浙江绍兴竞赛)
例4 已知m、n是方程0
5
2
2=
-
+x
x的两个实数
根，求代数式n
m
mn
m+
+
-3
2的值。
(2014呼和浩特中考)
习题精练
1．已知x1，x2是方程0
3
4
2=
-
+x
x的两个实数
根，且2
122
2(53)2
x x x a
+-+=，求a的值。
(江苏南通中考)
2．设x1，x2是方程0
4
2=
-
+x
x的两个实数根，
求10
52
2
3
1
+
-x
x的值。
(第21届江苏数学竞赛)
3．设x1，x2是方程0
3
2=
-
+x
x的两根，求代数
式19
42
2
3
1
+
-x
x的值。
(全国初中数学联赛)
4．设x1，x2是方程0
1
2=
-
+x
x的两根，求代数
式3
2
5
1
10
4x
x+的值。
例 1 已知实数a 、b 满足0122
=--a a ，
0122
=--b b ，且b a ≠，求a
b
b a +的值。
【变式】已知实数a 、b 满足0122
=--a a ，
0122=--b b ，求
a
b
b a +的值。
例2若1≠ab ，且09201
352
=++a a ，05201392=++b b ，求b
a
的值。
(全国初中数学联赛)
例3 已知m 、n 为实数，且满足05232
=--m m ，
03252=-+n n ，求n
m 1
-
的值。
(江苏竞赛)
习题精练
1．设0122
=-+a a ，0122
4
=--b b ，且
012
≠-ab ，求代数式2015
221⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++a b ab 的值。
2．设实数s 、t 分别满足0199192
=++s s ，
019992=++t t ，且1≠st ，求
t
s st 1
4++的值。
3．若实数x 、y 满足
162523
535=+++y
x ，
16
3533
535=+++y
x ，求x+y 的值。