(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析.doc

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三角函数典型习题

1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .

(Ⅰ)求B的大小 ;

(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .

A B C

在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .

ABC c , sin sin

2 ． 2 2

（I）试判断△ABC的形状 ;

（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .

3 ．已知在

ABC 中

, A

且与

tan B

是方程 x2 5 x 6 0 的两个根

.

B , tan A

(Ⅰ )求tan( A B) 的值;

(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.

4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.

A C 2

(1)求sin2 cos 2B 的值;

2

(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .

5．已知函数f ( x) 2sin 2 π

3 cos2x ， x

π π

．x

4

，

4 2

（1）求f ( x)的最大值和最小值；

（2）f ( x) m 2 在 x π π

上恒成立，求实数m 的取值范围．，

4 2

6．在锐角△

ABC 中

,

角．．的对边分别为

a

、

b

、已知

(

b2 c 2 a 2

) tan

A bc

A B C c, 3 .

(I)求角 A;

(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?

7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .

(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;

(Ⅱ )当x 0,

2

时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .

8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量

r

2sin B, r

cos2B, 2cos

2 B

1

r r

m 3 , n 2 ,且m / / n ?

(I)求锐角 B 的大小 ;

(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?

答案解析

1

1【解析】 :(Ⅰ )由 a

2b sin A ,根据正弦定理得 sin A

2sin B sin A ,所以 sin B ,

2

π

由

ABC 为锐角三角形得

B

.

6

(Ⅱ ) cos A sin C cos A sin

A

cos A sin

6

A

cos A

1

3 sin A

cos A

2

2

3 sin A .

3

2【解析】 :I. sin

C sin C cos C sin C 2 sin( C

)

C

2 2

2 2 2 4

即 C ,所以此三角形为直角三角形 .

2

4

2

2

II. 16 a b

2

2

ab

2ab , ab

64(2

2) 2

a b 时取等

a

b

2 当且仅当 号,

此时面积的最大值为

326 4 2 .

3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B

2 .

∴ tan( A B)

tan A tan B

2 3

1

1 tan A tan B 1

2 3

(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C

180 (A B) .

由(Ⅰ )知 , tanC

tan( A B)

1,

∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C

2

2

∵ tan A

3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A

3 ,

10

由正弦定理得 :

AB BC

5 3 ∴ BC 3 5 .

2

10

2

8【解析】 :(1)

r r

2sinB(2cos 2 B m / / n

-1)=- 3cos2B

2

2sinBcosB=- 3cos2B

tan2B=- 3

2π

π ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3

(2)由 tan2B=- 3

π 5π

B= 或

6

3

π

① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :

3

4=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )

1 3

∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3

∴△ ABC 的面积最大值为 3

5π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :

4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )

∴ac ≤ 4(2-3)

1 1

∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 3

1

4【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4

sin 2

A C

+cos2B=

1

2

4

(2)由 cos B

1

,得 sin B

15

. ∵ b=2,

4

4

a

2

1

8 1

15 2

+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,

S △ABC =2acsinB ≤

(a=c 时取等号 )

3

3

故 S △ABC 的最大值为 15

3

5 【解析】

∵

f ( x) 1 π

3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x

（ Ⅰ ）

cos2x

2

1 2sin 2x

π

．

3