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| z1 |2 | z2 |2 z1z2 z1z2
| z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 )
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复 数的乘幂：
zn | z |n (cosnArgz i sin nArgz)
令z n
1 ，则 zn
zn | z |n [cos(nArgz)
| z1z2 || z1 || z2 |
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
其中后一个式子应理解为集合相等。
三角表示的乘法：
同理，对除法，也有：
z1 / z2 | z1 | / | z2 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )]
| z1 / z2 || z1 | / | z2 | Arg(z1 / z2 ) Argz1 Argz2
(a1 ib1)(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1)
(a1 (a2
ib1) ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a1b2 ) a22 b22
复数在四则运算这个代数结构下，构成一
个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记 为C，复数域可以看成实数域的扩张。
因此 Argz 是多值的。
注：若z 0，当然有 z 0 ，但 Arg0没有意义。
复数的三角表示:
由极坐标和直角坐标的关系：
x cos, y sin
得，
x yi (cos i sin )
或者写为：
z | z | (cos Argz i sin Argz)
以上表示方法成为是三角表示。
多媒体教学课件 复变函数论
绪论
复变函数是各类高等学校理工的一门重要的 专业基础课，我们根据国家教委理科教材编 审委员会的意见，着重“侧重应用方面，教 现代化、有特色的教材”为指导，编写本教 材。本书共有九章。
目录
第一章：复数和复函数 第二章：解析函数基础 第三章：复积分 第四章：解析函数的级数理论 第五章：留数理论 第六章：解析开拓 第七章：共形映照 第八章：调和函数 第九章：解析函数在平面场中的应用
OR OP OQ 正好有 OR (a c) (b d )i
这在几何上立即可以得到。（如图）
我们定义复数的模为：
| z | a2 b2
则又平行四边形法则， 得到重要的三角不等式： z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
复数可以表示平面向量。另一方面，向量可 以用其大小和方向来表示：
得：azz z z d 0
其中， 1 (b ic).
2
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示，我们可以更简单的 表示复数的乘法与除法 ，设
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1)
z2 | z2 | (cos Argz2 isin Argz2)
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )]
复数可以等同于平面中的向量等价类,如图， 复数a+bi决定了向量(a bi) ,反之，向量也决定了 复数，当然规定0和零向量相对应。
注：1、向量的加减法和复数的加减法 是等价的
2、向量的数乘仍与复数和实数
的数乘一致。
O
(a bi)
P
设 OP a bi,OQ c di 按照平行四边形法则，有
第一章、复数及复函数
第一节 复数
1、复数域 2、复数的几何表示 3、复球面与无穷大
Math
SNNU
复数域:
从逻辑上定义由实数域R添加i后生成的域C,
一般写成z=a+ib(a,b为实数），i是虚数单位(-1的
平方根）,称 z a ib 为z的共轭复数;其中 a和b分别称为的实部和虚部，分别记作：
注意：实数间有大小的区别，但复数间不能比较大小。
复数的几何表示:
取定一直角坐标系Oxy后，就可以建立复数a+bi 和点P(a,b)之间的一一对应关系，我们称这个取 定直角坐标系的平面为复平面，用C表示，平面 上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴； 复平面一般称为z-平面，w-平面等。
复平面:
其中后一个式子也应理解为集合相等。
例3设 z1 、z2 是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：Байду номын сангаас z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
大小： OP a2 b2
方向可由 OP 的倾角 来决定。
而 （可加减2 的整数倍）成为
它的辐角，记为 Arg(a bi) ，亦即，
如果z a bi，则
O
(a bi)
P
z a bi a2 b2
Argz Arg(a bi) 2k , (k 0, 1, )
复数的这种表示法，称为极坐标表示，由于 k 的多值性，
(5) | Re z || z |,| Im z || z |
(6) | z |2 zz
z2
z1 z2 z2
z1 z1 z1 z2
例1 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2 , z z 2x, z z 2y
基本不等式:
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
(1)、| z1 z2 || z1 | | z2 | z2
(2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
z2
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | 0
(4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
a Re z,b Im z
如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果，
Imz 不 等 于 零 ， 那 么 称 z 为 一 个 虚 数 ； 如 果 ，
Imz不等于零，而Rez=0,则称z为一个纯虚数，
显然有 Re z z z , Im z z z
2
2
复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )
| z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 )
复数的乘幂：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复 数的乘幂：
zn | z |n (cosnArgz i sin nArgz)
令z n
1 ，则 zn
zn | z |n [cos(nArgz)
| z1z2 || z1 || z2 |
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
其中后一个式子应理解为集合相等。
三角表示的乘法：
同理，对除法，也有：
z1 / z2 | z1 | / | z2 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )]
| z1 / z2 || z1 | / | z2 | Arg(z1 / z2 ) Argz1 Argz2
(a1 ib1)(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1)
(a1 (a2
ib1) ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a1b2 ) a22 b22
复数在四则运算这个代数结构下，构成一
个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记 为C，复数域可以看成实数域的扩张。
因此 Argz 是多值的。
注：若z 0，当然有 z 0 ，但 Arg0没有意义。
复数的三角表示:
由极坐标和直角坐标的关系：
x cos, y sin
得，
x yi (cos i sin )
或者写为：
z | z | (cos Argz i sin Argz)
以上表示方法成为是三角表示。
多媒体教学课件 复变函数论
绪论
复变函数是各类高等学校理工的一门重要的 专业基础课，我们根据国家教委理科教材编 审委员会的意见，着重“侧重应用方面，教 现代化、有特色的教材”为指导，编写本教 材。本书共有九章。
目录
第一章：复数和复函数 第二章：解析函数基础 第三章：复积分 第四章：解析函数的级数理论 第五章：留数理论 第六章：解析开拓 第七章：共形映照 第八章：调和函数 第九章：解析函数在平面场中的应用
OR OP OQ 正好有 OR (a c) (b d )i
这在几何上立即可以得到。（如图）
我们定义复数的模为：
| z | a2 b2
则又平行四边形法则， 得到重要的三角不等式： z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
复数可以表示平面向量。另一方面，向量可 以用其大小和方向来表示：
得：azz z z d 0
其中， 1 (b ic).
2
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示，我们可以更简单的 表示复数的乘法与除法 ，设
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1)
z2 | z2 | (cos Argz2 isin Argz2)
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )]
复数可以等同于平面中的向量等价类,如图， 复数a+bi决定了向量(a bi) ,反之，向量也决定了 复数，当然规定0和零向量相对应。
注：1、向量的加减法和复数的加减法 是等价的
2、向量的数乘仍与复数和实数
的数乘一致。
O
(a bi)
P
设 OP a bi,OQ c di 按照平行四边形法则，有
第一章、复数及复函数
第一节 复数
1、复数域 2、复数的几何表示 3、复球面与无穷大
Math
SNNU
复数域:
从逻辑上定义由实数域R添加i后生成的域C,
一般写成z=a+ib(a,b为实数），i是虚数单位(-1的
平方根）,称 z a ib 为z的共轭复数;其中 a和b分别称为的实部和虚部，分别记作：
注意：实数间有大小的区别，但复数间不能比较大小。
复数的几何表示:
取定一直角坐标系Oxy后，就可以建立复数a+bi 和点P(a,b)之间的一一对应关系，我们称这个取 定直角坐标系的平面为复平面，用C表示，平面 上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴； 复平面一般称为z-平面，w-平面等。
复平面:
其中后一个式子也应理解为集合相等。
例3设 z1 、z2 是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：Байду номын сангаас z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
大小： OP a2 b2
方向可由 OP 的倾角 来决定。
而 （可加减2 的整数倍）成为
它的辐角，记为 Arg(a bi) ，亦即，
如果z a bi，则
O
(a bi)
P
z a bi a2 b2
Argz Arg(a bi) 2k , (k 0, 1, )
复数的这种表示法，称为极坐标表示，由于 k 的多值性，
(5) | Re z || z |,| Im z || z |
(6) | z |2 zz
z2
z1 z2 z2
z1 z1 z1 z2
例1 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2 , z z 2x, z z 2y
基本不等式:
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
(1)、| z1 z2 || z1 | | z2 | z2
(2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
z2
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | 0
(4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
a Re z,b Im z
如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果，
Imz 不 等 于 零 ， 那 么 称 z 为 一 个 虚 数 ； 如 果 ，
Imz不等于零，而Rez=0,则称z为一个纯虚数，
显然有 Re z z z , Im z z z
2
2
复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )