(完整)初中数学——数形结合思想(初二).doc

数形结合思想
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象， 而这两个方面是紧密联系的． 体现在数学解题中， 包括“以数助形” 和“以形助数” 两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充． “数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非． ”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
一、以数助形
要在解题中有效地实现“数形结合” ，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点， ，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化） ；（ 2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．
例 1、如图，在正△ ABC 的三边 AB 、BC 、 CA 上分别有点 D 、E 、F. 若 DE ⊥ BC ， C EF ⊥
AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点 D 在 AB 上的位置 .
F
E
例 2、如图，△ ABC 三边的长分别是 BC=17，CA=18，AB=19. 过△ ABC 内的点 P
A
B
向△ ABC 的三边分别作垂线 PD 、 PE 、 PF （ D 、 E 、 F 为垂足） . 若
D
A
BD CE AF 27.求： BD BF 的长 .
F
E
例 3、已知 ABC 的三边长分别为 m 2
n 2 、 2mn 及 m 2 n 2 （ m 、 n 为正
P
B
C
整数，且 m n ）。

求 ABC 的面积（用含 m 、 n 的代数式表示）。

D
【海伦公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a ，b ，c ，设 p a b c
a)( p b)( p c) 。

】
，则 Sp( p
2
例 4、将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．
例 5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边 AD 80 毫米， BC 120 毫 米，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个定点分
别在 AB, AC 上，设该矩形的长 QM
y 毫米，宽 MN
x 毫米．当 x 与 y
分别取什么值时，矩形 PQMN 的面积最大？最大面积是多少？
例 6、如图 , 点 P 是矩形 ABCD 内一点， PA
3 ，PB=4，PC=5，求 PD 的长．
1
二、以形助数
几何形在数学中所具有的最大的就是直易懂，所以在到“数形合”思想，就更偏
好于“以形助数”的方法，利用几何形解决相关不易求解的代数。

几何形直的运用于
代数中主要体在几个方面：
（1）利用相关的几何形帮助代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；
（2）利用数及平面直角坐系将一些代数表达式予几何意，通构造几何形，而帮
助求解相关的代数，或者化相关的代数运算。

例 1、在等腰ABC 中, AB AC 5 , BC 6 , P 是底上任一点 , 求 P 到两腰的距离的和．
例 2、已知a、 b 均正数，且 a b 2 。

求 a 2 4 b 2 1的最小。

例 3、若将数折叠，使得 A 点与－ 2 表示的点重合，若数上 M、N 两点之的距离 2012(M 在 N
的左 )，且 M 、N 两点折叠后互相重合， M、N 两点表示的数分是： M: N:
B A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 01 234 5
例 4、数上出若干个点，每相两点相距一个位，点A， B， C，D 分表示整数，
a，b， c， d 且 d－2a＝10，原点在（）的位置
A. 点 A
B. 点 B
C. 点 C
D. 点 D
x－a＞0的整数解共有 2 个， a 的取范是 ___________．
例 5、已知关于 x 的不等式
2－ x＞0
例 6、如一根木棒放在数上，木棒的左端与数上的点 A 重合，右端与点 B 重合．
(1)若将木棒沿数向右水平移，当它的左端移到 B 点，它的右端在数上所的数 20；
若将木棒沿数向左水平移，当它的右端移到A 点，它的左端在数上所的数
5（位： cm），由此可得到木棒cm．
(2)由 (1)的启，你能借助“数” 个工具帮助小解决下列:
一天，小去曾当数学老在退休在家的的年，：“我若是你在么大，你要 40 年才出生；你若是我在么大，我已 125 ，是老寿星了，哈哈！”，求出在多少了？
1 例 7、如，①是一1，周 P1的正三角形板，沿①的底剪去一2的正三角形板后得到②，然后沿同一底依次剪去一更小的正三角形板（即其前
1
）后，得③，④，⋯，第n(n≥3)板的周P n，一被剪掉正三角形板的2
P n－P n－1=.
⋯
2
①②③④。