常点邻域上的级数解法

通常把“解在x=±1保持有限”说成是勒让德方程 的自然边界条件。
本征值问题
勒让德方程 解在x=±1保持有限 (自然边界条件) 本征值是l(l+1),(l为零或正整数)， 相应的本征函数是l阶勒让德多项式。
习题：(P194.2) 在x0=0的邻域上求解y"-xy=0 解： p(x)=0，q(x)=-x ，x0=0是常点。设
②
其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的
复常数，且w(z)为未知函数，p(z)和q(z)为已知 复变函数，称为方程的系数。 上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数 解法。
即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形 式，代入方程再确定系数。
方程②的解的性质完全由系数p(z)和q(z)的解析 性决定： 若p(z)和q(z)都在z0及其某邻域内解析，则称z0为 方程的常点； 否则称z0为方程的奇点。
二、常点邻域内的级数解 1. 微分方程解析理论的基本定理： 若p(z)和q(z)在圆|z-z0|<R内单值解析，则方程 w p( z)w q( z )w 0 在圆内存在唯一的解w(z) ， 且满足初值条件 w( z0 ) c0 ， w( z0 ) c1，且w(z)在圆 域内单值解析。 2. 解的形式： 由上述定理，在|z-z0|<R内w(z)可写成泰勒级数
R lim (k 1)( k 2)
k
由递推公式得：
例(P195.3): 在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密) 方程y"-2xy'+(λ -1)y=0，(量子力学谐振子问题 中出现)λ 取什么数值可使级数解退化为多项式？ 这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为 (2x)n形式，叫做厄密多项式，记为Hn(x)，写出 前几个Hn(x)。 解： y 2 xy ( 1) y 0 ( x )
由⑥及⑦⑧可见： a. l=2n(n是正整数)时，y0(x)退化为多项式，有 限。可取a1=0保证解y(x)有限； b. l=2n+1(n是零或正整数)时，y1(x)退化为多项 式，有限。可取a0=0保证解y(x)有限；
因此，要满足上述边界条件，即x=±1保持有限， 必须满足：本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，相 应的本征函数是l阶勒让德多项式。
(2k 1 l )(l 2k ) (2k 1 l )...( 1 l )(l 2)...(l 2k ) a2 k 1 a1 2k (2k 1) (2k 1)!
a2 k 1
得到l 阶勒让德方程解：
y( x) a2k x2k a2k 1x2k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) ⑥
判断级数解的收敛性:
由递推公式⑤可得收敛半径：
(n 2)(n 1) R lim 1 n (n l )(n l 1)
所以， y0(x)、y1(x)收敛于|x|<1
说明： (1)|x|=|cosθ|≤1，不存在x>1的情况； (2)x=±1，对应θ=0，θ=π，对应极轴的正负方 向，而y0(x)、y1(x)在x=±1均发散(见P397)。 (3)可以证明l阶勒让德方程不存在形如
( 3)
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1 a4 a1 (a1 0待定 ) 3 4 1 25 a7 a4 a1 67 7! 2 5 8...(3k 1) a3k 1 a1 (3k 1)!
故
1 3 1 4 7(3k 2) 3k y0 ( x ) 1 x ... x ... 23 (3k )! 1 4 2 5 8(3k 1) 3k 1 y1 ( x) x x ... x ... 3 4 (3k 1)!
(1 l )(l 2) 3 y1 ( x) x x ... 3! (2k 1 l )(2k 3 l )...( 1 l )(l 2)(l 4)...(l 2k ) 2 k 1 x (2k 1)! (2k 1 l )(2k 1 l )...(l 2k )(l 2k 2) 2 k 3 ⑧ x ... (2k 3)!
ak 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) ak ak (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)
⑤
a2
l (l 1) (l )( l 1) ak a0 2 1 2! (2 l ) (l 3) (2 l )( l )( l 1)( l 3) a4 a2 a0 43 4! (4 l )( l 3) (4 l )( 2 l )( l )( l 1)( l 3)( l 5) a6 a4 a0 65 6!
n2 k 0 n 1 k 1 k 0


代入方程，得
ak 2
2k 1 ak (k 1)(k 2)
推导得 y( x) a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) ，其中
1 2 (1 )(5 ) 4 y0 ( x ) 1 x x ... 2! 4! (1 )(5 )...(4k 3 ) 2 k x ... (2k )!
(两个级数之和) y0(x)只含偶次幂，为偶函数， y1(x)只含奇次幂， 为奇函数， a0、a1为任意常数，可由初始条件确定
(l )(l 1) 2 y0 ( x ) 1 x ... 2! (2k 2 l )(2k 4 l )...(l )(l 1)(l 3)...(l 2k 1) 2 k x (2k )! ⑦ (2k l )(2k 2 l )...(l 2k 1)(l 2k 1) 2 k 2 x ... (2k 2)!
y( x) an x n y( x) n(n 1)an x
n2 n 0 n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k
k 0

xy( x) an x n1 ak 1 x k
n 0 k 1


代入方程，比较系数得
1 3 (3 )(7 ) 5 y1 ( x) x 3 x x ... 3! 5! (3 )(7 )...(4k 1 ) 2 k 1 x ... (2k 1)!
且
(k 2)(k 1) R lim k 2k 1
y( x) a0 a1x a2 x2 a3 x3 ... ak xk ... y( x) a1 2a2 x 3a3 x2 ... kak xk 1 (k 1)ak 1xk ... y( x) 2a2 3 2a3 x2 4 3a4 x2 ... (k 2)(k 1)ak 2 xk ...
w( z ) ak ( z z0 ) k
k 0
③
将③代入②可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方 法称为级数解法。
三、勒让德方程 自然边界条件 例：x0=0的邻域上求解l阶勒让德方程
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx
§9.2 常点邻域上的级数解法
一、线性二阶常微分方程 特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程， 一般形式(实数域)为：
y p( x) y q( x) y 0 y ( x0 ) c0 y( x0 ) c1
①
更一般的形式为(推广至复数域)
d 2w dw q( z ) w 0 2 p( z ) dz dz w( z ) c w( z0 ) c1 0 0
p( x) 2 x

q ( x) 1
x0=0是方程的常点，设
y( x) an x n
n 0
则： ( 1) y ( 1)a x k k
k 0

2 xy 2nan x n 2kak x k 2kak x k y n(n 1)an x n2 (k 1)(k 2)ak 2 x k
当λ =4k-3(k=1，2...)时，y0(x)退化成多项式； 当λ =4k-1(k=1，2...)时，y1(x)退化成多项式； 取k=1有 λ =4k-3=1， y0(x)=1， 记为H0(x)=(2x)0=1
④
解：方程可写成
2x l (l 1) y y y0 2 2 1 x 1 x
则 p ( x) 2 x 2
1 x

l (l 1) q( x) 1 x2

显然x0=0是方程的常点，可设解为
y( x) ak ( x x0 ) k ak x k
k 0 k 0
代入方程④，由下表合并相同幂次项的系数： x0 y" -x2y" -2xy' 2· 1a2 x1 3· 2 a3 x2 4· 3a4 ... xk -k(k-1)ak -2kak l(l+1)ak ... ... ... ...
... (k+1)(k+2)ak+2 ...
-2· 1a2 ... -2· 1a1 -2· 2a2 ...
a2 k
(2k 2 l )(l 2k 1) (2k 2 l )...(l )(l 1)...(l 2k 1) a2 k 2 a0 2k (2k 1) (2k )!
ak 2
k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) ak ak (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)
(1 l )( l 2) (1 l )( l 2) a3 a1 a1 3 2 3! a5 (3 l )( l 4) (3 l )(1 l )( l 2)( l 4) a3 a1 5 4 5! (5 l )( l 6) (5 l )( 3 l )(1 l )( l 2)( l 4)( l 6) a7 a5 a1 76 7!
ak 2 1 ak 1 (k 1)(k 2)
由上式 (1) a2=a-1=0，(∵a-1=0) a5=0，...， a3k+2=0， ( 2) 1
a3 23 1 1 4 a6 a3 a0 56 6! 1 4 7...(3k 2) a3k a0 (3k )! a0 (a0 0待定 )
l(l+1)y l(l+1)a0 l(l+1)a1 l(l+1)a2 ...
k [( k 1 )( k 2 ) a k ( k 1 ) a 2 ka l ( l 1 ) a ] x 0 k 2 k k k k 0

每列系数之和必为零，得递推公式
(k 1)(k 2)ak 2 [k (k 1) l (l 1)]ak 0
y( x) D0 y0 ( x) D1 y1 ( x)
且在x=±1均有限的无穷级数解(P193)； (4)自然边界条件构成的本征值问题 实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在 x∈[-1，1]或θ∈[0，π]上有限 物理问题要求解在x=±1保持有限，而y0(x)、 y1(x)不满足该要求。