第一节二次型及其标准型和合同矩阵
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第七章 n元实二次型
• n元实二次型的定义及其标准型 • 将n元实二次型化为标准型 • 正定二次型 • 用正交变换化二次型为标准型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x3
x1
3x3x2
4 x32
1
x1,
x2 ,
Leabharlann Baidu
x3
1
1 1 / 2 x1 2 3 x2
1 / 2 3
4
x3
注意 仅当A 满足AT A 时,为二次型的矩阵表示式
二次型 f ( x1, x2, x3 )
3 x12 x22 x32 2 x1 x2 x1 x3 4 x2 x 3
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j
i 1 j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
例1 写出下列二次型的矩阵表达式
f
( x1,
x2 ,
x3 )
x12
2 x22
4
x
2 3
2 x1 x2
x1 x3
6x2 x3
解 按 aij a ji 的要求不改变完全平方项，把
交叉乘积项的系数取半得：
f ( x1, x2 , x3 )
x12
x1 x2
1 2
x1 x3
x2
x1
2 x22
3x2
x3
1 2
（1）自反性（2）对称性(3) 传递性
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
X
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
3
的矩阵为：
1
1 2
1 1 2
1 2
2
1
0 0 1 以 0 1 0 为矩阵的二次型为
1 0 0
f ( x1, x2 , x3 ) x22 2 x1 x3
三、矩阵的合同
设 有 两 个n阶 矩 阵A和B, 若 存 在 可 逆 定义
矩阵P，使B PT AP，则称B与A合同 矩 阵P称 为 把A变 为B的 合 同 变 换 矩 阵 合同矩阵有一下性质：
称为二次型的标准形． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示法
1．用和号表示二次型
则称二次型X T AX与二次型Y T BY等价
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
n
设 有 二 次 型f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j X T AX , i , j 1
定 若 存 在 可 逆 变 换X PY,使 义
f ( x1, x2 , xn ) X T AX Y T BY
f
x1 ,
x2 ,,
xn
a11 x12
a22 x22
a
nn
x
2 n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
于是 f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
a x2 n1,n1 n1
2an1,n xn1 xn
ann xn2 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
• n元实二次型的定义及其标准型 • 将n元实二次型化为标准型 • 正定二次型 • 用正交变换化二次型为标准型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x3
x1
3x3x2
4 x32
1
x1,
x2 ,
Leabharlann Baidu
x3
1
1 1 / 2 x1 2 3 x2
1 / 2 3
4
x3
注意 仅当A 满足AT A 时,为二次型的矩阵表示式
二次型 f ( x1, x2, x3 )
3 x12 x22 x32 2 x1 x2 x1 x3 4 x2 x 3
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j
i 1 j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
例1 写出下列二次型的矩阵表达式
f
( x1,
x2 ,
x3 )
x12
2 x22
4
x
2 3
2 x1 x2
x1 x3
6x2 x3
解 按 aij a ji 的要求不改变完全平方项，把
交叉乘积项的系数取半得：
f ( x1, x2 , x3 )
x12
x1 x2
1 2
x1 x3
x2
x1
2 x22
3x2
x3
1 2
（1）自反性（2）对称性(3) 传递性
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
X
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
由此可见, 按照上述规则 任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。 即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系 称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为 对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
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的矩阵为：
1
1 2
1 1 2
1 2
2
1
0 0 1 以 0 1 0 为矩阵的二次型为
1 0 0
f ( x1, x2 , x3 ) x22 2 x1 x3
三、矩阵的合同
设 有 两 个n阶 矩 阵A和B, 若 存 在 可 逆 定义
矩阵P，使B PT AP，则称B与A合同 矩 阵P称 为 把A变 为B的 合 同 变 换 矩 阵 合同矩阵有一下性质：
称为二次型的标准形． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示法
1．用和号表示二次型
则称二次型X T AX与二次型Y T BY等价
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的; 反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
n
设 有 二 次 型f ( x1, x2 , xn ) aij xi x j X T AX , i , j 1
定 若 存 在 可 逆 变 换X PY,使 义
f ( x1, x2 , xn ) X T AX Y T BY
f
x1 ,
x2 ,,
xn
a11 x12
a22 x22
a
nn
x
2 n
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,
于是 f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
a x2 n1,n1 n1
2an1,n xn1 xn
ann xn2 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1