第7章 对称性国际符号
无机非金属材料科学基础习题
1.1 名词解释：等同点、结点、空间点阵、晶体、对称、对称型、晶系、晶类、布拉菲格子、晶胞、晶胞参数、晶体定向、晶面指数、晶向指数、晶带轴定律1.2 略述从一个晶体结构中抽取点阵的意义和方法？空间点阵与晶体结构有何对应关系？1.3 什么叫对称性？晶体的对称性有何特点，为什么？1.4 晶体中有哪些对称要素，用国际符号表示。
1.5 试找出正四面体、正八面体和立方体中的所有对称元素，并确定其所属点群、晶系。
1.6 根据什么将14种布拉维点阵分成七个晶系？各晶系特点如何？为什么14种布拉维点阵中有正交底心而无四方底心和立方底心点阵型式？以图说明。
说明七个晶系的对称特点及晶体几何常数的关系。
1.7 什么叫单位平行六面体（或单位）？在三维点阵中选取单位平行六面体应遵循哪些原则？为什么？1.8 a≠b≠c, α=β=γ=90℃的晶体属于什么晶系？a≠b≠c, α≠β≠γ≠90°的晶体属什么晶系？能否据此确定这二种晶体的布拉维点阵？1.9 一个四方晶系晶体的晶面，其上的截距分别为3a、4 a，6c，求该晶面的晶面指数。
1.10 四方晶系晶体a＝b，c＝1/2a。
一晶面在X、Y、Z轴上的截距分别为2a, 3b和6c。
给出该晶面的密勒指数。
1.11 某一晶面在x、y、z三个坐标轴上的截距分别为1a，∞b,3c，求该晶面符号。
1.12 在正交简单点阵、底心点阵、体心点阵、面心点阵中分别标出（110）、（011）、（101）三组晶面，并指出每个晶面上的结点数。
1.13 在立方晶系中画出下列晶面：a）（001）；b）（110）；c）（111）。
在所画的晶面上分别标明下列晶向：a）[210]；b）[111]；c）[101]。
1.14 试说明在等轴晶系中，（111）、（111）、（222）、（110）与（111）面之间的几何关系。
1.15 在立方晶系晶胞中画出下列晶面指数和晶向指数：（001）与[210]，(111)与[112]，(110)与[111]，（322）与[236]，(257)与[111]，(123)与[121]，(102)，(112)，(213)，[110]，[111]，[120]，[ 321]。
晶体结构
1、点阵：按连接其中任意两点的向量进行平移后，均能复原
的一组点。 如 等径密置球
. a. . . . . . . .
3a
特点:①点阵是由无限多个点组成;
②每个点周围的环境相同;
③同一个方向上相邻点之间的距离一样.
晶体结构 = 点阵+结构基元
1、直线点阵：一维点阵 如：结构 结构基元：
点阵
.
a
.
2a
六、晶面指标（符号）和有理指数定律： 由于不同方向的晶面结构微粒排列的情况不同，导致物理 性质不一样——各向异性。
用晶面表示不同的平面点阵组，那晶面在三个晶轴上的倒
易截数之比——晶面指标。 如图 某晶面在坐标轴上的截面 截距
z
4c
2a , 3b , 4c
y
c b 2 3 4 截数 a 3b 1 1 1 2a 倒易截数 （643） 2 3 4 x 倒易截数之比：1/2：1/3：1/4 = 6：4：3 ，为整数 1 1 1 符号化—倒易截数之比： : : h : k : l hkl 为晶面指标 r s t
a b c , 900
一个 6 或 6
一个 4 或 4 一个 3 或 3 三个 2 一个 2 无（仅有i ）
1200
a b c, 900
a b c, 900
a b c, 900
C2V , D2 , D2 h
, , ;
V , M r , Z , DC 等
Beq ,U eq
原子坐标及等效温度因子： x , y , z;
分子结构参数：键长，键角，最小二乘平面等 绘出分子结构图，晶胞堆积图等 分析结构特征，解释结构与性能之间的关系。
空间群符号的解释
晶体的对称性-空间群符号的解释1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
对于晶体点群，除了用和分子点群一样的符号(Schönflies)表示外，还用晶体点群的国际上通用的符号——国际符号表示。
国际符号是按晶系不同，依次在三个不同方向上将晶体所具有的对称元素表示出来。
《结构化学》第七章
注：分数坐标与选取晶胞的原点有关
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Cl-: 0,0,0; 1/2,1/2,0; 0,1/2,1/2; 1/2,0,1/2 Na+: 1/2,0,0; 0,1/2,0; 0,0,1/2; 1/2,1/2,1/2
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S= : 0,0,0; 2/3,1/3,1/2; Zn++: 0,0,5/8; 2/3,1/3,1/8
宏观晶体的晶面指标 对于宏观晶体的外形晶面进行标记时，习惯
上把原点设在晶体的中心，根据晶体的所属晶系 确定晶轴的方向，两个平行的晶面一个为(hkl)， 另一个为 (h kl )
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晶面间距：任三个晶轴上截数为整数的一族晶 面中，相邻晶面间的垂直距离
立方晶系： 正交晶系：
X
OP= xa+yb+zc
x, y, z为P原子的分数坐标。x, y, z
为三个晶轴方向单位矢量的个数
Y
(是分数)(晶轴不一定互相垂直)。 x, y, z一定为分数
• 凡不到一个周期的原子的坐标都必须标记，分数坐标， 即坐标都为分数，这样的晶胞并置形成晶体；
• 这里的分量不一定是垂直投影。 • 一个晶胞内原子分数坐标的个数，等于该晶胞内所包括
数学抽象
晶体
点阵
点阵结构
点阵点
结构基元
直线点阵
晶棱
平面点阵
晶面
空间点阵
晶体
正当单位
正当晶胞
7种形状 14种布拉威格子
7个晶系 14种布拉威晶格
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7.1.4 晶胞 晶胞：点阵结构中划分出的平行六面体叫晶胞， 它代表晶体结构的基本重复单位。
名词解释11
名词解释11名词解释：1晶体2对称型3晶体常数4布拉菲格子5典型结构6类质同象7同质多象8多型9鲍林第一规则10鲍林第二规则11位移性转变与重建型转变12解理13光率体14光性均质体15光性非均质体16消光17全消光18.有序无序19.单形聚形20.空间格子1晶体：是内部质点在三维空间周期性地重复排列构成的固体物质。
晶体是具有各自构造的固体。
6．类质同像：晶体结构中某种质点为性质相似的他种质点所替代，共同结晶成均匀的单一相的混合晶体，而能保持其键性和结构型式不变，仅晶格常数和性质略有改变。
7.同质多象：化学成分相同的物质，在不同的物理化学条件下，形成结构不同的若干种晶体的现象。
8.多型：一种元素或化合物以两种或两种以上的层状结构存在的现象，不同层状结构之间单元层是相同的，仅仅是层的堆垛方式不同9.鲍林第一规则：围绕每一阳离子形成一个阴离子配位多面体，阴、阳离子的间距决定于它们的半径之和，阳离子的CN取决于它们的半径之比。
10鲍林第二规则：阳离子的电价为其周围的阴离子的电价所平衡，即静电价原理11.移位型转变，不涉及键的破坏和重建，只是结构中原子或离子稍作位移，键角有所改变，相当于整个结构发生了一定的变形。
如：α-石英和β-石英之间的转变重建型转变，转变时晶体结构发生了彻底改组，包括键性、配位态及堆积方式等的变化，再重新建立起新变体的结构。
如：金刚石和石墨间的转变12.解理：矿物晶体受应力作用而超过弹性限度时，沿一定结晶学方向破裂成一系列光滑平面的性质。
13.光率体：表示光在晶体中传播时，光波振动方向与相应折射率之间关系的一种光性指示体14.光性均质体：等轴晶系矿物和非晶质物质的光学性质各方向相同（萤石，玻璃）。
15.光性非均质体：中级晶族及低级晶族矿物的光学性质随方向而异。
16.消光：入射光透过下偏光镜和矿片后被上偏光镜全部阻挡致使矿物呈现黑暗的现象。
17.全消光：矿物出现消光现象，且旋转载物台360度消光现象不变。
结晶学及矿物学试题及答案
考试课程名称：结晶学学时：40学时考试方式：开卷、闭卷、笔试、口试、其它考试内容：一、填空题（每空0.5分，共10分）1.晶体的对称不仅体现在上，同时也体现在上。
2.中级晶族中，L2与高次轴的关系为。
3.下面的对称型国际符号对应晶系分别为：23为晶系，32为晶系，mm2为晶系，6mm为晶系。
4.金刚石晶体的空间群国际符号为Fd3m，其中F表示，d表示，根据其空间群符号可知金刚石属于晶系，其宏观对称型的全面符号为。
5.正长石通常发育双晶，斜长石发育双晶。
6.晶体中的化学键可以分为、、、和等五种。
7.最紧密堆积原理适用于晶格和晶格的晶体。
二、选择题（每题1分，共10分，前4题为单选）1.对于同一种晶体而言，一般说来大晶体的晶面数与小晶体的晶面数，哪个更多？（）A、大晶体的B、小晶体的C、一样多D、以上均错误2.类质同象中，决定对角线法则的最主要因素是：（）A、离子类型和键型B、原子或离子半径C、温度D、压力3.具有L i4和L i6的晶体的共同点是：（）A、有L2B、无PC、无CD、有垂直的P4.关于布拉维法则说法不正确的是：（）A、实际晶体的晶面往往平行于面网密度大的面网B、面网密度越大，与之平行的晶面越重要C、面网密度越大，与之平行的晶面生长越快D、面网密度越大，与之平行的晶面生长越慢5.可以与四面体相聚的单形有（）A、四面体B、立方体C、八面体D、四方柱E、斜方双锥6.黄铁矿晶体通常自发地生长成为立方体外形，这种现象说明晶体具有（）性质：A、自限性B、均一性C、异向性D、对称性7.下面说法中正确的有：（）A、准晶体具有近程规律B、非晶体具有远程规律C、准晶体具有远程规律D、非晶体具有近程规律8.某晶面在X、Y、Z轴上截距相等，该晶面可能的晶面符号有（）A、（hhl）B、（hkl）C、（1011）D、（hh h2l）9.同一晶带的晶面的极射赤平投影点可能出现的位置有（）A、基圆上B、直径上C、大圆弧上D、小圆弧上10.关于有序-无序现象说法正确的有（）A、有序-无序是一种特殊的类质同象B、形成的温度越高晶体越有序C、形成的温度越高晶体越无序D、有序-无序是一种特殊的同质多象三、名词解释（5个，每个2分，共10分）1.平行六面体2.晶体对称定律3.空间群4.双晶律5.多型四、问答题（29分）1.石盐（NaCl）晶体的空间群为Fm3m，请在石盐晶体结构平面示意图（下图a，b）中分别以氯离子和钠离子为研究对象，画出各自的平面格子的最小重复单元。
11 对称性与对称要素讲解
sin c os
0
0x1
0
y1
1z1
x1 r • cos
cos sin 0
Rz,
(
)
sin
c os
0
0
0 1
y1 r • sin
x2 r • cos( )
r • (cos • cos sin • sin ) x1 cos y1 sin
1.1 对称性与对称要素
宏观对称要素 微观对称要素
摸底测验
1 晶体与非晶体在结构与性能方面有何区别？ 2 晶体从对称性角度可以分为几种晶系？试写出几种晶系的 名称。 3 晶体点群m3m属于哪个晶系，有哪些对称要素？ 4 左手在镜面操作下变成左手还是右手？在中心对称操作下 又如何？ 5 具有滑移面的晶体结构，物理性质是否一定存在镜面对称？
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64， 65。
螺旋轴 21，31 ，32 ，63
螺旋轴41， 42 ，43
• 41和43彼此对映。 当其中之一是左 手螺旋时，另一 个为右手螺旋。
螺旋轴61，62，63，64
石英结构中的六次螺旋轴
石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近 的螺旋链 。 在如下左边其中一个三倍螺旋，右方显示的是 螺旋连接构成晶体框架。
==90， =120 ==90 ===90
准晶
2011年诺贝尔化学奖 以色列科学家Daniel Shechtman
准晶： 被双料诺奖得主鲍林斥为Nonsense的伟大发现 重大的科学发现往往是偶然的，有时候还需要运气， 原始创新思想，不是靠智者们指南规划出来，更不 是靠金钱烧出来，它或许仅仅是平凡者的神来之笔？ 创新需要勇气，是你死我活的战争，不是你不幸被 权威踩死，就是你把权威拉下神坛，不要迷信权威， 知识越多越糊涂，威望越高越保守。 黄秀清的博客
第7章对称性国际符号
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
体的相对应的晶面和晶棱都平行。 例：
二、双晶 twins
1. 概念：
两个以上的同种晶体按一定的对称规律形成的规则连生， 相邻两个个体的相对应的面、棱角并非完全平行，但它们可 借助对称操作使两个个体重合或平行。
2. 双晶要素 twin elements
2.1 双晶面 twinning plane
假想平面，双晶相邻两个体重复或平行
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
晶体学基础(第七章)讲解
其次，在晶体结构中出现了一种在晶体外形上 不可能有的对称操作——平移操作，从而使得 晶体内部结构除具有外形上可能出现的那些对 称元素之外，还出现了一些特有的对称元素： 平移轴、螺旋轴和滑移面。
7.1 晶体内部的微观对称元素
平移轴（translation axis）为一直线，图形沿 此直线移动一定距离，可使等同部分重合，二维空间群国际符号中，第一个英文小写字母p 或c代表格子类型，
接着的第一个记号表示垂直纸面方向投影的对 称点，
第二位记号表示纸面上从左至右（b方向或y轴
方向）的对称元素，
第三位记号则表示的是由上到下（a方向或x轴
方向）的对称元素。
7.2 二维空间群
图中实线代表对称面，虚线代表滑移线g。这里说的 等效点系是指通过二维空间群中所有对称元素联系起 来的一组点的位置。此例中，一般等效点的坐标为： x，y；-x，-y；1/2-x，y；1/2+x，-y (x，y为小于1 的正数)。
（5）最后，由已知对称要素的相互作用，找出其它 所应有的4次轴和2次轴。
7.2 二维空间群
几点说明：
（1）每个格点周围有4个点，这是点群4（C4） 的等效点系，它所代表的是一个具有点群4（C4） 对称性的物理实体，也是对于于一个格点的基 元。因此，这里讨论的是晶体结构，而不是单 纯的平面点阵。
（2）在晶胞内有4个点，这是平面群P4的一般 等效点系，是对应于晶胞的物理实体。平面群 一般等效点数g和点群一般等效点数h之间的关 系是g=nh，此处n是晶胞的格点数。
晶体结构沿着空间格子中的任意一条行列移动一 个或若干个结点间距，可使每一质点与其相同的 质点重合。因此，空间格子中的任一行列就是代 表平移对称的平移轴。
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)
1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 晶胞内原子： 1/4 1/4 3/4 1/4 3/4 1/4 3/4 1/4 1/4
3/4 3/4 3/4 (晶胞内原子坐标与原点选择有关)
CaF2型晶体
A: 0 00 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0
B: 1/4 1/4 1/4 3/4 1/4 1/4 1/4 3/4 1/4 3/4 3/4 1/4
14种布拉维格子之四: 四方简单（tP）
14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
黑色与灰白色点 都是点阵点.黑点 与蓝线表示一个
正当格子
14种布拉维格子之七：三方晶系的六方R 心(hR)
三方晶系的六方简单 (hP)
六方简单 (hP)格子已用于六方晶系, 现在又可用于三方晶系, 所以只算一种格子. 尽管三方晶系的两种格子------六方简单(hP)和六方R 心(hR)------形状都与六方 晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hR是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只 有三次对称轴而没有六次对称轴, 六方晶体才有六次对称轴.
开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺地的二维问题来联想一下:
8.2.1 晶体的对称元素 晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性.
物理学中的对称性
空间旋转对称如图1所示，其上没有标记的一个 圆对于绕过其中心垂直于圆面轴O旋转任意角度
的操作都是对称的。
共六十八页
空间 对称性 (kōngjiān)
对于在圆内加一对相互垂直直径(zhíjìng)的体系，其对 称操作只能是转动 的整数倍。如果在圆环上加 一个小球，其对称操作就只能是转动2π的整数倍 了。如果一个体系绕某轴每转 角度后恢复原状， 该轴被称为此体系的n次旋转对称轴。
共六十八页
时间 反演对称性 (shíjiān)
菲斯特夫妇的狗与跳蚤(tiào zao)例子，说明了微观世界 和宏观世界不同命运的本质－－宏观的不可逆性来 自概率统计性，并非源于微观动力学。
诗曰：
君不见黄河之水天上来， 奔流到海不复回？
君不见高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪？
这里，诗人哀叹韶华如流，人生易老，正是时间反演不 对称的写照。 尽管只有少数理想的体系具有时间反演对称性，但确 实有这种理想的体系。
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联合 变换对称性 (liánhé)
另一个精彩的例子(lì zi)：荷兰画家M.C.Escher设计 的骑士图和猛兽图，是镜象反射、平移操作和黑白 变换联合变换的结果（下图）。
共六十八页
物理学中的对称性
我们已经看到，对称性由逻辑上两个不 同的部分组成：不变性和变换。要说物 理定律是不变的，就必须指出使得(shǐ 物 de) 理定律保持不变的变换。
共六十八页
对称性的基本概念
对称是重要的美学要素，又分结构对称、功能对称、 装饰对称等。对动物来说，结构对称是生存的需要， 进化的结果。为了生存，左右结构必定对称，才能跑 得快， 飞得起来。功能对称是在结构对称的基础上叠 加的功能，如左右眼图像的立体感和距离感，使它能 够准确捕捉(bǔzhuō)食物；左右耳的声音叠加，使它能躲 避来犯之敌。
晶体学课后习题参考答案
第一章习题1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态?答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。
晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。
而非晶体不具有格子构造。
晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。
准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。
因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。
2.在某一晶体构造中，同种质点都是相当点吗?为什么?答：晶体构造中的同种质点并不一定都是相当点。
因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容一样；b.点的周围环境一样。
同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。
因此，晶体构造中的同种质点并不一定都是相当点。
3.从格子构造观点出发，说明晶体的根本性质。
答：晶体具有六个宏观的根本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。
现分别表达：a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。
晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。
从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。
b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同局部，化学成分与晶体构造都是一样的，所以晶体的各个局部的物理性质与化学性质也是一样的。
c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。
因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。
d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；表达在宏观上就是晶体一样的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。
e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力到达平衡的结果。
无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。
因此，在一样的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。
f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。
分子的对称性和群伦
群的性质：
1. 封闭性：群中任何两个元素的乘积仍属于该群的 一个元素。 ab=c，c也是该群的元素 2.结合律：满足乘法的结合律。 （ab）c=a（bc） 3.恒等元素：群中必含一恒等元素E，它和群中任一 元素的乘积即为该元素本身。 例如，aE=Ea=a。 4.逆元素：群中任一元素a必有一逆元素a-1，元素a 与其逆元素a-相乘等于恒等元素 E：aa-1=a-1a=E。
对称元素：反映面
v（vertical）：通过主轴Cn轴的反映面
h（horizontal）：与分子的n重主轴垂直的反映面 d（dihedral）：包含主轴并平分垂直于主轴的两
个二重轴的夹角的平面
h：1个 XeF4 ： v：2个 d ：2个
2.1.3 反演操作与对称中心
反演操作（inversion operation）的对称元素是 点，称为对称中心i。 将分子中每一点转移到该点和对称中心连线的 延长线上，在对称中心另一侧与对称中心距离相等 的位置上，这种操作称之为反演操作。 例如：XeF4的对称中心是质点Xe；C6H6对称中心没 有原子存在，不是质点。
由表可见，所有对称操作两两相乘，即相继进行 的对称操作，净结果相当于单个对称操作，均包含 在相应的乘法表中。
2．结合律
C C C C
2 v v v 2 v v 2
v
E E
C2 v v
2
所以，
C
2 v
v
3．恒等元素
6． Cv 点群
NO、HCN无对称中心。
σv
C∞
具有无穷二次旋转轴C∞及无穷多个通过键轴的 σv反映面。
7． D n点群
1个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2轴—Dn点群。
第七章对称型的国际符号
2. 双晶要素 twin elements
2.1 双晶面 twinning plane
假想平面，双晶相邻两个体重复或平行
2.2 双晶轴 twinning axis
假想直线，双晶中的一个个体不动，另一个体绕直线旋转（常180 度），两个体重复、平行或连成一个完整晶体。
2.3 双晶中心 twinning center
（2）特征矿物命名 尖晶石律双晶片双晶 钠长石 环状双晶 锡石
（2）穿插双晶（贯穿双晶）
萤石 钾长石卡式双晶
本章结束 第八章
分析对称型国际符号与晶系个系及序位特点 P38表 1.低级晶族符号中有3及以上的数？ 2.单斜晶系有几个序位？ 3.中级晶族第一序位特点？ 4.高级晶族第二序位特点？
P55 表
各晶系国际符号序位与定向关系
第一序位
第二序位 L3 晶轴
第三序位
等轴晶系 中级晶族
晶轴
Z轴
二晶轴角分线
四方—二晶轴 角 分线 三、六 方—垂 直 Y轴 轴
例
尖晶石：双晶面∥(111)，双晶轴⊥(111)
接合面 composition surface
双晶相邻两个个体中接触的面是属于两个个 体的共同面网。
例 尖晶石 接合面∥(111)
3. 双晶律 twin law
—— 双晶结合的规律。 双晶律表示方法：
（1）双晶要素+接合面（双晶要素不用双晶中心） 例尖晶石：双晶面∥(111)，双晶轴⊥(111)，接合面∥(111)
斜方晶系 单斜晶系
X轴 Y轴
Y轴
Z轴
第七章、晶体的规则连生
一、平行连生 parallel grouping
1. 概念： 同种晶体，彼此平行的连生在一起，连 生着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱都 平行。 例：
7a对称性
▲力对时间反演变换有两种情况：保守力只与物体相对位置有关，故对时间反演不变。
耗散力与速度方向有关，故对时间反演不具有不变性。
▲牛顿第二定律对保守系统时间反演不变，对非保守系统则不具有时间反演不变性。
▲统计规律（如扩散）没有对时间反演的不变性。
研究系统时间反演的性质要区分宏观和微观。
113. 联合操作与对称性有的系统对某种操作可能不具有对称性，但对几种操作的联合却可能具有对称性。
例如：和黑白置换的联合操作具有对称性。
1213对此联合操作是不变的。
相联系。
伽里略变换是一种时空联合操作，同样，洛仑兹变换也是一种时空联合操作，但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了。
物理学中除上述的时间、空间操作外，还涉及到一些其它的操作，例如：电荷共轭变换（粒子与反粒子间的变换），规范变换，牛顿定律全同粒子置换等等。
它们也和系统的某些对称性三. 对称性原理自然规律反映了事物之间的“因果关系”。
稳定的因果关系要求有可重复性和预见性。
即：相同(或等价)的原因必定产生相同(或等价)的结果。
称性原理：（Pierre Curie1894年首先提出）原因中的对称性必然存在于结果中，结果中的不对称性必然存在于原因中。
对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理。
根据对称性原理，往往可以在不具体知道某些物理规律的情况下，给出所需的结论。
14这样就由系统的平移对称性，导致了不受外力作用的系统的动量守恒。
即从空间平移不变性导出了动量守恒定律。
▲空间的各向同性与角动量守恒定律：一个系统中的物理现象如果和该系统所处的方位无关，则系统具有转动对称性（各向同性）。
可以证明：空间各向同性将导致角动量守恒定律成立。
系统如果具有转动对称性，则必然角动量守恒。
17▲时间均匀与能量守恒定律:一个系统中的物理现象如果和时间的平移无关，说明时间是均匀的。
可以证明：时间的均匀性将导致能量守恒定律的成立。
一个系统如果对时间平移具有对称性，则其能量必然守恒。
随着物理学的发展，人们认识的对称性和守恒量也越来越多。
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4. 双晶类型
（1）接触双晶
简单接触双晶 尖晶石 聚片双晶 钠长石 环状双晶 锡石
（2）穿插双晶（贯穿双晶）
萤石 钾长石卡式双晶
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2. 双晶要素 twin elements
2.1 双晶面 twinning plane
假想平面，双晶相邻两个体重复或平行
2.2 双晶轴 twinning axis
假想直线，双晶中的一个个体不动，另一个体绕直线旋转（常180 度），两个体重复、平行或连成一个完整晶体。
2.3 双晶中心 twinning center
例
尖晶石：双晶面∥(111)，双晶轴⊥(111)
接合面 composition surface
双晶相邻两个个体中接触的面是属于两个个 体的共同面网。
例 尖晶石 接合面∥(111)
3. 双晶律 twin law
—— 双晶结合的规律。 双晶律表示方法：
（1）双晶要素+接合面（双晶要素不用双晶中心） 例尖晶石：双晶面∥(111)，双晶轴⊥(111)，接合面∥(111) （2）特征矿物命名 尖晶石律双晶律
分析对称型国际符号与晶系个系及序位特点
P38表 1.低级晶族符号中有3及以上的数？ 2.单斜晶系有几个序位？ 3.中级晶族第一序位特点？ 4.高级晶族第二序位特点？
P55 表 各晶系国际符号序位与定向关系
第一序位
第二序位 L3 晶轴
第三序位 二晶轴角分线 四方 — 二晶轴角 分线 三、六方 — 垂直 Y轴
等轴晶系 中级晶族
晶轴
Z轴
斜方晶系 单斜晶系
X轴 Y轴
Y轴
Z轴
第七章、晶体的规则连生
一、平行连生 parallel grouping
1. 概念： 同种晶体，彼此平行的连生在一起，连 生着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱都 平行。 例：
二、双晶 twins
1. 概念：
两个以上的同种晶体按一定的对称规律形 成的规则连生，相邻两个个体的相对应的面、 棱角并非完全平行，但它们可借助对称操作使 两个个体重合或平行。