随机过程复习提纲

y j pj i
j 1

E (Y X x )



y fY X ( y x )dy
若X与Y相互独立，则 E (Y X x ) E (Y )
全期望公式
E ( X ) E ( E ( X Y )) (

E ( X Y y ) fY ( y )dy )

离散型随机变量X： P ( X xk ) pk , k 1, 2,
X ( t ) E (e
itX
) e itxk pk
k 1
连续型随机变量X： 概率密度函数f ( x )
X ( t ) E (e
itX
)


e itx f ( x )dx
对一切随机变量，其特征函数都存在！
一维概率密度函数 f1 ( x, t )： X(t)的概率密度函数 一维概率分布（一维分布律）： X(t)的分布律
P ( X (t ) xk ) pk (t ), k 1, 2,
二维分布函数 F2 ( x1, x； 2 t1 , t2 ) P( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ), t1 , t2 T
n维随机变量常用结论
※设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，X i
c1 X 1 c2 X 2
N c1 1 c2 2
N i , i2 , i 1,2, , n
cn X n


2 2 cn n , c12 12 c22 22 cn n c1 , c2 , , cn 为任意实数。
以连续型为例
E ( X ) ( xf X Y ( x y )dx ) fY ( y )dy




xf ( x, y )dxdy xf X ( x )dx


14 November 2018
随机过程
特征函数
定义
X ( t ) E (e itX ), t ( , ).
( 4)若随机变量X 与Y 相互独立，则 X Y ( t ) X ( t )Y ( t ).
(5)若随机变量X的n阶矩存在，则它的特征函数 (t )可微分n次， k k (k ) (k ) k k E ( X ) ( i ) ( 0) 且对1 k n, 有 (0) i E ( X ).
(6)随机变量的分布函数与其特征函数一一对应.（唯一性）
逆转公式 分布函数 特征函数 定义
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随机过程
第二章
t T ,
小
结
随机过程 {X(t)，t∈T } ：样本函数、样本曲线
X(t)是一个随机变量
一维分布函数 F1 ( x, t ) P( X (t ) x), t T
CX (t1, t2 ) E[(( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))]
ivX (t ) ( t , v ) ( v ) E [ e ] （6）一维特征函数 X X (t )
14 November 2018
随机过程
数字特征之间的关系
2 X (t ) RX (t , t )
CX (t , t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t )
DX (t ) CX (t , t )
二维随机过程的数字特征： 互相关函数： RXY (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )], t1 T1, t2 T2
互协方差函数：
CXY (t1 , t2 ) E[(( X (t1 ) mX (t1 ))(Y (t2 ) mY (t2 ))]
随机过程不相关：CXY (t1, t2 ) 0, 对 t1 T1, t2 T2 均成立
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随机过程
第四章 小 结
随机质点流 强度
X (0) E (e i0 X ) 1
14 November 2018
随机过程
Leabharlann Baidu
常见分布的特征函数
1.两点分布((0-1)分布)
X ( t ) 1 p p e it
2.二项分布 B(n, p) 3.泊松分布 4.均匀分布
5.指数分布 6.标准正态分布
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随机过程
特征函数的基本性质
(1) X (0) 1, X ( t ) X (0), X ( t ) X ( t ).
( 2) X ( t )为(-,+)上的连续函数.
(3)设a , b为常数，则Y aX b的特征函数为 Y ( t ) e ibt X (at ).
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随机过程
随机过程的数字特征与特征函数
（1）均值函数 （2）均方值函数 （3）方差函数
mX (t ) E[ X (t )]
2 2 ( t ) E [ X (t )] X
DX (t ) E( X (t ) mX (t ))2
（4）自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] （5）自协方差函数
N(t) —— [0,t)内到达的随机质点个数
τn —— 第n个随机质点的到达时间
Tn —— 第n-1个与第n个质点时间间隔 N(0)=0，独立增量，平稳增量
X ( t ) (1 p pe it )n
X (t ) e
X (t )
e it
i (e itb e ita ) ( b a )t
2 i t X (t ) 2 2 it t
X (t ) e
t2 2
※ n 维随机变量（X1 , X 2 , , X n）服从n 维正态分布的
充要条件是X1 , X 2 , , X n的任意线性组合服从一维 正态分布.
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随机过程
数字特征—— 条件期望
离散型 连续型
E (Y X x i ) y j
j 1
pij pi