Removed_希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题
1900年希尔伯特提出的23个问题
1900年希尔伯特提出的23个问题1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎第二国际数学家大会上提出了一系列数学难题，这些难题被称为希尔伯特问题。
这些问题不仅激发了数学领域的研究热情，也极大地推动了数学领域的发展。
这些问题的提出标志着数学史上的重大事件之一，对于当时的数学界以及后来的数学发展都有着深远的影响。
希尔伯特问题一共有23个，分别涉及到了数学的各个方面，包括数论、拓扑学、代数学、分析和几何学等领域。
这些问题虽然在当时被认为是难以解决的难题，但同时也为数学家们提供了巨大的研究动力和研究方向。
在希尔伯特问题提出后的近一个世纪中，数学家们一直在努力研究和探索这些问题，为数学领域的发展做出了重要贡献。
希尔伯特问题中的一些问题至今仍然没有解决，而另一些问题则已经在后来的研究中得到了解决。
例如希尔伯特第一问题和第二问题是相对较容易得到解答的，它们分别是关于质数分布和质数假设的。
而另一些问题则包括了一些数学界最著名的未解之谜，例如黎曼猜想和千禧年七大难题之一希尔伯特第七问题——黎曼假设。
希尔伯特问题的提出和探索不仅对数学的发展有着深远的影响，同时也激发了广大数学爱好者对数学知识的热情。
这些问题的提出不仅极大地丰富了数学领域的研究内容，同时也为数学的发展提供了新的思路和方法。
希尔伯特问题的产生和研究过程本身也成为了数学领域的一大奇迹，吸引了无数数学家们的关注和探索。
除了数学界，希尔伯特问题的提出和研究也对其他领域产生了深远的影响。
例如在计算机领域，希尔伯特问题的研究成果对算法和计算复杂性理论有着一定的启发作用。
同时，在物理学、经济学和生物学等领域，希尔伯特问题的研究也为这些领域的发展提供了一定的参考和借鉴。
总的来说，希尔伯特问题的提出和研究对于数学领域和其他相关领域的发展都产生了深远的影响。
这些问题的提出激发了数学界的研究热情，同时也为数学研究提供了新的方向和方法。
希尔伯特问题被称为是数学界的长期难题，其研究的深入必将为数学领域的发展带来新的突破。
希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特的23个数学问题展开全文德国数学家希尔伯特(图8-6)是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一．希尔伯特希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题．”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特应邀做了题为“数学问题”的著名讲演．在这具有历史意义的演讲中，他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界．他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远．同时，他还分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法．就是在这次会议上，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个悬而未决的数学问题，即著名的“希尔伯特的23个数学问题”．这次大会是数学史上一个重要的里程碑，他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远．希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF 集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M. Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论)这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A. O. Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T. Schneieder)及西格尔(C. L. Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E. Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H. Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L. Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V. Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学)由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论) 1929年，德国数学家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H. Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P. Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．（本期责编：王芳）本文摘编自胡伟文徐忠昌主编《数学文化欣赏》（北京：科学出版社，责任编辑吉正霞，2016.11）第八章部分，内容略有删节。
21世纪7大数学难题
21世纪7大数学难题数学作为一门重要的科学学科，在21世纪仍然存在着许多令人困惑的难题。
本文将介绍21世纪的七大数学难题，它们涉及各个领域，挑战着数学家们的智慧和创造力。
1. 黎曼假设（Riemann Hypothesis）：该难题涉及到解析数论中的黎曼Ζ函数的非平凡零点的位置。
黎曼假设尚未被证明或推翻，它对数论的发展具有重要影响。
2. 普=NP问题（P versus NP Problem）：该问题涉及到计算机科学中的算法复杂性理论。
简而言之，问题是判断一个问题是否可以在多项式时间内解决。
迄今为止，数学家们尚未找到解决这个问题的方法。
3. 黄昆猜想（Poincaré Conjecture）：该猜想是微分拓扑学中的重要难题。
它探讨了三维球面的特性，并试图解决什么样的三维形状可以被拉成一个球面。
该猜想在2003年由佩雷尔曼证明，引起了广泛的关注。
4. 费马猜想（Fermat's Last Theorem）：该猜想是数论中的经典难题，由费马于17世纪提出。
猜想认为对于大于2的自然数n，不存在满足a^n + b^n = c^n的整数解。
该猜想在1994年由安德鲁·怀尔斯证明。
5. 双子素数猜想（Twin Prime Conjecture）：该猜想认为存在无穷多对相邻的素数，即差值为2的素数。
尽管数学家们通过计算已经找到了很多相邻的素数，但尚未能够证明存在无穷多对这样的素数。
6. 发散除以零（Division by Zero）：在数学中，除以零是一个未定义的操作。
然而，在一些数学推理中，发散除以零的概念被引入，以便研究和解释特定情况下的问题。
尚未找到一个一致的解释来解决这个难题。
7. 数字1的存在性（Existence of 1）：这个数学问题是关于数字1的存在性的研究。
尽管我们经常使用数字1，但它的存在性并未得到严格的数学证明。
数学家们仍在探索和研究有关数字1的性质和存在性。
数学素材：希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特的23个数学问题湖南 黄爱民希尔伯特（Hilbert D ，1862．1．23~1943．2．14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一．1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了二十世纪数学的发展．下面介绍部分问题给同学们．1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设．1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛———弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科亨证明连续统假设和策梅洛———弗伦克尔集合论公理是彼此独立的．因此，连续统假设不能在策梅洛———弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否．希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决．2．算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明．1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法．1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性．1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决．3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等．M ．W ．德恩1900年即对此问题给出了肯定解答．4．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般．满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件．1973年，前苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决．5．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学．1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功．但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑．6．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a b c ，，，即()x x a b c ，，．这个函数能否用二元函数表示出来？前苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）．但如果要求是解析函数，则问题尚未解决．7．舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法．希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础．现在已有了一些可计算的方法，但严格的基础迄今仍未确立．8．半正定形式的平方和表示 一个实系数n 元多项式对一切数组12()n x x x L ，，，都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的．9．用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决．。
希尔伯特23个问题及解决情况
希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1连续统假设公理化集合论1963年，PaulJ.Cohen在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
世界七大数学难题
世界七大数学难题难题的提出20世纪是数学大开展的一个世纪。
数学的许多重大难题得到完满解决 ,如费马大定理的证明 ,有限单群分类工作的完成等 ,从而使数学的根本理论得到空前开展。
计算机的出现是20世纪数学开展的重大成就 ,同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。
回首20世纪数学的开展 ,数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。
希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。
希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧 ,指引数学前进的方向 ,其对数学开展的影响和推动是巨大的 ,无法估量的。
效法希尔伯特 ,许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题 ,希冀为新世纪数学的开展指明方向。
这些数学家知名度是高的 ,但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。
2019年初美国克雷数学研究所的科学参谋委员会选定了七个“千年大奖问题〞 ,克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金 ,每个“千年大奖问题〞的解决都可获得百万美元的奖励。
克雷数学研究所“千年大奖问题〞的选定 ,其目的不是为了形成新世纪数学开展的新方向 ,而是集中在对数学开展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。
2019年5月24日 ,千年数学会议在著名的法兰西学院举行。
会上 ,98年费尔兹奖获得者伽沃斯以“数学的重要性〞为题作了演讲 ,其后 ,塔特和阿啼亚公布和介绍了这七个“千年大奖问题〞。
克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。
克雷数学研究所对“千年大奖问题〞的解决与获奖作了严格规定。
每一个“千年大奖问题〞获得解决并不能立即得奖。
任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可 ,才有可能由克雷数学研究所的科学参谋委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖.世界七大数学难题这七个“千年大奖问题〞是：NP完全问题、霍奇猜测、庞加莱猜测、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜测。
希尔伯特的23个问题（互动百科）
希尔伯特的23个问题（互动百科）
希尔伯特的23个问题
开放分类：数学数理逻辑科学自然科学
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1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。
希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。
在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。
20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-1 8属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
以下列出希尔伯特的23个问题：。
希尔伯特23个数学问题及其解决情况
希尔伯特23个数学问题及其解决情况希尔伯特23个数学问题及其解决情况已有95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。
他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。
希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。
希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。
他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。
当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。
由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
希尔伯特23个数学问题和其解决情况
希尔伯特23个数学问题及其解决情况（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。
1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。
1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。
后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。
但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。
苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。
希尔伯特数学23个世界难题
希尔伯特数学23个世界难题1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题,称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。
内容涉及现代数学大部份重要领域,目的是为新世纪的数学开展提供目标和预测成果,结果大大推动了20世纪数学的开展。
该23个问题的简介如下：1.连续统假设。
2.算术公理体系的兼容性。
3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。
即不能将这两个等体积的四面体剖分为假设干相同的小多面体。
4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5.拓扑群成为李群的条件。
6.物理学各分支的公理化。
7.某些数的无理性与超越性。
8.素数问题。
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9.一般互反律的证明。
10.丢番图方程可解性的判别。
11.一般代数数域的二次型论。
12.类域的构成问题。
具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理域。
13.不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14.证明某类完全函数系的有限性。
15.舒伯特计数演算的严格根底。
16.代数曲线与曲面的拓扑研究。
17.正定形式的平方表示式。
18.由全等多面体构造空间。
19.正那么变分问题的解是否一定解析。
20.一般边值问题。
21.具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22.用自守函数将解析关系单值化。
23.开展变分学的方法。
世界七大数学难题
世界七大数学难题世界七大数学难题难题的提出20世纪是数学大发展的一个世纪。
数学的许多重大难题得到完满解决，如费马大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。
计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。
回首20世纪数学的发展，数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。
希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。
希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。
效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希冀为新世纪数学的发展指明方向。
这些数学家知名度是高的，但他们的这项行动并没有引起世界数学界的共同关注。
2019年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。
克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集兼职教授曹怀东破解了。
）整个计算机科学的大厦就建立在图灵机可计算理论和计算复杂性理论的基础上,一旦证明P=NP,将是计算机科学的一场决定性的突破,在软件工程实践中,将革命性的提高效率.从工业,农业,军事,医疗到生活,软件在它的各个应用域,都将是一个飞跃.P=NP吗?这个问题是著名计算机科学家(1982年图灵奖得主)斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年发现并提出的. “千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
希尔伯特23个数学问题
希尔伯特23个数学问题1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：o o清晰性和易懂性；o o虽困难但又给人以希望；o o意义深远。
同时，他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称“希尔伯特问题”，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
希尔伯特23个数学问题7大数学难题
世界数学十大未解难题〔其中“一至七〞为七大“千僖难题〞；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题〞〕一：P〔多项式算法〕问题对NP〔非多项式算法〕问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克〔StephenCook〕于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜测二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的方法。
根本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进展分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜测断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜测如果我们伸缩围绕一个苹果外表的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开外表，使它慢慢移动收缩为一个点。
希尔伯特23个数学问题
Hilbert 23个数学问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
[01]康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科恩（P·Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
[02]算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G·Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900年已解决。
[04]两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
希尔伯特23个数学问题
Hilbert 23个数学问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
[01]康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科恩（P·Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。
在这个意义下，问题已获解决。
[02]算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。
根茨（G·Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
[03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德恩（M·Dehn）1900年已解决。
[04]两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。
满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。
1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题
希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题2009-12-31 12:41:40希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn 给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。
千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。
我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。
）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。
01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。
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希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题2009-12-31 12:41:40希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。
6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。
概率论的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。
7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
8 素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。
包括在第八问题中的Goldbach 问题至今也未解决。
中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9 任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.10 Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
11 系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域。
复乘法理论尚未解决。
13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。
方程论与实函数论连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。
14 证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否定解决。
15 Schubert记数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。
至于代数几何的基础，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)与A.Weil(1950)建立。
16 代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题的前半部分，近年来不断有重要结果。
17 正定形式的平方表示式域（实域）论已由Artin 于1926年解决。
18 由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。
19 正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这个问题在某种意义上已获解决。
20 一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。
21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl(德，1957)解决。
22 解析关系的单值化Riemann 曲面体一个变数的情形已由P.Koebe (德，1907)解决。
23 变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。
百年前的数学家大会与希尔伯特的问题熊卫民21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。
1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。
在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。
其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H. Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。
”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。
人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。
其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。
但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。
数学领域中的问题是极多的，究竟哪些更重要、更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。
为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、《希尔伯特——数学王国中的亚历山大》一书的译者袁向东先生（和李文林先生合译）认为，这是因为希尔伯特是数学王国中的亚历山大！数学家可分为两类，一类擅长解决数学中的难题，另一类擅长对现有状况做出理论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三。
希尔伯特两者兼长，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的名字，对数学发展的大背景了如指掌，对所提及的许多问题都有深入的研究，是数学领域中的“王”。
为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincaré)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。
他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理——既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护。
庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争还带上了一种国与国竞争的味道。
虽然他们两人非常尊重对方，这一点在他们身上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。
希尔伯特的老师克莱茵（Felix Klein）就是一个民族感非常强的人，他非常强调德意志数学的发展，想让国际数学界变成椭圆——以前是圆形，圆心为巴黎；现在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，使数学世界变成有两个圆心的椭圆。
在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的帮助下，克莱茵实现了自己的目标——1900年时，希尔伯特就已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学家。
事实上，他们在德国号称“无敌三教授”。
从一个例子可以想见他们的魅力。
某天，在谈及拓扑学著名定理——四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满堂的学生说：“这条定理还没有得到证明，因为到目前为止还只有一些三流数学家对它进行过研究。
现在由我来证明它。
”然后他拿起粉笔当场证明这条定理。
这堂课结束后，他还没有证完。
下堂课他继续证，这样一直持续了几周。
最后，在一个阴雨的早晨，他一走上讲台天空就出现了一道霹雳。
“老天也被我的傲慢激怒了，”他说，“我的证明也是不完全的。
”（该定理直到1994年才用计算机证明出来。
）1912年，庞加莱逝世。
世界数学的中心进一步向哥廷根偏移，数学界似乎又变成了一个圆——不过圆心换成了哥廷根。
此时，哥廷根学派的名声如日中天，在数学青年中流行的口号是“打起你的铺盖，到哥廷根去！”一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。
但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。
有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。
希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。
（费马大定律直到1997年才被解决。
）在列出23个问题之前，希尔伯特已经是国际数学界公认的领军人物，已经在数学的诸多领域取得多项重要成果。
他的其它贡献，譬如他的公理化主张、形式主义构想、《几何基础》一书等等，都对20世纪数学的发展有着深远的影响。
1 21世纪七大数学难题21世纪七大数学难题最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
以下是这七个难题的简单介绍。
“千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。