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希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题

2009-12-31 12:41:40

希尔伯特23个问题及解决情况

1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：

正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”

他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：

清晰性和易懂性；

虽困难但又给人以希望；

意义深远。

同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号问题推动发展的领域解决的情况

1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。

3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生

M.Dehn给出了肯定的解答。

4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。

5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。

6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由

A.H.Konmoropob等人建立。

7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。

8 素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach 问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。

9 任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决.

10 Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一

般算法是不存在的。

11 系数为任意代数数的二次型二次型理论H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果。

12 Abel域上kroneker定理推广到任意代数有理域。复乘法理论尚未解决。

13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。方程论与实函数论连续函数情形于1957年由苏数学家否定解决，如要求是解析函数，则问题仍未解决。

14 证明某类完全函数系的有限性代数不变式理论1958年永田雅宜给出了否定解决。

15 Schubert记数演算的严格基础代数几何学由于许多数学家的努力，Schubert演算的基础的纯代数处理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解决。至于代数几何的基础，已由

B.L.Vander Waerden(1938-40)与A.Weil(1950)建立。

16 代数曲线与曲面的拓扑曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论问题的前半部分，

近年来不断有重要结果。

17 正定形式的平方表示式域（实域）论已由Artin 于1926年解决。

18 由全等多面体构造空间结晶体群理论部分解决。

19 正则变分问题的解是否一定解析椭圆型偏微分方程理论这个问题在某种意义上已获解决。

20 一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

21 具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程大范围理论已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl(德，1957)解决。

22 解析关系的单值化Riemann 曲面体一个变数的情形已由P.Koebe (德，1907)解决。

23 变分法的进一步发展变分法Hilbert本人和许多数学家对变分法的发展作出了重要的贡献。

百年前的数学家大会与希尔伯特的问题

熊卫民

21世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发展带来些什么？能像20世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向吗？一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为他的一个报告——希尔伯特（David Hilbert）和他的《数学问题》。

1900年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪中，许多世界一流的数学头脑都围着它们转。其情形正如另一位非常著名的数学家外尔（H. Weyl）所说：“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。”这也难怪，他所提出的问题都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试，而且解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，立即就能名满天下——我国的陈景润就因为在解决希尔伯特第8个问题（即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大贡献而为世人所侧目。人们在总结二十世纪数学的发展，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常都以希尔伯特所提的问题为航标。

其实这些问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的。但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向。