流体力学能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程是流体力学基本方程之一，它根据流体运动的物理
原理对流体势能进行描述。
它可以用来分析流体动力学中流体运动的能量
特性，简化流体力学设计和分析的程序，并用于求解流体动力学问题。
流体力学能量方程的基本形式为：
∂(ρeu)/∂t + ∂(ρeuv)/∂x + ∂(ρeV2)/∂y + ∂(ρegh)/∂z = 0。
其中，ρ是流体的密度，e是单位体积的能量，u和v分别是流体在
x和y方向上的速度，g是重力加速度，h是流体的截面高度，t是时间。
该方程表明，随着时间的推移，流体总动能和总势能的变化之和为0，即流体总能量保持不变。
navier-stokes方程能量守恒
navier-stokes方程能量守恒一、引言Navier-Stokes方程是流体力学中描述粘性流体运动的基本方程。
这个方程在许多科学和工程领域都有广泛的应用，包括航空航天、气象、海洋、化工等。
在能量守恒的研究中，这个方程提供了对能量传递和转化过程的深入理解。
二、Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是由Navier和Stokes在19世纪提出的，它是在Euler方程的基础上加入了表示粘性力的项。
这个方程的一般形式为：$\rho\frac{Du}{Dt} = - \nabla p + \nabla\cdot\tau + \rho F$其中，$\rho$是流体的密度，$u$是流体的速度矢量，$p$是流体的压力，$\tau$是粘性应力张量，$F$是外部体积力。
三、能量守恒能量守恒是物理学中的一个基本原理，它表明在一个封闭系统中，能量不能被创造或消除，只能从一种形式转化为另一种形式。
在流体力学中，这个原则同样适用。
我们可以将Navier-Stokes方程重写为包含能量守恒的形式。
首先，我们引入流体的能量密度函数$e(p,\rho)$，它表示单位体积的流体的能量。
然后，我们可以通过以下公式将Navier-Stokes方程转化为能量守恒的形式：$\rho\frac{De}{Dt} = - \nabla(e + p) + \nabla\cdot(\tau u) + \rho F\cdotu$这个方程表明，流体的能量变化率等于流入流出流体的净能量通量加上由于粘性力做功而产生的能量转化率。
这符合能量守恒的原则。
四、结论通过上述分析，我们可以看到，Navier-Stokes方程可以用来描述流体的运动，同时也可以用来描述能量的传递和转化过程。
这个方程的能量守恒形式为我们提供了对流体运动过程中能量传递和转化的深入理解。
这种理解对于设计和优化流体系统具有重要的指导意义。
有限元三大方程公式
有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。
有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。
在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。
下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。
一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。
在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。
这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。
通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。
二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。
对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。
这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。
在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。
通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。
三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。
∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。
这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。
在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。
通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。
综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。
这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。
能量方程的实验报告
1. 验证不可压缩流体定常流的能量方程；2. 通过对流体动力学诸多水力现象的实验分析研讨，进一步掌握有压管流中的能量转换特性；3. 掌握流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技能。
二、实验原理能量方程是流体力学中的一个重要方程，它描述了流体在流动过程中能量守恒的规律。
对于不可压缩流体定常流，能量方程可表示为：\[ \rho (u^2 + v^2 + w^2) + g(z_2 - z_1) = \rho \left( \frac{du}{dt} + u \frac{d}{dx} + v \frac{d}{dy} + w \frac{d}{dz} \right) + \frac{\partial \tau}{\partial x} + \frac{\partial \tau}{\partial y} + \frac{\partial\tau}{\partial z} \]其中，\( \rho \) 为流体密度，\( u \)、\( v \)、\( w \) 分别为流体在 \( x \)、\( y \)、\( z \) 方向上的流速，\( g \) 为重力加速度，\( z \) 为流体高度，\( \tau \) 为应力张量。
三、实验装置1. 实验台：由实验管道、测压管、皮托管、调节阀等组成；2. 测量仪器：流速仪、流量计、压强计等；3. 计算机及数据采集系统。
四、实验步骤1. 熟悉实验装置，了解各部件的功能及操作方法；2. 检查实验管道是否畅通，测压管、皮托管等是否安装正确；3. 打开水源，调节阀门，使流体在实验管道中流动；4. 在实验管道的不同位置设置测点，测量各测点的流速、流量、压强等数据；5. 根据测量数据，计算各截面的能量值；6. 对比计算结果与理论值，验证能量方程的正确性。
（此处应列出实验过程中测得的流速、流量、压强等数据，以及计算得到的能量值）六、实验结果与分析1. 通过实验，验证了不可压缩流体定常流的能量方程的正确性；2. 通过对实验数据的分析，进一步掌握了有压管流中的能量转换特性；3. 通过实验，提高了对流速、流量、压强等动水力学水力要素的实验量测技能。
流体力学能量方程
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流体力学能量方程
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目录
• 引言 • 流体的基本属性 • 流体的能量方程 • 能量方程的应用 • 案例分析 • 结论
CHAPTER
引言
流体力学的重Βιβλιοθήκη 性流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热 力学性质以及它们与固体的相互作用。流体力学在工程、环境、生物医学等领域 有着广泛的应用。
总能量方程是流体力学中描述流体总 能量变化的方程。它包括了流体的内 能、动能和势能，反映了流体在运动 过程中各种能量之间的转换和平衡。
机械能方程
描述流体机械能（动能、势能）的守恒方程。
机械能方程是流体力学中描述流体机械能守恒的方程。它反映了流体在运动过程中动能和势能之间的转换和平衡，是流体动 力学的基本方程之一。
CHAPTER
结论
流体力学能量方程的意义
描述流体运动过程中能量的转换和传递
流体力学能量方程描述了流体在运动过程中动能、势能和内能之间的转换和传递关系， 是理解和预测流体运动规律的重要工具。
指导工程设计和优化
流体力学能量方程在许多工程领域中都有广泛应用，如航空航天、船舶、能源和环境等 。通过合理设计和优化流体系统，可以降低能耗和提高效率。
环境科学的应用
环境科学涉及到许多领域，如大气科学、水 文学、生态学等。通过使用流体力学能量方 程，科学家可以更好地理解环境系统中能量 的转化和传递过程，从而更好地保护和改善 环境。
CHAPTER
案例分析
河流流动的能量方程应用
总结词
描述河流流动中能量方程的应用。
详细描述
河流流动过程中，能量方程可以帮助我们理 解水流在不同地形、高度和阻力的影响下的 变化。通过能量方程，我们可以计算出水流 的速度、水头损失以及水流的动能和势能之 间的转换。这些信息对于水利工程、水文分
流体力学伯努利方程
流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。
它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。
下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。
2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。
方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。
4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。
- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。
- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。
5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。
总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。
它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。
fluent能量方程发散
fluent能量方程发散能量方程是热力学中的一个重要概念，描述了热力学系统的能量守恒定律。
在流体力学中，涉及到能量转化和传递的过程，能量方程的形式也有所不同。
本文将详细讨论流体力学中的能量方程发散。
在流体力学中，能量方程描述了能量的输送方式以及能量变化的原因。
它是根据质量守恒和动量守恒定律推导出来的。
对于非压缩流体，能量方程的一般形式可以写成以下形式：∂E/∂t + ∇·(E+P)u=∇·(κ∇T) + ∇·κ∇T + η∇²u其中，E表示单位体积的总能量，包括内能、动能和位能等多个能量形式的和；P是压力；u是速度矢量；κ是热传导系数；T是温度；η是动力粘度系数。
这个能量方程能够描述如下的能量转换和传递过程：1.对流传热：由于流体的速度场非零，会导致能量在流动过程中的转移。
∇·(E+P)u一项表示了流体输运能量的能力。
2.热传导：当温度场存在温度梯度时，能量会由高温区域传导到低温区域。
∇·(κ∇T)一项描述了热量传导的能力。
3.粘性耗散：粘性是流体内部分子之间相互作用的结果，会导致能量的耗散。
η∇²u一项表示了粘性耗散的能力。
根据能量方程，我们可以分析流体力学中的各种现象。
以下是几个例子：1.能量传递与湍流：在湍流的过程中，能量会从较大的湍流结构传递到较小的结构，最终转化为内能或热能，而热能通过热传导输送到周围环境中。
2.能量损失：由于粘性耗散，流体中的能量会逐渐减少，这就是为什么在管道中流动的液体或气体会逐渐减速的原因。
3.界面传热：当不同温度的流体相互接触时，热量会通过界面传递。
能量方程中的热传导项描述了这种传热现象。
4.温度场的形成：能量方程中的温度项描述了温度场的演化过程。
热源或冷源的存在会改变流体的温度分布。
由于能量方程的复杂性，通常需要借助计算流体力学（CFD）方法进行数值求解。
通过数值求解能量方程，我们可以预测和分析各种流体力学问题，如流动中的温度分布、湍流现象及能量损失等。
流体力学方程
流体力学方程流体力学方程是描述流体运动的基本方程，它由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
这些方程描述了流体在空间和时间上的变化以及与周围环境的相互作用。
流体力学方程在多个领域中具有广泛的应用，包括天气预报、风洞实验、水力工程和生物学等。
一、质量守恒方程质量守恒方程又称连续性方程，它描述了流体的质量在空间和时间上的变化规律。
质量守恒方程可以用以下形式表示：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)是速度矢量的散度。
质量守恒方程表明，流体在任意一点的质量密度的变化率等于通过该点的质量流入量与质量流出量之差。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体在外力作用下的运动规律。
根据流体力学的推导，动量守恒方程可以用以下形式表示：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ∇²v + ρg其中，p是流体的压力，μ是流体的动力粘度，g是重力加速度。
动量守恒方程表明，流体在任意一点的动量密度的变化率等于流体所受外力（包括压力力、粘性力和重力）的合力。
三、能量守恒方程能量守恒方程描述了流体在热力学过程中能量的转换和传递。
能量守恒方程可以用以下形式表示：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -∇·q + μ∇²v + ρv·g其中，e是流体的单位质量内能，∇·q表示热传导通量，g是重力加速度。
能量守恒方程表明，流体在任意一点的能量密度的变化率等于能量的产生与损失之差。
流体力学方程的求解是复杂的，通常需要借助数值方法进行近似求解。
数值模拟方法如有限差分法、有限元法和计算流体力学方法等被广泛应用于解决流体力学问题。
这些方法能够提供流体在不同条件下的速度、压力和温度等重要参数，为工程设计和科学研究提供可靠依据。
总结：本文介绍了流体力学方程的基本内容，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
流体力学的能量守恒方程
流体力学的能量守恒方程
流体力学的能量守恒方程是指描述流体内能量变化的数学方程。
它基于热力学第一定律，即能量守恒定律，考虑了热传导、热对流和热辐射等因素的影响，用于描述流体内部的能量转换和传递过程。
能量守恒方程可以写成一般的形式，即：
(ρE)/t + (ρE u) = -q + ρQ
其中，ρ表示流体的密度，E表示单位质量流体的内能，t表示
时间，u表示流体的速度矢量，q表示流体内部的热通量密度，Q表
示单位质量流体的热源项，即外部加热或冷却等。
这个方程描述了流体内部能量守恒的变化，即时间变化率和流体速度的散度之和等于热传导和热源项的贡献。
热传导通常由Fourier 定律描述，热对流通常由Newton定律描述，热辐射则通常由
Stefan-Boltzmann定律描述。
能量守恒方程在流体力学中具有重要的作用。
它可以用于分析流体内部的能量转换和传递过程，例如热流、温度分布等。
同时，它也可以用于优化流体系统的设计和操作，以实现能量的最大利用和节约。
- 1 -。
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学能量方程实验报告
流体力学能量方程实验报告流体力学能量方程实验报告：1.实验背景：流体力学能量方程是研究流体静力学和流体动力学的重要概念之一。
在流体力学中，能量是流体的重要属性，涉及到流体的各种物理特性和运动规律的研究。
因此，开展流体力学能量方程的实验，对于加深对流体力学理论的理解具有重要意义。
2.实验目的：本实验旨在通过对流体的能量方程的观测和测量，研究流体的能量变化与流体速度和压力的关系，并探究流体动力学中的基本特性和动态规律。
3.实验过程及结果：在实验过程中，我们通过使用流量计、压力计、热量计等工具，对流体的速度、流量、压力和温度等进行测量，并观察流体在管道中的流动特性。
通过实验的数据分析和处理，我们得到了以下一些重要的实验结果：(1) 流体的速度与压力之间存在直接的关系，速度越大，压力越小；(2) 流体的流量与管道内壁面的摩擦和管道截面积大小有关，流量越大，管道壁面的摩擦越大； (3) 流体的温度和压力也是密切相关的，流体在管道中的温度和压力在变化的过程中，能量也随之发生明显的变化。
4.实验结论：流体力学能量方程是流体力学领域中重要的基本概念之一，通过实验测量和数据分析，我们可以更加深入地了解流体的运动规律和性质，并进一步探究流体动力学中的各种特性和规律。
流体力学能量方程实验对于深化流体力学的基础理论和技术应用具有重要的推动作用，有助于进一步提高流体力学研究的水平和实验能力。
5.实验误差及改进措施：在实验中，由于流体本身的特性和实验条件的限制，可能会导致一些误差和不确定性。
例如，在测量流体速度和压力时可能存在实验仪器的误差以及管道内流体的湍流现象等。
为了减小这些误差，我们可以使用更高精度的仪器、采用稳定实验环境、增加实验次数和平均值方法等措施来提高实验结果的可靠性和精度。
6.实验启示：本实验不仅深化了我们对流体力学能量方程的理解和认识，还使我们掌握了一定的实验技能和科学实验方法。
此外，实验还启示我们在学习和研究各种科学理论和技术的过程中，应注重理论与实践相结合，采用全面、严谨的科学实验方法，加强团队合作和交流学习，共同推进科学研究和学术进步。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学第5章
对空气，T0=52℃，k=1.4，R=287J/kg，
v=200m/s,则 T=32.1℃,T-T0≈20℃
可见必须予以修正
四、临界参数
v=a的状态参数：
p pc , c ,T Tc , a ac
则：
k
pc 2 k1 , p0 k 1
对空气k=1.4,则
pc 0.528 p0
另外： Tc
l D
V
2
2
（即达西公式）。
四、一般等径管流
其结果介于绝热和等温之间。应采用数值递推解法。
传热方程: (k为管壁综合传热系数)
q 4k Dl T T D2 l
4k
D
T
T
4k RT pD
T
T
能量方程： q cp T2 T1V V2 V1
2
动量方程：R T2
T1
RT
⑶ 存在最大管长lmax
lmax
D
1
k
M12
1 ln
k
M12
沿程流速v2：
RT V12
1
V12 V22
ห้องสมุดไป่ตู้
l
D
2 ln
V2 V1
沿程压力p2：
p12
p22
p12V12 RT
l
D
2ln
p1 p2
体积流量：
Q A
p12 p22
RT1
l
D
2 ln
p1 p2
对小压差流动：p1p2，
则：
p
p1
p2
习题：
5-34 5-35 5-37
kl
D
k
p1
1
k
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体力学 第四章 能量方程
例题
• 求喷嘴对管子的作用力。忽略摩擦，油的相对密度
为0.85，已知截面1的计示压强为 Pe1=7×105 Pa ，d1=10cm，d2=4cm。
d1
d2
3.11黏性流体总流的伯努利方程
v2 p v2 p v u gz dA v u gz dA 0 2 2 A2 A1
质量力作功
表面力作功
d v2 u dV fv dV pn v dA Q 2 dt V CV CS
v v u 2 dV vn u 2 dA t CV CS fv dV pn v dA Q
d v2 v2 v2 u 2 dV t u 2 dV vn u 2 dA dt V CV CS
f v dV
CV
pn v dA
cs
Q
系统交换热量
CS CS CS
为0
管道流动 定常流动
v2 v2 p u gz dV vn u gz dA 0 t 2 2 CV CS
v2 p vn u gz dA 0 2 CS
例题
• 输油管道中安装一个收缩段以便测量流量Q
，管径d1=260mm，收缩到d2=180mm ，使用如图所示的缸套、活塞装置，活塞 直径D=300mm，油的密度为850kg/m3 ，如果固定活塞所要的力F=75N，求管中 油的体积流量Q。
例题
• 矿山排风管将井下废气排入大气，为了测量排风的
流量，在排风出口处装有一个收缩、扩张的管嘴， 其喉部处安装一个细管。下端插入水中。喉部流速 大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度 为1.25kg/m3，管径d1=400mm，d2=600mm ，水柱高h=45mm，求体积流量Q。
流动控制方程
流动控制方程
流动控制方程是描述流体在流动过程中的动量守恒、质量守恒和能量守恒的方程。
在流体力学中，流动控制方程通常包括连续性方程、动量方程和能量方程。
1. 连续性方程：描述了流体的质量守恒，即单位时间内通过某一截面的质量流量等于流过该截面的质量的减少率。
连续性方程可以用以下形式表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量。
2. 动量方程：描述了流体的动量守恒，即单位时间内通过某一截面的动量流量等于流过该截面的动量的减少率。
动量方程可以用以下形式表示：
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + μ∇^2v + ρg
其中，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，
μ为动力粘度，g为重力加速度。
3. 能量方程：描述了流体的能量守恒，即单位时间内通过某一截面的能量流量等于流过该截面的能量的减少率。
能量方程可以用以下形式表示：
∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + ρg·v
其中，E为单位质量的总能量，T为流体的温度，k为热导率，ρ为流体的密度，t为时间，v为速度矢量，p为压力，g为重
力加速度。
这些方程是流体力学的基本方程，用于研究流体在不同条件下
的运动和变化。
根据具体情况和问题，可能会对流动控制方程进行简化或添加适当的辅助方程。
流体力学的三大定律
流体力学的三大定律
1、连续性方程。
连续性方程是质量守恒定律（见质量）在流体力学中的具体表述形式。
它的前提是对流体采用连续介质模型，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。
2、能量方程。
能量方程是分析计算热量传递过程的基本方程之一，通常表述为：流体微元的内能增量等于通过热传导进入微元体的热量、微元体中产生的热量及周围流体对微元体所作功之和。
3、动量方程。
动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用。
流体力学能量方程推导
流体力学能量方程推导
流体力学中的能量方程描述了流体在运动过程中能量的变化情况，它可以用来研究流体的流动特性和流动过程中的能量转化。
下面是能量方程的推导过程：
首先，考虑一个流体微元的能量，它由动能和内能两部分组成：
E = 1
mv2 + u
2
其中，m为流体微元的质量，v为其速度，u为其内能。
对上述式子求微分，可以得到：
mv2 d + vdm
dE = 1
2
其中，第二项vdm表示了流体微元的质量变化对其能量的影响，由于流体微元的质量变化非常小，因此可以近似为：vdm≈0
这样，就得到了：
mv2 d
dE = 1
2
接下来，考虑流体微元的动能和内能的转化过程。
由于流体是不可压缩的，因此可以认为流体微元的质量是恒定的。
根据热力学第一定律，可以得到：
dU = dQ - dW
其中，U为流体微元的内能，dQ为流体微元吸收的热量，dW为流体微元做的功。
对于不可压缩流体，可以认为
流体微元做的功为零，因此有：
dU = dQ
将上述式子代入dE的式子中，可以得到：
mv2 d + dQ
dE = 1
2
最后，将上述式子中的dQ替换为dU，得到：
其中，第一项表示了流体速度的变化对其能量的影响，第二项表示了流体在空间中的流动对其能量的影响，第三项表示了流体在时间上的变化对其能量的影响。
这就是著名的流体力学能量方程。
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p2v2
p1v1)
n
n
1
R(T2
T1)
n
n
1
RT1
(
p2 p1
)
n1 n
1
至此，可以利用上式说明，得
压
多压
C22
2
C12
损
上式表明，压缩器对1千克气体所作的功，一 部分用来提高气体的压力，另一部分用来增加 气体的功能，还有一部分消耗于损失。
dp
损
对于无粘不可压流体(即理想不可压流体)， 常数，并沿流管积分得
dp CdC
p 1 C2 p
2
或
p 1 C2 p
2
上式为理想不可压流体的伯努利方程，或称低
速能量方程。其中 p 为静压；1 C2 为动压，记为
2
q；p 称为总压(或全压)。
（二）求轮缘功
在涡轮中，气体对工作叶轮作功，机械功应 取负号。故伯努利方程可写为
轮缘
p2 p1
1 dp
C22
2
C12
损
变换后得
轮缘
p2
1 dp
C
2 2
C12
p1
2
损
与讨论压缩功一样，也要弄清
p2 1dp
p1
代表什么。
对多变过程积分，并考虑到积分上下限为
要得到机械能形式表示的能量方程，就需 要把能量方程中以热能形式出现的项，用适当 的机械能形式的项来代替。热力学第一定律提 供了这种可能性。因为热力学第一定律的解析 式正是表达了热与功相互转换的数量关系。将 这一解析式应用于能量方程，便可得到伯努利 方程。下面来推导伯努利方程。
一般形式的能量方程为
q
该方程表明，理想不可压流体，沿着流管其全压
p 保持不变。当流速增大时，动压增大，静压减 少；反之亦然。
二、伯努利方程的应用
发动机工作时，压缩器对气体做功，燃气对
涡轮做功等，均可应用伯努利方程作定量分析。 另外，空速表测速原理也是伯努利方程的具体应 用。
（一）求压缩器功
在压缩器中，压缩器对气体做功，机械能前 应取正号，故有
§2—4 伯努利方程
能量方程解决了流动气体能量的转换关系 问题。但是方程中既含有机械能，又含有热能， 且不显含损失功。在实际应用中，有时只希望 讨论机械能之间的转换和求解损失功的大小问 题，这时，用能量方程就不方便了。伯努利方 程就是用机械能形式写出来的能量方程。下面 我们就来研究伯努利方程。
一、伯努利方程的推导
n( n 1
p1v1
p2v2 )
就表示1千克流动气体在多变膨胀
后所发出的功，简称多变膨胀功，以多膨 表示。
在压容图上多膨用面积 a12ba 表示(如图2—
2—8所示)。多膨也可以用压力比的形式表示
p2 p1
1 dp
n
n
1
RT1
1
(
1
p1
)
n1 n
p2
(
p2v2
p1v1)
损
C22
2
C12
(H2
H1 ) g
(u2
u)
将方程写成微分形式
dq
d
d
(
pv)
d损
d
(C2 2
)
gdH
du
由热力学第一定律知
dq du Pdv
（1） （2）
将（2）式代入（1）式并忽略位能的变化，
整理得
d
d
(C2 2
)
vdp
压
p2 p1
1 dp
C22
2
C12
损
为了了解上式的物理意义，应先弄清
p2 1dp
p1
代表什么?显然
p2 1dp
p1
的值是与过程的性质有
关的。过程不同
p和v
，的变化就不同，pp12
1
dp
的值也产不同。为使论论具有普遍性，下面以
多变过程来研究
p2 1dp 的物理意义。
p1
由于是多变过程，所以
p
n
p
1n
p
2n
p2 p1
dP
d
n
n1(RT2
RT1)
n( n 1
p2v2
p1v1)
上式也可写成
pp12
1 dp
)
(
p2v2
p1v1)
，由工程热力学知，
n
n( 1
p2v2
p1v1)这一项表示多变压缩过程中，
d损
或
d
d(v2 2
)
dp
d损
这就是微分形式的伯努利方程。
对上式积分得
C22 C12
2
p2 p1
dp
损
这就是积分形式的伯努利方程。
同能量方程一样，如果气体对外做功， 则
项前应取负号，因此伯努力方程可综合写成
C22 C12 2
p2 p1
压缩1千克静止气体所耗费的功；( p2v2 p1v1) 表示 推动1千克流动气体所耗费的推动功。二者之和
n( n 1
p2v2
p1v1)
就表示多变压缩过程中，压缩1千
克流动气体所耗费的功，简称多变压缩功，用
多压 表示。
从积分的概念得知：pp12 vdp 等于压容图上面积
a12ba 见图(2—2—7)，即多变过程曲线1—2与纵 坐标轴所包围的面积。另外，还可以看出
p2到p1 ，可得
p2 p1
1dp
n( n 1
p1v1
p2v2 )
或
p2 p1
vdp
n( n 1
p2v2
p1v1)
(
p1v1
p2v2 )
可以看出，
n( n 1
p1v1
p2v2 )
是表示多变膨胀过程
中，1千克静止气体膨胀所作的功，而 ( p1v1 p2v2)
是表示1千克流动气体所作的推动功，则
为了使上式表示的物理意义更清楚，把它改写 成为
多膨
轮缘
C22
2
C12
损
由此可见，1千克流动气体膨胀后所发出的功， 用来对涡轮工作叶轮作机械功，增大气体的动 能和消耗于损失。
（三）空速表测速原理
飞行速度是由空速管、空速表系统来测量和指 示的。空速表上的粗针指示飞行表速 ，细针指示 飞行真速，如图2—2—9所示，其原理如下。
多压
p2 p1
1dp
n( n 1
p2v2
p1v1)
(面积c12dc 面积od2bo 面积oc1aO) =面积 a12ba。
多压 常常用压力比的形式表示，将 pv RT 以及
(T2
)
(
p2
)
n1 n
代入上式得
T1
p1
多压
p2 p1
1 dp
n( n 1
空速管上有两种孔，侧壁上一排孔叫静压孔， 它感受大气静压 pH ，并通过导管与开口膜盒外 部相通；空速管前端的孔叫全压孔，用来感受总 压 p，并通过导管和空速表的开口膜盒内腔相通。
这样，膜盒内外压强就是动压q。
当飞机在海平面飞行时，膜盒内外的压强差为