伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
伯努利方程 单位
伯努利方程单位
伯努利方程是描述流体力学中流速、压力和高度之间关系的基本方程。
它可以用于分析流体在不同位置的动能、压力和势能之间的转换。
在国际单位制（SI）中，伯努利方程的单位如下：
流速：米每秒（m/s）
压力：帕斯卡（Pa）或牛顿每平方米（N/m²）
高度：米（m）
伯努利方程可以表示为：
P + 1/2ρv² + ρgh = constant
其中，P是压力，ρ是流体的密度，v是流速，g是重力加速度，h是高度。
这个方程的左侧是压力、动能和势能的总和，右侧是一个常数，表示在沿流线的任何点上这些量之间的相对关系保持不变。
请注意，伯努利方程的单位可以根据具体情况进行调整，例如使用千帕（kPa）或毫米汞柱（mmHg）等作为压力单位，使用千克每立方米（kg/m³）作为密度单位。
流体力学伯努利方程
流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。
它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。
下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。
2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。
方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。
4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。
- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。
- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。
5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。
总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。
它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。
伯努利(Bernoulli)方程
形如ndypxyqxydx01n称为伯努利方程bernoulli当n01这是线性微分方程当方程不是线性的但是可以通过变量代换可以把它化成线性的
伯努利（Bernoulli）方程
一、 定义：
形如
dy + P( x) y = Q( x) y n dx
（ n ≠ 0、） 1
称为伯努利方程（bernoulli） ，当 n=0、1，这是线性微分 方程，当 n ≠ 0、方程不是线性的，但是可以通过变量代换， 1 可以把它化成线性的。
二、 计算方法： ① 方程两边同时除以 y
n
y−n
dy + P ( x) y1− n = Q ( x) dx
1− n
② 变量代换：令 z = y
则：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz dy = (1 − n) y − n dx dx
由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程， 把 方程两边同时乘以（1-n） ：
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) dx 1− n 然后求出这个方程通解之后，以 y = z 带入方程。
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式伯努利方程是流体力学中非常重要的一个方程，用于描述沿着流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程是通过对连续性方程和动量方程的积分得到的。
在本文中，将介绍伯努利方程的三种常用形式及其应用。
首先，我们来看一般形式的伯努利方程：\[P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数}\]其中，\(P\)表示流体的静压力，\(\rho\)表示流体的密度，\(v\)表示流体的速度，\(g\)表示重力加速度，\(h\)表示流体的高度。
接下来，我们将讨论伯努利方程的三种常用形式。
1.高度形式：\[P + \rho gh = \text{常数}\]假设流体在两个不同高度的点1和点2之间流动，忽略速度对伯努利方程的影响，则可以得到高度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同高度处的压强差。
2.速度形式：\[\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\]在忽略压强差对伯努利方程的影响时，可以得到速度形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的速度差。
3.压强形式：\[P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\]在忽略重力势能对伯努利方程的影响时，可以得到压强形式的伯努利方程。
这个形式可以用于描述流体在不同位置处的压强差。
接下来，我们将简要介绍一些应用伯努利方程的情况：1.飞机的升力产生：伯努利方程可以用于解释飞机如何产生升力。
飞机的机翼上方是曲率较大的表面，而下方是曲率较小的表面。
根据伯努利方程，飞机上方的流速较大，压力较小，而下方的情况相反。
这种压力差会产生一个向上的力，即升力，使得飞机能够在空中飞行。
2.水泵和水管系统：3.喷气发动机原理：喷气发动机的工作原理也可以通过伯努利方程来解释。
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程是描述理想流体在恒定流动状态下，沿着一根流线流动过程中能量守恒的基本物理定律。
它在流体力学中具有广泛的应用，特别是对于液体和气体流动问题。
伯努利流体力学方程可以写成如下形式：
$$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$$
其中：
- P是流体的静压力，即流体在静止状态下所受的压强；
- ρ是流体的密度；
- v是流体的流速，即在流体中某一点上，每单位时间通过该点的流体体积；
- g是重力加速度；
- h是流体在该点上的高度差，相对于某一基准面；
- C是一个常数，即伯努利常数，它在整个流体的过程中保持不变。
伯努利方程从能量的角度来描述了流体在流动中的变化，它表明流体的总能量保持不变，即流体压力、动能和重力势能之和在任意一点上都保持相等，从而可以用于分析流体在不同处的流态变化。
例如，当流体贯穿缩流器或狭窄部分的管道时，流速会增加，而压力会降低，这是因为伯努利方程中流速的平方项会导致压力降低。
类似地，当流体流经扩张部分的管道时，
流速会降低，而压力会升高，这是由于伯努利方程对能量的绝对守恒要求。
伯努利方程
科技名词定义 中文名称：伯努利方程英文名称：Bernoulli’s equation 定义：反映理想流体运动中速度、 压强等参数之间关系的方程式。应用学科： 航空科技（一级学科）；飞行原理（二级学科） 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 求助编辑百科名片
伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上 任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。 目录
应用伯努利方程解决实际问题的一般方法可归纳为： 1.先选取适当的基准水平面； 2.选取两个计算截面，一个设在所求参数的截面上，另一个设在已知参数的截面上； 3.按照液体流动的方向列出伯努利方程。 编辑本段 举例
图 II.4-3 为一喷油器，已知进口和出口直径 D1=8mm，喉部直径 D2=7.4mm，进口空气压力 p1=0.5MPa，进口空气温度 T1=300K，通过喷油器的空气流量 qa=500L/min（ANR），油杯 内油的密度ρ=800kg/m。问油杯内油面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油？ 解： 由气体状态方程，知进口空气密度ρ=（p1+Patm)*M/(RT1）=（0.5+0.1）*29/（0.0083*300） kg/m=6.97kg/m 求通过喷油器的质量流量 qm=ρa*qa=(1.185*500*10^-3)/60=0.009875kg/s 求截面积 1 和截面积 2 处的平均流速： u1=qm/(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.008^2)]m/s=28.2m/s u2=qm/(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0074)]m/s=32.9m/s 由伯努利方程可得 p1-p2=0.5*ρ1(u2^2-u1^2)=0.5*6.97(32.9^2-28.2^2)pa=1200.94pa 吸油管内为静止油液，若能吸入喉部，必须满足：Байду номын сангаасp1-p2≥ρgh h≤(p1-p2)/ρg=1200.94/(800*9.8)m=0.153m 故 说明油杯内油面比喉部低 153mm 以上便不能喷油。
伯努利方程
首先我们来说静压能P=F/S=Mg/S 两边同时乘以一个体积v就可以得到PV=Mgv/S简化一下就可以得到PV=W这也就是体积功因为如果换算成每千克状态还可以简化为PM/ρ=W/M这就是第一项静压能的推倒W=P/ρ
接下来是势能同样的p=F/S=Mg/S和上面的推倒一样两边同时乘以一个体积就可以得到PV=Mgv/S也就是W=Mgz如果换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M和上面一样简化成W/M=Mgz这就是势能的推倒W=gz。
其实就是能量守恒定理但是没必要死记硬背有兴趣的话可以照我说的推倒一下包你想忘都忘不了。
因为伯努利方程就是静压能，动压能，势能和功的变化的总和等于能量的摩擦损失总和的一个推倒公式说的更简单点就是几种形式的功相加到一起。静压能+势能+动压能+功=常数。
即：P/ρ+gz+(1/2)*v^2+W=C之所以伯努利方程式这样表述是因为我们通常运用的是在一千克下的状态推倒的公式即每一项的单位都是焦耳/千克所以在具体运算中要注意单位换算！
当用于泵算扬程时各项同时除以g整理各式得P/ρg+z+(1/2g)*v^2+W/g=C通常我们令He=W/g这也就是泵的扬程!各项单位为米或者焦/牛
当用于风机算压头时各项同时乘以一个ρ得P+(1/2)*ρv^2+ρgz+W*ρ=C通常我们令Ht=W*ρ这也就是我们算风机时用的压头单位是帕。
第三项动能的推倒我想就更简单了W=(1/2)M*v^2和上面两项一样如果要换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M就简化成W/M=(1/2)M*V^2或者泵的能量。
四个能量（W）带进去一相加就是伯努利方程式了。简单吧？
伯努利方程
伯努利方程（Bernoulli equation）理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。
因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。
对于重力场中的不可压缩均质流体，方程为p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项。
P=ρgh （ρ：液体的密度1×10³Kg/m³；g：重力加速度10N/Kg h：深度4m ）F=PS （S=(d/2)²π （d：直径0.1m π：圆周率3.14）F=ρgh(d/2)²πF=1×10³×10×4×(0.1/2)²×3.14=314N追问是否需要转换成kpa单位吗？水管是最后竖起来的，最下面开一个小孔放一个产品，做防水试验。
伯努利方程解释
伯努利方程解释伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程之一，可以用来描述在压强不变的情况下，流体在不同位置的流速和液压头之间的关系。
本文将从以下几个方面详细解释伯努利方程：一、伯努利方程的含义和意义伯努利方程是流体动力学的一个基本方程，它描述了静止流体和流动流体在相同高度上的基本行为。
它规定，当不考虑流体内部摩擦力和外部束缚力时，一段流体沿流线运动时，压力、密度和速度之间存在一个定量关系。
简单来说，伯努利方程就是经过一点的总能量（包括压力能、动能、势能等）相等。
二、伯努利方程的数学表示伯努利方程的数学表达式为：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2其中，P1 和 P2 分别为两个不同位置的压力，ρ 为流体密度，v1 和 v2 分别为两个不同位置的流速，g 为重力加速度，h1 和 h2分别为两个不同位置的液压头。
三、伯努利方程的应用伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程，具有广泛的应用。
在流体力学中，它可以用来解决一些重要的问题，如管道流动、水泵设计、飞机、汽车、船舶等飞行器的设计等。
在日常生活中，我们也可以通过伯努利方程来解释一些现象，如吹笛子时口中气流变快、汽车风阻造成的能效损失以及高速列车降速等。
四、伯努利方程的限制和局限性尽管伯努利方程有着广泛的应用，但其仍然存在许多限制和局限性。
主要限制包括：流体必须是非粘性的；流体必须是稳定的（无湍流和涡流）；流体必须是不可压缩的；流体不得受到外界的作用力等。
此外，伯努利方程并不能很好地解释所有的复杂流体现象，如湍流、旋转性、粘性等。
总之，伯努利方程是流体动力学中非常重要的方程之一，它可以用来描述流体在不同位置的流速和液压头之间的关系。
通过对伯努利方程的深入理解和应用，我们可以更好地了解流体力学的基本概念和应用方法。
伯鲁利方程
伯努利方程是流体力学中描述流体在不同位置之间液压势能变化的方程，也叫做流体能量方程。
它的一般形式为：P/g + v²/2g + z = constant，其中P是流体的静压力，g 是重力加速度，v是流体的流速，z是流体的高度差，constant 是一个常数。
这个方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。
在丹尼尔·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。
这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。
伯努利方程的重要性不仅在于它描述了流体机械能守恒的原理，还在于它为解决许多实际工程问题提供了基础。
例如，在水利工程中，伯努利方程可用于预测水流速度、水头损失以及水流的稳定性等。
在航空航天领域，伯努利方程可用于研究飞行器的气动性能，例如升力、阻力以及飞行器的稳定性等。
此外，伯努利方程还可以用于环境科学领域，例如研究污染物的扩散、传播和影响，以及评估环境修复策略的有效性等。
在气象学中，伯努利方程可用于预测风速、风向以及大气压等气象条件。
然而，伯努利方程的应用并不局限于以上领域。
事实上，任何涉及到流体运动和机械能转换的场合，伯努利方程都可能发挥重要作用。
因此，对伯努利方程的理解和应用对于工程技术人员、科研人员以及相关学科的学生都具有重要的意义。
为了更好地理解和应用伯努利方程，需要对流体力学的基础知识有深入的了解，包括流体的性质、流动的基本原理、以及如何使用数学工具（例如微积分和线性代数）来解决问题。
此外，对于实际工程问题的分析，还需要具备实验设计、数据分析以及模型验证等方面的技能。
总之，伯努利方程是流体力学中一个重要的基本原理，它为我们提供了解决流体运动和机械能转换问题的有力工具。
然而，要充分理解和应用这一原理，需要深入理解流体力学的基础知识，并具备分析和解决实际问题的能力。
伯努利方程中表示
伯努利方程中表示
伯努利方程：p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；z 为铅垂高度；g为重力加速度.
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2,在沿流线运动过程中,总和保持不变,即总能量守恒.但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同.对于气体,可忽略重力,方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0),各项分别称为静压、动压和总压.显然,流动中速度增大,压强就减小；速度减小,压强就增大；速度降为零,压强就达到最大(理论上应等于总压)。
伯努利方程中各项意义如下：
1、理想流体定常流动的动力学方程。
意思为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能，动能与位势能的和保持不变。
2、方程中的符号分别表示流体的压强，密度和速度。
剩余符号表示铅垂高度和重力加速度。
同时各项分别表示流体的压力能和重力势能和动能。
3、能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现。
它是流体力学的基本规律。
在一条流线上流体质点的机械能守恒是伯努利方程的物理意义。
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2. 一阶线性非齐次方程的通解
先考虑线性齐次方程(1.35)，注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同，这里指的是在(1.34)中不含
()0f x ≡ .显然，(1.35)是一个变量可分离方程，由1.2节易知它的通解是
()p x dx
y Ce -⎰=
下面使用常数变易法再求线性非齐次方程(1.34)的解.其想法是：当C 为常数时，函数(1.36)的导数，恰等
而(1.36)为齐次 方程(1.35)的解.现在要求非齐次方程(1.34)的解，则需要该函数的导数还 要有一 项等于(f 数的公式，可将(1.36)中的常数 C 变易为 函数C (x )，即令
()()p x dx y C x e -⎰=
为方程(1.34)的解，其中C (x )待定.将(1.37)代入(1.34)，有
()()()()()()()()()p x dx p x dx p x dx
C x e p x C x e p x C x e f x ---⎰
⎰⎰'-+= 即
()()()p x dx
C x f x e ⎰
'=
积分后得
()()()p x dx
C x f x e dx C ⎰
=+⎰
把上式代入(1.37)，得
()()()()p x dx p x dx
p x dx
y Ce e f x e dx --⎰⎰
⎰
=+⎰
(1.
下证（1.38）为(1.34)的通解，且包含了(1.34)的所有解。
由通解定义知（1.38）为(1.34)的通解，设1y 为(1.34)的任一解，则易知
()()2()p x dx p x dx y e f x e dx -⎰⎰=⎰
也为(1.34)的解，则12y y -为 (1.35)的解，从而存在确定的常数C ，使得()12p x dx
y y Ce ⎰
-=，即
()12.p x dx
y y Ce ⎰
=+
在求解具体方程时，不必记忆通解公式，只要按常数变易法的步骤来求解即可.
注：1）（1）的通解有两部分组成。
2）第二部分中()p x dx e -⎰不能放到积分号里边去。
例1 求解方程
2dy y
x dx x
=+ 解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程. 先求对应齐次方程
dy y dx x
=
的通解为 y Cx = 由常数变易法，令()y C x x =为方程(1.39)的解，代入(1.39)有
2()()()C x x C x C x x '+=+
即
()C x x '=
积分得
2
1()2C x x C =
+ 代回后得原方程(1.39)的通解为
312
y Cx x =+
例2 求方程1(1)
(1)x n dy
x ny e x dx ++-=+ （n 为常数）的通解。
解 改写方程为
1(1)1x n dy n y e x dx x +=+++ （1） 先求齐线性方程
1
dy n y dx x =+的通解，分离变量求得通解为(1)n y c x =+。
令()(1)n
y c x x =+，1()(1)(1)()n n dy c x x n x c x dx
+'=+++，代入（1）得 ()x c x e '=，1()x c x e c =+。
故原方程的通解为1()(1)x n y e c x =++。
例3 求解方程
cot 2sin dy
y x x x dx
-= 解 显然这也是一个一阶线性非齐次方程. 先解对应齐次方程 cot 0dy
y x dx
-= 分离变量后再积分有
cot ln ||dy
xdx C y =+⎰⎰
即 ln ||ln |sin |ln ||y x C =+ 取指数后，得齐次通解
()dy
y f x dx
+= 的所有解均在[)0,+∞ 上有界.
证 设()y y x =为方程的任一解，它满足初始值条件00()y x y =， [)00,x ∈+∞ 于是，由公式(1.43) 00()
0()x x x s x
x y y e f s e
ds ---=+⎰ 我们只要证()f x 在[)0,x +∞ 上有界即可.设
[)|()|,0,f x M x ≤∈+∞
于是对0x x ≤<+∞ 有
00
000()()
000
()00|()||||()|||||()||(1)||x x x s x x x x x s x x
x x x y x y e f s e ds y Me e ds y Me e e y M e y M
-------≤+≤+=+-=+-≤+⎰⎰
原题得证.
二、伯努利(Bernoulli)方程
形如
()()(0,1)n dy
p x y f x y n dx
+=≠
的方程，称为伯努利方程.
伯努利方程(1.44)是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性 在(1.44)两端除以n y ，得
1()()n
n dy
y p x y f x dx
--+= 为了化成线性方程，令
1n z y -= 则
(1)n dz dy n y dx dx
-=- 代入(1.45)得
1.()()1dz
p x z f x n dx
+=- 这样，就把(1.44)化成以z 为未知函数的线性方程了. 例5 求解方程
2
22dy y x dx x y
=+。