虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试高三数学试卷及答案

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上海市虹口区达标名校2018年高考一月适应性考试数学试题含解析

上海市虹口区达标名校2018年高考一月适应性考试数学试题含解析

上海市虹口区达标名校2018年高考一月适应性考试数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A .向右平移5π6个长度单位 B .向右平移5π12个长度单位 C .向左平移5π6个长度单位D .向左平移5π12个长度单位2.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A .52B .23C .8D .833.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8,则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有( )A .14B .15C .16D .174.已知集合A ={0,1},B ={0,1,2},则满足A ∪C =B 的集合C 的个数为( ) A .4B .3C .2D .15.已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球(记为球O )的球面上,且底面ABCDEF 为正六边形,顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ,若6PA =2AB =O 的表面积为( ) A .163πB .94π C .6πD .9π6.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ;最后再根据统计数a 估计π的值,那么可以估计π的值约为( ) A .4a mB .2a m+ C .2a mm+ D .42a mm+ 7.函数()2xx e f x x=的图像大致为( )A .B .C .D .8.已知a ,b ,c 分别是ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos 3sin a C c A b c +=+,则A =( )A .6πB .4π C .3π D .23π 9.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π,0),其相邻一条对称轴方程为712x π=,该对称轴处所对应的函数值为1-,为了得到()cos2g x x =的图象,则只要将()f x 的图象( ) A .向右平移6π个单位长度 B .向左平移12π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度10.“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件11.已知命题p :,x R ∃∈使1sin 2x x <成立. 则p ⌝为( ) A .,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B .,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C .,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D .,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 12.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为 ( )A .4πB .16πC .36πD .643π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

上海市虹口区达标名校2018年高考一月大联考数学试卷含解析

上海市虹口区达标名校2018年高考一月大联考数学试卷含解析

上海市虹口区达标名校2018年高考一月大联考数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设,a b 为非零向量,则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.若实数x ,y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,目标函数2z x y =-,则z 的最大值为( )A .52B .1C .2D .03.从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且||5PM =,设抛物线的焦点为F ,则直线MF 的斜率为( ) A .2-B .2C .43-D .434.若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于( )A .4B .5C .6D .75.一辆邮车从A 地往B 地运送邮件,沿途共有n 地,依次记为1A ,2A ,…n A (1A 为A 地,n A 为B 地).从1A 地出发时,装上发往后面1n -地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件,同时装上该地发往后面各地的邮件各1件,记该邮车到达1A ,2A ,…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =….则k a 的表达式为( ).A .(1)k n k -+B .(1)k n k --C .()n n k -D .()k n k -6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ,抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0),若e p =,则双曲线C 的渐近线方程为()A .y =B .y=±C .2y x =±D .2y x =±7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->,()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的一条对称轴是( )A .12x π=-B .12x π=C .3x π=-D .3x π=8.设a ,b 都是不等于1的正数,则“22a b log log <”是“222a b >>”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件9.已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位) ,则z 的虚部为( ) A .2B .2iC .4D .4i10.已知定点,A B 都在平面α内,定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点,且PC AC ⊥,那么动点C 在平面α内的轨迹是( ) A .圆,但要去掉两个点 B .椭圆,但要去掉两个点 C .双曲线,但要去掉两个点 D .抛物线,但要去掉两个点11.已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-(其中e 为自然对数的底数)有两个零点,则实数a 的取值范围是( )A .21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B .21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C .21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列,要得到函数()cos g x A x ω=的图象,只需将()f x 的图象( )A .向左平移12π个单位 B .向右平移4π个单位 C .向左平移4π个单位 D .向右平移34π个单位 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

高三数学-2018年虹口区数学学科高考练习题 精品

高三数学-2018年虹口区数学学科高考练习题 精品

2018年虹口区数学学科高考练习题一、填空题 (每小题4分,满分48分) 1. 函数y =118x (x ∈R)的反函数是__________。

2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x f 3cos 46sin 2)(ππ的最大值是__________。

3. 等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=6,a 28+a 29+a 30=15,则此数列前30项和S 30=__________。

4. 若复数z 满足i z z )1(31+=-,则|z |=__________。

5. 正三棱锥底面边长为32,高为1,则它的侧棱长=__________。

6. 向量a 、b 满足9)32()(-=-⋅+b a b a 1=2=,则a 与b 夹角的余弦值=__________。

7. 函数y =x 2-2ax +8在区间[5,6]上存在反函数的一个充分且必要的条件是__________。

(填实数a 的取值范围)8. 椭圆15922=+y x 的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P =__________。

9. P 是圆x 2+y 2=4上的动点,则点P 到直线023=--y x 距离的最小值是__________。

10. (理科) 直线 y =x +1,与曲线⎩⎨⎧==t y tx 2cos sin (t 为参数)的交点坐标是__________。

(文科) 长方体表面积为32 cm 2,所有棱总长为28 cm ,则它的对角线长为__________cm 。

11. 任意掷三只骰子,三个朝上的点数能组成一个公差不为零的等差数列的概率=__________。

12. 对于定义在D 上的函数y =f (x ),如同时满足①f (x )在D 内单调;②存在区间[a ,b ]⊆D ,使得f (x )在[a ,b ]上的值域为[a ,b ],则函数y =f (x ) (x ∈D)称闭函数。

上海市虹口区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

上海市虹口区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

(第11题图)虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3.设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若,则()U A B =I ð_______. 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1,则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7.二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________.8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-(i 为虚数单位),则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列,若从这7个数中任取2个,则它们的和为正数的概率为__________.11.如图,已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形,若点P 是边AC (包含端点,A C )上的动点,点Q 在弧»BC 上,且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点,则实数k 的取值范围为________.二、选择题(本大题共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5分,否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 ( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件14.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是 ( )(第17题图)(A )若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β(B )若αβ与不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β (C )若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=, 则l γ⊥ (D )若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15.已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点,则实数a 的取值范围为 ( )(A )(0,)+∞ (B )(,0)(0,1)-∞⋃ (C )1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ (D )(,0)(0,2)-∞⋃16.已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点,点F 为抛物线C 的 焦点,点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中,若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠,则μ的最大值为()(A(B(C(D 三、解答题(本大题共5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分) 本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分. 在如图所示的圆锥中,底面直径与母线长均为4, 点C 是底面直径AB 所对弧的中点,点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的侧面积与体积;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域;(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立,求实数t 的取值范围.19.(本题满分14分) 本题共2小题,每小题7分.(第19题图)某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经过调研、规划确定,棚改规划用地区域近似为圆面,该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地,测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====,(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积; (2)因地理条件限制,边界,AD DC 不能变更,而 边界,AB BC 可以调整,为了增加棚户区建筑用地的面积,请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地(四边形APCD )的面积最大,并求出这 个面积最大值.20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点, 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时,求线段FP 的中点M 的轨迹方程;(2) 如图1,点R 的坐标为(2,0),若点S 是点P 关于x 轴的对称点,求证:点,,Q S R 共线;(3) 如图2,点T 是直线:2l x =上的任意一点,设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证:,,PT FT QT k k k 成等差数列;21.(本题满分18分) 本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于.m (1)试求12,a a 的值;(第20题图1)(第20题图2)(第17题图)(2)求证:“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”;(3)若2018A S =, 求证:n 的最小值为11;并求n 取最小值时,n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题(本大题满分54分)本大题共12题,第1-6题,每空填对得4分;第7-12题,每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1.5 2.()1,23. {}1,2 4.8 5.43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10.4711.2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题(本大题共5题,满分76分)17.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分.解:(1)由已知,得圆锥的底面半径为2OA =,高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 (2)以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为(0,2,0)A -,(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故cos ,AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r uu u r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分. 解:(1)由()f x 是R 上的奇函数,知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得(第19题图)此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数;因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分(2)解法1:由(1)知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因,则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立, …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此,实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 (2)解法2:由(1)知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时,()0.f x >于是不等式()33xt f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因,则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知,max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知,实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19.(本题满分14分) 本题共2小题,每小题7分.解:(1)设,AC x =则由余弦定理,得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形,得180,B D ∠+∠=︒故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒, ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答:AC (km ),原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分(2)解法1:由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大,必须使APC ∆的面积最大,即点P 到AC 的距离最大,从而点P 在弦AC 的垂直平分线上,即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形,2()AC = (12)分因此,棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==即当APC ∆为等边三角形时,新建筑用地APCD 2).k m ……14分(2)解法2:由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中,由余弦定理,有222227=2cos ),APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此,棚户区改造后的新建筑用地APCD 面积的最大值为4424ADC S ∆+=+=即当APC ∆为等边三角形时,新建筑用地APCD 2).k m (14)20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分.解:(1)易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点,得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是,由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上,得 22(21)(2)12x y -+=,即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证:(2)当过点F 的直线与x 轴重合时,点P 与S 重合,点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点,显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时,设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=,显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =,因此点,,Q S R 共线. (10)(第20题图1)(第20题图2)证:(3)由T是直线:2l x=上的点,可设其坐标为(2,).t当过点F的直线与x轴重合时,有(P Q从而+2,,21PT QT FTtk k t k t====-故2.PT QT FSk k k+= (12)分当过点F的直线与x轴不重合时,其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且有11221122,,,212121PT QT FTy t y t y t y t tk k k tx my x my----======-----由(2)知12122221,,22my y y ym m+=-=-++于是121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()2 11(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QTFTy t y t y t my y t my my y t m y y t k kmy my my my m y y m y ym m t mt t mm m t km m mm m----+---+++ +=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FSk k k+=综合上述,得,,PT FT QTk k k成等差数列.……16分21. (本题满分18分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.解:(1)由条件,知A1S,1.A≤∈必有又12na a a<<<L均为正整数,故1=1.a……2分由条件,知A2S,≤故由AS的定义及12na a a<<<L均为正整数,2,A∈必有于是2=2.a……4分证:(2)必要性由“123,,,,na a a aL成等差数列”及12=1,=2a a得=(1,2,,).ia i i n=L此时{}1,2,3,,1,A n n=-L,满足题设条件;从而12112(1).2A nS a a a n n n=+++=+++=+L L……7分充分性 由条件知12n a a a <<<L ,且它们均为正整数,可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ,故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时,上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ,从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”. ……10分证:(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =,,,,,,的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数:1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时,n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =,n 取最小值11时,设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上,若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时,其无法用A 的非空子集的元素之和表示,与题意矛盾!于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时,用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =,,,,的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3,…,2017,2018中的每一个数.因此,当2018A S =时,n 的最小值为11,n a 的最大值为1009. ……18分。

虹口区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

虹口区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

虹口区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1. 在△ABC 中,若2cosCsinA=sinB ,则△ABC 的形状是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形2. 如果点P (sin θcos θ,2cos θ)位于第二象限,那么角θ所在象限是()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3. 给出下列命题:①在区间(0,+∞)上,函数y=x ﹣1,y=,y=(x ﹣1)2,y=x 3中有三个是增函数;②若log m 3<log n 3<0,则0<n <m <1;③若函数f (x )是奇函数,则f (x ﹣1)的图象关于点A (1,0)对称;④若函数f (x )=3x ﹣2x ﹣3,则方程f (x )=0有2个实数根.其中假命题的个数为( )A .1B .2C .3D .44. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为()A .B .(4+π)C .D .5. 如图,程序框图的运算结果为()班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A .6B .24C .20D .1206. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[]B[]C[]D[]7. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( )A .y=sinxB .y=1g2xC .y=lnxD .y=﹣x 3【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据正弦函数的单调性,对数的运算,一次函数的单调性,对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.8. 已知函数满足,且,分别是上的偶函数和奇函数,()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立,则实数的取值范围是( )(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A .B .C .D .(,-∞(,-∞(0,)+∞9. ,分别为双曲线(,)的左、右焦点,点在双曲线上,满足,1F 2F 22221x y a b-=a 0b >P 120PF PF ⋅=u u u r u u u u r若,则该双曲线的离心率为( )12PF F ∆C. D. 1+1+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查基本运算能力及推理能力.10.已知α是三角形的一个内角,且,则这个三角形是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .不等腰的直角三角形D .等腰直角三角形11.已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={3,4,5},集合N={1,3,6},则集合{2,7,8}是()A .M ∪NB .M ∩NC .∁I M ∪∁I ND .∁I M ∩∁I N12.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是()A .﹣3B .﹣C .D .2二、填空题13.在中,已知角的对边分别为,且,则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为.14.已知函数f (x )=,g (x )=lnx ,则函数y=f (x )﹣g (x )的零点个数为 .15.已知函数y=f (x ),x ∈I ,若存在x 0∈I ,使得f (x 0)=x 0,则称x 0为函数y=f (x )的不动点;若存在x 0∈I ,使得f (f (x 0))=x 0,则称x 0为函数y=f (x )的稳定点.则下列结论中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)①﹣,1是函数g (x )=2x 2﹣1有两个不动点;②若x 0为函数y=f (x )的不动点,则x 0必为函数y=f (x )的稳定点;③若x 0为函数y=f (x )的稳定点,则x 0必为函数y=f (x )的不动点;④函数g (x )=2x 2﹣1共有三个稳定点;⑤若函数y=f (x )在定义域I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同. 16.已知f (x ),g (x )都是定义在R 上的函数,g (x )≠0,f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x ),且f (x )=a x g (x )(a >0且a ≠1),+=.若数列{}的前n 项和大于62,则n 的最小值为 .17.已知集合M={x||x|≤2,x ∈R},N={x ∈R|(x ﹣3)lnx 2=0},那么M ∩N= .18.在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等}{n a 20161-=a n n S 2810810=-S S 2016S 于.【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度.n 三、解答题19.双曲线C :x 2﹣y 2=2右支上的弦AB 过右焦点F .(1)求弦AB 的中点M 的轨迹方程(2)是否存在以AB 为直径的圆过原点O ?若存在,求出直线AB 的斜率K 的值.若不存在,则说明理由.20.(本小题满分12分)已知函数().()2ln f x ax bx x =+-,a b ∈R (1)当时,求函数在上的最大值和最小值;1,3a b =-=()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)当时,是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求0a =b (]0,e x ∈e ()f x 出的值;若不存在,说明理由;b 21.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛,(1)男、女同学各2名,有多少种不同选法?(2)男、女同学分别至少有1名,且男同学甲与女同学乙不能同时选出,有多少种不同选法?22.如图所示,在边长为的正方形ABCD 中,以A 为圆心画一个扇形,以O 为圆心画一个圆,M ,N ,K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.23.(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,.1111ABCD A B C D -60,,BAD AB BD BC CD ∠===o(1)求证:平面平面;11ACC A ⊥1A BD (2)若,,求三棱锥的体积.BC CD ⊥12AB AA ==11B A BD -24.(本小题满分12分)已知函数.1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R (1)时,求函数的单调区间;当2m >()f x (2)设,不等式对任意的恒成立,求实数的[],1,3t s ∈|()()|(ln 3)(2)2ln 3f t f s a m -<+--()4,6m ∈a 取值范围.【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.ABCDA 1C 1B 1D 1虹口区高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(参考答案)一、选择题题号12345678910答案D D A D B B B B D A题号1112答案D B二、填空题π13.414.315. ①②⑤ 16. 1 .17. {1,﹣1} .-18.2016三、解答题19.20.21.22.23.24.。

届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案

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届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案高考备考数学,多做高考数学模拟试卷是必须的,只有多做高考数学模拟试卷才能在高考中取得理想的,以下是店铺为你整理的2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷,希望能帮到你。

2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷题目一、填空题(1~6题每小题4分,7~12题每小题5分,本大题满分54分)1、集合,,则 .2、复数所对应的点在复平面内位于第象限.3、已知首项为1公差为2的等差数列,其前项和为,则 .4、若方程组无解,则实数 .5、若的二项展开式中,含项的系数为,则实数 .6、已知双曲线 ,它的渐近线方程是 ,则的值为 .7、在中,三边长分别为,,,则 ___________.8、在平面直角坐标系中,已知点,对于任意不全为零的实数、,直线,若点到直线的距离为,则的取值范围是 .9、函数,如果方程有四个不同的实数解、、、,则 .10、三条侧棱两两垂直的正三棱锥,其俯视图如图所示,主视图的边界是底边长为2的等腰三角形,则主视图的面积等于 .11、在直角中,,,,是内一点,且,若,则的最大值 .12、无穷数列的前项和为,若对任意的正整数都有,则的可能取值最多有个.二、选择题(每小题5分,满分20分)13、已知,,都是实数,则“ ,,成等比数列”是“ 的( )充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件14、、是空间两条直线,是平面,以下结论正确的是( ).如果∥ ,∥ ,则一定有∥ . 如果,,则一定有 .如果,,则一定有∥ . 如果,∥ ,则一定有 .15、已知函数,、、,且,,,则的值( )一定等于零. 一定大于零. 一定小于零. 正负都有可能.16、已知点与点在直线的两侧,给出以下结论:① ;②当时,有最小值,无最大值;③ ;④当且时,的取值范围是 .正确的个数是( )1 2 3 4三、解答题(本大题满分76分)17、(本题满分14分.第(1)小题7分,第(2)小题7分.)如图是直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且,直三棱柱的高等于4,线段的中点为,线段的'中点为,线段的中点为 .(1)求异面直线、所成角的大小;(2)求三棱锥的体积.18、(本题满分14分.第(1)小题7分,第(2)小题7分.)已知定义在上的函数是奇函数,且当时, .(1)求在区间上的解析式;(2)当实数为何值时,的方程在有解.19、(本题满分14分.第(1)小题6分,第(2)小题8分.)已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列,是它的前项和,满足 .(1)求数列的通项公式;(2)设且,求数列的前项和的最值.20、(本题满分16分.第(1)小题3分,第(2)小题5分,第(3)小题8分.)已知椭圆,定义椭圆上的点的“伴随点”为 .(1)求椭圆上的点的“伴随点” 的轨迹方程;(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为,对于椭圆上的任意点及它的“伴随点” ,求的取值范围;(3)当,时,直线交椭圆于,两点,若点,的“伴随点”分别是,,且以为直径的圆经过坐标原点,求的面积.21、(本题满分18分.第(1)小题3分,第(2)小题6分,第(3)小题9分.)对于定义域为的函数,部分与的对应关系如下表:1 2 3 4 50 22 00 2(1)求 ;(2)数列满足,且对任意,点都在函数的图像上,求 ;(3)若,其中,,,,求此函数的解析式,并求 ( ).2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷答案一、填空题(1~6题每小题4分,7~12题每小题5分,本大题满分54分)1、 ;2、四;3、 ;4、 ;5、1;6、2 ;7、 ; 8、 ; 9、4; 10、 ; 11、 ; 12、91;二、选择题(每小题5分,满分20分)13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 ;三、解答题(本大题满分76分)17、(14分)解:(1)以A为坐标原点,、、分别为轴和轴建立直角坐标系.依题意有 (2,2,4), (0,0,0), (2,2,0), (0,4,2)所以.……………………3分设异面直线、所成角为角,所以,所以异面直线、所成角的大小为…………7分(2) 线段的中点为,线段的中点为,由,高,得,,………………3分由为线段的中点,且 , ,由面 , ,得面 ,三棱锥的体积为体积单位.……………………7分18、(14分)解:(1)设,则,是奇函数,则有…………4分………………7分(2)设,令,则,而 .,得,从而,在的取值范围是.…………………………11分又设,则,由此函数是奇函数得,,从而.………………13分综上所述,的值域为,所以的取值范围是.…………14分19、(14分)解:(1) ,,.……2分整理得,解得或 (舍去).………………4分.………………6分(2) .………………8分1)当时,有数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递增的等差数列.由,得 .所以 . 的没有最大值.………11分2)当时,有,数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的递减的等差数列.,得, . 的没有最小值.…………14分20、(16分)解:(1)解.设 ( )由题意则,又,从而得……………………3分(2)由,得 .又,得.…………5分点在椭圆上,,,且,,由于,的取值范围是……8分(3) 设 ,则 ;1)当直线的斜率存在时,设方程为 , 由得 ; 有① ……10分由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ;整理得: ②将①式代入②式得: ,………………………… 12分又点到直线的距离所以……………………14分2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得;代入得,解得,从而, 综上: 的面积是定值, ……………………16分21、(18分)解:(1) ……………………3分(2),周期为4 , 所以= .……………………9分(3)由题意得由又而…………11分从而有…………………………13分此函数的最小正周期为6,…………14分1)当时..……………………16分2)当时..………………18分【2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案】。

虹口区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

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虹口区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有()A .90种B .180种C .270种D .540种2. 如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A .1﹣B .﹣C .D .3. 有以下四个命题:①若=,则x=y .②若lgx 有意义,则x >0.③若x=y ,则=.④若x >y ,则 x 2<y 2.则是真命题的序号为( )A .①②B .①③C .②③D .③④4. 满足集合M ⊆{1,2,3,4},且M ∩{1,2,4}={1,4}的集合M 的个数为()A .1B .2C .3D .45. 已知点P (x ,y )的坐标满足条件,(k 为常数),若z=3x+y 的最大值为8,则k 的值为()A .B .C .﹣6D .66. 已知,,(,2)k =-c ,若,则( )(2,1)a =-r (,3)b k =-r (1,2)c =r (2)a b c -⊥r r r ||b =rA .B .C .D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力.7. 下列命题中错误的是()A .圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B .圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________C .圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D .圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形8. 定义在[1,+∞)上的函数f (x )满足:①当2≤x ≤4时,f (x )=1﹣|x ﹣3|;②f (2x )=cf (x )(c 为正常数),若函数的所有极大值点都落在同一直线上,则常数c 的值是( )A .1B .±2C .或3D .1或29. 已知角α的终边上有一点P (1,3),则的值为()A .﹣B .﹣C .﹣D .﹣410.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f (x )=()A .e x+1B .e x ﹣1C .e ﹣x+1D .e ﹣x ﹣111.已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量X (单位:mm )对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如表所示:降水量X X <100100≤X <200200≤X <300X ≥300工期延误天数Y051530概率P 0.40.20.10.3在降水量X 至少是100的条件下,工期延误不超过15天的概率为()A .0.1B .0.3C .0.42D .0.512.(+)2n (n ∈N *)展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为()A .120B .210C .252D .45二、填空题13.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887….人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”.若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n },在数列{b n }中第2016项的值是 . 14.已知函数f (x )=,若f (f (0))=4a ,则实数a= .15.已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则.1163222=-py x px y 22==p 16.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料,且三个房间的颜色各不相同.三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:那么在所有不同的粉刷方案中,最低的涂料总费用是 _______元.17.与圆22:240C x y x y +-+=外切于原点,且半径为25的圆的标准方程为18.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的X 的值为2,则输出的结果是 .三、解答题19.已知函数f (x )=|2x+1|+|2x ﹣3|.(Ⅰ)求不等式f (x )≤6的解集;(Ⅱ)若关于x 的不等式f (x )﹣log 2(a 2﹣3a )>2恒成立,求实数a 的取值范围. 20.已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B=,DC=2AB=2BC=2,以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体(Ⅰ)求几何体的表面积(Ⅱ)判断在圆A 上是否存在点M ,使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°,且∠CAM 为锐角若存在,请求出CM 的弦长,若不存在,请说明理由.0,1n =()s n n=+⋅1n n +3?>输出s21.设函数f(x)=|x﹣a|﹣2|x﹣1|.(Ⅰ)当a=3时,解不等式f(x)≥1;(Ⅱ)若f(x)﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为C1:为参数),曲线C2:=1.(Ⅰ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)射线θ=(ρ≥0)与C1的异于极点的交点为A,与C2的交点为B,求|AB|.23.已知y=f(x)的定义域为[1,4],f(1)=2,f(2)=3.当x∈[1,2]时,f(x)的图象为线段;当x∈[2,4]时,f(x)的图象为二次函数图象的一部分,且顶点为(3,1).(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的值域.24.如图,已知椭圆C:+y2=1,点B坐标为(0,﹣1),过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A,且线段AB的中点E在直线y=x上(Ⅰ)求直线AB的方程(Ⅱ)若点P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交直线y=x于点M,N,证明:OM•ON 为定值.虹口区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(参考答案)一、选择题1.【答案】D【解析】解:三所学校依次选医生、护士,不同的分配方法共有:C31C62C21C42=540种.故选D.2.【答案】A【解析】解:设扇形的半径为r,则扇形OAB的面积为,连接OC,把下面的阴影部分平均分成了2部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴影部分的面积为:﹣,∴此点取自阴影部分的概率是.故选A.3.【答案】A【解析】解:①若=,则,则x=y,即①对;②若lgx有意义,则x>0,即②对;③若x=y>0,则=,若x=y<0,则不成立,即③错;④若x>y>0,则x2>y2,即④错.故真命题的序号为①②故选:A.4.【答案】B【解析】解:∵M∩{1,2,4}={1,4},∴1,4是M中的元素,2不是M中的元素.∵M⊆{1,2,3,4},∴M={1,4}或M={1,3,4}.故选:B.5.【答案】B【解析】解:画出x,y满足的可行域如下图:z=3x+y的最大值为8,由,解得y=0,x=,(,0)代入2x+y+k=0,∴k=﹣,故选B.【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去x,y后,即可求出参数的值.6.【答案】A【解析】7.【答案】B【解析】解:对于A,设圆柱的底面半径为r,高为h,设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a,则截面面积S=ah≤2rh.∴当a=2r时截面面积最大,即轴截面面积最大,故A正确.对于B,设圆锥SO的底面半径为r,高为h,过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a,则O到AB的距离为,∴截面三角形SAB的高为,∴截面面积S==≤=.故截面的最大面积为.故B错误.对于C,由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台,所得几何体仍是圆台,故截面为圆面,故C正确.对于D,由于圆锥的所有母线长都相等,轴截面的底面边长为圆锥底面的直径,故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.故选:B.【点评】本题考查了旋转体的结构特征,属于中档题.8.【答案】D【解析】解:∵当2≤x≤4时,f(x)=1﹣|x﹣3|.当1≤x<2时,2≤2x<4,则f(x)=f(2x)=(1﹣|2x﹣3|),此时当x=时,函数取极大值;当2≤x≤4时,f(x)=1﹣|x﹣3|;此时当x=3时,函数取极大值1;当4<x≤8时,2<≤4,则f(x)=cf()=c(1﹣|﹣3|),此时当x=6时,函数取极大值c.∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上,即点(,),(3,1),(6,c)共线,∴=,解得c=1或2.故选D.【点评】本题考查的知识点是三点共线,函数的极值,其中根据已知分析出分段函数f(x)的解析式,进而求出三个函数的极值点坐标,是解答本题的关键.9.【答案】A【解析】解:∵点P(1,3)在α终边上,∴tanα=3,∴====﹣.故选:A.10.【答案】D【解析】解:函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x,而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的解析式为y=e﹣(x+1)=e﹣x﹣1.即f(x)=e﹣x﹣1.故选D.11.【答案】D【解析】解:降水量X至少是100的条件下,工期延误不超过15天的概率P,设:降水量X至少是100为事件A,工期延误不超过15天的事件B,P(A)=0.6,P(AB)=0.3,P=P(B丨A)==0.5,故答案选:D.12.【答案】B【解析】【专题】二项式定理.【分析】由已知得到展开式的通项,得到第6项系数,根据二项展开式的系数性质得到n,可求常数项.【解答】解:由已知(+)2n(n∈N*)展开式中只有第6项系数为最大,所以展开式有11项,所以2n=10,即n=5,又展开式的通项为=,令5﹣=0解得k=6,所以展开式的常数项为=210;故选:B【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项;解得本题的关键是求出n,利用通项求特征项.二、填空题13.【答案】 0 .【解析】解:1,1,2,3,5,8,13,…除以4所得的余数分别为1,1,2,3,1,0,;1,1,2,3,1,0…,即新数列{b n}是周期为6的周期数列,∴b2016=b336×6=b6=0,故答案为:0.【点评】本题主要考查数列的应用,考查数列为周期数性,属于中档题.14.【答案】 2 .【解析】解:∵f (0)=2,∴f (f (0))=f (2)=4+2a=4a ,所以a=2故答案为:2. 15.【答案】4【解析】,∴.223(162p p+=4p =16.【答案】1464【解析】【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然,面积大的房间用费用低的涂料,所以房间A 用涂料1,房间B 用涂料3,房间C 用涂料2,即最低的涂料总费用是元。

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虹口区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1. 函数g (x )是偶函数,函数f (x )=g (x ﹣m ),若存在φ∈(,),使f (sin φ)=f (cos φ),则实数m 的取值范围是( )A .()B .(,]C .()D .(] 2. 己知x 0=是函数f (x )=sin (2x+φ)的一个极大值点,则f (x )的一个单调递减区间是( )A .(,)B .(,)C .(,π)D .(,π)3. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A .B .C .D .4. 已知f (x )=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ,a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0.现给出如下结论:①f (0)f (1)>0;②f (0)f (1)<0;③f (0)f (3)>0;④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是( )A .①③B .①④C .②③D .②④5. 已知命题p :“若直线a 与平面α内两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直”,命题q :“存在两个相交平面垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为()A .p ∧qB .p ∨qC .¬p ∨qD .p ∧¬q6. 执行如图所以的程序框图,如果输入a=5,那么输出n=()班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A .2B .3C .4D .57. 已知集合A={x|1≤x ≤3},B={x|0<x <a},若A ⊆B ,则实数a 的范围是()A .[3,+∞)B .(3,+∞)C .[﹣∞,3]D .[﹣∞,3)8. 将函数的图象向左平移个单位,再向上平移3个单位,得到函数的图象,)63sin(2)(π+=x x f 4π)(x g 则的解析式为( ))(x g A . B .3)43sin(2)(--=πx x g 343sin(2)(++=πx x g C .D .3123sin(2)(+-=πx x g 3)123sin(2)(--=πx x g 【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论,突出了对函数图象变换思想的理解,属于中等难度.9. 设集合()A .B .C .D .10.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A .B .C .D .144,144ππ144,36ππ36,144ππ36,36ππ11.已知向量与的夹角为60°,||=2,||=6,则2﹣在方向上的投影为()A .1B .2C .3D .412.某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动,若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为( )A .4320B .2400C .2160D .1320二、填空题13.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中①与平行;②与是异面直线;BM ED CN BE ③与成角;④与是异面直线.CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中,正确命题的序号是(写出所有你认为正确的命题).14.在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为 .15.某辆汽车每次加油都把油箱加满,如表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 升.16.设函数f(x)=若f[f(a)],则a的取值范围是 . 17.如图,函数f(x)的图象为折线AC B,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 .18.已知a,b是互异的负数,A是a,b的等差中项,G是a,b的等比中项,则A与G的大小关系为 .三、解答题19.已知函数f(x)=a﹣,(1)若a=1,求f(0)的值;(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若函数f(x)为奇函数,判断|f(ax)|与f(2)的大小.20.已知过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B两点,O为坐标原点.(1)若以AB为直径的圆经过原点O,求直线l的方程;(2)若线段AB的中垂线交x轴于点Q,求△POQ面积的取值范围.21.(本题满分12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=n(a n+1),求数列{b n}的前n项和T n.22.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m﹣1)i分别是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?23.(本小题满分12分)成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制,按男、女生比例采取分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动,在活动前,对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.(1)根据这10名同学的测试成绩,分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;(2)若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学,求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.(注:成绩大于等于75分为优良)24.设f(x)=x2﹣ax+2.当x∈,使得关于x的方程f(x)﹣tf(2a)=0有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.虹口区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:∵函数g(x)是偶函数,函数f(x)=g(x﹣m),∴函数f(x)关于x=m对称,若φ∈(,),则sinφ>cosφ,则由f(sinφ)=f(cosφ),则=m,即m==(sinφ×+cosαφ)=sin(φ+)当φ∈(,),则φ+∈(,),则<sin(φ+)<,则<m<,故选:A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质,利用辅助角公式是解决本题的关键.2.【答案】B【解析】解:∵x0=是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点,∴sin(2×+φ)=1,∴2×+φ=2kπ+,解得φ=2kπ﹣,k∈Z,不妨取φ=﹣,此时f(x)=sin(2x﹣)令2kπ+<2x﹣<2kπ+可得kπ+<x<kπ+,∴函数f(x)的单调递减区间为(kπ+,kπ+)k∈Z,结合选项可知当k=0时,函数的一个单调递减区间为(,),故选:B.【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性,数形结合是解决问题的关键,属基础题.3.【答案】A【解析】解:∵椭圆和圆为椭圆的半焦距)的中心都在原点,且它们有四个交点,∴圆的半径,由,得2c>b,再平方,4c2>b2,在椭圆中,a2=b2+c2<5c2,∴;由,得b+2c<2a,再平方,b2+4c2+4bc<4a2,∴3c2+4bc<3a2,∴4bc<3b2,∴4c<3b,∴16c2<9b2,∴16c2<9a2﹣9c2,∴9a2>25c2,∴,∴.综上所述,.故选A.4.【答案】C【解析】解:求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.∴a<1<b<3<c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc,∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9,∴b+c=6﹣a,∴bc=9﹣a(6﹣a)<,∴a2﹣4a<0,∴0<a<4,∴0<a<1<b<3<c,∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,∴f (0)f (1)<0,f (0)f (3)>0.故选:C . 5. 【答案】C【解析】解:根据线面垂直的定义知若直线a 与平面α内两条相交直线垂直,则直线a 与平面α垂直,当两条直线不相交时,结论不成立,即命题p 为假命题.垂直于同一条直线的两个平面是平行的,故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题.,即命题q 为假命题.则¬p ∨q 为真命题,其余都为假命题,故选:C .【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断,分别判断命题p ,q 的真假是解决本题的关键. 6. 【答案】B【解析】解:a=5,进入循环后各参数对应值变化如下表: p 15 20 结束q 525n 23∴结束运行的时候n=3.故选:B .【点评】本题考查了程序框图的应用,考查了条件结构和循环结构的知识点.解题的关键是理解题设中语句的意义,从中得出算法,由算法求出输出的结果.属于基础题. 7. 【答案】B【解析】解:∵集合A={x|1≤x ≤3},B={x|0<x <a},若A ⊆B ,则a >3,故选:B .【点评】本题考查了集合的包含关系,考查不等式问题,是一道基础题. 8. 【答案】B【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得,将的图象向左平移个单位得到函数的图)(x f 4π4(π+x f 象,再将的图象向上平移3个单位得到函数的图象,因此)4(π+x f 3)4(++πx f =)(x g 3)4(++πx f .3)43sin(23]6)4(31sin[2++=+++=πππx x 9. 【答案】B【解析】解:集合A 中的不等式,当x >0时,解得:x >;当x <0时,解得:x <,集合B 中的解集为x >,则A ∩B=(,+∞).故选B【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 10.【答案】D 【解析】考点:球的表面积和体积.11.【答案】A【解析】解:∵向量与的夹角为60°,||=2,||=6,∴(2﹣)•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2,∴2﹣在方向上的投影为=.故选:A .【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题,是基础题目. 12.【答案】D【解析】解:依题意,6名同学可分两组:第一组(1,1,1,3),利用间接法,有•=388,第二组(1,1,2,2),利用间接法,有(﹣)•=932根据分类计数原理,可得388+932=1320种,故选D .【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查分类讨论思想与转化思想,考查理解与运算能力,属于中档题. 二、填空题13.【答案】③④【解析】试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:①与是异面直线,所以是错误BM ED 的;②与是平行直线,所以是错误的;③从图中连接,由于几何体是正方体,所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形,所以所成的角为,所以是正确的;④与是异面直线,所以是正确的.,AN AC 60 DM BN考点:空间中直线与直线的位置关系.14.【答案】 1 .【解析】解:点P(2,)化为P.直线ρ(cosθ+sinθ)=6化为.∴点P到直线的距离d==1.故答案为:1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【答案】 8 升.【解析】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8.故答案是:8.16.【答案】 或a=1 .【解析】解:当时,.∵,由,解得:,所以;当,f(a)=2(1﹣a),∵0≤2(1﹣a)≤1,若,则,分析可得a=1.若,即,因为2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,由,得:.综上得:或a=1.故答案为:或a=1.【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容易出错,此题为中档题.17.【答案】 (﹣1,1] .【解析】解:在同一坐标系中画出函数f(x)和函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:由图可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是:(﹣1,1],.故答案为:(﹣1,1]18.【答案】 A<G .【解析】解:由题意可得A=,G=±,由基本不等式可得A≥G,当且仅当a=b取等号,由题意a,b是互异的负数,故A<G.故答案是:A<G.【点评】本题考查等差中项和等比中项,涉及基本不等式的应用,属基础题.三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)a=1时:f(0)=1﹣=;(2)∵f(x)的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1<x2则f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+=.∵y=2x在R是单调递增且x1<x2∴0<2x1<2x2,∴2x1﹣2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,∴f(x1)﹣f(x2)<0即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x),即a﹣=﹣a+,解得:a=1.∴f(ax)=f(x)又∵f(x)在R上单调递增∴x>2或x<﹣2时:|f(x)|>f(2),x=±2时:|f(x)|=f(2),﹣2<x<2时:|f(x)|<f(2).【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题.在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力.值得同学们体会和反思.20.【答案】【解析】解:(1)设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得k2x2+(4k﹣4)x+4=0,则由△=(4k﹣4)2﹣16k2=﹣32k+16>0,得k<,=,,所以y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=,因为以AB为直径的圆经过原点O,所以∠AOB=90°,即,所以,解得k=﹣,即所求直线l的方程为y=﹣.(2)设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则由(1)得,,所以线段AB的中垂线方程为,令y=0,得==,又由(1)知k<,且k≠0,得或,所以,所以=,所以△POQ 面积的取值范围为(2,+∞).【点评】本题考查直线l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围.考查抛物线标准方程,简单几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.21.【答案】解:(1)∵a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1),又∵a 1=1,∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列,∴a n +1=2n ,∴a n =﹣1+2n ; 6分(2)由(1)可知b n =n (a n +1)=n •2n =n •2n ﹣1,∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1,2T n =1•2+2•22…+(n ﹣1)•2n ﹣1+n •2n ,错位相减得:﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣(n ﹣1)•2n ,于是T n =1+(n ﹣1)•2n .则所求和为6分12nn 22.【答案】 【解析】解:(1)当m ﹣1=0,即m=1时,复数z 是实数;(2)当m ﹣1≠0,即m ≠1时,复数z 是虚数;(3)当m+1=0,且m ﹣1≠0时,即m=﹣1时,复数z 是纯虚数.【点评】本题考查复数的概念,属于基础题.23.【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取,古典概型的概率计算,是概率统计的基本题型,解答的关键是应用相关数据进行准确计算,是中档题.24.【答案】 【解析】设f(x)=x2﹣ax+2.当x∈,则t=,∴对称轴m=∈(0,],且开口向下;∴时,t取得最小值,此时x=9∴税率t的最小值为.【点评】此题是个指数函数的综合题,但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识.考查的知识全面而到位!。

上海市虹口区2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题

上海市虹口区2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题

上海市虹口区2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题(时间120分钟,满分150分)一.填空题(1~6题每小题4分,7~12题每小题5分,本大题满分54分) 1.函数()lg(2)f x x =-的定义域是 .2.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,则(1)(0)(1)f f f -++= . 3.首项和公比均为12的等比数列{}n a ,n S 是它的前n 项和,则lim n n S →∞= .4.在ABC ∆中,,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ,若::2:3:4a b c =,则cos C = . 5.已知复数(,)z a bi a b R =+∈满足1z =,则a b ⋅范围是 .6.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是 .7.已知M 、N 是三棱锥P ABC -的棱AB ,PC 的中点,记三棱锥P ABC -的体积为1V ,三棱锥N MBC-的体积为2V ,则21V V 等于________。

8.在平面直角坐标系中,双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为 .9.已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆,则ABC ∆ 的面积等于__________.10.设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点,若2MNF ∆的内切圆的面积为π,则2MNF S ∆=________。

11.在ABC ∆中,D 是BC 的中点,点列n P ()n N *∈在直线AC 上,且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+⋅,若11a =,则数列{}n a 的通项公式n a = .MCBAP12.设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅,其中,a b N ∈,x R ∈,如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同,则(,)a b 为 .二.选择题(每小题5分,满分20分)13.异面直线a 和b 所成的角为θ,则θ的范围是( ).A (0,)2π.B (0,)π .C (0,]2π.D (0,]π14.命题:“若21x =,则1x =”的逆否命题为( ).A 若1x ≠,则1x ≠或1x ≠- .B 若1x =,则1x =或1x =- .C 若1x ≠,则1x ≠且1x ≠- .D 若1x =,则1x =且1x =-15.已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩,则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++=( )..A 2017 .B 1513 .C 20172 .D 3025216.已知Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,4AB =,6AC =.在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ,满足2AM =,MN NC =,则BN 的取值范围是( ) .A ⎡⎣.B []4,6.C ⎡⎣ .D三.解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分。

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2,2]的图象大致为()A .B .C .D .2. ,则( )4213532,4,25a b c ===A .B .C .D .b a c <<a b c <<b c a <<c a b<<3. 已知定义在R 上的可导函数y=f (x )是偶函数,且满足xf ′(x )<0, =0,则满足的x 的范围为()A .(﹣∞,)∪(2,+∞)B .(,1)∪(1,2)C .(,1)∪(2,+∞)D .(0,)∪(2,+∞)4. 下列函数中,与函数的奇偶性、单调性相同的是( )()3x xe ef x --=A .B .C .D .(ln y x =2y x =tan y x =xy e=5. 函数f (x )=2x ﹣的零点个数为( )A .0B .1C .2D .36. 在正方体中,是线段的中点,若四面体的外接球体积为,1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为( )A .2B .3C .4D .5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题,意在考查空间想象能力和基本运算能力.7. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( )A .B .C .D .1323128. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()A .B .C .D .9. 已知,,(,2)k =-c ,若,则( )(2,1)a =- (,3)b k =- (1,2)c = (2)a b c -⊥ ||b =A .B .C .D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力.10.已知复数z 满足z •i=2﹣i ,i 为虚数单位,则z=( )A .﹣1﹣2iB .﹣1+2iC .1﹣2iD .1+2i11.在下面程序框图中,输入,则输出的的值是( )44N =S A .B .C .D .251253255260【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以4后按余数分类.12.已知集合(其中为虚数单位),,则( )23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+2{1}B x x =<A B =A .B .C . {1}-{1}{-D .二、填空题13. 设函数,.有下列四个命题:()xf x e =()lng x x m =+①若对任意,关于的不等式恒成立,则;[1,2]x ∈x ()()f x g x >m e <②若存在,使得不等式成立,则;0[1,2]x ∈00()()f x g x >2ln 2m e <-③若对任意及任意,不等式恒成立,则;1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >ln 22em <-④若对任意,存在,使得不等式成立,则.1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >m e <其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能力,考查分类整合思想.14.如图,函数f (x )的图象为折线 AC B ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是 .15.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=﹣1, =S n .则数列{a n }的通项公式a n = .16.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是 17.给出下列命题:①存在实数α,使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角,且α<β,则sin α<sin β其中正确命题的序号是 . 18.已知抛物线:的焦点为,点为抛物线上一点,且,双曲线:1C x y 42=F P 3||=PF 2C 12222=-by a x (,)的渐近线恰好过点,则双曲线的离心率为 .0>a 0>b P 2C【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程,双曲线的渐近线,抛物线的定义,突出了基本运算和知识交汇,难度中等.三、解答题19.已知命题p :∀x ∈[2,4],x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立,命题q :f (x )=x 2﹣ax+1在区间上是增函数.若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数a 的取值范围.20.在极坐标系内,已知曲线C 1的方程为ρ2﹣2ρ(cos θ﹣2sin θ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C 2的参数方程为(t 为参数).(Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程以及曲线C 2的普通方程;(Ⅱ)设点P 为曲线C 2上的动点,过点P 作曲线C 1的切线,求这条切线长的最小值. 21.(本题满分15分)设点是椭圆上任意一点,过点作椭圆的切线,与椭圆交于,P 14:221=+y x C P )1(14:22222>=+t ty t x C A 两点.B(1)求证:;PB PA =(2)的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.OAB ∆【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.22.(本小题满分13分)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线22:14x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点,:2l y =-,M N (1)设直线的斜率分别为,求证:为定值;,AP BP 12,k k 12k k ⋅(2)求线段的长的最小值;MN (3)当点运动时,以为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.P MN【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问题与解决问题的能力,是中档题.23.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5次预赛,成绩如下:甲:78 76 74 90 82乙:90 70 75 85 80(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.24.已知f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)已知函数g(x)=log,当x∈[,]时,不等式f(x)≥g(x)有解,求k的取值范围.虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】解:∵f (x )=y=2x 2﹣e |x|,∴f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e 2∈(0,1),故排除A ,B ; 当x ∈[0,2]时,f (x )=y=2x 2﹣e x ,∴f ′(x )=4x ﹣e x =0有解,故函数y=2x 2﹣e |x|在[0,2]不是单调的,故排除C ,故选:D 2. 【答案】A 【解析】试题分析:,由于为增函数,所以.应为为增函数,所以,故2223534,4,5a b c ===4xy =a b >23y x =c a >.b ac <<考点:比较大小.3. 【答案】D【解析】解:当x >0时,由xf ′(x )<0,得f ′(x )<0,即此时函数单调递减,∵函数f (x )是偶函数,∴不等式等价为f (||)<,即||>,即>或<﹣,解得0<x <或x >2,故x 的取值范围是(0,)∪(2,+∞)故选:D【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 4. 【答案】A 【解析】试题分析:所以函数为奇函数,且为增函数.B 为偶函数,C 定义域与不相同,D 为非()()f x f x -=-()f x 奇非偶函数,故选A.考点:函数的单调性与奇偶性.5. 【答案】C【解析】解:易知函数的定义域为{x|x ≠1},∵>0,∴函数在(﹣∞,1)和(1,+∞)上都是增函数,又<0,f (0)=1﹣(﹣2)=3>0,故函数在区间(﹣4,0)上有一零点;又f (2)=4﹣4=0,∴函数在(1,+∞)上有一零点0,综上可得函数有两个零点.故选:C .【点评】本题考查函数零点的判断.解题关键是掌握函数零点的判断方法.利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性.属于中档题. 6. 【答案】C7. 【答案】 B【解析】解析:本题考查三视图与几何体的体积的计算.如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中,∴该三棱锥的体积为,选B .1ACED 11ED =112(12)2323⨯⨯⨯⨯=8. 【答案】 A【解析】解:由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为1,高为2,∴母线长为,圆锥的表面积S=S 底面+S 侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+.故选A .【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量. 9.【答案】A【解析】10.【答案】A【解析】解:由z•i=2﹣i得,,故选A11.【答案】B12.【答案】D【解析】考点:1.复数的相关概念;2.集合的运算二、填空题13.【答案】①②④【解析】14.【答案】 (﹣1,1] .【解析】解:在同一坐标系中画出函数f(x)和函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:由图可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是:(﹣1,1],.故答案为:(﹣1,1]15.【答案】 .【解析】解:S n是数列{a n}的前n项和,且a1=﹣1,=S n,∴S n+1﹣S n=S n+1S n,∴=﹣1,=﹣1,∴{}是首项为﹣1,公差为﹣1的等差数列,∴=﹣1+(n﹣1)×(﹣1)=﹣n.∴S n =﹣,n=1时,a 1=S 1=﹣1,n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=.∴a n =.故答案为:.16.【答案】 0 【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin +…+sin 的值,由于sin周期为8,所以S=sin +sin +…+sin =0.故答案为:0.【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本知识的考查.17.【答案】 ②③ .【解析】解:①∵sin αcos α=sin2α∈[,],∵>,∴存在实数α,使错误,故①错误,②函数=cosx 是偶函数,故②正确,③当时, =cos (2×+)=cos π=﹣1是函数的最小值,则是函数的一条对称轴方程,故③正确,④当α=,β=,满足α、β是第一象限的角,且α<β,但sin α=sin β,即sin α<sin β不成立,故④错误,故答案为:②③.【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力. 18.【答案】3三、解答题19.【答案】【解析】解:∀x∈[2,4],x2﹣2x﹣2a≤0恒成立,等价于a≥x2﹣x在x∈[2,4]恒成立,而函数g(x)=x2﹣x在x∈[2,4]递增,其最大值是g(4)=4,∴a≥4,若p为真命题,则a≥4;f(x)=x2﹣ax+1在区间上是增函数,对称轴x=≤,∴a≤1,若q为真命题,则a≤1;由题意知p、q一真一假,当p真q假时,a≥4;当p假q真时,a≤1,所以a的取值范围为(﹣∞,1]∪[4,+∞).20.【答案】【解析】【专题】计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,即可得到曲线C1的直角坐标方程,再由代入法,即可化简曲线C2的参数方程为普通方程;(Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线3x+4y﹣15=0的垂线,此时切线长最小.再由点到直线的距离公式和勾股定理,即可得到最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,可化为直角坐标方程x 2+y 2﹣2x+4y+4=0,即圆(x ﹣1)2+(y+2)2=1;曲线C 2的参数方程为(t 为参数),可化为普通方程为:3x+4y ﹣15=0.(Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线3x+4y ﹣15=0的垂线,此时切线长最小.则由点到直线的距离公式可得d==4,则切线长为=.故这条切线长的最小值为.【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化,考查直线与圆相切的切线长问题,考查运算能力,属于中档题.21.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.∴点为线段中点,;…………7分P AB PB PA =(2)若直线斜率不存在,则,与椭圆方程联立可得,,AB 2:±=x AB 2C )1,2(2--±t A ,故,…………9分)1,2(2-±t B 122-=∆t S OAB 若直线斜率存在,由(1)可得AB ,,,…………11分148221+-=+k km x x 144422221+-=k t m x x 141141222212+-+=-+=k t k x x k AB点到直线的距离,…………13分O AB 2221141k k k m d ++=+=∴,综上,的面积为定值.…………15分12212-=⋅=∆t d AB S OAB OAB ∆122-t 22.【答案】【解析】(1)易知,设,则由题设可知 ,()()0,1,0,1A B -()00,P x y 00x ≠ 直线AP 的斜率,BP 的斜率,又点P 在椭圆上,所以∴0101y k x -=0201y k x +=,,从而有.(4分)20014x y +=()00x ≠200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===-23.【答案】【解析】解:(Ⅰ)用茎叶图表示如下:(Ⅱ)=,==80,=[(74﹣80)2+(76﹣80)2+(78﹣80)2+(82﹣80)2+(90﹣80)2]=32,=[(70﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(85﹣80)2+(90﹣80)2]=50,∵=,,∴在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,应该派甲去.24.【答案】【解析】解:(1)f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)为奇函数.理由:1+x>0且1﹣x>0,得定义域为(﹣1,1),(2分)又f(﹣x)=log3(1﹣x)﹣log3(1+x)=﹣f(x),则f(x)是奇函数.(2)g(x)=log=2log3,(5分)又﹣1<x<1,k>0,(6分)由f(x)≥g(x)得log3≥log3,即≥,(8分)即k2≥1﹣x2,(9分)x∈[,]时,1﹣x2最小值为,(10分)则k2≥,(11分)又k>0,则k≥,即k的取值范围是(﹣∞,].【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明,考查不等式有解的条件,注意运用对数函数的单调性,考查运算化简能力,属于中档题.。

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2,2]的图象大致为( )A .B .C .D .2. 4213532,4,25a b c ===,则( )A .b a c <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b <<3. 已知定义在R 上的可导函数y=f (x )是偶函数,且满足xf ′(x )<0, =0,则满足的x 的范围为( )A .(﹣∞,)∪(2,+∞)B .(,1)∪(1,2)C .(,1)∪(2,+∞)D .(0,)∪(2,+∞)4. 下列函数中,与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是( )A .(ln y x =B .2y x =C .tan y x =D .x y e = 5. 函数f (x )=2x ﹣的零点个数为( ) A .0B .1C .2D .36. 在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是线段11AC 的中点,若四面体M ABD -的外接球体积为36p , 则正方体棱长为( )A .2B .3C .4D .5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题,意在考查空间想象能力和基本运算能力. 7. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( )A .13 B .23C .1D .2 8. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A .B .C .D .9. 已知(2,1)a =-,(,3)b k =-,(1,2)c =(,2)k =-c ,若(2)a b c -⊥,则||b =( )A .B .C .D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识,意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力.10.已知复数z 满足z •i=2﹣i ,i 为虚数单位,则z=( ) A .﹣1﹣2i B .﹣1+2iC .1﹣2iD .1+2i11.在下面程序框图中,输入44N =,则输出的S 的值是( )A .251B .253C .255D .260【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以4后按余数分类. 12.已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+(其中为虚数单位),2{1}B x x =<,则A B =( ) A .{1}- B .{1} C .{1,}2- D .{}2二、填空题13. 设函数()xf x e =,()lng x x m =+.有下列四个命题:①若对任意[1,2]x ∈,关于x 的不等式()()f x g x >恒成立,则m e <;②若存在0[1,2]x ∈,使得不等式00()()f x g x >成立,则2ln 2m e <-;③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,则ln 22em <-; ④若对任意1[1,2]x ∈,存在2[1,2]x ∈,使得不等式12()()f x g x >成立,则m e <.其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能力,考查分类整合思想.14.如图,函数f (x )的图象为折线 AC B ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是 .15.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=﹣1, =S n .则数列{a n }的通项公式a n = .16.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是17.给出下列命题:①存在实数α,使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角,且α<β,则sin α<sin β其中正确命题的序号是 .18.已知抛物线1C :x y 42=的焦点为F ,点P 为抛物线上一点,且3||=PF ,双曲线2C :12222=-by a x(0>a ,0>b )的渐近线恰好过P 点,则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程,双曲线的渐近线,抛物线的定义,突出了基本运算和知识交汇,难度中等.三、解答题19.已知命题p :∀x ∈[2,4],x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立,命题q :f (x )=x 2﹣ax+1在区间上是增函数.若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数a 的取值范围.20.在极坐标系内,已知曲线C 1的方程为ρ2﹣2ρ(cos θ﹣2sin θ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C 2的参数方程为(t 为参数).(Ⅰ)求曲线C 1的直角坐标方程以及曲线C 2的普通方程;(Ⅱ)设点P 为曲线C 2上的动点,过点P 作曲线C 1的切线,求这条切线长的最小值.21.(本题满分15分)设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点,过点P 作椭圆的切线,与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ,B 两点.(1)求证:PB PA =;(2)OAB ∆的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.22.(本小题满分13分)如图,已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上,且异于点,A B ,直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ,(1)设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ,求证:12k k ⋅为定值; (2)求线段MN 的长的最小值;(3)当点P 运动时,以MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问题与解决问题的能力,是中档题.23.甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5次预赛,成绩如下:甲:78 76 74 90 82乙:90 70 75 85 80(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.24.已知f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x).(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)已知函数g(x)=log,当x∈[,]时,不等式f(x)≥g(x)有解,求k的取值范围.虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】解:∵f (x )=y=2x 2﹣e |x|, ∴f (﹣x )=2(﹣x )2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e 2∈(0,1),故排除A ,B ;当x ∈[0,2]时,f (x )=y=2x 2﹣e x, ∴f ′(x )=4x ﹣e x=0有解,故函数y=2x 2﹣e |x|在[0,2]不是单调的,故排除C ,故选:D2. 【答案】A 【解析】试题分析:2223534,4,5a b c ===,由于4xy =为增函数,所以a b >.应为23y x =为增函数,所以c a >,故b ac <<.考点:比较大小. 3. 【答案】D【解析】解:当x >0时,由xf ′(x )<0,得f ′(x )<0,即此时函数单调递减, ∵函数f (x )是偶函数,∴不等式等价为f (||)<,即||>,即>或<﹣,解得0<x <或x >2,故x 的取值范围是(0,)∪(2,+∞) 故选:D【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.4. 【答案】A 【解析】试题分析:()()f x f x -=-所以函数为奇函数,且为增函数.B 为偶函数,C 定义域与()f x 不相同,D 为非奇非偶函数,故选A.考点:函数的单调性与奇偶性. 5. 【答案】C【解析】解:易知函数的定义域为{x|x ≠1}, ∵>0,∴函数在(﹣∞,1)和(1,+∞)上都是增函数,又<0,f (0)=1﹣(﹣2)=3>0,故函数在区间(﹣4,0)上有一零点; 又f (2)=4﹣4=0,∴函数在(1,+∞)上有一零点0, 综上可得函数有两个零点. 故选:C .【点评】本题考查函数零点的判断.解题关键是掌握函数零点的判断方法.利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性.属于中档题.6. 【答案】C7. 【答案】 B【解析】解析:本题考查三视图与几何体的体积的计算.如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =,∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=,选B . 8. 【答案】 A【解析】解:由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为1,高为2,∴母线长为,圆锥的表面积S=S底面+S 侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+.故选A .【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量.9. 【答案】A【解析】10.【答案】A【解析】解:由z•i=2﹣i得,,故选A11.【答案】B12.【答案】D【解析】考点:1.复数的相关概念;2.集合的运算二、填空题13.【答案】①②④【解析】14.【答案】(﹣1,1].【解析】解:在同一坐标系中画出函数f(x)和函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:由图可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是:(﹣1,1],.故答案为:(﹣1,1]15.【答案】.【解析】解:S n是数列{a n}的前n项和,且a1=﹣1,=S n,∴S n+1﹣S n=S n+1S n,∴=﹣1,=﹣1,∴{}是首项为﹣1,公差为﹣1的等差数列,∴=﹣1+(n﹣1)×(﹣1)=﹣n.∴S n =﹣,n=1时,a 1=S 1=﹣1,n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=.∴a n =.故答案为:.16.【答案】 0【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin +…+sin 的值,由于sin 周期为8,所以S=sin+sin+…+sin=0.故答案为:0.【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本知识的考查.17.【答案】 ②③ .【解析】解:①∵sin αcos α=sin2α∈[,],∵>,∴存在实数α,使错误,故①错误,②函数=cosx 是偶函数,故②正确,③当时,=cos (2×+)=cos π=﹣1是函数的最小值,则是函数的一条对称轴方程,故③正确,④当α=,β=,满足α、β是第一象限的角,且α<β,但sin α=sin β,即sin α<sin β不成立,故④错误,故答案为:②③.【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及三角函数的图象和性质,考查学生的运算和推理能力.18.【答案】3三、解答题19.【答案】【解析】解:∀x∈[2,4],x2﹣2x﹣2a≤0恒成立,等价于a≥x2﹣x在x∈[2,4]恒成立,而函数g(x)=x2﹣x在x∈[2,4]递增,其最大值是g(4)=4,∴a≥4,若p为真命题,则a≥4;f(x)=x2﹣ax+1在区间上是增函数,对称轴x=≤,∴a≤1,若q为真命题,则a≤1;由题意知p、q一真一假,当p真q假时,a≥4;当p假q真时,a≤1,所以a的取值范围为(﹣∞,1]∪[4,+∞).20.【答案】【解析】【专题】计算题;直线与圆;坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,即可得到曲线C1的直角坐标方程,再由代入法,即可化简曲线C2的参数方程为普通方程;(Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线3x+4y﹣15=0的垂线,此时切线长最小.再由点到直线的距离公式和勾股定理,即可得到最小值.【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ(cosθ﹣2sinθ)+4=0,可化为直角坐标方程x 2+y 2﹣2x+4y+4=0, 即圆(x ﹣1)2+(y+2)2=1;曲线C 2的参数方程为(t 为参数),可化为普通方程为:3x+4y ﹣15=0.(Ⅱ)可经过圆心(1,﹣2)作直线3x+4y ﹣15=0的垂线,此时切线长最小.则由点到直线的距离公式可得d==4,则切线长为=.故这条切线长的最小值为.【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化,考查直线与圆相切的切线长问题,考查运算能力,属于中档题.21.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.∴点P 为线段AB 中点,PB PA =;…………7分(2)若直线AB 斜率不存在,则2:±=x AB ,与椭圆2C 方程联立可得,)1,2(2--±t A ,)1,2(2-±t B ,故122-=∆t S OAB ,…………9分若直线AB 斜率存在,由(1)可得148221+-=+k km x x ,144422221+-=k t m x x ,141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ,…………11分点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=,…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ,综上,OAB ∆的面积为定值122-t .…………15分 22.【答案】【解析】(1)易知()()0,1,0,1A B -,设()00,P x y ,则由题设可知00x ≠ ,∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=,BP 的斜率0201y k x +=,又点P 在椭圆上,所以 20014x y +=,()00x ≠,从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===-.(4分)23.【答案】【解析】解:(Ⅰ)用茎叶图表示如下:(Ⅱ)=,==80,=[(74﹣80)2+(76﹣80)2+(78﹣80)2+(82﹣80)2+(90﹣80)2]=32,=[(70﹣80)2+(75﹣80)2+(80﹣80)2+(85﹣80)2+(90﹣80)2]=50,∵=,,∴在平均数一样的条件下,甲的水平更为稳定,应该派甲去.24.【答案】【解析】解:(1)f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x)为奇函数.理由:1+x>0且1﹣x>0,得定义域为(﹣1,1),(2分)又f(﹣x)=log3(1﹣x)﹣log3(1+x)=﹣f(x),则f(x)是奇函数.(2)g(x)=log=2log3,(5分)又﹣1<x<1,k>0,(6分)由f(x)≥g(x)得log3≥log3,即≥,(8分)即k2≥1﹣x2,(9分)x∈[,]时,1﹣x2最小值为,(10分)则k2≥,(11分)又k>0,则k≥,即k的取值范围是(﹣∞,].【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明,考查不等式有解的条件,注意运用对数函数的单调性,考查运算化简能力,属于中档题.。

上海市虹口区2018届高中三年级一模数学试题(卷)

上海市虹口区2018届高中三年级一模数学试题(卷)

上海市虹口区2017学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 试卷一、填空题(1~6每题4分,7~12每题5分,满分54分)1. 函数)2lg ()(x x f -=的定义域是 ;2. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,则=++-)1()0()1(f f f ;3. 首项和公比均为21的等比数列}{n a ,n S 是它的前n 项和,则=∞→n n S lim ; 4. 在ABC ∆中,C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,,若4:3:2::=c b a ,则=C cos ; 5. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=满足1||=z ,则b a ⋅的范围是 ;6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是 ;7. 已知M 、N 是三棱锥ABC P -的棱AB ,PC 的中点,记三棱锥ABC P -的体积为1V ,三棱锥MBC N -的体积为2V ,则12V V 等于 ; 8. 在平面直角坐标系中,双曲线1222=-y ax 的一个顶点与抛物线x y 122=的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为 ;9. 已知x y sin =和x y cos =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆,则ABC ∆的面积等于 ;10. 设椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点,若2MNF ∆的内切圆的面积为π,则=∆2MNF S ;11. 在ABC ∆中,D 是BC 的中点,点列)(*∈N n P n 在线段AC 上,且满足D P a B P a A P n n n n n ⋅+⋅=+1,若11=a ,则数列}{n a 的通项公式=n a ;12. 设x b x a x x f 22)(2⋅+⋅+=,其中N b a ∈,,R x ∈,如果函数)(x f y =与函数))((x f f y =都有零点且它们的零点完全相同,则),(b a 为 ;二、选择题(每小题5分,满分20分)13. 异面直线a 和b 所成的角为θ,则θ的范围是( )A. )2,0(πB. ),0(πC. ]2,0(πD. ],0(π 14. 命题:“若12=x ,则1=x ”的逆否命题为( )A. 111-≠≠≠x x x 或,则若B. 111-===x x x 或,则若C. 111-≠≠≠x x x 且,则若D. 111-===x x x 且,则若15. 已知函数⎩⎨⎧>-≤=0)1(02)(x x f x x x f ,则=++++)2017()3()2()1(f f f f Λ( ) A. 2017 B. 1513 C. 22017 D. 23025 16. 已知ABC Rt ∆中,ο90=∠A ,4=AB ,6=AC ,在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ,满足2=AM ,NC MN =,则BN 的取值范围是( )A. ]34,23[B. ]6,4[C. ]24,52[D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2126332,2126332 三、解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分,第(1)小题7分,第(2)小题7分)如图,在三棱锥ABC P -中,a AB PC AC PA ====,AB PA ⊥,AB AC ⊥,M 为AC 的中点。

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷

2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1. 函数f(x)=lg(2−x)定义域为________.2. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(−1)+f(0)+f(1)=________.3. 首项和公比均为12的等比数列{a n },S n 是它的前n 项和,则lim n→∞S n =________.4. 在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别是a ,b ,c ,如果a:b:c =2:3:4,那么cosC =________.5. 已知复数z =a +bi(a, b ∈R)满足|z|=1,则a ⋅b 的范围是________.6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是________.7. 已知M 、N 是三棱锥P −ABC 的棱AB 、PC 的中点,记三棱锥P −ABC 的体积为V 1,三棱锥N −MBC 的体积为V 2,则V 2V 1等于________.8. 在平面直角坐标系中,双曲线x 2a −y 2=1的一个顶点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为________.9. 已知y =sinx 和y =cosx 的图象的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形△ABC ,则△ABC 的面积等于________.10. 设椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,过焦点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点,若△MNF 2的内切圆的面积为π,则S △MNF 2=________.11. 在△ABC 中,D 是BC 的中点,点列P n (n ∈N ∗)在线段AC 上,且满足P n A →=a n+1∗P n B →+a n P n D →,若a 1=1,则数列{a n }的通项公式a n =________.12. 设f(x)=x 2+2a ⋅x +b ⋅2x ,其中a ,b ∈N ,x ∈R ,如果函数y =f(x)与函数y =f (f(x))都有零点且它们的零点完全相同,则(a, b)为________. 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)异面直线a 和b 所成的角为θ,则θ的范围是( )A.(0,π2)B.(0, π)C.(0,π2brack D.(0, π]命题:“若x 2=1,则x =1”的逆否命题为( ) A.若x ≠1,则x ≠1或x ≠−1 B.若x =1,则x =1或x =−1 C.若x ≠1,则x ≠1且x ≠−1 D.若x =1,则x =1且x =−1已知函数f(x)={2x x ≤0f(x −2)x >0 ,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2017)=( )A.2017B.1513C.20172D.30252已知Rt △ABC 中,∠A =90∘,AB =4,AC =6,在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ,满足|AM →|=2,MN →=NC →,则|BN →|的取值范围是( )A.[3√2,√34brackB.[4, 6]C.[2√5,4√2brackD.[23√63−12√2,23√63+12√2brack 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)如图,在三棱锥P −ABC 中,PA =AC =PC =AB =a ,PA ⊥AB ,AC ⊥AB ,M 为AC 的中点.(1)求证:PM ⊥平面ABC ;(2)求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小.已知函数f(x)=√3cos(π2−ωx)+cos(2π−ωx),其中x ∈R ,ω>0,且此函数的最小正周期等于π.(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;(2)求此函数在x ∈[0,π2brack 的最大值和最小值.如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km ,宽为1km 的矩形,矩形两边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C 修一条直线的路l ,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P 和Q .(1)设AQ =x(km),将△APQ 的面积S 表示为x 的函数;(2)求△APQ 的面积S(km)的最小值.已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p(p >0),动圆M 过点F 且与直线l 相切,记圆心M 的轨迹为曲线C ,在曲线C 上任取一点A ,过A 作l 的垂线,垂足为E . (1)求曲线C 的轨迹方程;(2)记点A 到直线l 的距离为d ,且3p4≤d ≤4p 3,求∠EAF 的取值范围;(3)判断∠EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.已知无穷数列{a n }的各项均为正数,其前n 项和为S n ,a 1=4.(1)如果a 2=2,且对于一切正整数n ,均有a n ∗a n+2=a n+12,求S n ;(2)如果对于一切正整数n ,均有a n ⋅a n+1=S n ,求S n ;(3)如果对于一切正整数n ,均有a n +a n+1=3S n ,证明:a 3n−1能被8整除.参考答案与试题解析2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.【答案】(−∞, 2)【考点】函数的定义域及其求法【解析】直接利用对数的真数大于0,求解即可.【解答】解:要使函数有意义,可得2−x>0,即x<2.函数f(x)=lg(2−x)定义域为:(−∞, 2).故答案为:(−∞,2).2.【答案】【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据奇函数的定义及性质,可得答案.【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(−1)=−f(1),f(0)=0,即f(−1)+f(0)+f(1)=0,故答案为:0.3.【答案】1【考点】等比数列的前n项和数列的极限【解析】根据题意,由等比数列的前n项和公式可得S n=12[1−(12)n brack1−12=1−(12)n,计算其极限即可得答案.【解答】根据题意,等比数列{a n}的首项和公比均为12,则其前n项和S n=12[1−(12)n brack1−12=1−(12)n,则limn→∞S n=1;4.−1 4【考点】余弦定理【解析】由已知的a:b:c的比值设出a,b及c,然后利用余弦定理表示出cosC,把设出的a,b及c代入,化简可得cosC的值.【解答】因为a:b:c=2:3:4,所以设a=2k,b=3k,c=4k,则根据余弦定理得:cosC=a2+b2−c22ab =4k2+9k2−16k212k=−14.5.【答案】[−12, 12]【考点】复数的运算【解析】由题意可得a2+b2=1,令a=cosθ,b=sinθ,可得ab=cosθ⋅sinθ=12sin2θ,则a⋅b的范围可求.【解答】∵z=a+bi(a, b∈R),且|z|=1,∴√a2+b2=1,即a2+b2=1,令a=cosθ,b=sinθ,则ab=cosθ⋅sinθ=12sin2θ,∴ab∈[−12, 12 ].6.【答案】18【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意,分2种情况讨论:①、从物理、化学、生物这三门中选1门,政治、历史、地理这三门选2门,②、从物理、化学、生物这三门中选2门,政治、历史、地理这三门选1门,分别求出每一种情况的选法数目,由分类计数原理计算可得答案.【解答】根据题意,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,分2种情况讨论:①、从物理、化学、生物这三门中选1门,政治、历史、地理这三门选2门,有C31C32= 9种选法,②、从物理、化学、生物这三门中选2门,政治、历史、地理这三门选1门,有C31C32= 9种选法,7.【答案】14【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设三棱锥P−ABC的底面积为S,高为ℎ,由已知求出三棱锥N−MBC的底面积与高,代入棱锥体积公式作比得答案.【解答】如图,设三棱锥P−ABC的底面积为S,高为ℎ,∵M是AB的中点,∴S△BMC=12S,∵N是PC的中点,∴三棱锥N−MBC的高为12ℎ,则V1=13Sℎ,V2=13×12S×12ℎ=112Sℎ,∴V2V1=112Sℎ13Sℎ=14.8.【答案】y=±x【考点】双曲线的特性【解析】根据题意,求出抛物线焦点的坐标,即可得双曲线顶点的坐标,分析可得a2=9,即可得双曲线的方程,分析双曲线焦点的位置,由双曲线的渐近线方程,计算可得答案.【解答】根据题意,抛物线y2=12x的焦点为(3, 0),若双曲线x2a2−y2=1的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,则双曲线的顶点坐标为(±3, 0),则有a2=9,则双曲线的方程为:x29−y2=1,双曲线的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x3【答案】 √2π【考点】正弦函数的图象 余弦函数的图象 【解析】根据正余弦函数的图象可得:y =sinx 和y =cosx 的图象的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形△ABC 是等腰三角形,底边长为一个周期T =2π,高为√2,可得△ABC 的面积. 【解答】由题意正余弦函数的图象可得:y =sinx 和y =cosx 的图象的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形△ABC 是等腰三角形,∵ 底边长为一个周期T =2π,高为√2, ∴ △ABC 的面积=122π×√2=√2π,10.【答案】 4【考点】 椭圆的定义 【解析】由已知△MNF 2内切圆半径r =1,从而求出△MNF 2面积 【解答】 ∵ 椭圆x 24+y 23的左右焦点分别为F 1,F 2,a =2,过焦点F 1的直线交椭圆于M(x 1, y 1),N(x 2, y 2)两点, △MNF 2的内切圆的面积为π, ∴ △MNF 2内切圆半径r =1.∴ △MNF 2面积S =12×1×(MN +MF 2+MF 2)=2a =4, 11. 【答案】 (−12)n−1 【考点】 数列递推式 【解析】如图所示,D 是BC 的中点,可得P n D →=P n B →+BD →=P n B →+12BC →,又P n A →=P n B →+BA →,P n A →=a n+1∗P n B →+a n P n D →,化为:BA →=(1−a n −a n+1)BP n →+12a n BC →,根据点列P n (n ∈N ∗)在线段AC 上,可得1−a n −a n+1+12a n =1,化简利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】 如图所示,又P n A →=P n B →+BA →,P n A →=a n+1∗P n B →+a n P n D →, ∴ P n B →+BA →=a n+1P n B →+a n (P n B →+12BC →),化为:BA →=(1−a n −a n+1)BP n →+12a n BC →,∵ 点列P n (n ∈N ∗)在线段AC 上, ∴ 1−a n −a n+1+12a n =1, 化为:a n+1=−12a n ,又a 1=1,则数列{a n }是等比数列,首项为1,公比为−12. ∴ a n =(−12)n−1. 12.【答案】 (0, 0)或(1, 0) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】根据题意,分析可得函数y =f(x)的零点为方程x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =0的根,进而由函数y =f(x)与函数y =f (f(x))的零点完全相同,可得x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =x ,联立两个式子可得x =0,则x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =0的根有且只有1个,即x =0,分析可得a 、b 的值,即可得答案. 【解答】根据题意,函数y =f(x)的零点为方程x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =0的根,如果函数y =f(x)与函数y =f (f(x))的零点完全相同,则有f(x)=x ,即x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =x ,方程x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =x 的根就是函数y =f(x)与函数y =f (f(x))的零点,则有{x 2+2ax +b ∗2x=0x 2+2ax +b ∗2x =x,解可得x =0,即x 2+2a ⋅x +b ⋅2x =0的1个根为x =0,分析可得b =0, 则f(x)=x 2+2a ⋅x ,解可得x 1=0或x 2=−2a ,f (f(x))=(x 2+2a ⋅x)2+2a(x 2+2a ⋅x),若函数y =f(x)与函数y =f (f(x))的零点完全相同, 分析可得a =0或a =1, 则(a, b)为(0, 0)或(1, 0);二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 【答案】 C【考点】异面直线及其所成的角 【解析】利用民面直线所成角的定义直接求解.∵异面直线a和b所成的角为θ,∴θ的范围是(0, π].2【答案】C【考点】四种命题的定义【解析】根据命题“若p,则q”的逆否命题为“若¬q,则¬p”,写出即可.【解答】命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2≠1”;即“若x≠1,则x≠1且x≠−1”.【答案】D【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2017)=1009×f(−1)+1008×f(0),由此能求出结果.【解答】∵函数f(x)={2x x≤0f(x−2)x>0,∴f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2017)=1009×f(−1)+1008×f(0)=1009×2−1+1008×20=3025.2故选:D.【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】建立坐标系,设M(cosα, sinα),求出N的坐标,得出|BN→|2关于α的三角函数,从而得出答案.【解答】以AB,AC为坐标轴建立坐标系,则B(4, 0),C(0, 6),∵|AM→|=2,∴M的轨迹是以A为圆心,以2为半径的圆.∵MN→=NC→,∴N是MC的中点.设M(2cosα, 2sinα),则N(cosα, sinα+3),→∴|BN→|2=(cosα−4)2+(sinα+3)2=6sinα−8cosα+26=10sin(α−φ)+26,∴当sin(α−φ)=−1时,|BN→|取得最小值√−10+26=4,当sin(α−φ)=1时,|BN→|取得最大值√10+26=6.三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)【答案】在三棱锥P−ABC中,∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.∴PM⊥AC,AB⊥平面PAC,∴PM⊥AB,∵AB∩AC=A,∴PM⊥平面ABC.连结BM,∵PM⊥平面ABC,∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角,∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点,∴PM=√a2−(a2)2=√32a,BM=√AB2+AM2=√a2+(a2)2=√52a,∴tan∠PBM=PMBM =√32a√52a=√155,∴∠PBM=arctan√155.∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan√155.【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角【解析】(1)推导出PM⊥AC,PM⊥AB,由此能证明PM⊥平面ABC.(2)连结BM,则∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角,由此能求出直线PB和平面ABC所成的角.【解答】在三棱锥P−ABC中,∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.∴PM⊥AC,AB⊥平面PAC,∴PM⊥AB,∵AB∩AC=A,∴PM⊥平面ABC.∵PM⊥平面ABC,∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角,∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点,∴PM=√a2−(a2)2=√32a,BM=√AB2+AM2=√a2+(a2)2=√52a,∴tan∠PBM=PMBM =√32a√52a=√155,∴∠PBM=arctan√155.∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan√155.【答案】∵函数的最小正周期等于π.即2πω=π∴ω=2.可得f(x)=2sin(2x+π6),由2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z得:kπ−π3≤x≤kπ+π6故得函数的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6],k∈Z∵f(x)=2sin(2x+π6),当x∈[0,π2brack,(2x+π6)∈[π6,7π6]∴当2x+π6=π2时,函数f(x)取得最大值为2.当2x+π6=7π6时,函数f(x)取得最小值为−1.【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】(1)利用诱导公式和辅助角化简,根据函数的最小正周期等于π.即可求解ω的值和单调递增区间;(2)根据x∈[0,π2brack,求解内层函数的范围,结合三角函数的性质即可求解最值.【解答】∵函数的最小正周期等于π.即2πω=π∴ω=2.可得f(x)=2sin(2x+π6),由2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z得:kπ−π3≤x≤kπ+π6故得函数的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6],k∈Z∵f(x)=2sin(2x+π6),当x∈[0,π2brack,(2x+π6)∈[π6,7π6]∴当2x+π6=π2时,函数f(x)取得最大值为2.当2x+π6=7π6时,函数f(x)取得最小值为−1.【答案】设AQ=x,则由AQBC =APBP=APAP−AB得:x=APAP−2即AP=2xx−1故S=12AP∗AQ=x2x−1(x>1);由(1)得:S′=x 2−2x(x−1)2(x>1);当x∈(1, 2)时,S′<0,当x∈(2, +∞)时,S′>0,故x=2时,S min=4.【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】(1)设AQ=x,则由AQBC =APBP=APAP−AB得:x=APAP−2,求出AP后,代入三角形面积公式,可得答案.(2)求导,分析导函数的符号,进而可得△APQ的面积S(km)的最小值.【解答】设AQ=x,则由AQBC =APBP=APAP−AB得:x=APAP−2即AP=2xx−1故S=12AP∗AQ=x2x−1(x>1);由(1)得:S′=x 2−2x(x−1)2(x>1);当x∈(1, 2)时,S′<0,当x∈(2, +∞)时,S′>0,故x=2时,S min=4.【答案】如图,以FK的中点为坐标原点O,FK所在的直线为x轴,过O的垂线为y轴建立直角坐标系,即有F(p2, 0),直线l:x=−p2,动圆M过点F且与直线l相切,可得|AE|=|AF|,由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线,可得方程为y2=2px;点A到直线l的距离为d,可得|AE|=|AF|=d,且3p4≤d≤4p3,设A(x0, y0),可得y02=2px0,即有d=x0+p2,则x0=d−p2,即有|EF|2=p2+y02=p2+2p(d−p2)=2pd,在△EAF中,cos∠EAF=|AE|2+|AF|2−|EF|22|AE|∗|AF|=1−pd,可得−13≤cos∠EAF≤14,可得arccos14≤π−arccos13,则∠EAF的取值范围是[arccos14,π−arccos13];∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.设A(x0, y0),可得y02=2px0,当A与O重合时,显然一个交点;当A不与O重合,由∠EAF的平分线交x轴于M,连接EM,可得∠AMF=∠MAF,即有|MF|=|AF|=d,四边形AEMF为菱形,EF垂直平分AM,可得∠AMF+∠EFM=90∘,tan∠AMF=cot∠EFM=|KF||EK|=p|y0|,可设y0>0,则直线AM的方程为y−y0=p y(x−x0),则y0y−y02=px−px0,化为y0y=px+px0,代入抛物线的方程y2=2px,消去x 可得,y 2−2y 0y +2px 0=0, 即为(y −y 0)2=0, 可得y =y 0,x =x 0,即∠EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.【考点】 轨迹方程 【解析】(1)以FK 的中点为坐标原点O ,FK 所在的直线为x 轴,过O 的垂线为y 轴建立直角坐标系,求得F 的坐标和直线l 的方程,运用抛物线的定义,可得M 的轨迹和方程;(2)设A(x 0, y 0),可得y 02=2px 0,即有d =x 0+p2,则x 0=d −p2,运用勾股定理可得EF 的长,再由余弦定理,计算即可得到所求范围;(3)∠EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.设A(x 0, y 0),可得y 02=2px 0,讨论当A 与O 重合时,显然一个交点;当A 不与O 重合,A 在上方,推得四边形EAFM 为菱形,求得AMF 的正切值,设出直线AM 的方程,联立抛物线的方程,即可得到证明. 【解答】如图,以FK 的中点为坐标原点O ,FK 所在的直线为x 轴,过O 的垂线为y 轴建立直角坐标系, 即有F(p2, 0),直线l:x =−p2,动圆M 过点F 且与直线l 相切, 可得|AE|=|AF|,由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹为F 为焦点、直线l 为准线的抛物线, 可得方程为y 2=2px ;点A 到直线l 的距离为d ,可得|AE|=|AF|=d ,且3p4≤d ≤4p 3,设A(x 0, y 0),可得y 02=2px 0,即有d =x 0+p2,则x 0=d −p2,即有|EF|2=p 2+y 02=p 2+2p(d −p2)=2pd , 在△EAF 中, cos∠EAF =|AE|2+|AF|2−|EF|22|AE|∗|AF|=1−pd ,可得−13≤cos∠EAF ≤14, 可得arccos 14≤π−arccos 13,则∠EAF 的取值范围是[arccos 14,π−arccos 13];∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.设A(x0, y0),可得y02=2px0,当A与O重合时,显然一个交点;当A不与O重合,由∠EAF的平分线交x轴于M,连接EM,可得∠AMF=∠MAF,即有|MF|=|AF|=d,四边形AEMF为菱形,EF垂直平分AM,可得∠AMF+∠EFM=90∘,tan∠AMF=cot∠EFM=|KF||EK|=p|y0|,可设y0>0,则直线AM的方程为y−y0=p y(x−x0),则y0y−y02=px−px0,化为y0y=px+px0,代入抛物线的方程y2=2px,消去x可得,y2−2y0y+2px0=0,即为(y−y0)2=0,可得y=y0,x=x0,即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.【答案】∵无穷数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,a1=4.a2=2,且对于一切正整数n,均有a n∗a n+2=a n+12,∴a3=a22a1=44=1,a4=a32a2=12,由此猜想a n=4×12n−1=23−n.再利用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=23−1=4,成立.②假设n=k时,成立,即a k=23−k,则a k+1=a k2a k−1=(23−k)223−(k−1)=26−2k24−k=2(6−2k)−(4−k)=22−k=23−(k+1).由①②得a n=23−n,∴{a n}是首项为4,公比为12的等比数列,∴S n=4(1−12n)1−12=8(1−12n).∵对于一切正整数n,均有a n⋅a n+1=S n,∴S n=a n a n+1,S n−1=a n−1a n,∴a n=a n(a n+1−a n−1),∴a n+1−a n−1=1.a1=4,由a n⋅a n+1=S n,得a2=1,a3=5,a4=3,…∴当n为偶数时,Sn =n2×4+n2(n2−1)2+n2×1+n2(n2−1)2=5n2+n24−n2=n24+2n=n2+8n4.当n为奇数时,Sn =n+12×4+n+12∗n−122+n−12×1+n−12∗n−322=5n+32+n2−2n+14=n2+8n+74.证明:∵对于一切正整数n,均有a n+a n+1=3S n,∴a n+a n+1=3S n,a n−1+a n=3S n−1,∴a n+1−a n−1=3a n,a1+a2=3a1,a2=2a1=8,能被8整除,a3−a1=3a2,a3=28,假设a3k−1=8m,m∈N∗.∴a1=4,a2=8,a3=28,∵a n+1=3a n+a n−1,n≥2∴a3n能被4整除,故a3k+2=3a3k+1+a3k=3(3a3k+a3k−1)+a3k=10a3k+3a3k−1=40p+24q,p,q∈N∗能被8整除,综上,a3n−1能被8整除.【考点】数列递推式【解析】(1)分别求出数列的前4项,猜想a n=4×12=23−n,再利用数学归纳法证明,从而得到{a n}是首项为4,公比为12的等比数列,由此能求出S n.(2)推导出a n+1−a n−1=1.a1=4,由a n⋅a n+1=S n,得a2=1,a3=5,a4= 3,…,由此根据n为偶数和n为奇数,能求出S n的值.(3)推导出a n+1−a n−1=3a n,假设a3k−1=8m,m∈N∗.利用数学归纳法能证明a3n−1能被8整除.【解答】∵无穷数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,a1=4.a2=2,且对于一切正整数n,均有a n∗a n+2=a n+12,∴a3=a22a1=44=1,a4=a32a2=12,由此猜想a n=4×12n−1=23−n.再利用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=23−1=4,成立.②假设n=k时,成立,即a k=23−k,则a k+1=a k2a k−1=(23−k)223−(k−1)=26−2k24−k=2(6−2k)−(4−k)=22−k=23−(k+1).由①②得a n=23−n,∴{a n}是首项为4,公比为12的等比数列,∴S n=4(1−12n)1−12=8(1−12n).∵对于一切正整数n,均有a n⋅a n+1=S n,∴S n=a n a n+1,S n−1=a n−1a n,∴a n=a n(a n+1−a n−1),∴a n+1−a n−1=1.a1=4,由a n⋅a n+1=S n,得a2=1,a3=5,a4=3,…∴当n为偶数时,Sn =n2×4+n2(n2−1)2+n2×1+n2(n2−1)2=5n2+n24−n2=n24+2n=n2+8n4.当n为奇数时,Sn =n+12×4+n+12∗n−122+n−12×1+n−12∗n−322=5n+32+n2−2n+14=n2+8n+74.证明:∵对于一切正整数n,均有a n+a n+1=3S n,∴a n+a n+1=3S n,a n−1+a n=3S n−1,∴a n+1−a n−1=3a n,a1+a2=3a1,a2=2a1=8,能被8整除,a3−a1=3a2,a3=28,假设a3k−1=8m,m∈N∗.∴a1=4,a2=8,a3=28,∵a n+1=3a n+a n−1,n≥2∴a3n能被4整除,故a3k+2=3a3k+1+a3k=3(3a3k+a3k−1)+a3k=10a3k+3a3k−1=40p+24q,p,q∈N∗能被8整除,综上,a3n−1能被8整除.。

高考最新-上海虹口区2018年上学期高三期终教学质量监控测试数学(附答案) 精品

高考最新-上海虹口区2018年上学期高三期终教学质量监控测试数学(附答案) 精品

虹口区2018学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题(考试时间120分钟,满分150分)一、填空题:(每小题4分,满分48分)1. 方程12)5526(log 5+=-⋅x x 的解x =__________。

2. 6π=x 是方程3tg(x +t )=3的解,其中t ∈(0,2π),则t =__________。

3. 复数z 满足z +|z |=2+8i ,则z =__________。

4. 等差数列{a n }中,如a 1+a 2+a 3=6,a 10+a 11+a 12=9,则a 1+a 2+…+a 12=__________。

5. 等比数列{a n }中,a 1=2,且38)(lim 12531=++++-∞→n n a a a a ,则公比q =__________。

6. 若函数f (x )=a |x +b |+2,在]1,(-∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是__________。

7. 知识竞赛题共有10道,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙两人依次各抽一道,则甲、乙两人中至少有1人抽到判断题的概率是__________。

8. 二项式(3x -1)n 和(1+4x )n 的展开式中,各项系数之和分别记为a n 和b n (n ∈Z +),则nn nn n b a b a 423lim+-∞→=__________。

9. 椭圆12522=+t y x ,两焦点间距离为6,则t =__________。

10. (理科) 抛物线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x (t 为实数)的焦点坐标是__________。

(文科) 当x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤10251y x y x 时,目标函数K =x -2y 的最小值是__________。

11. 定义集合A ,B 的一种运算“*”,A *B ={p |p =x +y ,x ∈A ,y ∈B }。

若A ={1,2,3},B ={1,2},则集合A *B 中所有元素的和=__________。

2018届高三虹口区一模数学Word版(附解析)

2018届高三虹口区一模数学Word版(附解析)

上海市虹口区2018届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1. 函数()lg(2)f x x =-的定义域是2. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,则(1)(0)(1)f f f -++=3. 首项和公比均为12的等比数列{}n a ,n S 是它的前n 项和,则lim n n S →∞= 4. 在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ,若::2:3:4a b c =,则cos C =5. 已知复数z a bi =+(,a b R ∈)满足||1z =,则a b ⋅的范围是6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则 该生的可能选法总数是7. 已知M 、N 是三棱锥P ABC -的棱AB 、PC 的中点,记三棱锥P ABC -的体积为1V , 三棱锥N MBC -的体积为2V ,则21V V 等于 8. 在平面直角坐标系中,双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合,则 双曲线的两条渐近线的方程为9. 已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆,则ABC ∆的面积等于10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两 点,若2MNF ∆的内切圆的面积为π,则2MNF S ∆=11. 在ABC ∆中,D 是BC 的中点,点列n P (*n N ∈)在线段AC 上,且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+u u u r u u u r u u u u r ,若11a =,则数列{}n a 的通项公式n a =12. 设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅,其中,a b N ∈,x R ∈,如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同,则(,)a b 为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 异面直线a 和b 所成的角为θ,则θ的范围是( )A. (0,)2πB. (0,)πC. (0,]2πD. (0,]π14. 命题:“若21x =,则1x =”的逆否命题为( )A. 若1x ≠,则1x ≠或1x ≠-B. 若1x =,则1x =或1x =-C. 若1x ≠,则1x ≠且1x ≠-D. 若1x =,则1x =且1x =-15. 已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩,则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+=( )A. 2017B. 1513C. 20172D. 3025216. 已知Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,4AB =,6AC =,在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ,满足||2AM =u u u u r ,MN NC =u u u u r u u u r ,则||BN uuu r 的取值范围是( )A. B. [4,6]C. D.三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 如图,在三棱锥P ABC -中,PA AC PC AB a ====,PA AB ⊥,AC AB ⊥,M 为AC 的中点.(1)求证:PM ⊥平面ABC ;(2)求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小.18. 已知函数()3cos()cos(2)2f x x x πωπω=-+-,其中x R ∈,0ω>,且此函数的最小正周期等于π.(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;(2)求此函数在[0,]2x π∈的最大值和最小值.19. 如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km ,宽为1km 的矩形,矩形两边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C 修一条直线的路l ,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P 和Q .(1)设AQ x =(km ),将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数;(2)求APQ ∆的面积S (km )的最小值.20. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p (0p >),动圆M 过点F 且与直线l 相 切,记圆心M 的轨迹为曲线C ,在曲线C 上任取一点A ,过A 作l 的垂线,垂足为E .(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)记点A 到直线l 的距离为d ,且3443p p d ≤≤,求EAF ∠的取值范围; (3)判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,14a =.(1)如果22a =,且对于一切正整数n ,均有221n n n a a a ++⋅=,求n S ;(2)如果对于一切正整数n ,均有1n n n a a S +⋅=,求n S ;(3)如果对于一切正整数n ,均有13n n n a a S ++=,证明:31n a -能被8整除.参考答案一. 填空题1. (,2)-∞2. 03. 14. 14-5. 11[,]22-6. 187. 148. 3x y =± 9. 10. 4 11. 11()2n -- 12. (0,0)或(1,0)二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.(1)略;(2). 18.(1)()2sin(2)6f x x π=+,2ω=,[,]36k k ππππ-++,k ∈Z ;(2)最大值为2,最小值1-.19.(1)21x S x =-(1)x >;(2)2x =时,min 4S =. 20.(1)22y px =;(2)11[arccos ,arccos ]43π-;(3)一个交点.21.(1)12q =,18(1)2n n S =-,n ∈*N ; (2)当n 为偶数,284n n n S +=,当n 为奇数,2874n n n S ++=;(3)数学归纳法,略.。

上海虹口区18-19高三年末1月质量监控测试卷--数学

上海虹口区18-19高三年末1月质量监控测试卷--数学

上海虹口区18-19高三年末1月质量监控测试卷--数学数 学〔时间120分钟,总分值150分〕【一】填空题〔每题4分,总分值56分〕1.集合{}0322<-+=x x x A ,{}21<-=x x B ,那么=⋂B A 、2.向量)2,1(-=,)1,1(=,b a m -=,b a n λ+=,如果n m ⊥,那么实数=λ 、3.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,那么甲被选中的概率是 、4.双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 、5.ααcos 3sin =,那么=+αα2sin 12cos 、6.在下面的程序框图中,输出的y 是x 的函数,记为)(x f y =,那么=-)21(1f 、结束开始7.关于z 的方程20132012101i zii i zi +=--+〔其中i 是虚数单位〕,那么方程的解=z 、8.假设对于任意0>x ,不等式ax x x≤++132恒成立,那么实数a 的取值范围是 、9.在等比数列{}n a 中,3221=a a ,243=a a ,那么=+++∞→)(lim 21n n a a a 、10.在ABC ∆中,32=AB ,2=AC 且︒=∠30B ,那么ABC ∆的面积等于 、11.正实数x 、y 满足xy y x =+2,那么y x +2的最小值等于 、12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设0211=-++-mm m a a a ,3812=-m S ,那么=m 、13.设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数,当],0[π∈x 时,1)(0<<x f ,且在]2,0[π上单调递减,在],2[ππ上单调递增,那么函数x x f y s i n )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 、14.设点P 在曲线22+=x y 上,点Q 在曲线2-=x y 上,那么PQ 的最小值等于 、【二】选择题〔每题5分,总分值20分〕15.假设i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根,那么该方程两根的模的和为〔 〕A.5B.52C.5D.10 A.如果21l l ⊥,32//l l 、那么31l l ⊥、B.如果21//l l ,32//l l 、那么1l 、2l 、3l 共DCBAP面、C.如果21l l ⊥,32l l ⊥、那么31l l ⊥、D.如果1l 、2l 、3l 共点、那么1l 、2l 、3l 共面、17.定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间,那么实数c b a ,,满足〔〕A.0042>>-a ac b 且B.042>-ac bC.02>-ab D.02<-a b18.数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==kn a k n n a k n 2,12,当当,其中*∈N k ,设n n a a a a n f 21221)(++++=- ,那么)2012()2013(f f -等于()A.20122B.20132C.20124D.20134 【三】解答题〔总分值74分〕19.〔此题总分值12分〕在正四棱锥ABCD P -中,侧棱PA 的长为52,PA 与CD 所成的角的大小等于510arccos、〔1〕求正四棱锥ABCD P -的体积;〔2〕假设正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上,求此球O 的半径、20.〔此题总分值14分〕函数xx x x x x f 2cos cos sin 3)3sin(sin 2)(+⋅+-⋅=π、〔1〕求函数)(x f 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的x 值; 〔2〕如果20π≤≤x ,求)(x f 的取值范围、21.〔此题总分值14分〕圆:O 422=+y x 、〔1〕直线1l :0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点,求AB ; 〔2〕如图,设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点,点M 关于原点的对称点为1M ,点M 关于x 轴的对称点为2M ,如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ,问n m ⋅是否为定值?假设是求出该定值;假设不是,请说明理由、22.〔此题总分值16分〕数列{}n a 的前n 项和记为n S ,且满足12-=n n a S 、 〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕求和n nn n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ;〔3〕设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列,并且满足: )lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m m a b b b =+++++++ 、问数列{}n b 最多有几项?并求这些项的和、23.〔此题总分值18分〕如果函数)(x f y =的定义域为R ,对于定义域内的任意x ,存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立,那么称此函数具有“)(a P 性质”、〔1〕判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”,假设具有“)(a P 性质”求出所有a 的值;假设不具有“)(a P 性质”,请说明理由、 〔2〕)(x f y =具有“)0(P 性质”,且当0≤x 时2)()(m x x f +=,求)(x f y =在]1,0[上的最大值、〔3〕设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”,且当2121≤≤-x 时,x x g =)(、假设)y=交点个数为2018个,求m的值、y=与mxg(x参考答案【一】填空题1.)1,1(-2.23.214.3π5.21- 6.1-7.i 21-8.51≥a 9.16±10.32或311.912.1013.2014.427【二】选择题 15.B16.A17.C18.C 【三】解答题19.解:〔1〕取AB 的中点M ,记正方形ABCD 对角线的交点为O ',连PM ,O P ',AC ,那么AC 过O '、PB PA =,AB PM ⊥∴,又510cos =∠PAM ,52=PA ,得22=AM .………………4分4='O A ,2='O P 3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCDP 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364〔立方单位〕、………………8分〔2〕连AO ,O O ',设球的半径为R ,那么R OA =,2-='-='R O P R O O ,在A O O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ,得5=R 。

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

虹口区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10,则n =( ) A .5 B .6 C .8 D .10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识,意在考查基本运算能力. 2. 下列判断正确的是( )A .①不是棱柱B .②是圆台C .③是棱锥D .④是棱台3. 已知集合M={1,4,7},M ∪N=M ,则集合N 不可能是( ) A .∅ B .{1,4}C .MD .{2,7}4. 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4232()a a a =+,则74S a =( ) A .74 B .145C .7D .14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和,意在考查运算求解能力.5. 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点,F 为抛物线的焦点.若线段MN 的中点的纵坐标为2,||||10MF NF +=,则直线MN 的方程为( )A .240x y +-=B .240x y --=C .20x y +-=D .20x y --=6. 直径为6的球的表面积和体积分别是( )A .144,144ππB .144,36ππC .36,144ππD .36,36ππ 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体为( )A .四棱柱B .四棱锥C .三棱台D .三棱柱8. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ,若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,1)-∞C .(2,)+∞D .(1,)+∞ 9. 如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A 射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )ABCD10.已知角的终边经过点()3P x ,()0x <且cos x θ=,则等于( )A .1-B .13- C .3- D .11.已知向量(,1)a t =,(2,1)b t =+,若||||a b a b +=-,则实数t =( ) A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念,向量垂直的充要条件,简单的基本运算能力.12.函数的定义域为( )A .B .C .D .(,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f (在区间()+∞,0上是增函数,则=m .14.已知函数32()39f x x ax x =++-,3x =-是函数()f x 的一个极值点,则实数a = . 15.在ABC ∆中,已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且B c C b a sin cos +=,则角B 为 .16.函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ .三、解答题(本大共6小题,共70分。

虹口区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

虹口区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案


A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.给出下列命题: ①存在实数 α,使 ②函数 ③ 是函数 是偶函数 的一条对称轴方程
④若 α、β 是第一象限的角,且 α<β,则 sinα<sinβ 其中正确命题的序号是 . 14.设数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{ 15.若正方形 P1P2P3P4 的边长为 1,集合 M={x|x= ①当 i=1,j=3 时,x=2; ②当 i=3,j=1 时,x=0; ③当 x=1 时,(i,j)有 4 种不同取值; ④当 x=﹣1 时,(i,j)有 2 种不同取值; ⑤M 中的元素之和为 0. 其中正确的结论序号为 .(填上所有正确结论的序号) 16.设函数 则 ______;若 , ,则 的大小关 }的前 10 项的和为 . 且 i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:
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虹口区第三中学 2018-2019 学年高三上学期 11 月月考数学试卷含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】
2. 【答案】C 【解析】解:若不等式(a2﹣4)x2+(a+2)x﹣1≥0 的解集为∅”, 则根据题意需分两种情况: ①当 a2﹣4=0 时,即 a=±2, 若 a=2 时,原不等式为 4x﹣1≥0,解得 x≥ ,故舍去, 若 a=﹣2 时,原不等式为﹣1≥0,无解,符合题意; ②当 a2﹣4≠0 时,即 a≠±2, ∵(a2﹣4)x2+(a+2)x﹣1≥0 的解集是空集, ∴ 综上得,实数 a 的取值范围是 . ,解得 ,
24.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](Ⅰ)求图中 x 的值,并估计该班期中 考试数学成绩的众数; (Ⅱ)从成绩不低于 90 分的学生和成绩低于 50 分的学生中随机选取 2 人,求这 2 人成绩均不低于 90 分的概 率.

虹口区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

虹口区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

虹口区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1. 复数z=在复平面上对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2. 如图框内的输出结果是()A .2401B .2500C .2601D .27043. 设集合M={x|x ≥﹣1},N={x|x ≤k},若M ∩N ≠¢,则k 的取值范围是( )A .(﹣∞,﹣1]B .[﹣1,+∞)C .(﹣1,+∞)D .(﹣∞,﹣1)4. 已知函数f (x )=﹣log 2x ,在下列区间中,包含f (x )零点的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,4)D .(4,+∞)5. 三个数60.5,0.56,log 0.56的大小顺序为( )A .log 0.56<0.56<60.5B .log 0.56<60.5<0.56C .0.56<60.5<log 0.56D .0.56<log 0.56<60.56. 已知函数f (x )=a x +b (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=( )A .﹣B .﹣C .﹣D .﹣或﹣7. 已知定义在区间[0,2]上的函数y=f (x )的图象如图所示,则y=f (2﹣x )的图象为()A .B .C .D .班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8. 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象,则幂函数y=x 的图象是( )A .①B .②C .③D .④9. 已知直线l 1 经过A (﹣3,4),B (﹣8,﹣1)两点,直线l 2的倾斜角为135°,那么l 1与l 2( )A .垂直B .平行C .重合D .相交但不垂直10.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a=,c=2,cosA=,则b=()A .B .C .2D .311.若函数f (x )=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为( )A .5B .4C .3D .212.已知在数轴上0和3之间任取一实数,则使“”的概率为( )2log 1x <A .B .C .D .141823112二、填空题13.自圆:外一点引该圆的一条切线,切点为,切线的长度等于点到C 22(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长,则的最小值为( )O PQ A .B .3C .4D .13102110【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离,意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想.14.(本小题满分12分)点M (2pt ,2pt 2)(t 为常数,且t ≠0)是拋物线C :x 2=2py (p >0)上一点,过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .(1)求证:直线PQ 的斜率为-2t ;(2)记拋物线的准线与y 轴的交点为T ,若拋物线在M 处的切线过点T ,求t 的值.15.设所有方程可以写成(x ﹣1)sin α﹣(y ﹣2)cos α=1(α∈[0,2π])的直线l 组成的集合记为L ,则下列说法正确的是 ;①直线l 的倾斜角为α;②存在定点A ,使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值;③存在定圆C ,使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交;④任意l 1∈L ,必存在唯一l 2∈L ,使得l 1∥l 2;⑤任意l 1∈L ,必存在唯一l 2∈L ,使得l 1⊥l 2.16.若直线y﹣kx﹣1=0(k∈R)与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是 .17.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3.18.(若集合A⊊{2,3,7},且A中至多有1个奇数,则这样的集合共有 个.三、解答题19.如图,已知椭圆C,点B坐标为(0,﹣1),过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A,且线段AB的中点E在直线y=x上.(1)求直线AB的方程;(2)若点P为椭圆C上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交直线y=x于点M,N,直线BM交椭圆C于另外一点Q.①证明:OM•ON为定值;②证明:A、Q、N三点共线.20.某志愿者到某山区小学支教,为了解留守儿童的幸福感,该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷,并用茎叶图表示如图(注:图中幸福指数低于70,说明孩子幸福感弱;幸福指数不低于70,说明孩子幸福感强).(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断能否有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留22⨯95%守儿童有关?幸福感强幸福感弱总计留守儿童非留守儿童总计1111](2)从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样,共抽取5人,又在这5人中随机抽取2人进行家访,求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表:20()P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.63521.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形,PD ⊥底面ABCD ,点E 在棱PB 上.(1)求证:平面AEC ⊥平面PDB ;(2)当PD=AB ,且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小.22.设数列{a n }是等差数列,数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =(b n ﹣1)且a 2=b 1,a 5=b 2(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)设c n =a n •b n ,设T n 为{c n }的前n 项和,求T n .23.已知函数f (x )=xlnx ,求函数f (x )的最小值.24.(本小题满分12分)△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AD 是BC 边上的中线.(1)求证:AD =;122b 2+2c 2-a 2(2)若A =120°,AD =,=,求△ABC 的面积.192sin B sin C 35虹口区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(参考答案)一、选择题1.【答案】A【解析】解:∵z===+i,∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限.故选A.【点评】本题考查复数的乘除运算,考查复数与复平面上的点的对应,是一个基础题,在解题过程中,注意复数是数形结合的典型工具.2.【答案】B【解析】解:模拟执行程序框图,可得S=1+3+5+…+99=2500,故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,等差数列的求和公式的应用,属于基础题.3.【答案】B【解析】解:∵M={x|x≥﹣1},N={x|x≤k},若M∩N≠¢,则k≥﹣1.∴k的取值范围是[﹣1,+∞).故选:B.【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合间的关系,是基础题.4.【答案】C【解析】解:∵f(x)=﹣log2x,∴f(2)=2>0,f(4)=﹣<0,满足f(2)f(4)<0,∴f(x)在区间(2,4)内必有零点,故选:C5.【答案】A【解析】解:∵60.5>60=1,0<0.56<0.50=1,log0.56<log0.51=0.∴log0.56<0.56<60.5.故选:A【点评】本题考查了不等关系与不等式,考查了指数函数和对数函数的性质,对于此类大小比较问题,有时借助于0和1为媒介,能起到事半功倍的效果,是基础题.6.【答案】B【解析】解:当a>1时,f(x)单调递增,有f(﹣1)=+b=﹣1,f(0)=1+b=0,无解;当0<a<1时,f(x)单调递减,有f(﹣1)==0,f(0)=1+b=﹣1,解得a=,b=﹣2;所以a+b==﹣;故选:B7.【答案】A【解析】解:由(0,2)上的函数y=f(x)的图象可知f(x)=当0<2﹣x<1即1<x<2时,f(2﹣x)=2﹣x当1≤2﹣x<2即0<x≤1时,f(2﹣x)=1∴y=f(2﹣x)=,根据一次函数的性质,结合选项可知,选项A正确故选A.8.【答案】D【解析】解:幂函数y=x为增函数,且增加的速度比价缓慢,只有④符合.故选:D.【点评】本题考查了幂函数的图象与性质,属于基础题.9.【答案】A【解析】解:由题意可得直线l1的斜率k1==1,又∵直线l2的倾斜角为135°,∴其斜率k2=tan135°=﹣1,显然满足k1•k2=﹣1,∴l1与l2垂直故选A10.【答案】D【解析】解:∵a=,c=2,cosA=,∴由余弦定理可得:cosA===,整理可得:3b 2﹣8b ﹣3=0,∴解得:b=3或﹣(舍去).故选:D . 11.【答案】A【解析】解:函数f (x )=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ,2a]上的偶函数,可得b=0,并且1+a=2a ,解得a=1,所以函数为:f (x )=x 2+1,x ∈[﹣2,2],函数的最大值为:5.故选:A .【点评】本题考查函数的最大值的求法,二次函数的性质,考查计算能力. 12.【答案】C 【解析】试题分析:由得,由几何概型可得所求概率为.故本题答案选C.2log 1x <02x <<202303-=-考点:几何概型.二、填空题13.【答案】D 【解析】14.【答案】【解析】解:(1)证明:l 1的斜率显然存在,设为k ,其方程为y -2pt 2=k (x -2pt ).①将①与拋物线x 2=2py 联立得,x 2-2pkx +4p 2t (k -t )=0,解得x 1=2pt ,x 2=2p (k -t ),将x 2=2p (k -t )代入x 2=2py 得y 2=2p (k -t )2,∴P 点的坐标为(2p (k -t ),2p (k -t )2).由于l 1与l 2的倾斜角互补,∴点Q 的坐标为(2p (-k -t ),2p (-k -t )2),∴k PQ ==-2t ,2p (-k -t )2-2p (k -t )22p(-k -t )-2p (k -t )即直线PQ 的斜率为-2t .(2)由y =得y ′=,x 22p x p∴拋物线C 在M (2pt ,2pt 2)处的切线斜率为k ==2t .2pt p其切线方程为y -2pt 2=2t (x -2pt ),又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为(0,-).p 2∴--2pt 2=2t (-2pt ).p 2解得t =±,即t 的值为±.121215.【答案】 ②③④ 【解析】解:对于①:倾斜角范围与α的范围不一致,故①错误;对于②:(x ﹣1)sin α﹣(y ﹣2)cos α=1,(α∈[0,2π)),可以认为是圆(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=1的切线系,故②正确;对于③:存在定圆C ,使得任意l ∈L ,都有直线l 与圆C 相交,如圆C :(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=100,故③正确;对于④:任意l 1∈L ,必存在唯一l 2∈L ,使得l 1∥l 2,作图知④正确;对于⑤:任意意l 1∈L ,必存在两条l 2∈L ,使得l 1⊥l 2,画图知⑤错误.故答案为:②③④.【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用. 16.【答案】 [1,5)∪(5,+∞) .【解析】解:整理直线方程得y ﹣1=kx ,∴直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可,由于该点在y 轴上,而该椭圆关于原点对称,故只需要令x=0有5y 2=5m 得到y 2=m要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则y ≥1即是y 2≥1得到m ≥1∵椭圆方程中,m ≠5m 的范围是[1,5)∪(5,+∞)故答案为[1,5)∪(5,+∞)【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.本题采用了数形结合的方法,解决问题较为直观.17.【答案】 6 【解析】解:过A作AO⊥BD于O,AO是棱锥的高,所以AO==,所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6.故答案为:6.18.【答案】 6 【解析】解:集合A为{2,3,7}的真子集有7个,奇数3、7都包含的有{3,7},则符合条件的有7﹣1=6个.故答案为:6【点评】本题考查集合的子集问题,属基础知识的考查.三、解答题19.【答案】【解析】(1)解:设点E(t,t),∵B(0,﹣1),∴A(2t,2t+1),∵点A在椭圆C上,∴,整理得:6t2+4t=0,解得t=﹣或t=0(舍去),∴E(﹣,﹣),A(﹣,﹣),∴直线AB的方程为:x+2y+2=0;(2)证明:设P(x0,y0),则,①直线AP方程为:y+=(x+),联立直线AP与直线y=x的方程,解得:x M=,直线BP的方程为:y+1=,联立直线BP与直线y=x的方程,解得:x N=,∴OM•ON=|x M||x N|=2•||•||=||=||=||=.②设直线MB 的方程为:y=kx ﹣1(其中k==),联立,整理得:(1+2k 2)x 2﹣4kx=0,∴x Q =,y Q =,∴k AN ===1﹣,k AQ ==1﹣,要证A 、Q 、N 三点共线,只需证k AN =k AQ ,即3x N +4=2k+2,将k=代入,即证:x M •x N =,由①的证明过程可知:|x M |•|x N |=,而x M 与x N 同号,∴x M •x N =,即A 、Q 、N 三点共线.【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20.【答案】(1)有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关;(2).95%35【解析】试题解析:(1)列联表如下:幸福感强幸福感弱总计留守儿童6915非留守儿童18725总计241640∴.2240(67918)4 3.84115252416K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关.95%(2)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人,记作:,;幸福感强的孩子3人,记作:,,1a 2a 1b 2b .3b “抽取2人”包含的基本事件有,,,,,,,,12(,)a a 11(,)a b 12(,)a b 13(,)a b 21(,)a b 22(,)a b 23(,)a b 12(,)b b ,共10个.13(,)b b 23(,)b b 事件:“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有,,,,,A 11(,)a b 12(,)a b 13(,)a b 21(,)a b 22(,)a b 23(,)a b 共6个.故.63()105P A ==考点:1、 茎叶图及独立性检验的应用;2、古典概型概率公式.21.【答案】【解析】(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD ,∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD ⊥AC ,∴AC ⊥平面PDB ,∴平面AEC ⊥平面PDB .(Ⅱ)解:设AC ∩BD=O ,连接OE ,由(Ⅰ)知AC ⊥平面PDB 于O ,∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角,∴O ,E 分别为DB 、PB 的中点,∴OE ∥PD ,,又∵PD ⊥底面ABCD ,∴OE ⊥底面ABCD ,OE ⊥AO ,在Rt △AOE 中,,∴∠AEO=45°,即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.22.【答案】【解析】解:(Ⅰ)∵数列{b n}的前n项和S n满足S n=(b n﹣1),∴b1=S1=,解得b1=3.当n≥2时,b n=S n﹣S n﹣1=,化为b n=3b n﹣1.∴数列{b n}为等比数列,∴.∵a2=b1=3,a5=b2=9.设等差数列{a n}的公差为d.∴,解得d=2,a1=1.∴a n=2n﹣1.综上可得:a n=2n﹣1,.(Ⅱ)c n=a n•b n=(2n﹣1)•3n.∴T n=3+3×32+5×33+…+(2n﹣3)•3n﹣1+(2n﹣1)•3n,3T n=32+3×33+…+(2n﹣3)•3n+(2n﹣1)•3n+1.∴﹣2T n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣(2n﹣1)•3n+1=﹣(2n﹣1)•3n+1﹣3=(2﹣2n)•3n+1﹣6.∴.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.23.【答案】【解析】解:函数的定义域为(0,+∞)求导函数,可得f′(x)=1+lnx令f′(x)=1+lnx=0,可得∴0<x<时,f′(x)<0,x>时,f′(x)>0∴时,函数取得极小值,也是函数的最小值∴f (x )min ===﹣.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 24.【答案】【解析】解:(1)证明:∵D 是BC 的中点,∴BD =DC =.a 2法一:在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2=AD 2+-2AD ·a 24cos ∠ADB ,①a 2b 2=AD 2+-2AD ··cos ∠ADC ,②a 24a 2①+②得c 2+b 2=2AD 2+,a 22即4AD 2=2b 2+2c 2-a 2,∴AD =.122b 2+2c 2-a 2法二:在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=c 2+-2c ·cos Ba 24a 2=c 2+-ac ·a 24a2+c 2-b 22ac =,2b 2+2c 2-a 24∴AD =.122b 2+2c 2-a 2(2)∵A =120°,AD =,=,1219sin B sin C 35由余弦定理和正弦定理与(1)可得a 2=b 2+c 2+bc ,①2b 2+2c 2-a 2=19,②=,③b c 35联立①②③解得b =3,c =5,a =7,∴△ABC 的面积为S =bc sin A =×3×5×sin 120°=.12121534即△ABC 的面积为.1543。

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(第11题图)虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试高三数学试卷及答案 2018年12月考生注意:1.本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.一、填空题(本大题满分54分)本大题共12题,第1-6题,每空填对得4分;第7-12题,每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3.设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若,则()UA B =ð_______.4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1,则a =_______.5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________.6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7.二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________.8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-(i 为虚数单位),则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列,若从这7个数中任取2个,则它们的和为正数的概率为__________.11.如图,已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形,若点P 是边AC (包含端点,A C )上的 动点,点Q 在弧BC 上,且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点,则实数k 的取值范围为________.(第17题图)二、选择题(本大题共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5分,否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 ( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分又非必要条件14.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是 ( ) (A )若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β(B )若αβ与不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β (C )若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=, 则l γ⊥ (D )若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15.已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点,则实数a 的取值范围为 ( )(A )(0,)+∞ (B )(,0)(0,1)-∞⋃ (C )1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ (D )(,0)(0,2)-∞⋃16.已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点,点F 为抛物线C 的 焦点,点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中,若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠,则μ的最大值为()(A(B(C(D 三、解答题(本大题共5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分) 本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分. 在如图所示的圆锥中,底面直径与母线长均为4, 点C 是底面直径AB 所对弧的中点,点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的侧面积与体积;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小.(第19题图)18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分. 已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值及函数()f x 的值域;(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立,求实数t 的取值范围.19.(本题满分14分) 本题共2小题,每小题7分.某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经过调研、规划确定,棚改规划用地区域近似为圆面,该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地,测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====,(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积; (2)因地理条件限制,边界,AD DC 不能变更,而 边界,AB BC 可以调整,为了增加棚户区建筑用地的面 积,请在弧 ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地(四边形APCD )的面积最大,并求出这 个面积最大值.20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点, 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时,求线段FP 的中点M 的轨迹方程;(2) 如图1,点R 的坐标为(2,0),若点S 是点P 关于x 轴的对称点,求证:点,,Q S R 共线;(3) 如图2,点T 是直线:2l x =上的任意一点,设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证:,,PT FT QT k k k 成等差数列;(第20题图1)(第20题图2)(第17题图)21.(本题满分18分) 本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分. 对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =,记12E n S e e e =+++.已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =12(,3)n a a a n <<<≥满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于.m (1)试求12,a a 的值; (2)求证:“12,,,n a a a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”;(3)若2018A S =, 求证:n 的最小值为11;并求n 取最小值时,n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题(本大题满分54分)本大题共12题,第1-6题,每空填对得4分;第7-12题,每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1.5 2.()1,2 3.{}1,2 4.8 5.43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10.47 11.2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题(本大题共5题,满分76分)17.(本题满分14分) 本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分.解:(1)由已知,得圆锥的底面半径为2OA =,高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 (2)以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为(0,2,0)A -,(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==-- ……10分故cos ,42AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅⋅因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos 4…… 14分 18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.解:(1)由()f x 是R 上的奇函数,知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得 此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数;因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分(2)解法1:由(1)知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因,则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立, …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此,实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 (2)解法2:由(1)知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时,()0.f x >于是不等式()33xt f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x xx x x x t f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因,则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知,max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知,实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ (14)(第19题图)分19.(本题满分14分) 本题共2小题,每小题7分. 解:(1)设,AC x =则由余弦定理,得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形,得180,B D ∠+∠=︒ 故cos cos 0,BD +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒,……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答:AC),原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . (7)分(2)解法1:由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大,必须使APC ∆的面积最大,即点P 到AC 的距离最大,从而点P 在弦AC 的垂直平分线上,即.PA PC = (10)分于是APC ∆为等边三角形,2()AC = (12)分因此,棚户区改造后的新建筑用地APCDADC S ∆+==即当APC ∆为等边三角形时,新建筑用地APCD 2).k m ……14分(2)解法2:由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒. 设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中,由余弦定理,有222227=2cos),APC AC u v uv P u v uv uv∆=+-⋅∠=+-≥==故APCS∆≤当且仅当u v==. (12)分因此,棚户区改造后的新建筑用地APCDADCS∆+==即当APC∆为等边三角形时,新建筑用地APCD2).k m (14)分20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分.(第20题图1)(第20题图2)解:(1)易知(1,0),F设11(,),(,),M x y P x y则由M为线段FP的中点,得11111212.022xx x xy y yy+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩……2分于是,由点11(,)P x y在椭圆22:12xyΓ+=上,得22(21)(2)12xy-+=,即点M的轨迹方程为22(21)82x y-+=. ……5分证:(2)当过点F的直线与x轴重合时,点P与S重合,点,Q S分别为椭圆在x轴的两个顶点,显然点,,Q S R共线.当过点F的直线与x轴不重合时,设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且则11(,),S x y-由221,1,2x m yxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my++-=,显然0.∆>所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =,因此点,,Q S R 共线. ……10分证:(3)由T 是直线:2l x =上的点,可设其坐标为(2,).t当过点F 的直线与x轴重合时,有(P Q 从而+2,,21PT QT FT tk k t k t ====-故 2.PT QT FS k k k += (12)分当过点F 的直线与x 轴不重合时,其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且有11221122,,,212121PT QT FT y t y t y t y t tk k k t x my x my ----======----- 由(2)知12122221,,22my y y y m m +=-=-++ 于是 121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()211(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QT FTy t y t y t my y t my my y t m y y tk k my my my my m y y m y y m m t m tt m m m t k m m m m m ----+---++++=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FS k k k +=综合上述,得,,PT FT QT k k k 成等差数列. ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分. 解:(1)由条件,知A 1S ,1.A ≤∈必有又12n a a a <<<均为正整数,故1=1.a ……2分由条件,知A 2S ,≤故由A S 的定义及12n a a a <<<均为正整数,2,A ∈必有于是2=2.a……4分证:(2)必要性 由“123,,,,na aa a 成等差数列”及12=1,=2a a 得=(1,2,,).i a i i n =此时{}1,2,3,,1,A n n =-,满足题设条件;从而12112(1).2A n S a a a n n n =+++=+++=+ ……7分 充分性 由条件知12n a a a <<<,且它们均为正整数,可得(1,2,,)i a i i n ≥=,故 112(1)2A S n n n ≥+++=+当且仅当(1,2,,)i a i i n ==时,上式等号成立.于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =,从而123,,,,n a a a a 成等差数列.因此 “123,,,,n a a a a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”. ……10分 证:(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A 的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =,,,,,,的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数:1,232046,2047.,,,因此当2018A S =时,n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =,n 取最小值11时,设101210,S a a a =+++由题设得10112018,S a +=并且10111.S a +≥事实上,若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时,其无法用A 的非空子集的元素之和表示,与题意矛盾!于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时,用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =,,,,的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3,…,2017,2018中的每一个数.因此,当2018A S =时,n 的最小值为11,n a 的最大值为1009. ……18分。

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