电磁学复习题

10.如图所示，无限长直导线中电流为 i，矩形导线框 abcd 与长直导线共面，且 ad//AB，dc 边固定，ab 边沿 da 及 cb 以速度 v 无摩擦地匀速平动，设线框自感忽略不计，t=0 时， ab 边与 dc 边重合。 （1）如 i=I0，I0 为常量，求 ab 中的感应电动势，ab 两点哪点电势高？ （2）如 i I 0 sin t ，求线框中的总感应电动势。
L
H dl I
Ir r2 Ir I ,H = ,B = 0 2 2 2 R1 2 R1 2 R1
当 r R1 时， 当 R1 <r R2 时， 当 r R2 时，
I =
I =I ,H =
I 2 r 2 r I I I =I ,H = , B= 0 2 r 2 r
0 0 0 0
1

d I l l ln (l sin t v cos t ) dt 2 l
m 0 0 0 1 2 0
11.长为 l 的一金属棒 ab，水平放置在均匀磁场 B 中，如图 8.6 所示，金属棒可绕 O 点在水 平面内以角速度 旋转，O 点离 a 端的距离为 l k 。试求 a,b 两端的电势差，并指出哪端电 势高（设 k>2）
Oa xBdx Bl 2
0
1 2
l2 k2
金属棒 a,b 两端的电电势差
1 l2 1 1 1 2 U ab ab Oa Ob Bl 2 2 Bl 2 (1 )2 Bl 2 (1 ) 2 k 2 k 2 k
因 k>2，所以 a 端电势高。
dI 2 r dI dr
dB
0
B dB
b
a b
dr a b ln 2 r 2 b
0 0
16.一张面积很大的塑料平面薄膜，经摩擦方式均匀带有面电荷q，一块带电量为Q 的导 体平板，与薄膜平行放置，设板和膜相距为d，面积均为S，且d 远远小于膜板线度，忽略 边缘效应，求: 1)导体板两个表面的自由电荷面密度 σA 与σB ； 2)导体板与塑料膜之间的电势差ΔU .
I I , B
0 I 2 r
6.两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的 A、B 两点，并与很远处的电源相接， 试求环中心 O 点的磁感应强度。 解 因为 1、2 两段圆弧两端电压相等，可得
I1R1 I 2 R2
电阻 R
1 ，而同一铁环的截面积为 S 和电阻率是相同的，于是有 S
B2
l2
0
0 I 2 dl 0 I 2l2 4 R 2 4 R 2
方向垂直纸面向外。 铁环在 O 点所产生的总磁感应强度为
B B1 B2
0 I1l1 0 I 2l2 0 4 R 2 4 R 2
3
7.一无限长圆柱形直导线外包一层磁导率为 的圆筒形磁介质，导线半径为 R1 ，磁介质的 外半径为 R2 导线内，有电流 I 通过，且电流沿导线横截面均匀分布。求磁介质内外的磁场 强度和磁感应强度的分布。 解 以圆柱形直导线中心为轴，作半径为的圆周。 根据磁介质中的安培环路定理，有
V V
4
3
，所以
E
R3 3 0 r 2
（2）当 r R 时，建立如图 6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理
E dS
s
q
0
式中 q
r 0 r 3 3r r 2 dV 1 4 r dr 0 4 ，所以 0 R 3 R 0 V
dq x a2
2
UP
2l 3 l 3
1 4 0
dq x a
2 2

2l 3 l 3
1 4 0
dx
x a
2 2
ln x x 2 a 2


2l 3 l 3
ln 9 4 0 1
4
2 l 2 a2 l 3 1 l 2 a2 l 9 3
5
qvB q
（1）
U d
5 3





I

U 1.0 10 v 10 (m / s) Bd 1.0 0.01
U
（2）
1 BI ne h
3 19 5 5
BI 1.0 30 10 n eUh 1.6 10 1.0 10 1.0 10 1.88 10 (m ) 1.88 10 (cm )
U
Q
1 0
4 r

Q
2 2
4 R
0
14.若金属棒不在直径上，且长为 2L，圆柱半径为 R，B 以速率 dB/dt 变化且变化率为常数， 求棒 AB 两端的感应电动势。
连接 Oa,Ob,设想 Oab 构成闭合回路，由于 Oa,Ob 沿半径方向，与通过该处的感生电场处垂 直，所以 Oa,Ob 两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路 Oab 的总电 动势就是棒 ab 两端电动势。根据法拉第电磁感应定律
解 建立如图 8.6 所示的坐标系，在 Ob 棒上任一位置 x 处取一微元 dx ，该微元产生的动 生电动势为
d (v B) dx xBdx
Ob 棒产生的动生电动势为
l l k
Ob
0
1 1 xBdx Bl 2 (1 )2 2 k
1k
同理，Oa 棒产生的动生电动势为
4
在矩形平面上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一矩形面元 dS ldx ，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
dm B dS
通过矩形面积 CDEF 的总磁通量为
0 i ldx 2 x
m
由法拉第电磁感应定律有
b
a
0 i il b ldx 0 ln 2 x 2 a
dm il b 0 ln cos t dt 2 a
2.如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电量为 q ，试求在直杆延长线上距杆一 端距离为 d 的 P 点的电场强度。
q
L
E
q 4 0 L q
dL

d
dx x2
d
P
1 1 [ ] 4 0 L d d+L
3.在一半径为 a 的长直导线的外面，套有半径为 b 的同轴导体薄圆筒，它们之间充以相对电 容率为 r 的均匀电介质， 设导线和圆筒都均匀带电， 且沿轴线单位长度所带电荷分别为 和 （2）导线和圆筒间电势差。 ，求（1）空间个点的场强大小； 解 （1）以导线为轴，在空间不同区域做半径为 r ，高为 l 的圆柱面形高斯面。根据高斯定 理： 当 r<a 时，
I1l1 I 2l2
由于第一段圆弧上的任一线元在 O 点所产生的磁感应强度为
dB1
0 I1dl 4 R 2
方向垂直纸面向里。 第一段圆弧在 O 点所产生的磁感应强度为
B1
l1
0
0 I1dl 0 I1l1 4 R 2 4 R 2
方向垂直纸面向里。 同理，第二段圆弧在 O 点所产生的磁感应强度为
ab Oab
dB dB 1 1 S l R2 dt dt 2 2
2
15.如图所示，一无限长载流平板宽度为 a，线电流密度（即沿 x 方向单位长度上的电流）为 δ，求与平板共面距平板一边为 b 的一点 P 的磁感应强度。
8
在平板上取一宽度为 dr 的窄条，其在 P 点的磁场为 dB
L
B dl cos dl B dl B2 r I
0 L L
可得
B
其中 I 是通过圆周 L 内部的电流. 当 r a 时， 当 a r b 时， 当 r b 时，
0 I 2 r
I 0, B 0
I
0 I r 2 a 2 I (r 2 a 2 ) , B b2 a 2 2 r b2 a 2
E dS
s
q
0
式中 q
dV dV 3 r
V V
4
3
，所以
E
r 3 0
q
0
当 r R 时，建立如图 6.8（b）图所示的高斯面，根据高斯面定理
E dS
s
式中 q
dV dV 3 R
I , B=
8.一球形电容器，内球壳半径为 R1，外球壳半径 R2，两球壳间充满了相对介电常数为εr 的 各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为 Ur2，求： （1）电容器的电容； （2）电容器储存的能量。
E
Q 4 0 r r 2
R2 R2
（2 分）
U Edr
R1
R1
4 r
E dS 0
S
1
所以
E1 0
当 a<r<b 时，
E dS
S
l
0 r
所以
E2 2 rl
l 0 r
E2
当 r>b 时， 所以 （2）导线和圆筒间电势差
l 2 rl 0 r
E dS 0
S
E3 0
U E2 dS
电磁学复习题
1.如图所示，一均匀带电细棒，电荷线密度为 ，棒长为 l ．求图中 P 点处的电势( P 到棒的 距离为 a )．
在细棒上任一位置 x 处取一电荷元 dq, dq dx. 。 则在 P 点处的电势为 整个细棒在 P 点的电势为
dU P
1 dq 1 4 0 r 4 0
A
v
a
b