高中数学知识点题库 058直线与平面所成的角

1．如图9-7-21，三校柱O AB —O 1A 1B I

，平面O B 1⊥平面O AB ，∠O 1O B

=60°，∠A O B=90°，且

O B=OO 1=2，O A=3，求异面直线A 1B 与A O 1所成角的大小.

答案：建立如图9-7-21所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，O 1(0，1，3)，A(3，0，0)，A 1(3，13)，B （0，2，0）.

∴B A 1=OB -1OA =(-3，1，-3)，1OA =OA -1OO =(3，-1，3).

设异面直线所成的角为α，则cos α=

A

O B A A

O B A 1111　•=71

.故异面直线A 1B 与A O 1所成的角的大小

为arccos 71

.

解析：用平移A 1B 或A O 1的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向量法求解.充分

利用∠A O B=90°，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何问题转化为代数问题计算.

题干评注：直线与平面所成的角 问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

2．如图9-7-23，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求直线AC 1与侧面AB 1所成的角的大小.

答案：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(0，0，2a)，C 1(-

23a ，2a ，2a)，取A 1B 1中点M ，则M(0，2a ，2a)，连结AM ，MC 1，有1MC =(-23

a ，0，

0)，AB =(0，a ，

0)，1AA =(0，0，2a).由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，∴MC 1⊥面AB 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面AB 1所成的角θ.

∵1AC =(-23

a ，2a ，2a)，AM =(0，2a ，2a)，

∴1AC ·AM =0+42a +2a 2

=492

a .

而|1AC |=2

2

22443a a a ++=3a ，

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

O

|AM |=2

224a a +=23a ，

∴cos<1AC ，>=

2334

92

a a a •

=23.

∴<1AC ，AM >=30°，即AC 1与侧面AB 1所成的角为30°.

解析：利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，证明∠C 1AM 是AC 1与面A 1B 所成的角；另一种是利用平面AB 1的法向量n =（λ，x ，y ），求解. 题干评注：直线与平面所成的角 问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

3．已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，

SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为

（A

）

(D) 34

答案：D

解析：过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面

SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边

长3，∴

AE =AS=3，∴ SE=AF=32，∴

3

sin 4ABF ∠=

题干评注：直线与平面所成的角

问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

4．正方体ABCD -1111A B C

D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为

（A ）

3 （B

（C ）2

3

（D 答案：D

解析：因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即

1111

33

ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a, A

B

C S

E

F

α

•A

B

•β

则122111sin 60)2222ACD S AC AD ∆=

=⨯⨯=,21122

ACD S AD CD a ∆==. 所以1313ACD ACD S DD DO S ∆∆==

=,记DD 1与平面AC 1D 所成角为

θ,则1sin 3

DO DD θ=

=

,所以cos 3θ=. 题干评注：直线与平面所成的角

问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

5．二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B

l ∈，

AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .

答案：

4

解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D 连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°

又由已知，∠ABD ＝30°连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角 设AD ＝2，则AC

，CD ＝1

AB ＝

sin 30AD

＝4

∴sin ∠ABC ＝

AC AB = 题干评注：直线与平面所成的角

问题评注：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

6．太阳光线斜照地面，地面上与太阳光线成600角的直线有 条？若太阳光线与地面成60°角时，要使一根长2米的竹竿影子最长，则竹竿与地面所成的角为 °． 答案：0或无数；30°

解析：由空间中平面外的直线与平面内的所有直线所成角中以该面外直线与其在面内射影，也即为线面角为其最小角，这一最小角定理可知当太阳光与地面成角大于60°时，地面上与太阳光线成600角的线应为0条；当太阳光与地面成角小于60°时，由直线与面面内的所有线成角的最小角定理知，此时地面上与太阳光线成600角的线应为无数条； 对于第二个空，因为太阳光线与地面成60°角未一定值，要使一根长2米的竹竿影子也及为面外一定长的斜线段的影子最长，由最小角定理之，刚好是使该斜线与光线所成角互余时才会使影子最长． 题干评注：直线与平面所成的角

α

•A

B

•β

C D