八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与特殊三角形存在性问题大视野(原卷版)
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与特殊三角形存在性问题大视野(解析版)
②PE=PD 时，即 DE 为斜边， 3 t+2=-2t， 2
解得：t=-4，
∴P 点坐标为（0，0）．
综上所述：当 t= 4 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时 P 点坐标为（0， 8 ）或（0， 4 ）；
5
5
5
当 t= 4 时，△PDE 为等腰直角三角形，此时 P 点坐标为（0， 8 ）；
2
故答案为：（8，4）或（ 5 ，7）． 2
题型二、直角三角形存在性问题 例 1. 【2019·厦门六中月考】如图，在 RtΔABC 中，∠B=90°，AC=60，∠A=60°．点 D 从点 C 出发沿 CA 方 向以每秒 4 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 2 个单位长的速度向 点 B 匀速运动，设点 D、E 运动的时间是 t 秒(0<t≤15)．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE、EF． （1）求证：AE=DF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，说明理由． （3）当 t 为何值时，ΔDEF 为直角三角形？请说明理由．
故答案为 ，（-2，1）；
（2）过点 B 作 BH⊥x 轴于 H，
∵∠ACB=90°，AC=CB， ∴△BHC≌△COA，
∴HC=OA=4，BH=CO=1，OH=HC+CO=4+1=5， ∴B（-5，1）． 设直线 AB 的表达式为：y=kx+b， 将 A（0，4）和 B（-5，1）代入得， b=4, -5k+b=1，解得：k=0.6，b=4， 即直线 AB 的函数表达式为：y=0.6x+4． （3）设 Q（t，2t-6），分两种情况： ①当点 Q 在 x 轴下方时，Q1M∥x 轴，与 BP 的延长线交于点 Q1．
中(小)学初二三角形四边形动点问题重点知识点重点学习及题标准
三角形四边形动点问题合用学科合用地域知识点初中人教版几何综合动点合用年级课不时长（分钟）初二60分钟教课目标教课要点1、能掌握几何动点类问题的思想方法：数学思想：分类思想数形联合思想转变思想2、培育学生的几何动点问题中动中求静的思虑能力培育学生的分析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应意图识、推理能力问题 ..教课难点培育学生主动研究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培育学生勤于动脑和着手的优异质量.教课过程一、复习预习1.复习所学过的几何图形及其性质2.列出全部几何图形的面积边长公式.二、知识讲解专题一：一函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反响的是一种函数思想,因为某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么 ,我们如何建立这种函数分析式呢下边联合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数分析式。
二、应用比率式建立函数分析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动向几何型压轴题动向几何特色----问题背景是特别图形，观察问题也是特别图形，因此要掌握好一般与特别的关系；分析过程中，特别要关注图形的特征（特别角、特别图形的性质、图形的特别地点。
）动点问题向来是中考热门，近几年观察研究运动中的特别性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特别角或其三角函数、线段或面积的最值。
下边就此问题的常有题型作简单介绍，解题方法、要点赐予点拨。
一、以动向几何为主线的压轴题。
（一）点动问题。
（二）线动问题。
（三）面动问题。
二、解决动向几何问题的常有方法有:1、特别探路，一般推证。
2、着手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形联合）；着力于数学实质及中心内容的观察;四大数学思想：数学联合、分类谈论、方程、函数．2．以形为载体，研究数目关系；经过设、表、列获取函数关系式；研究特别状况下的函数值。
初二三角形四边形动点问题知识点及题问题详解
教学过程一、复习预习1.复习所学过的几何图形及其性质2.列出所有几何图形的面积边长公式.二、知识讲解专题一：一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
（一）点动问题。
（二）线动问题。
（三）面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与平行四边形存在性问题大视野(原卷版)
专题动点与平行四边形存在性问题大视野【例题精讲】题型一、平行四边形存在性问题例1.【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD= ．（1）求点C的坐标；（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题例1.【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．例2.【2019·禹城市期末】如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB 的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．题型三、特殊平行四边形（菱形）存在性问题例1.【2019·福州市晋安区期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．题型四、特殊平行四边形（正方形形）存在性问题例1.【2019·华蓥市期末】如图，已知一次函数y=12-x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13 MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13NP．（1）b=______；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=12-x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【刻意练习】1.【2019·阳江市期中】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-1）（1）AC的长为______；（2）求证：AC⊥BC；（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标______．2.【2018·莆田市期中】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）填空：①当AB=AC时，四边形ADCF是______形；②当∠BAC=90°时，四边形ADCF是______形．3.【2018·琼中县期中】如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．4.【2019·宿迁市期末】如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．5.【2019·惠州市期末】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P 从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？6.【2019·武昌期末】如图，在平面直角坐标系中，OA=OB,△OAB的面积是2.（1）求线段OB的中点C的坐标.（2）连结AC，过点O作OE⊥AC于E，交AB于点D，①直接写出点E的坐标.②连结CD，求证：∠ECO=∠DCB.（3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标.7.【2018·襄阳市期中】如图,矩形OABC的边OA,OC分别与坐标轴重合,并且点B的坐标为（8，）.将该矩形沿OB折叠,使得点A落在点E处,OE与BC的交点为D.（1）求证:△OBD为等腰三角形;（2）求点E的坐标;（3）坐标平面内是否存在一点F,使得以点B,E,F,O为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.8.【2019·天津蓟县期中】如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：①当BE=时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE=时，四边形BECD是菱形．。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 勾股定理重难点大视野(解析版)
专题勾股定理重难点大视野Part 1 基本概念1. 什么是勾股定理？2. 什么是原命题？逆命题？怎么将一个命题改成它的逆命题？3. 勾股定理的逆定理内容4. 什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？柏拉图提出了哪一对勾股数公式？★5. 勾股定理的证明据说，中世纪时数学系硕士研究生必须提出一种勾股定理的新证明方法才能毕业，足见其重要性，这是几何学上的第一朵“奇葩”！需要掌握住以下几个常见证法：【核心：面积法】（1）毕达哥拉斯证法（2）赵爽弦图证法（3）美国总统证法（4）（了解）欧几里得证法【注：我们现在所学几何为欧式几何，就是根据欧几里得所编著的《几何原本》所提炼而得，作为他的学生，他的论述过程还是要了解的！】6. 勾股定理逆定理是怎么证明的？7. 怎么用勾股定理解释“HL判定定理（SSA）”？Part 2 基本结论及思路1. 含特殊角（30°、45°、60°等）的三角形三边关系及面积a =0.5c c =2ab =3a a =3b a = 22c c = 2 aS =23a （含a 的代数式表示） S =234a （含a 的代数式表示）a =33c c =3 a 2. 遇到特殊角时，将特殊角放在直角三角形中求解，常见辅助线是作出垂线。
Part 3 勾股定理应用1. 勾股数2. 用「尺规」的线段或点。
3. 格点三角形的面积；格点三角形各边的长度及各边上高的求法；平面直角坐标系中一点到一条直线距离的求法。
先求★ABC的面积，再求线段AB的长，利用面积法求解。
【例题精讲】题型一、图形求值问题例1. 【2019·株洲市期末】已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8 m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD 的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10 m时，△ABD的周长为______；（2）在图2中，当BA=BD=10 m时，△ABD的周长为______；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案】（1）32m；（2）20+4√5m；（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8 m，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC=√AD2−AC2=6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32 m；（2）当BA=BD=10m时，则DC=BD-BC=10-6=4，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=√AC2+DC2=4√5，则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4√5+10=（20+4√5）m；故答案为：（20+4√5）m；（3）设DC=x，则AD=6+x，在Rt★ACD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得：x=73，由（2）知AB=10，△ABD的周长为：AD+BD+AB=803（m）．例2. 【2018·北师大附中期中】如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A. B. C. D.【答案】B．【解析】解：延长CH交FE的延长线于M，过C作CN★EF于N，则CN=BE=AD=8，易证★CHG★★EHM，★NF=CG=EM=BC－BG=8-6=2，★MN=NE+ME=10，在Rt★AMN中，由勾股定理得：CM★CH =12CM 故答案为：B .例3. 【2019·厦门市期中】如图，边长为a 的正方形ABCD ，点M 是正方形内部一点，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，★BCM 是等边三角形，则★MNC 的面积为【答案】14a 2． 【解析】解：过M 作MG ★BC 于G ，MH ★CD 于H ，则BG =CG ，AB ★MG ★CD ，★AM =MN ，★MH ★CD ，★D =90°，★MH ★AD ，NH =DH ，★★MBC 是等边三角形，★MC =BC =aMH =12a ，CH =2a ，DH =a -2a ，★CN =CH -NH =)1a ，★MNC 的面积为：12×12a ×)1a 2故答案为：14a 2. 例4. 【2019·汕头市期末】如图，直线y ＝﹣x +2分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，点D 在BA 的延长线上，OD 的垂直平分线交线段AB 于点C ．若★OBC 和★OAD 的周长相等，则OD 的长是（ ）A．2B．C D．4【答案】B．【解析】解：★直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A，B，★OA＝OB＝2．在Rt★BOA中，利用勾股定理求得：AB＝．★OBC周长＝2+BC+OC，★OAD周长＝2+OD+AD，★★OBC和★OAD的周长相等，★BC+OC＝OD+AD．★OD的垂直平分线交线段AB于点C，★OC＝CD，OC＝CA+AD．★BC+CA+AD＝OD+AD，即BC+CA＝OD，BA＝OD．★OD＝．故答案为：B．题型二、实际应用问题例1. 【2019·惠州市期末】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，★QON＝30°.公路PQ上A处距离O 点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，如果A处受噪音影响，求影响的时间.【答案】见解析.【解析】解：过点A作AC★ON于C，以A为圆心，以200为半径画弧，交MN于点B、D，则AB=AD=200，★★QON=30°，OA=240，★AC=120，火车到达B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200，AC=120，由勾股定理得：BC=160，CD=160，BD=320，★72 千米/小时=20米/秒，★影响的时间为：320÷20=16秒.例 2. 【2019·厦门六中月考】一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处这段，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高为（）A.7mB.8mC.5mD.10m【答案】B.【解析】解：如图：．在RtΔABC中，AB=3米，BC=4米，由勾股定理，得：AC=√AB2+BC2=5米.★AC+AB=3+5=8米，即大树折断之前有8米高．故答案为：B．题型三、易错问题例1. 【2019·宜城市期末】已知菱形ABCD的边长为4，★B=120°，如果点P是菱形内一点，且P A=PC=√13，那么BP的长为______．【答案】3或1.【解析】解：如图，★菱形ABCD的边长为4，★B=120°，★★ABP=12★ABC=60°，AC★BD，AO=CO，BO=DO，AB=BC=4，★BO=12AB=2，AO=√3BO=2√3，★P A=PC=√13，★点P在AC的垂直平分线上，★PO=√AP2−AO2=1当点P与点D在AC同侧时，BP=OB+OP=3当点P与点D在AC异侧时，BP=OB-OP=1故答案为：3或1.例2. 【2019·阜阳市联考期中】在★ABC中，已知AC=10cm，BC，AB边上的高CD=6cm，则AB=______．【答案】11cm或5cm.【解析】解：（1）如图，在Rt★ACD中，由勾股定理得：AD=8，在Rt★BCD中，由勾股定理得：BD=3，★AB=AD+BD=11（cm），（2）如图，AB=AD-BD=5（cm），则AB=11cm或5cm，故答案为：11cm或5cm．【刻意练习】1. 【2019·禹城市期末】如图，已知OP平分★AOB，★AOB＝60°，CP＝2，CP★OA，PD★OA于点D，PE★OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B C D．【答案】C．【解析】解：★OP平分★AOB，★AOB＝60°，★★AOP＝★COP＝30°，★CP★OA，★★COP ＝★CPO ，★OC ＝CP ＝2，★★PCE ＝★AOB ＝60°，PE ★OB ，★★CPE ＝30°，★CE ＝12CP ＝1，由勾股定理得：PE★OP ＝2PE ＝★PD ★OA ，点M 是OP 的中点，★DM ＝12OP 故答案为：C ．2.【2019·高密市期末】如图，等边★AOB 中，点B 在x 轴正半轴上，点A 坐标为（1，将★AOB 绕点O 顺时针旋转15°，此时点A 对应点A ′的坐标是 ．【答案】）．【解析】解：过点A 作AE ★OB 于E ，过点A ’作A ′H ★OB 于H ．★A （1，★OE ＝1，AE由勾股定理得：OA ＝2，★★OAB 是等边三角形，★★AOA′＝15°，★★A′OH＝60°﹣15°＝45°，★OA′＝OA＝2，A′H★OH，★A′H＝OH，故答案为：）．3. 【2018·容县期末】把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A．B．6C．D．3+【答案】A．【解析】解：连接BC′，由题意得：B在对角线AC′上，★B′C′＝AB′＝3，在Rt★AB′C′中，AC′＝，★BC′＝﹣3，在等腰Rt★OBC′中，OB＝BC′＝3，在直角三角形OBC′中，OC′（﹣3）＝6﹣，★OD′＝3﹣OC′＝3，★四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝6+﹣3+﹣3＝故答案为：A．4. 【2019·株洲市期末】如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是______．【答案】20厘米.【解析】如图，解：由翻折知，★HEM=★AEH，★BEF=★FEM，★HEF=★HEM+★FEM=90°，★EHG=★HGF=★EFG=90°，★四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，在Rt★EFH中，由勾股定理，得：HF=√EH2+EF2=√122+162=20，即AD=20厘米．故答案为：20厘米．5. 【2019·成都市期末】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是______．【解析】解：★四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，★★ACD =45°，★FCG =45°，AC BC CF CE ，★★ACF =45°+45°=90°，在Rt ★ACF 中，由勾股定理得：AF =√AC 2+CF 2=2，★H 是AF 的中点，★CH =12AF6. 【2019·孝感市期末】如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH =6cm ，GH =8cm ，则边AB 的长是______．【答案】485cm . 【解析】如图所示，解：★★HEM =★HEB ，★GEF =★CEF ，★★HEF =★HEM +★GEF =12★BEG +12GEC =12×180°=90°， 同理可得：★EHG =★HGF =★EFG =90°，★四边形EFGH 为矩形，★EH =6cm ，GH =8cm ，由勾股定理，得：GE =10，由折叠可知，HM ★GE ，AH =HM ，BH =HM ，HM×GE=EH×GH，★HM=24 5★AB=BH+AH=2HM=48 5.故答案为485cm．7. 【2019·澧县期中】如图是“赵爽弦图”，★ABH、★BCG、★CDF和★DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于．【答案】6.【解析】解：由题意得：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，四个直角三角形面积和为：100﹣4＝96，设AE=a，DE=b，4×12ab＝96，★2ab＝96，a2+b2＝100，★（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，★a+b＝14，或a+b=-14（舍），★a﹣b＝2，可得：a＝8，b＝6，★AH＝8﹣2＝6．故答案为：6．8. 【2019·阜阳市联考期中】公元3世纪，我国数学家赵爽在《周牌算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为20，且（a+b）2=32．则小正方形的面积为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B.【解析】解：如图所示：★（a+b）2=32，★a2+2ab+b2=32，★大正方形的面积为20，2ab=32-20=12，★小正方形的面积为20-12=8．故答案为：B．9. 【2019·阳江市期中】如图，在★ABC中，★A=45°，★B=30°，CD★AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（）A.√2B.2C.√3D.3【答案】C.【解析】解：在★ABC中，★A=45°，CD★AB，★★ACD是等腰直角三角形，★CD=AD=1，★★B=30°，在Rt★BCD中，BC=2CD=2，★BD=√BC2−CD2=√3，故答案为：C．10.【2019·武汉市期末】如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF 的最小值等于______．【答案】√2.【解析】解：过点P作MN★AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示，★四边形ABCD为正方形，★MN★AB，★PM≤PE（当PE★AB时取等号），PN≤PF（当PF★BC时取等号），★MN=AD=PM+PN≤PE+PF，★正方形ABCD的面积是2，★AD=√2．故答案为：√2．11. 【2019·乐亭县期末】将等边三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2，现将该三角形绕点C按顺时针方向旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为（）A.（1+√3，1）B.（-1，1-√3）C.（-1，√3-1）D.（2，√3）【答案】A.【解析】解：如图，由题意知，A′C与x轴的夹角为30°，过点A′作AD★x轴，则CD=OA=√3，A′D=1，★OD=1+√3，即A′（1+√3，1）．故答案为：A．12. 【2019·汕头市期中】如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是（）A.36B.4.5πC.9πD.18π【答案】B.【解析】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，★DE=10，EF=8，由勾股定理得，DF=√DE2−EF2=6，半圆C的面积为：12×π×32=4.5π，故答案为：B．13. 【2019·广州市番禺区期末】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（）A.2B.√5−1C.√10−1D.√5【答案】C.【解析】解：由题意得，AC=√AB2+BC2=√AD2+DC2=√10，AM=√10，BM=AM-AB=√10-3，★点B的表示的数为2，★点M表示的数为√10−1．故答案为：C．14. 【2019·厦门六中月考】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ΔABE沿直线BE折叠后得到ΔGBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC FD的长为【答案】4．【解析】解：★E是AD的中点★AE=DE由折叠性质得：AE=EG，AB=BG★ED=EG★在矩形ABCD中★★A=★D=90°★★EGF=90°★在RtΔEDF和RtΔEGF中，ED=EG，EF=EF★RtΔEDF★RtΔEGF(HL)★DF=FG设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x在RtΔBCF中，由勾股定理得：(()()222x x+-=+，66解得：x=4，故答案为：4．15. 【2019·广州市番禺区期末】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：★x2+y2=49，★x-y=2，★2xy+4=49，★x+y=9．其中说法正确的是（）A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★【答案】B.【解析】解：由题意得：x2+y2=49★；（x-y）2=4★，★-★得：2xy=45★，★2xy+4=49，★+★得：x2+2xy+y2=94，★（x+y）2=94，★★★★正确，★错误．故答案为：B．16. 【2018·辽阳市期末】如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将★ABC绕点A逆时针旋转15°后得到★AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中★AHC′的面积等于（）A．12﹣6B．14﹣6C．18﹣6D．18+6【答案】C ．【解析】解：在Rt ★ABC 中，由勾股定理得：AC 2＝62+62，★AC ＝6；由旋转得：★CAC ’＝15°，★★B ’AH ＝45°﹣15°＝30°；★B ’H ＝★S ★AB ’H ＝S ★AHC ’＝18﹣故答案为：C ．17. 【2019·宜昌市期中】如图所示，A ，0）、B （0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且满足2S △ABP =S △ABC ，则a 的值为（ ）A ．74BCD ．2【答案】C ．【解答】解：由题意得：OA OB =1，由勾股定理得：AB =2，★★ABC 是等边三角形，★S ★ABC =4×AB 2 过点P 作PD ★x 轴于D ，S ★ABP =S ★ABO +S 梯形BODP -S ★APD=121+（1+a ）×3×12-12×（）×a解得：a故答案为：C .18. 【2018·莆田市期中】如图，点P 是平面坐标系中一点，则点P 到原点的距离是（ ）A . 3B . √2C . √7D . √53【答案】A .【解析】解：连接PO ，★点P 的坐标是（2，7），★点P 到原点的距离=()()2227+=3．故答案为：A ．19. 【2019·固始县期末】一阵大风把一根高为9m 的树在离地4m 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗？为什么？【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C 作CE ★AB 于点E★BE=3在Rt★BCE中，由勾股定理得：BC2=BE2+EC2=32+3.92=24.21树高为9 m，因为52=25＞24.21，所以小马有危险.20. 【2019·黄石期中】在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100√2米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，计算结果保留两位小数）【答案】见解析.【解析】解：如图，过点C作CD★AB于点D，★在Rt★ADC中，★ACD=45°，AC=100√2，★CD=AC=100，2AD=CD=100．在Rt★CDB中，★BCD=60°，★BD=√3CD=100√3．★AB=AD+BD=100+100√3=100（√3+1）≈273．小轿车的速度为：273÷13=21（米/秒）=75.6千米/小时．该路段限速为60千米/时<75.6千米/小时★这辆小轿车超速了．21. 【2019·北京101中学期末】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分★BED．（1）★BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；（2）若AB=2，★DCE=22.5°，求BC长．【答案】见解析.【解析】解：（1）★BEC是等腰三角形；理由如下：★四边形ABCD是矩形，★AD★BC，★★DEC=★BCE，★EC平分★DEB，★★DEC=★BEC，★★BEC=★ECB，★BE=BC，即★BEC是等腰三角形．（2）★四边形ABCD是矩形，★★A=★D=90°，★★DCE=22.5°，★★DEB=135°，★★AEB=180°-★DEB=45°，★★ABE=★AEB=45°，由勾股定理得：BC=BE=22. 【2019·黄石市期中】如图在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的结果精确到0.1米. 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】见解析.【解析】解：★在Rt★ABC中，★CAB=90°，BC=13 ，AC=5 ，由勾股定理得：AB=√132−52=12 ，由题意得：CD=13-0.5×6=10，★AD=√CD2−AC2=√102−52=5√3，★BD=AB-AD=12-5√3≈3.3.即船向岸边移动了大约3.3m．。
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解
初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解初二数学《三角形、四边形》动点问题分析与讲解所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q 从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC 于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．3.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为-1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．6.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O 到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．（3）当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P（85，245）M1（285，245），M2（- 125，245），M3（125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
部编人教版八年级数学下册难点突破专题
部编人教版八年级数学下册难点突破微专题（含解答）目录1、难点突破微专题一：勾股定理与旋转问题2、难点突破微专题二：一次函数方案设计3、难点突破微专题三：一次函数与定点、定值、定直线4、难点突破微专题四：一次函数与方程、不等式5、难点突破微专题五：一次函数与几何结合6、难点突破微专题六：借助勾股定理求最值7、难点突破微专题七：勾股定理与分类讨论8、难点突破微专题八：中点问题9、部编人教版八年级数学下册难点突破微专题九：四边形中的综合运用部编人教版八年级数学下册难点突破微专题一勾股定理与旋转问题【方法技巧】将图形旋转后得到直角三角形，再考虑用勾股定理难点突破一等边三角形为背景→旋转︒601.如图，点P为等边三角形△ABC内的一点，且PC＝3，PB＝4，PA＝5（1）画出将△BPC绕点B逆时针方向旋转︒60后的图形；（2）求∠BPC的度数难点突破二等腰直角三角形为背景→旋转︒902.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝︒45，90，点D，E在AB上，且∠DCE＝︒BE＝2，AD＝3（1）将△BCE绕点C逆时针旋转︒90后，在图中画出旋转后的图形；（2）求DE的长难点突破三︒60（补形）→构成共顶点的两个等边三角形3.如图，在△ABC中，∠ABC＝︒30，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，求BD的长。
难点突破四旋转︒90（补形）→构成共顶点的两个等腰直角三角形4.如图，AB＝AC，∠CAB＝︒90，∠ADC＝︒45，AD＝4，CD＝3，求BD的长。
参考答案1. 解（1）如图所示，△BQA 为△BPC 绕点B 逆时针方向旋转︒60后的图形； （2）如图，连PQ由旋转性质，△BQA ≌△BPC ，△BPQ 为等边三角形 ∴AQ ＝3 ，QB ＝4，∠BPC ＝∠AQB ∠BQP ＝︒60 又PA ＝5∴△PQA 为直角三角形 ∴∠AQC ＝︒90∴∠BPC ＝∠AQB ＝∠AQC+∠BQP ＝︒150134513904522901.222＝＝＝＝＝＝中和在又＝＝＝，＝＝，＝＝由旋转后全等性，有：）连（后的图形。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题06一网打尽动点及折叠类型题目1(解析版).doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】1专题06 一网打尽动点及折叠类型题目1动点类、折叠类题目是初中学生头疼的问题，也是教师教学过程中最烦心的问题，本专题将八年级下册所遇到的动点问题、折叠问题进行分类，并选取一些有代表性的题目供大家研讨，帮助学生们理清一些思路，掌握做题方法.（1）折叠类题目：借助圆规、直尺作出图形，利用勾股定理、方程等手段求解；（2）动点类题目：其中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题要分类讨论，并作出图形；用时间、速度表示线段的长要准确；根据图形列出方程求解.题1. 一次函数与平行四边形存在性问题综合 （解题核心点：基本图形的运用）在平面直角坐标系xoy 中，A （1,2）、B （－1,1）、C （3，m ），D 点是直线y =x 上的一个动点，是否存在实数m 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出m 值，若不存在说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：存在. 设D 点坐标为（n ，n ）①当四边形ACBD 是平行四边形时， 可得：x A + x B = x C + x D ，y A + y B = y C + y D 即1+（－1）=3+n ，2+1=m +n ， 解得：n =－3，m =6；②当四边形ABCD 是平行四边形时， 可得：x A + x C = x B + x D ，y A + y C = y B + y D【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2即1+3=（－1）+n ，2+m =1+n ， 解得：n =5，m =4；③当四边形ABDC 是平行四边形时， 可得：x A + x D = x B + x C ，y A + y D = y B + y C 即1+n =(－1)+3，2+n =1+m ， 解得：n =1，m =2；综上所述，m 的值为6、4、2. 题2. 一次函数与最短路径综合（解题核心点：待定系数法、勾股定理及转化思想）如图2-1所示，直线l 1 :y =-3x +3与x 轴交于点D ，直线l 2经过A (4,0)、B (3，－1.5)两点，直线l 1 与直线l 2交于点C .(1)求直线l 2的解析式和点C 的坐标；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得四边形PDBC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.图2-1【答案】见解析.【解析】解：（1）设直线l 2的解析式为y =kx +b ， 将A (4,0)、B (3，－1.5)代入，得：40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3解得：326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩即直线l 2的解析式为y =32x －6. 联立y =32x －6，y =-3x +3，解得： 23x y =⎧⎨=-⎩，即点C 的坐标为（2，－3） （2）在y =-3x +3中，当y =0时，x =1，即D （1,0）， 由勾股定理，得BD =52，BC，因为四边形PDBC 的周长等于PD +DB +BC +CP ， 所以当PD +CP 最小时，四边形PDBC 的周长最小，作点D 关于y 轴的对称点D ’（－1,0），连接D ’C 交y 轴于点P ，如图2-2所示， 此时即为所求P 点位置，图2-2设直线B ’P 的解析式为y =mx +n ， 将（－1,0），(3，－1.5)代入，得：【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】40332k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：3838k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以P 点坐标为（0，38-）. 题3. 一次函数与全等三角形综合如图3-1所示，在直角坐标系中，点A 的坐标是（0.3），点C 是x 轴上的一个动点，点C 在x 轴上移动时，始终保持△ACP 是等边三角形．当点C 移动到点O 时，得到等边三角形AOB （此时点P 与点B 重合）．（1）点C 在移动的过程中，当等边三角形ACP 的顶点P 在第三象限时（如图），求证：△AOC ≌△ABP ；由此你发现什么结论？（2）求点C 在x 轴上移动时，点P 所在函数图象的解析式．【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：∵△AOB 与△ACP 都是等边三角形， ∴AO =AB ，AC =AP ，∠CAP =∠OAB =60°， ∴∠CAP +∠PAO =∠OAB +∠PAO ， 即∠CAO =∠PAB ， 在△AOC 与△ABP 中，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5AO AB CAO PAB AC AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△AOC ≌△ABP ∴∠COA =∠PBA =90°，∴点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上或PB ⊥AB 或∠ABP =90°． 故结论是：点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上或PB ⊥AB 或∠ABP =90°； （2）解：由（1）知点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上． ∵△AOB 是等边三角形，A （0，3）， ∴B32）． 当点C 移动到点P 在y 轴上时，得P （0，﹣3）． 设点P 所在的直线方程为：y =kx +b （k ≠0）． 将点B 、P 的坐标分别代入，得：3=223k b b ⎧+⎪⎨⎪=-⎩，解得：3k b ⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故所求的函数解析式为：y﹣3． 题4. 一次函数与等腰三角形存在性综合如图4-1所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l 的解析式为y =kx +5-4k （k ＞0）．（1）当直线l 经过点B 时，求一次函数的解析式； （2）通过计算说明：不论k 为何值，直线l 总经过点D ；（3）直线l 与y 轴交于点M ，点N 是线段DM 上的一点，且△NBD 为等腰三角形，试探究：当函数y =kx +5-4k 为正比例函数时，点N 的个数有______个．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6图4-1【答案】见解析. 【解析】解：（1）将（0，2）代入y =kx +5-4k 中，得：k =34， 即当直线l 经过点B 时，一次函数的解析式为y =34x +2； （2）由题意可得：点D 坐标为（4,5） 把x =4代入y =kx +5－4k ， 得y =5，∴不论k 为何值，直线l 总经过点D ； （3）2；理由如下：y =kx +5-4k 为正比例函数时，可得5-4k =0， 即k =54，函数解析式为y =54x ， 如图4-2所示，图4-2N 点在PD 的垂直平分线上时，符合要求；以D 为圆心以PD 长为半径画弧与MD 的交点N 符合要求；以P 为圆心，以PD 长为半径画弧与线段DM 交点为D ，不符合要求，即共2个N 点.题5. 已知C 坐标为(2,0),P 坐标为(x ,y ),直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.若点P (a ,b )在直线y =-x +4上.(1)求出A 、B 坐标,并求出△AOB 的面积;【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7(2)若点P 在第一象限内,连接PC ,OP ,△OPC 的面积为S ,请找出S 与a 之间的函数关系式,并求出a 的取值范围;(3)当△OPC 的面积等于2时,求P 点坐标.(4)点P 在移动的过程中,若BC =BP ，求出满足条件的点P 坐标.(直接写出答案)图5-1【答案】见解析. 【解析】解：（1）在y =-x +4中，x =0时，y =4；y =0时，x =4， 即A （4,0），B （0,4），OA =OB =4 △AOB 的面积为8；（2）∵P 在直线y =-x +4上，所以P 坐标为（a ，－a +4），OC =2， ∵P 在第一象限，∴－a +4>0， ∴S =12×OC ×（－a +4）=－a +4， 其中，0<a <4； （3）S =2时，①－a +4=2，解得a =2， 即P 点坐标为（2,2）； ②－a +4=－2，解得a =6， 即P 点坐标为（6, －2）；综上所述，P 点坐标为（2,2）或（6, －2）；（4）以点B 为圆心，以BC 长为半径画弧，交直线AB 于点P 1，P 2，即为所求，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8过点P 1作P 1H ⊥y 轴于H ，如图5-2所示，图5-2由勾股定理，得：BC =BP 1= ∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°， ∴∠BP 1H =45° ∴HP 1BP 1， 即P 1，4），同理得：P 2，）.题6. 如图6-1所示，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =kx +b 与直线l 2：y =x 交于点A (2,a )，与y 轴交于点B (0,6)，与x 轴交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式； (2)求△AOC 的面积；(3)在平面直角坐标系中有一动点P (5,m )，使得AOP AOC S S △△，请求出点P 的坐标；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9图6-1【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵y =kx +b 与直线y =x 交于点A (2,a )， ∴a =2，即A (2,2),将(2,2)，(0,6)代入y =kx +b 得：226k b b +=⎧⎨=⎩，解得：26k b =-⎧⎨=⎩即直线l 1的函数表达式为y =－2x +6； （2）在y =－2x +6中，当y =0时，x =3， 所以C （3,0）， △AOC 的面积为1232⨯⨯=3； （3）∵AOP AOC S S =△△，∴当两三角形等底等高时面积相等， 平移直线OA ，如6-2所示，图6-2求得直线CD 的解析式为y =x -3，当x =5时，y =2，即P 点坐标为（5,2） 同理，得另一条直线的解析式为y =x +3，当x =5时，y =8，即P 点坐标为（5,8）. 综上所述，点P 的坐标为（5,2）、（5,8）. 题7. 平行四边形及三角形存在性问题综合 （解题核心：勾股定理、一次函数的性质应用）【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10如图7-1所示，已知点A 从点（1,0）出发，以1个单位每秒的速度沿x 轴正方形运动，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使得点B 、C 在第一象限，且∠AOC =60°.同时点G 从点D （8，0）出发，以2个单位长度每秒的速度沿x 轴向负方向运动，以D 、G 为顶点在x 轴的上方作正方形DEFG ．若点P 的坐标为（0,3），设点A 的运动时间为t （s ），求： （1）点B 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A 在运动的过程中，当t 为何值时，点O 、B 、E 在同一直线上；（3）在点A 的运动过程中，是否存在t 值，使得△OCP 为等腰三角形，若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.图7-1图7-2【答案】见解析. 【解析】解：（1）如图7-2所示，过B 作BH ⊥x 轴于H ， ∵OA =AB =t +1，OABC 是菱形 ∴∠BAH =∠AOC =60°， ∴∠ABH =30°， ∴AH =12AB =12(t +1)，由勾股定理得：BHt +1)，∴点B 的坐标为（()312t +)1t +）；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11（2）由题意得：E 点坐标为（8,2t ），设直线OE 的解析式为y =kx ，将E 点坐标代入，得： 2t =8k ，即k =4t ， 直线OE 解析式为y =4t x 若O 、B 、E 三点共线，则B 点在直线OE 上，将B 点坐标代入得：)1t +=4t ×()312t + 解得：t =－1（舍）或t=3， 即当t为3时，点O 、B 、E 在同一直线上.图7-3（3）过C 作CM ⊥x 轴于M ，如图4-2所示，则C 点坐标为（()112t +，)12t +），OC =t +1，OP =3， 在图7-3中，若△OCP 是等腰三角形，①当OC =OP 时，即t +1=3，解得t =2；②当OP =PC 时，∠PCO =∠POC =30°，∴OC= ，即：t，解得：t1；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12③当OC =PC 时，此时，C 在线段OP 的垂直平分线上，即P 点纵坐标为32， 32)1t +，解得：t1； 综上所述，当t 为2或1－1时，△OCP 为等腰三角形.。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题07一网打尽动点及折叠类型题目2(解析版).doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】1专题07 一网打尽动点及折叠类型题目2动点类、折叠类题目是初中学生头疼的问题，也是教师教学过程中最烦心的问题，本专题将八年级下册所遇到的动点问题、折叠问题进行分类，并选取一些有代表性的题目供大家研讨，帮助学生们理清一些思路，掌握做题方法.（1）折叠类题目：借助圆规、直尺作出图形，利用勾股定理、方程等手段求解；（2）动点类题目：其中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题要分类讨论，并作出图形；用时间、速度表示线段的长要准确；根据图形列出方程求解.典型例题精讲题1. （矩形折叠） 如图1-1所示，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么下列说法错误的是（ ）【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2图1-1A .△EBD 是等腰三角形，EB =ED B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等C .折叠后得到的图形是轴对称图形D .△EBA 和△EDC 一定是全等三角形 【答案】B .【解析】解：由折叠及矩形性质知：∠EBD =∠EDB ， 即BE =DE ，故A 正确；在△ABD 和△CDB 中，AB =CD ，∠ABD =∠CDB ，BD =BD ， ∴△ABD ≌△CDB ，所以折叠后得到的图形是轴对称图形，故C 正确；在△EBA 和△EDC 中，∠A =∠C =90°，∠AEB =∠CED ，AB =CD ， ∴△EBA ≌△EDC ，故D 正确；∠ABE 和∠CBD 不一定相等，故B 错误； 故答案为B .题2. （矩形折叠）如图2-1所示，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF =2，FD =4，则BC 的长为图2-1【答案】.【解析】解：连接EF ，如图2-2所示，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3图2-2由折叠知：△ABE ≌△GBE ， ∴AB =BG =6， ∵E 是AD 的中点， ∴AE =EG =12AD ， ∴EG =ED ， ∴△EFD ≌△EFG ， ∴FG =DF =4， ∴BF =BG +FG =10，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BC=.题3. （纸片折叠） 将一张宽为8的长方形纸片（足够长）折叠成如图3-1所示图形.重叠部分是一个△ABC ,则三角形ABC 面积的最小值是图3-1【答案】32.【解析】解：△ABC 的面积等于12×AB ×8， 当AC ⊥AB 时，AB 长度最小，如图3-2所示，图3-2∵∠BAC =90°，AB =AC =8, ∴S △ABC =12×8×8=32. 题4. （矩形折叠） 矩形纸片ABCD 中，AB =3cm ，BC =4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合，设折痕【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于 ．图4-1【答案】.【解析】解：设AE =x ，由折叠可知，EC =x ，BE =4-x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2， 即32+（4-x ）2=x 2，解得：x =由折叠可知∠AEF =∠CEF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠CEF =∠AFE ，∴∠AEF =∠AFE ，即AE =AF =， ∴S △AEF=×AF ×AB =××3=．故答案为：．题5. （正方形折叠） 如图5-1所示，在正方形ABCD 中，边长AB =10，将正方形第一次对折，折痕为MN ，展开后将D 点沿着CE 折叠，使点D 落在MN 的F 点，则MF 的长为图5-1【答案】10-【解析】解：由折叠知：【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5CN =12BC =5，CF =CD =10， 在Rt △CNF 中，由勾股定理得：NF= ∴MF=10-题6. （矩形折叠）将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ， （1）求证：四边形AECF 为菱形； （2）若AB =4，BC =8，求菱形的边长； （3）在（2）的条件下折痕EF 的长．图6-1【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：由折叠及矩形性质知： OA =OC ，EF ⊥AC ，EA =EC ， ∵AD ∥BC ， ∴∠F AC =∠ECA ， 在△AOF 和△COE 中，∠F AO =∠ECO ，OA =OC ，∠AOF =∠COE ， ∴△AOF ≌△COE ∴OE =OF ，∵OA =OC ，AC ⊥EF ， ∴四边形AECF 是菱形；（2）设菱形AECF 的边长为x ，则BE =8-x ，AE =x 在Rt △ABE 中，由勾股定理得： (8-x )2=42+x 2 解得：x =5，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6即菱形的边长为5；（3）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC= ∴OA=12AC 在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OE， ∴EF =2OE=题7. （三角形折叠）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图7-1将Rt △ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合， 折痕为DE ．图7-1（1）如果AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，可求得△ACD 的周长为；（2）如果∠CAD :∠BAD =4:7，可求得∠B 的度数为；操作二：如图7-2，小王拿出另一张Rt △ABC 纸片，将直角边AC 沿直线AD 折叠，图7-2使它落在斜边AB 上，且与AE 重合.（3）若AC ＝9cm ，BC ＝12cm ，请求出CD 的长． 【答案】（1）14cm ；（2）35°；（3）见解析.【解析】解：（1）由折叠性质知：BD =AD ，故△ACD 的周长等于AC +BC =14cm ；（2）略. （3）由折叠知：AE =AC =9，DE ⊥AB ， 设CD =DE =x ，则BD=12-x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=15,∴BE=15-9=6，在Rt△BDE中，由勾股定理得：（12-x）2=x2+36，解得：x=4.5，即CD=4.5 cm.题8. （矩形折叠）如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，图8-1（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处.①求DE的长；②点P是直线BC上的一个动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长.（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处, 求线段CT长度的最大值与最小值之和.【答案】见解析.【解析】解：（1）周长=2×（10+8）=36；（2）①∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE．在Rt△ABF中，BF=6，∴FC=4，在Rt△ECF中，42+（8-DE）2=EF2，解得DE=5，②分三种情形讨论：若AP=AF，7【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】8∵AB ⊥PF ， ∴PB =BF =6；若PF =AF ，则PB +6=10， 解得PB =4，若AP =PF ，在Rt △APB 中，AP 2=PB 2+AB 2，解得PB =73， 综合得PB =6或4或73． （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8， 当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为：12．题9. （矩形折叠）已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点（与点A 、B 不重合）.（1）如图9-1，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在AD 上取一点F ，将△PAF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，试问FG 与CE 的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图9-2，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由；（3）如图9-3，分别在AD 、BC 上取点F 、C ′，使得∠APF =∠BPC ′，与（1）中的操作相类似，即将△PAF 沿PF 翻折得到△PFG ，并将△PBC ′沿PC ′翻折得到△PEC ′，连接FC ′，取FC ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】见解析. 【解析】解： （1）FG ∥CE ，在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，由题意得，∠G =∠A =90°，∠PEC =∠B =90°，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∴∠GEC =90°， ∴∠G =∠GEC ， ∴FG ∥CE ； （2）GH =EH .延长GH 交CE 于点M ，如图9-4所示，图9-4由（1）得，FG ∥CE ， ∴∠GFH =∠MCH ， ∵H 为CF 的中点， ∴FH =CH ，又∵∠GHF =∠MHC ， ∴△GFH ≌△MHC ， ∴GH =HM =12GM，∵∠GEC =90°， ∴EH =12GM ， ∴GH =EH .（3）（2）中的结论还成立.取PF 的中点M ，PC ’的中点N ，连接GM 、HM 、EN 、HN ，如图9-5所示，图9-5【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10∵∠FGP =90°，M 为PF 的中点， ∴11,,'22GM PF PM PF HM PC ==∥ ∴GM =PM ， ∴∠GPF =∠MGP ，∴∠GMF =∠GPF +∠MGP =2∠GPF ， ∵H 为FC ’中点，M 为PF 的中点， ∴HM =12PC ’，同理，HN =12PF ,EN =12PC ’，HN ∥PF ，∠ENC ’=2∠EPC ’ ∴GM =HN ，HM =EN∵∠GPF =∠FPA ，∠EPC ’=∠BPC ’， 又∠BPC ’=∠FPA ， ∴∠GPF =∠EPC ’， ∴∠GMF =∠ENC ’， ∵HM ∥PC ’，HN ∥PF ， ∴四边形HMPN 为平行四边形， ∴∠HMF =∠HNC ’， ∴∠GMH =∠HNE ， ∵GM =HN ，HM =EN ， ∴△GMH ≌△HNE ， ∴GH =HE .题10. （矩形折叠）如图10-1，在矩形ABCD 中，AB =18，BC =24，点E 是BC 边上动点，连接AE ，将∠B 沿着直线AE 折叠，使得点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，求BE 的长．【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【答案】见解析.【解析】分两种情况讨论：①当∠CEB ′=90°时，如图10-2所示.图10-2由折叠性质得：AB =AB ′，ABEB ′是矩形.∴四边形ABEB ′是正方形.BE =AB =18.②当∠CB ′E =90°时，如图10-3所示.图10-3由折叠性质知，∠AB ′C =90°，∠AB ′C+∠CB ′E =180°.∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =30，∵AB = AB ′=18∴B ′C =12设BE =x ，则B ′E =x ，EC =24－x在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2即：（24-x ）2=x 2+122解得：x =9.综上所述，BE 的值为18或9.。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 一次函数提升大视野(原卷版)
专题一次函数素质提升大视野【例题精讲】题型一、图象类问题例1. 【2019·厦门市期中】在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿着A-B-C-D-A的路径运动过一周，线段AP长度与点P运动路程x之间的函数图象如图所示，则矩形的面积是例2. 【2019·宿迁市期末】如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D 匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.题型二、图形存在性问题例1. 【2019·福州市期中】如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x 上一点P(1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD，过点D 作直线AB⊥x 轴，垂足为B，直线AB 与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x 交于点Q，则点Q 的坐标为．例2. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线12y x b=+与△ABC有交点时，b的取值范围是（）A．﹣1≤b≤1B．﹣12≤b≤1C．﹣12≤b≤12D．﹣1≤b≤12例3. 【2019·宜城市期末】如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（）A.y=x-2B.y=2x-4C.y=x-1D.y=3x-6题型三、实际问题应用例1. 【2018·武威凉州区期末】如图，线段AB，CD分别是一辆轿车的油箱剩余油量y1（升）与一辆客车的油箱剩余油量y2（升）关于行驶路程x（千米）的函数图象．（1）分别求y1，y2与x的函数解析式；（2）如果两车同时出发轿车的行驶速度为100千米/时，客车的行驶速度为80千米/时，当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差多少分？例2. 【2019·高密市期末】某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．【刻意练习】1. 【2019·汕头市期末】一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则k的值等于．2. 【2019·桑植县期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP 的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A.B.C.D.3. 【2019·兴城市期末】已知一次函数y=kx+2的图象与x轴交点的横坐标为6，则当-3≤x≤3时，y的最大值是______．4. 【2019·大连市期末】在平面直角坐标中，已知点A（2，7）、B（9，6），直线y=kx（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为______．5. 【2019·孝感市期末】如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2．则下列结论：△m＜0，n＞0；△直线y=nx+4n一定经过点（-4，0）；△m与n满足m=2n-2；△当x＞-2时，nx+4n＞-x+m，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 【2019·高阳县期中】星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B. 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C. 从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才开始返回7. 【2019·乐亭县期末】如图，某个函数的图象由折线A→B→C组成，其中点A（0，5），B（1，2）、C（3，34），则此函数值最大的是（）3B.1C.2D.3A.538. 【2019·卢龙县期末】某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是（）A.打六折B.打七折C.打八折D.打九折9. 【2019·固始县期末】甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地．如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象．（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？10. 【2019·莆田市期末】如图，直线y=43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B、C是线段AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（）A.4.2B.4.8C.5.4D.611. 【2018·辽阳市期末】如图所示，已知函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是．12. 【2019·株洲市期末】如图，直线m的表达式为y=-3x+3，且与x轴交于点B，直线n经过点A（4，0），且与直线m交于点C（t，-3）（1）求直线n的表达式．（2）求△ABC的面积．（3）在直线n上存在异于点C的另一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．13. 【2019·孝感市期末】如图，直线y=32x+m与x轴交于点A（-3，0），直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=32x+m相交于点D．（1）点D的坐标为______；（2）求四边形AOCD的面积；（3）若点P为x轴上一动点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标．14. 【2019·福州市期中】如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为(0，1)，直线x＝1 交x 轴于点B．点P 为线段AB上一动点，作直线PC△PO，交直线x＝1 于点C．过P 点作直线MN 平行于x 轴，交y 轴于点M，交直线x＝1 于点N．记AP＝x，△PBC 的面积为S．（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM△△PCN；（2）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x＝1 上移动，求出S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使△PBC 成为等腰三角形的x 的值；如果不可能，请说明理由．。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 一次函数中的动点问题与实际问题(原卷版)
专题一次函数中的动点问题与实际问题【例题精讲】题型一、角度问题例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足√m−6+（n-12）2=0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．题型二、面积问题例1. 【2019·高密市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k、b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．例2. 【2019·成都市期末】如图，已知直线y=kx+4（k≠0）经过点（-1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F 为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC=FD；（2）连接CD，若△FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，11OC OG是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．题型三、复杂实际问题例1. 【2019·泉州市晋江区期中】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2＝米/分；（2）写出d1与t的函数关系式：（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【刻意练习】1. 【2019·乐亭县期末】如图1，四边形ABCD 中，AB △CD ，△B =90°，AC =AD ．动点P 从点B 出发沿折线B -A -D -C 方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则AD 等于（ ）A .5B .√34C .8D .2√32. 【2019·卢龙县期末】如图，直线y 1=2x -2的图象与y 轴交于点A ，直线y 2=-2x +6的图象与y 轴交于点B ，两者相交于点C ．（1）方程组{2x −y =2,2x +y =6的解是______；（2）当y 1＞0与y 2＞0同时成立时，x 的取值范围为______； （3）求△ABC 的面积；（4）在直线y 1=2x -2的图象上存在异于点C 的另一点P ，使得△ABC 与△ABP 的面积相等，请求出点P 的坐标．3. 【2019·莆田市期末】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．4. 【问题情境】已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+1x的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+1x的自变量x的取值范围是，如表是y与x的几组对应值．x (1)41312123m…y (1)443132122212313144…△直接写出m的值；△画出该函数图象，结合图象，得出当x＝时，y有最小值，y的最小值为；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．5. 【2018·辽阳市期末】为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙与x的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？6. 【2019·乐亭县期末】小明骑电动车从甲地去乙地，而小刚骑自行车从乙地去甲地，两人同时出发走相同的路线；设小刚行驶的时间为x（h），两人之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，，0）．根据图象进行探究：点B的坐标为（13（1）两地之间的距离为______km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求两人的速度分别是每小时多少km？（4）直接写出点C的坐标______．7. 【2019·宜城市期末】某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）8. 【2019·成都月考】一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．△求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P=预售总额-购机款-各种费用）△求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．9. 【2018·北师大附中期中】已知：如图，△MON=90°，在△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=4cm，将△ABC 的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD△ON于点D，记OA=x（当点O与A重合时，x的值为0），CD=y，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象。
人教版数学八年级下动点与最短路径、图形长度最值问题知识点总结及重难点
专题03 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野最短路径原理1：两点之间线段最短；原理2：垂线段最短（1）二维平面内前提：A点B点是固定点，点P是x轴上一动点。
当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；当P A+PB最小时，在图中作出P点位置；当|P A－PB| 最大时，在图中作出P点位置；（2）立体图形中常见的有立方体、长方体、楼梯、树木绕绳问题解决方法：将立体图形曲面展开成平面图形，标出起始位置，借助勾股定理求解。
题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．2D．4例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．3B．5C．7D题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E，F 分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A.3B.4C.5D.6例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．D．353. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π227. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D 为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE 的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A8.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P的坐标______．答案解析题型一、线段最值问题例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（）A．5B．4C．1.5D．3【答案】D．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，即OE是△ABC的中位线，∴OE＝12BC＝1.5，∴EF＝2OE＝3，即EF的最小值是3．故答案为：D．例2. 【2019·宿迁市期末】在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为______cm．【答案】24 5.【解析】解：∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF=AP，当AP⊥BC时，AP的值最小，此时AP=245，∴EF的最小值为245．例3. 【2019·宜昌市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．2B．6C．2D．4【答案】A．【解析】解：由题意知，点B’的轨迹是以E为圆心，BE的长为半径的圆弧，当B’、E、D共线时，B’D的值最小，最小值为：DE-BE2，故答案为：A.例4. 【2109·福州市期中】如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC 为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是.【解析】解：将△BAD绕点D顺时针旋转90°，得到△DCM，易证，△ADM是等腰直角三角形，AD AM，当A、C、M共线时，且C在A、M之间时，AM的长度最大，最大为7，.∴AD的最大值为：2例5. 【2019·厦门大学附中期末】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D 【答案】B .【解析】解：如图，点P 的轨迹为以A 为圆心，以OA 为半径的圆，点M 的轨迹为以点O ’为圆心以EF 的长为直径的圆，∴O ′（72）， ∴AO ′＝3，当点M 在AO ′的延长线上时，AM 的值最大，最大值为3+2＝5，故答案为：B ．题型二、最短路径问题例1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =8，BD =6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（ ）A .3B .4C .5D .6【答案】C .【解析】解：设AC 交BD 于O ，作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，则此时EP +FP 的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，∴AN=CF，∴△ANP≌△CFP，∴AP=CP，即P为AC中点，∵O为AC中点，∴P、O重合，即NF过O点，∵AN∥BF，AN=BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF=AB，∵AC⊥BD，OA=12AC=4，BO=12BD=3，由勾股定理得：AB=√AO2+BO2=5，故答案为：C．例2. 【2019·厦门市期中】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点之间的距离之和P A+PB的最小值是【答案】【解析】解：设△ABP边BA上的高为h，∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴h=2，即动点P的运动轨迹是与AB平行，且与AB距离为2的直线，不妨设这条直线为l，作A点关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长度即为所求的最短距离，由勾股定理，得：BE=即P A+PB的最小值是故答案为：例3. 【2019·遵义市期中】如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．B．C D．6【答案】B．【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．由题意得：AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，∴AC＝cm，这圈金属丝的周长最小值为：2AC＝cm．故答案为：B．例4. 【2019·北京101中学期末】如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为______．【答案】【解析】解：命题：在直角三角形中，若一条直角边是斜边长的一半，则该直角边所对的角为30°（证明略）；如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵AB=CB=4，S△ABC=∴AH=∴∠HAB=30°，∠ABH=60°，∴∠ABC=120°，∵∠BAC=∠C=30°，作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q的长度=PK+QK的最小值，∴∠P′AK=∠BAC=30°，∴∠HAP′=90°，∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q=AH=即PK+QK的最小值为，故答案为：【刻意练习】1. 【2019·抚顺市期中】如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【答案】125．【解析】连接BP∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，∴四边形PEBF是矩形；∴EF＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，1 2BC•AB＝12AC•CP，即12×4×3＝12×5•CP，CP＝125．故答案为：125．2. 【2019·鞍山市期末】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．D．35【答案】B．【解析】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝（3）如图：BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，由勾股定理得：AB＝由于25＜故答案为：B．3. 【2019·临洮县期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ，BD 互相垂直平分，∴点B 关于AC 的对称点为D ，∴FD ＝FB ，∴FE +FB ＝FE +FD ≥DE ，所以当点F 运动到点M 时，取等号，△ABD 是等边三角形，E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴AE ＝12AD ＝1，DE∴EF +BF4. 【2019·成都市期末】如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD =3，AB =7，则线段MN 的取值范围是______．【答案】MN ≤≤【解析】解：∵点P ，M 分别是CD ，DE 的中点，∴PM =12CE ，PM ∥CE ， 同理，PN =12BD ，PN ∥BD ， ∵△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，PN∥BD，∴∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM=PN=12 BD，∴MN=2BD，∴点D在线段AB上时，BD最小，最小值为4，MN的最小值点D在BA延长线上时，BD最大，最大值为10，MN的最大值为，故答案为：MN≤≤5. 【2019·武汉市期末】如图，在菱形ABCD中，E为AB中点，P是BD上一个动点，则下列线段的长度等于P A+PE最小值的是（）A.BCB.CEC.DED.AC【答案】B.【解析】解：在菱形ABCD中，A与C关于直线BD对称，连接EC，与BD交于点P，此时P A+PE=CP+EP=CE值最小，故答案为：B．6. 【2019·固始县期末】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π22【答案】C.【解析】解：（1）蚂蚁可以沿A-B-C的路线爬行，AB+BC=6，（2）把圆柱侧面展开，展开图如图所示，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=1.5π，AC=√AD2+CD2=3√4+π2＜6，2故答案为：C．7. 【2019·黄石期中】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D 为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE 的最小值为（）B.√2C.2√2D.3√2A.2【答案】A.【解析】解：如图，作EH⊥x轴于H，连接CE，∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，∴∠ADO+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠ADO=∠DEH，∵AD=DE，∴△ADO≌△DEH（AAS），∴OA=DH=OC，OD=EH，∴OD=CH=EH，∴∠ECH=45°，过点O作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，∵OC=3，，∴OE′=2，由垂线段最短，知OE的最小值为：2故答案为：A．8.【2019·广州市番禺区期末】如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______cm．【解析】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面圆的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB=√AC2+BC2=√41cm．故答案为：√41．9. 【2019·桑植县期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）①联立y=-2x+12，y=x，解得：x=y=4，即点C的坐标为（4，4）；②在y=-2x+12中，当x=0时，y=12，当y=0时，-2x+12=0，x=6，∴点B（0，12），A（6，0），则△OAC的面积为：12×6×4=12；（2）∵ON平分∠AOC，AB⊥ON，∴ON是线段AC的垂直平分线，∴AQ=CQ，∴AQ+PQ=CQ+PQ，当C、Q、P共线，且CP⊥OA时，AQ+PQ取最小值，最小值为△OAC边OA上的高，∵△OAC的面积为6，OA=4，∴△OAC边OA上的高=2×6÷4=3.∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．10.【2019·泉州市期末】已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．①求证：△PBE是等边三角形；②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∵AC=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC等边三角形，∴∠ABC=60°，由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，∴△PBE是等边三角形；②由①知AB=BC=5，由旋转知△ABP≌△CBE，∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，∴△ACP是直角三角形，∴∠APC=90°，∴∠APB+∠BPC=270°，∵∠APB=∠CEB，∴∠CEB+∠BPC=270°，∴∠PBE+∠PCE=90°，∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠PCE=90°-60°=30°；（2）如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，由旋转知△ADG≌△A'DG'，∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，∵∠G'DG=60°，G'D=GD，∴△G'DG是等边三角形，∴GG'=DG，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即AG+EG+DG的值最小，∵∠A'DA=60°，∠ADE=12∠ADC=30°，∴∠A'DE=90°，∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E=5，∴AG+EG+DG的最小值为5．11.【2019·宿迁市期末】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的格点图中，点A、B、C都是格点．（1）点A坐标为______；点B坐标为______；点C坐标为______；（2）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（3）已知M（1，4），在x轴上找一点P，使|PM-PB|的值最大（写出过程，保留作图痕迹），并写出点P 的坐标______．【答案】（1）（-1，0）；（-2，-2）；（-4，-1）；（2）见解析；（3）（-5，0）. 【解析】解：（1）由图象可知点A （-1，0），点B （-2，-2），点C （-4，-1）； （2）如图所示：（3）作点B 关于x 轴的对称点F （-2，2），连接MF 交x 轴于P ， 点P 就是所求的点，理由：在x 轴上任意取一点P 1， ∵|P 1M -P 1B |=|P 1M -P 1F |≤FM ，∴|PM -PB |的最大值为线段FM 的长度，设直线FM 解析式为：y =kx +b ，把F 、M 两点坐标代入，得： k +b =1，-2k +b =2，解得：23103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线FM 解析式为：y =21033x +， 当y =0时，x =-5，即点P坐标为（-5，0）．故答案为:（-5，0）．。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 几何中常见模型及辅助线题型大视野(解析版)
专题几何中常见模型及辅助线题型大视野【例题精讲】题型一、手拉手模型例题.【2019·惠州市期末】如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.（1）求证：OE=OF；（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；（3）若正方形A′B′C′D′绕着O点旋转，EF的长度何时最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形OB’C’D’是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠B’OD’=90°，∠OBE=∠OCF=45°，∴∠BOE=∠FOC，∴△BOE≌△COF，∴OE=OF；（2）由（1）知，△BOE≌△COF，∴S△BOE=S△COF∴两正方形重叠部分面积=S四边形OECF=S△COF+S△OCE=S△BOE+S△OCE=S△BOC=1 4（3）由（1）知OE=OF，则△EOF是等腰直角三角形，∴EF=OE，由垂线段最短，知当OE⊥BC时，OE长度最小，最小为12，此时EF长度最小，即EF最小值为：2 2 .题型二、一线三直角模型例题.【2019·临沂市期中】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见解析．【解析】解：（1）结论：PB＝PQ，理由：过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．题型三、辅助线例1.【2019·莆田市期末】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上一点，且AF=BE，AE与DF交于点G．（1）求证：AE=DF．（2）如图2，在DG上取一点M，使AG=MG，连接CM，取CM的中点P．写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，∵AF=BE，∴△DAF≌△ABE（SAS），∴AE=DF．（2）解：结论：DG PD．理由：连接GP并延长至H，使GP=PH，连接DH、CH，∵PM=PC，∠MPG=∠CPH，PG=PH，∴△MPG≌△CPH（SAS），∴∠PMG=∠PCH，GM=CH=AG，∴DF∥CH，∴∠FDC=∠DCH，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠CDF=90°，∴∠DAG=∠CDG=∠DCH，∵DA=DC，∴△DAG≌△DCH（SAS），∴DG=DH，∠ADG=∠CDH，∴∠GDH=∠ADC=90°，∴△GDH是等腰直角三角形，∵GP=PH，∴PD=PG，PD⊥GH，∴DG=PD．例2.【2019·武汉市期末】在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF 上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析.【解析】（1）证明：在EG上截取EH=BG，∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，∵AE=AB，∠ABG=∠AEH，BG=EH，∴△ABG≌△AEH，∴AH=AG，∠EAH=∠GAB，∴∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH=AG，∴EG=AG+BG；（2）EG= AG－BG．如图，过点A作AH⊥AG，交GE的延长线于H，则∠GAH=∠EAB=90°，∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠AGH+∠AGB=∠AGH+∠H=90°．∴∠AGB=∠H，∵AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH，∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴ AG=HG．∴EG= AG－BG．【刻意练习】1.【2018·容县期末】如图，已知△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝，三角形顶点在相互平行的三条直线L1，L2，L3上，且L2，L3之间的距离为3，则L1，L3之间的距离是．【答案】4.【解析】解：如图过点A作AM⊥L3于M，过点B作BN⊥L3于N．∵AC＝BC＝5，AB＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠ACM+∠BCN＝90°，∵∠BCN+∠CBN＝90°，∴∠ACM＝∠CBN，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴AM＝CN＝3，在Rt△NCB中，由勾股定理得：BN＝4，故答案为：4．2.【2019·长沙市雨花区期末】在正方形ABCD中，连接BD，P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接AP，AP的垂直平分线交线段BD于点E，连接AE，PE．提出问题：当点P运动时，∠APE的度数，DE与CP的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点P的两个特殊位置：①当点P与点B重合时，如图1-1所示，∠APE=______°，用等式表示线段DE与CP之间的数量关系：______；②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：______；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2-1，2-2，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下______（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）45，PC= DE；不变化；（2）成立；（3）见解析.【解析】解：（1）①当点P与点B重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°，EA=EB=ED，∴PC= DE．②当BP=BC时，①中的结论不发生变化；故答案为：45，PC= DE，不变化；（2）结论仍然成立；（3）如图，过点E作EF⊥AD于F，延长FE交BC于G，连接AC、EC，∵点E在线段AP的垂直平分线上，∴EA=EP，∵四边形ABCD是正方形，∴BD是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠EAB=∠ECB，∵EA=EP，EA=EC，∴EP=EC，∴∠EPC=∠ECP，∵∠EPC+∠EPB=180°，∴∠BAE+∠EPB=180°，∴∠ABP+∠AEP=180°，∵∠ABP=90°，∴∠AEP=90°，∴∠APE=∠PAE=45°，∵EF⊥AD，∴∠DFG=90°，∵∠BCD=∠ADC=90°，∴四边形FGCD是矩形，∴CG=FD，∠FGC=90°，∵∠BDA=45°，DE，∴FD=2∵EP=EC，∴CP=2CG=2DF DE．3.【2019·阳江市期中】（1）如图（1），在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF；（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证AC2+BD2=2（AB2+BC2）（3）如图（3），PQ是△PMN的中线，若PM=11，PN=13，MN=10，求出PQ的长度．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，∴AD=CB，DE=BF，∠AED=∠CFB=90°，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴AE=CF；（2）如图，分别过A，D作AE⊥BC交CB延长线于E，DF⊥BC于F．根据勾股定理可得：AC2=AE2+（BE+BC）2①，AE2=AB2-BE2②，BD2=DF2+（BC-CF）2③，DF2=DC2-CF2④，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，又∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF，而AB=DC，把②代入①，④代入③，可得：AC2=AB2-BE2+（BE+BC）2BD2=DC2-CF2+（BC-CF）2上面两式相加，可得：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；（3）如图，延长PQ至R，使得QR=PQ，连接RM，RN，∵PQ是△PMN的中线，∴NQ=MQ，∴四边形NPMR是平行四边形，由（2）可得，MN2+PR2=2（NP2+MP2），又∵PM=11，PN=13，MN=10，∴102+（2PQ）2=2（132+112），解得：PQ=2 ．4.【2019·十堰市外国语期末】如图，已如等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC，CD=CE，连接BE、AD，P 为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN．（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：延长BE交AD于F，如图所示：∵P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，∴PM∥AD，PM=12AD，PN∥BE，PN=12BE，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∴PM=PN，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，∴∠CAD+∠AEF=∠CBE+∠BEC=90°，∴∠AFE=90°，∴BE⊥AD，∵PM∥AD，PN∥BE，∴PM⊥PN，即△PMN是等腰直角三角形；（2）∵∠ACD=90°，CD=5，AC=12，由勾股定理得：AD= =13，∴PN=PM=12AD=132，∵△PMN是等腰直角三角形，∴MN=PM=2，即△PMN的周长=PM+PN+MN=13+2．5.【2019·固始县期末】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：CG=CD．【答案】见解析.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，∵E，F分别是边AB．BC的中点∴AE=12AB，BF=12BC，∴AE=BF．在△ABF与△DAE中，∵AD=AB，∠DAF=∠ABF，AE=BF，∴△DAE≌△ABF（SAS）．∴∠ADE=∠BAF，∵∠BAF+∠DAG=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．（2）证明：延长AF交DC延长线于M，∵F为BC中点，∴CF=FB∵DM∥AB，∴∠M=∠FAB．在△ABF与△MCF中，∵∠M=∠FAB，∠CFM=∠BFA，CF=BF，∴△ABF≌△MCF（AAS），∴AB=CM．∴AB=CD=CM，∵△DGM是直角三角形，∴CG=12DM=CD．6.【2019·高阳县期中】如图，正方形ABCD的边长为2 ，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．（1）求证：AF=BE；（2）求点E到BC边的距离．【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，∠AOB=∠BOC=90°，∵AM⊥BE于点M，∴∠AME=90°，∴∠MAE=∠OBE，∴△AOF≌△BOE，∴AF=BE；（2）解：作EN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=22BC=2，∠OCB=45°，∵E是OC的中点，∴CE=1，在Rt△ECN中，∠ECN=45°，△CEN为等腰直角三角形，∴EN=22CE=22，即点E到BC边的距离为2．7.【2019·汕头市期中】如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）求证：BG⊥DE．【答案】见解析.【解析】证明：（1）∵∠BCD=∠GCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG与△DCE中，∵BC=CD，∠BCG=∠DCE，CE=CG，∴△BCG≌△DCE（SAS）；（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠HBC=∠ODH，∵∠BHC=∠DHO，∵∠HBC+∠BHC=90°，∴∠ODH+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．8.【2019·北师大附属中学期末】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求OC的长．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝12BC，AF＝12AD，∴BE＝AF．∴四边形ABEF是平行四边形．∵BC＝2AB，∴AB＝BE．∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示：∵E是BC的中点，BC＝2AB，∴BE＝CE＝AB，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴BE＝CE＝AB＝4，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°．∴OE＝2，∠OEB＝60°．∴GE＝1，OG．∴GC＝GE+CE＝5．在Rt△OCG中，由勾股定理得：OC＝9.【2019·厦门六中月考】正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC=α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【答案】见解析.【解析】解：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠C=90°∴∠DBC=∠CDB=45°∵∠PBC=α∴∠DBP=45°-α∵PE⊥BD，且O为BP的中点∴EO=BO∴∠EBO=∠BEO∴∠EOP=∠EBO+∠BEO=90°-2α（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BE∴ΔABE≌ΔCBE∴AE=CE在RtΔBPC中，O为BP的中点∴CO=BO=12 BP∴∠OBC=∠OCB∴∠COP=2α由（1）知∠EOP=90°-2α∴∠EOC=∠COP+∠EOP=90°又由（1）知BO=EO∴EO=CO∴△EOC是等腰直角三角形∴EO2+OC2=EC2∴EC OC=22 BP即BP EC∴BP AE.10.【2018·莆田市期中】（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG．求证：EF=FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，DG=BE，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN= ．11.【2019·北师大附属中学期末】四边形ABCD是边长为4正方形，点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），点F是正方形外角∠DCM的平分线上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）当点E与点B重合时，直接写出线段AE与线段EF的数量关系；（2）如图1，当点E是边BC的中点时，①补全图形；②请证明（1）中的结论仍然成立；（3）取线段CF的中点N，连接DE、NE、DN，①求证：EN＝DN；②直接写出线段EN长度的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）当点与点重合时，AE=EF．（2）①如图，②如图，在AB上取AB中点H，连接HE，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝CB，且点H是AB中点，点E是BC中点，∴AH＝BH＝BE＝CE，∴∠BEH＝∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝45°∴∠ECF＝135°＝∠AHE，∵∠AEF＝90°∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，且AH＝EC，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF.（3）①如图，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，∵CN＝FN，∠DNC＝∠HNF，DN＝NH，∴△DCN≌△HFN（SAS）∴DC＝FH，∠DCF＝∠FCM＝45°，∴FH∥DC，且CD⊥BC，∴FH⊥BM，∴∠FEM+∠EFH＝90°，且∠FEM＝∠BAE，∠BAE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠EFH，∵AD＝CD，CD＝FH，∴AD＝FH，且AE＝EF，∠DAE＝∠EFH，∴△ADE≌△FHE，∴DE＝EH，且DN＝NH，∴EN＝DN.②∵DE＝EH，DN＝NH，∴EN＝DN，EN⊥DN∴DE2EN，∵点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），∴4＜DE2，∴2＜EN≤4.12.【2019·宿迁市期末】（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E 是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN=DM．设OM=a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标______（用含a的代数式表示）；（2）如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD=MN．将这个问题解决，请写出你的证明过程．（3）在（2）的条件下，如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【答案】（1）N（2+a，a）；（2）（3）见解析.【解析】（1）解：过点N作NE⊥OB于E，∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°，∴∠DMO=∠MNE，∵DM=MN，∴△DMO≌△MNE，∴ME=DO=2，NE=OM=a，∴OE=OM+ME=2+a，∴点N坐标（2+a，a），故答案为：（2+a，a）．（2）证明：在OD上截取OH=OM，连接HM，∵OD=OB，OH=OM，∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，∴∠DHM=180°-45°=135°，∵NB平分∠CBE，∴∠NBE=45°，∴∠NBM=180°-45°=135°，∴∠DHM=∠NBM，∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NMB=90°，∵∠HDM+∠DMO=90°，∴∠HDM=∠NMB，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．理由：在BO延长线上取OA=CF，易证：△DOA≌△DCF，∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，∵∠MDN=45°，∴∠CDF+∠ODM=45°，∴∠ADO+∠ODM=45°，∴△DMA≌△DMF，∴∠DFM=∠DAM=∠DFC，过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，∴∠NMB=∠MDH，∠MDO+∠CDF=45°，∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．13.【2019·福州市期末】如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．求∠EAF的度数；如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF＋2DM．【答案】见解析.【解析】(1)解：过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，∴∠MEF＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠BCE＝90°，∵EC＝EF，∴△EBC≌△FME，∴FM＝BE，∴EM＝BC∵BC＝AB，∴EM＝AB，∴EM﹣AE＝AB﹣AE∴AM＝BE，∴FM＝AM，∵FM⊥AB，∴∠MAF＝45°，∴∠EAF＝135°．(2)证明：过点F作FG∥AB交BD于点G，由(1)可知∠EAF＝135°，∵∠ABD＝45°∴∠EAF＋∠ABD＝180°，∴AF∥BG，∵FG∥AB，∴四边形ABGF为平行四边形，AF＝BG，FG＝AB，∵AB＝CD，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠FGM＝∠CDM，∵∠FMG＝∠CMD∴△FGM≌△DMC(AAS)，∴GM＝DM，∴DG＝2DM，∴BD＝BG＋DG＝AF＋2DM．14.【2019·漯河市期中】如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC'，延长QC′交BA的延长线于点M．（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）求证：MQ＝MB；（3）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．【答案】见解析.【解析】（1）解：结论：AP＝BQ．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABQ+∠CBQ＝90°．∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ．∴△PBA≌△QCB，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB＝∠QBA．由折叠可得：∠C′QB＝∠CQB，∴∠QBA＝∠C′QB，∴MQ＝MB．（3）解：过点Q作QH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴QH＝BC＝AB＝3．∵BP＝2PC，∴BP＝2，PC＝1，由勾股定理得：BQ＝AP，BH＝2．∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，∴∠CQB＝∠QBA，由折叠可得：∠C′QB＝∠CQB，∴∠QBA＝∠C′QB，∴MQ＝MB．设QM＝x，则有MB＝x，MH＝x﹣2．在Rt△MHQ中，由勾股定理，x2＝（x﹣2）2+32，解得x＝13 4．∴QM的长为13 4 .15.【2019·黑龙江秋实中学期中】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以BD为斜边作直角三角形BED，∠BED=90°，连结AE、CE、OE.（1）如图①,请直接写出线段OE与线段AC的数量关系；（2）如图②,延长EO交AD于H,连AG与HC,若AE=CE,求证：四边形AGCH是菱形.图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）AC=2OE；∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，O是BD、AC的中点∵∠BED=90°，∴2OE=BD=AC；（2）由（1）知，O是AC中点，∵AE=CE，∴EH⊥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OAH=∠OCG，在△AOH和△COG中，∵AO=OC，∠OAH=∠OCG，∠AOH=∠COG，∴△AOH≌△COG，∴AH=CG，∴四边形AGCH为平行四边形，∵EH⊥AC，∴四边形AGCH为菱形.16.【2019·禹城市期末】如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是．②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想．（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见解析．【解析】解：（1）①DE＝EF；②NE＝BF；理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN＝DN＝12AD，AE＝EB＝12AB，∴DN＝BE，AN＝AE，∵∠DEF＝90°，∴∠AED+∠FEB＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠FEB＝∠ADE，∵AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，∵∠A＝90°，∴∠ANE＝45°，∴∠DNE＝180°﹣∠ANE＝135°，∵∠CBM＝90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF＝45°，∠EBF＝135°，∴△DNE≌△EBF，∴DE＝EF，NE＝BF．（2）DE＝EF，理由如下：连接NE，在DA边上截取DN＝EB，∵四边形ABCD是正方形，DN＝EB，∴AN＝AE，∴△AEN为等腰直角三角形，∴∠ANE＝45°，∴∠DNE＝180°﹣45°＝135°，∵BF平分∠CBM，AN＝AE，∴∠EBF＝90°+45°＝135°，∴∠DNE＝∠EBF，∵∠NDE+∠DEA＝90°，∠BEF+∠DEA＝90°，∴∠NDE＝∠BEF，∴△DNE≌△EBF，∴DE＝EF．17.【2019·费县期末】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【答案】见解析.【解析】解：证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F．∴CE＝CF．（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA＝90°，又∵∠DGC＝∠BGA，∴∠BGA+∠DGA＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°．（3）延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°∴△DAF为等腰三角形∴AD＝DF，∴CE＝CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．18.【2019·抚顺市期中】△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝，CD＝14 BC，请求出GE的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；故答案为：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∵BC＝BD+CD，∴BC＝CF+CD；故答案为：BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，∴CF⊥BC．∵CD＝DB+BC，DB＝CF，∴CD＝CF+BC．（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC AB＝4，AH＝12BC＝2，∴CD＝14BC＝1，CH＝12BC＝2，∴DH＝3，由（2）得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，∴△ADH≌△DEM，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，由勾股定理得：EG。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 规律性问题与折叠问题初探大视野(原卷版)
专题规律性问题与折叠问题初探大视野【例题精讲】题型一、规律性问题例1. 【2019·兴城市期末】在直角坐标系中，直线l为y=3x，过点A1（1，0）作与A1B1⊥x轴，与直线l 交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是______．例2. 【2019·孝感市期末】如图，在平面直角坐标系中，正方形OA1B1C1，B1A2B2C2，B2A3B3C3，…的顶点B1，B2，B3，…在x轴上，顶点C1，C2，C3，…在直线y=kx+b上，若正方形OA1B1C1，B1A2B2C2的对角线OB1=2，B1B2=3，则点C3的纵坐标是______．例3. 【2019·禹城市期末】将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．14cm2B．14ncm2C．4ncm2D．（14）n cm2例4. 【2019·抚顺市期中】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2020的坐标为．例5. 【2019·天津蓟县期中】如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．12cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm2例6. 【2019·惠安县期末】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规定“把平行四边形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2018次变换后，平行四边形ABCD的顶点D的坐标变为（）A．（﹣2015，3）B．（﹣2015，﹣3）C．（﹣2016，3）D．（﹣2016，﹣3）题型二、折叠问题初探例1. 【2019·十堰市外国语期末】如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G′，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG：②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=725，其中所有正确结论有：______．例2. 【2019·广州市番禺区期末】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．例3. 【2019·北师大附属中学期末】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则线段A′B的长度为4，折痕DG的长度为．例4. 【2019·阜阳临泉县期末】如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E 处，BE交AD于点F．（1）求证：BF=DF；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．①求证：四边形BFDG是菱形；②若AB=3，AD=4，求FG的长．【刻意练习】1. 【2019·福州市期末】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，… 分别在直线y＝x＋1和x 轴上，则点B n的坐标是．2.【2018·泗县期末】如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．3. 【2019·十堰市外国语期末】将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n 分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A.cm2B.cm2C.cm2D.（）n cm24. 【2019·黄石期中】如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2垂足为A2，交x轴于点A3过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4，过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4…交x轴于点A5：过点A5作A5A6⊥A4A5，A5A6⊥A4A5垂足为A5，交y轴于点A6…按此规律进行下去，则点A2019的横坐标为______．5. 【2019·卢龙县期末】如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为______；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为______．6. 【2019·桑植县期末】如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n=______（用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n正三角形个数 4 7 10 13 …a n7. 【2019·高阳县期中】如图，OP=1，过点P作PP 1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过点P1作P1P2⊥OP1且P 1P2=1，得OP2=；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2017=（）A. B. C. D.8. 【2019·汕头市期中】观察下列各式：=1+-=1；=1+-=1；=1+-=1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：=______=______；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：______；③应用：计算．9. 【2019·固始县期末】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE 折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.75°10. 【2019·莆田市期末】如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为______ ．（用含n的代数式表示，n为正整数）11. 【2019·泉州市期末】如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A7的坐标是（）A.（-8，0）B.（8，-8）C.（-8，8）D.（0，16）12. 【2018·辽阳市期末】如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n＝．（用含n的式子表示）13. 【2018·莆田市期中】如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有______个．14. 【2019·厦门六中月考】如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC6DF的长为（）A. 2B. 4C. 6D. 2315.【2019·宜城市期末】如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．16.【2019·宜城市期末】在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（H不与点D重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，连接E，G并延长EG交CD于F．（1）如图①，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是______；△CFE是______三角形．（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时（点H与点C不重合）．连接AF，猜想FG与FD的大小关系，并证明你的结论．（3）在图②，当AB=5，BE=3时，求△ECF的面积．17.【2019·长沙市天心区期中】如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP（点A落在点E处），PE与CD相交于点O，且OE=OD．（1）求证：△PDO≌△GEO；（2）求DP的长．18. 【2019·宿迁市期末】如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为______．19. 【2019·宿迁市期末】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=9．将矩形纸片折叠，使点B和点D重合．（1）求ED的长；（2）求折痕EF的长．20. 【2019·兴城市期末】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，使点B落在点F处，连接AF，当△AEF为直角三角形时，BE=______．21.【2019·成都市期末】在矩形ABCD中，AB=12，BC=25，P是线段AB上一点（点P不与A，B重合），将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，CG，PG分别交线段AD于E，O．（1）如图1，若OP=OE，求证：AE=PB；（2）如图2，连接BE交PC于点F，若BE⊥CG．求证：四边形BFGP是菱形；22.【2019·石家庄市期中】如图，将矩形ABCD(纸片)折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕，已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF＝3＋1.求BC的长．。
八年级数学动点专题(人教版)(含答案)
动点专题（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动，动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.6B.5C.4D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP，DP．设点P的运动时间为t 秒．当t为( )秒时，△DCP≌△CDE．A.7B.3C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P 的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△BPD与△CQP可能全等．A. B.C.3D.3或4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒1cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，则点Q的运动速度是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=5．延长BC到点E，使CE=2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．当t为( )秒时，△ABP和△DEC全等.A.2B.2或12C.1D.1或6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.如图，在长方形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，动点P以4cm/s的速度从B点出发，沿BA 方向向点A移动，同时动点Q以1cm/s的速度，沿CD方向向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t为( )秒时，线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积．A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=4，BC=6，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为( )时，△MNC是以MN为底的等腰三角形．A.1B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.如图，在长方形ABCD中，∠B=90°，AB=6m，BC=8m，动点P以3m/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C移动，同时动点Q以2m/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.2B.5C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G—C—D—E—F—H，相应的△ABP的面积y（）关于运动时间t （s）的图象如图2．若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有( )①图1中的BC长是4cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象10.如图1，在长方形ABCD中，动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿BC-CD-DA运动到A 点停止，设点P的运动时间为x（s），△ABP的面积为y()，y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积是( )．A.4B.8C.10D.16答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与最短路径、图形长度最值问题大视野(解析版)
∴N 在 AD 上，且 N 为 AD 的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，
∵AD=BC，N 为 AD 中点，F 为 BC 中点，
∴AN=CF，
∴△ANP≌△CFP，
∴AP=CP，即 P 为 AC 中点，
∵O 为 AC 中点，
∴P、O 重合，
即 NF 过 O 点，
∵AN∥BF，AN=BF，
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C.
【解析】
解：设 AC 交 BD 于 O，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 NF，交 AC 于 P，则此时 EP+FP 的值最小，
∴PN=PE，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵E 为 AB 的中点，
A．3
B．5
【答案】B.
C．7
D． 21
【解析】解：如图，
点 P 的轨迹为以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆， 点 M 的轨迹为以点 O’为圆心以 EF 的长为直径的圆， ∴O′（ 7 ， 3 3 ），
22 ∴AO′＝3， 当点 M 在 AO′的延长线上时，AM 的值最大，最大值为 3+2＝5， 故答案为：B． 题型二、最短路径问题 例 1.【2019·十堰市外国语期末】如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=8，BD=6，点 E，F 分别是边 AB， BC 的中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是（ ）
当 AP⊥BC 时，AP 的值最小，此时 AP= 24 ， 5
∴EF 的最小值为 24 ． 5
初二数学三角形、四边形动点问题分析及讲解
初二数学?三角形、四边形?动点问题分析与讲解所谓“动点问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想例题分析与讲解：1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开场沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开场沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停顿运动，设运动时间为ts．〔1〕当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形.〔2〕当t 为何值时，四边形PQCD为等腰梯形.〔3〕当t为何值时，四边形PQCD 为直角梯形.分析：〔1〕四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．〔2〕四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．〔3〕四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：〔1〕∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．〔2〕过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-〔24-t〕=4解得：t=7〔s〕即当t=7〔s〕时，四边形PQCD为等腰梯形．〔3〕由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-〔24-t〕=2解得：t=6.5〔s〕即当t=6.5〔s〕时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB角平分线CE于E．〔1〕试说明EO=FO；〔2〕当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；〔3〕假设AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜测△ABC的形状并证明你的结论．分析：〔1〕根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．〔2〕利用矩形的判定解答，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．〔3〕利用条件及正方形的性质解答．解答：解：〔1〕∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．〔2〕当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= 〔∠ACB+∠ACG〕= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．〔3〕△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：此题主要考察利用平行线的性质“等角对等边〞证明出结论〔1〕，再利用结论〔1〕和矩形的判定证明结论〔2〕，再对〔3〕进展判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停顿运动．设点Q运动的时间为t秒．〔1〕求NC，MC的长〔用t的代数式表示〕；〔2〕当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；〔3〕是否存在*一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕探究：t为何值时，△PMC 为等腰三角形．分析：〔1〕依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=：CB，〔2〕CB、，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；〔3〕可先根据QN平分△ABC 的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t 的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．〔4〕由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进展讨论：①当MP=MC时，则PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：〔1〕∵AQ=3-t∴=4-〔3-t〕=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．〔2〕由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．〔3〕如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：〔1+t〕+1+t= 〔3+4+5〕解得：t= 〔5分〕而MN= NC= 〔1+t〕∴S△MNC= 〔1+t〕2= 〔1+t〕2当t= 时，S△MNC=〔1+t〕2= ≠ ×4×3∴不存在*一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．〔4〕①当MP=MC时〔如图1〕则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2〔1+t〕解得：t= ②当CM=CP时〔如图2〕则有：〔1+t〕=4-t解得：t= ③当PM=PC时〔如图3〕则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= 〔1+t〕PN=NC-PC=〔1+t〕-〔4-t〕=2t-3∴[ 〔1+t〕]2+〔2t-3〕2=〔4-t〕2解得：t1= ，t2=-1〔舍去〕∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考察平行四边形性质及等腰三角形性质．考察学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停顿．在一样时间，假设BQ=*cm〔*≠0〕，则AP=2*cm，CM=3*cm，DN=*2cm．〔1〕当*为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形；〔2〕当*为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；〔3〕以P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形.如果能，求*的值；如果不能，请说明理由．分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2*+*2=20cm，BQ+MC≠BC即*+3*≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2*+*2≠20cm，BQ+MC=BC即*+3*=20cm．所以可以根据这两种情况来求解*的值．以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2*+*2≠20cm，BQ+M C≠BC即*+3*≠20cm，AP=ND即2*=*2，BQ=MC 即*=3*，*≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．解答：解：〔1〕当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边〔AD或BC〕的一局部为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N 重合时，由*2+2*=20，得*1= -1，*2=- -1〔舍去〕．因为BQ+CM=*+3*=4〔-1〕＜20，此时点Q与点M不重合．所以*= -1符合题意．②当点Q与点M重合时，由*+3*=20，得*=5．此时DN=*2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求*的值为-1．〔2〕由〔1〕知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-〔*+3*〕=20-〔2*+*2〕，解得*1=0〔舍去〕，*2=2．当*=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20-〔*+3*〕=〔2*+*2〕-20，解得*1=-10〔舍去〕，*2=4．当*=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当*=2或*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．〔3〕过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2*＞*，所以点E一定在点P的左侧．假设以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2*-*=*2-3*．解得*1=0〔舍去〕，*2=4．由于当*=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．点评：此题考察到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开场，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N 从点C开场，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动时间为t秒．〔1〕当t为何值时，四边形MNCD 是平行四边形.〔2〕当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形.分析：〔1〕根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；〔2〕根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．解答：解：〔1〕∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；〔2〕作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当-MD=12时，即2t-〔15-t〕=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考察了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点容．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动，设运动时间为t〔s〕．〔1〕设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；〔2〕当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.分析：〔1〕假设过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；〔2〕此题应分三种情况进展讨论，①假设PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③假设PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．解答：解：〔1〕过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= •QB•PM= 〔16-t〕×12=96-6t〔0≤t≤ 〕．〔2〕由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，假设以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①假设PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=〔16-t〕2，解得；②假设BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=〔16-2t〕2+122，由PB2=BQ2得〔16-2t〕2+122=〔16-t〕2，此方程无解，∴BP≠PQ．③假设PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=〔16-2t〕2+122得，t2=16〔不合题意，舍去〕．综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．直线y=- 34*+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．〔1〕直接写出A、B两点的坐标；〔2〕设点Q的运动时间为t〔秒〕，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；〔3〕当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：〔1〕分别令y=0，*=0，即可求出A、B的坐标；〔2〕〕因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动〔或0≤t≤3〕时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；〔3〕令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．-解答：解：〔1〕y=0，*=0，求得A〔8，0〕B〔0，6〕，〔2〕∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是81=8〔秒〕，∴点P的速度是6+108=2〔单位长度/秒〕．当P在线段OB上运动〔或O≤t≤3〕时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动〔或3＜t≤8〕时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD⊥OA于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．〔3〕当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P〔85，245〕M1〔285，245〕，M2〔- 125，245〕，M3〔125，- 245〕点评：此题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔2〕时，应注意分情况进展讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。
八年级下册数学重难点题型(人教版)专题 动点与线段、面积关系问题大视野(原卷版)
专题动点与线段、面积关系问题大视野【例题精讲】题型一、线段间关系问题【2019·阜阳临泉县期末】已知正方形ABCD中，P为直线AD上一点，以PD为边作正方形PDEF，使点E在线段CD的延长线上，连接AC、AF．若AD PD，则∠CAF的度数为______．题型二、面积间关系问题例1.【2019·北京101中学期末】已知：如图1，在平面直角坐标中，A（12，0），B（6，6），点C为线段AB的中点，点D与原点O关于点C对称．（1）利用直尺和圆规在图1中作出点D的位置（保留作图痕迹），判断四边形OBDA的形状，并说明理由；（2）在图1中，动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到达点A时停止；同时，动点F从点O出发，以每秒a个单位的速度沿OB→BD→DA运动，到达点A时停止．设运动的时间为t（秒）．①当t=4时，直线EF恰好平分四边形OBDA的面积，求a的值；②当t=5时，CE=CF，请直接写出a的值．题型三、其它特殊直线与动点问题例1.【2019·黄石期中】如图，在直角三角形△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．【刻意练习】1.【2019·宜城市期末】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.（1）菱形ABCO的边长______（2）求直线AC的解析式；（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S （S≠0），点P的运动时间为t秒，①当0＜t＜52时，求S与t之间的函数关系式；②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．2.【2019·惠安县期末】如图，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）当出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散：当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；当运动时间为4s时，P、Q两点的距离为cm；3.【2017·重庆市期中】已知如图，矩形ABCD中，BD=5cm，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE=ED，P 是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G.则PF+PG的长为（）A.2.5cmB.2.8cmC.3cmD.3.5cm4.【2019·哈尔滨市期中】如图，在平面直角坐标系中，直线334y x=-+分别与x轴和y轴交于点A和点B.P是线段AB上一动点(不与A、B重合)，过点P分别作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D.设点P的横坐标为m.(1)如图1，求线段AB的长度；(2)如图2，当15PC AB=时，求点P的坐标；(3)如图3，作直线OP，若直线OP的解析式为14y x=，求四边形OCPD的周长.图1图2图35.【2019·绍兴市期末】在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段CB的延长线上．过点E作EF⊥BC于H，与对角线AC交于点F．①请根据题意补全图形；②求证：EH＝FH；（2）若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．6.【2019·抚顺市期中】如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t秒；①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②直接写出当t为何值时△APQ的面积等于4.5，并写出此时点Q的坐标．7.【2018·赣州市期末】操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：探究：（1）若∠1=70°，∠MKN=°；（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是三角形，请说明理由；应用：（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为12，此时∠1的大小可以为°（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题06一网打尽动点及折叠类型题目1(原卷版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】专题06 一网打尽动点及折叠类型题目1动点类、折叠类题目是初中学生头疼的问题，也是教师教学过程中最烦心的问题，本专题将八年级下册所遇到的动点问题、折叠问题进行分类，并选取一些有代表性的题目供大家研讨，帮助学生们理清一些思路，掌握做题方法.（1）折叠类题目：借助圆规、直尺作出图形，利用勾股定理、方程等手段求解；（2）动点类题目：其中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题要分类讨论，并作出图形；用时间、速度表示线段的长要准确；根据图形列出方程求解.基本图形图形条件结论ABCD为平行四边形x A+ x C= x B+ x DA(x A，y A)、B(x B，y B)、y A+ y C= y B+ y DC(x C，y C)、D(x D，y D)题1. 一次函数与平行四边形存在性问题综合（解题核心点：基本图形的运用）在平面直角坐标系xoy中，A（1,2）、B（－1,1）、C（3，m），D点是直线y=x上的一个动点，是否存在实数m使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出m值，若不存在说明理由.2【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3题2. 一次函数与最短路径综合（解题核心点：待定系数法、勾股定理及转化思想）如图2-1所示，直线l 1 :y =-3x +3与x 轴交于点D ，直线l 2经过A (4,0)、B (3，－1.5)两点，直线l 1 与直线l 2交于点C .(1)求直线l 2的解析式和点C 的坐标；(2)在y 轴上是否存在一点P ，使得四边形PDBC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.图2-1题3. 一次函数与全等三角形综合如图3-1所示，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．题4. 一次函数与等腰三角形存在性综合如图4-1所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，2），直线l的解析式为y=kx+5-4k（k＞0）．（1）当直线l经过点B时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点D；（3）直线l与y轴交于点M，点N是线段DM上的一点，且△NBD为等腰三角形，试探究：当函数y=kx+5-4k 为正比例函数时，点N的个数有______个．4【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5图4-1题5. 已知C 坐标为(2,0),P 坐标为(x ,y ),直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.若点P (a ,b )在直线y =-x +4上.(1)求出A 、B 坐标,并求出△AOB 的面积;(2)若点P 在第一象限内,连接PC ,OP ,△OPC 的面积为S ,请找出S 与a 之间的函数关系式,并求出a 的取值范围;(3)当△OPC 的面积等于2时,求P 点坐标.(4)点P 在移动的过程中,若BC =BP ，求出满足条件的点P 坐标.(直接写出答案)图5-1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6题6. 如图6-1所示，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =kx +b 与直线l 2：y =x 交于点A (2,a )，与y 轴交于点B (0,6)，与x 轴交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)求△AOC 的面积；(3)在平面直角坐标系中有一动点P (5,m )，使得AOP AOC S S △△，请求出点P 的坐标；图6-1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7题7. 平行四边形及三角形存在性问题综合（解题核心：勾股定理、一次函数的性质应用）如图7-1所示，已知点A 从点（1,0）出发，以1个单位每秒的速度沿x 轴正方形运动，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使得点B 、C 在第一象限，且∠AOC =60°.同时点G 从点D （8，0）出发，以2个单位长度每秒的速度沿x 轴向负方向运动，以D 、G 为顶点在x 轴的上方作正方形DEFG ．若点P 的坐标为（0,3），设点A 的运动时间为t （s ），求：（1）点B 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A 在运动的过程中，当t 为何值时，点O 、B 、E 在同一直线上；（3）在点A 的运动过程中，是否存在t 值，使得△OCP 为等腰三角形，若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.图7-1中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
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专题动点与特殊三角形存在性问题大视野
【例题精讲】
题型一、等腰三角形存在性问题
例1. 【2019·黄石期中】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2cm，E、F分别是AB、AC 的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t=______时，△PQF为等腰三角形．
例2. 【2019·广州市番禺区期末】已知：如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
例3. 【2019·乐亭县期末】如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P 是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为______．
题型二、直角三角形存在性问题
例1. 【2019·厦门六中月考】如图，在RtΔABC中，△B=90°，AC=60，△A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，ΔDEF为直角三角形？请说明理由．
题型三、等腰直角三角形存在性问题
例1. 【2019·株洲市期末】（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若顶点A恰好落在点（1，2）处．则△OA的长为______；△点B的坐标为______．（直接写结果）
（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ACB如图放置，直角顶点C（-1，0），点A（0，4），试求直线AB的函数表达式．
（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），过点B作BA△y轴，垂足为点A，作BC△x轴，垂足为点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y=2x-6上一动点．问是否存在以点P为直角顶点的等腰Rt△APQ，若存在，请求出此时P的坐标，若不存在，请说明理由．
【刻意练习】
1. 【2019·大连市期末】如图，直线x=t与直线y=x和直线y=
1
2
-x+2分别交于点D、E（E在D的上方）．
（1）直线y=x和直线y=
1
2
-x+2交于点Q，点Q的坐标为______；
（2）求线段DE的长（用含t的代数式表示）；
（3）点P是y轴上一动点，且△PDE为等腰直角三角形，求t的值及点P的坐标．
2. 【2019·兴城市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，6），且与x 轴交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标是1．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式（k -3）x +b ＞0的解集；
（3）设一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点M ，点N 在坐标轴上，当△CMN 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．
3. 【2019·泉州市晋江区期中】如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足（a ﹣2）
2+0．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）若点M 为直线y ＝mx 上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求m 值；
（3）过A 点的直线y ＝kx ﹣2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为﹣1，过N 点的直线y ＝2k x ﹣2
k 交AP 于点M ，试证明PM PN AM
-的值为定值．
4. 【2019·厦门大学附中期末】如图（1），Rt △AOB 中，△A ＝90°，△AOB ＝60°，OB ＝，△AOB 的平分
线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；
（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
5. 【2019·潮州市期末】如图，在△ABC中，△A=120°，AB=AC=4，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C，射线BC运动，连接PQ. 当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动. 设BQ=x，△BPQ和△ABC重叠部分的面积为S.
（1）求BC的长；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时，x的值.
6. 【2019·南宁市期末】如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点
Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）.
（1）直接写出：QD=，PC=；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
7. 【2019·涟源市期末】如图，已知矩形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接EP，设点P的运动时间为t秒，则当t为何值时，△P AE为等腰三角形.
8. 【2019·重庆外国语月考】如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，AB＝12，点F是AB的中点，
过点F作FD△AB交AC于点D．若△AFD以每秒2个单位长度的速度沿射线FB向右移动，得到△A1F1D1，当F1与点B重合时停止移动．设移动时间为t秒，如果D1，B，F构成的△D1BF为等腰三角形，求出t值．
9. 【2019·平潭期中】如图，在平面直角坐标系中，A(0,8)，B（4,0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M(a，1)为第一象限内的点.
（1）求点D坐标；
（2）当S△DBC=S△DBM时，求a的值；
（3）点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，直接写出点E的坐标.。