偏微分方程教程 Fourier变换及其应用

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10-Fourier变换及其应用

, 即(1.10)成立.由(1.10),
f ( x ) e
i x
1 2 1 2
dx d x i fˆ ( )
12
i

f ( x )e
i x
推论 7.1 则
若 f ( x ) f
m
(m )
( x ) L ( ) C ( )，
2
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏微分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具有普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解
某些典型数学物理方程的定解问题.
3
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们下面将要介绍的Fourier变换。
g
f
L
1

故 f g L1 ( )
17
再由Fubini定理
( f g)

1 2 1 2

e
i x
dx

f ( x y ) g ( y )dy

g ( y )e
i y
dy
f ( x y )e
i ( x y )
定理证毕.
8
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定

第二章 Fourier变换.

2 R R
2 ix t h 2 iht ˆ x f dt n f t h e 2 ixtdt . n f t e dt n f t h e R
这样，当 x 时，得到
ˆ x 1 f t f t h e 2 ihtdt 1 f h f 0 . f 1 2 R n 2
x e, e x e, x e.
那么 g C0 R 且 g 为奇函数.由于
N e
lim
N
g t t
dt lim
N
N e
dt lim log log N ， t log t N
1
因此由上述事实可知 g 不是任何 L R 函数 Fourier 变换. 定理 2.1.2:(卷积及平移与 Fourier 变换的关系)如 f , g L R
0

Rn
ˆ x e 2 ix x dx f 0 ； f
1
b 如果的递减径向控制函数 L1 R n ，那么 f 的 Fourier 积分的平均在 a.e.
意义下收敛到 f .即：
lim
0

Rn
ˆ x e 2 ixt x dx f t 0 f
R
由(2.1.6)，并运用定理 1.3.1 和定理 1.3.2 即有下面的推论 2.1.7：设 f , L R
1
， ˆ L R 且 x dx 1 ，则
n 1 n Rn
a
f 的 Fourier 积分的平均在 L1 范数意义下收敛到 f .即： lim
在本段的最后，我们给出 Fourier 变换一个非常重要的特性：定理 2.1.6:不存在 L R

1.5 Fourier变换的应用

例如一根细长杆上的温度分布问题和声波在介质中传播的问题等，质中传播的问题等，研究这些物理量的变化规律就会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式，会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式，即称之为偏微分方程或数学物理方程；即称之为偏微分方程或数学物理方程；还要说明的偏微分方程或数学物理方程是，如果要确定一个物理模型中某一物理量的具体的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件，因的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件，为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律，为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律，而实际中提出的物理模型都有特定的“环境” 实际中提出的物理模型都有特定的“环境”和“初始状态” 这在数学上就称为边界条件初始条件，边界条件和始状态”，这在数学上就称为边界条件和初始条件，它们统称为定解条件。它们统称为定解条件。定解条件
变换公式可得，变换公式可得，
利用Fourier变换，解积分方程：变换，例利用变换解积分方程：，其中解
例2 求解积分方程为已知函数，其中 h (t)，f (t) 为已知函数，且 g (t)，h (t) 和 f (t) ，，变换都存在。的Fourier变换都存在。变换都存在解设由卷积定义知，由卷积定义知，积分方程右端第二项等于 f (t ) ∗ g(t ) 因些上述积分方程两端取 Fourier 变换，由卷积定理变换，可得
§1.5 Fourier变换的应用变换的应用
1 微分、积分方程的Fourier变换解法微分、积分方程的变换解法 2* 偏微分方程的偏微分方程的Fourier变换解法变换解法
对一个系统进行分析和研究，对一个系统进行分析和研究，首先要知道该系统的数学模型，统的数学模型，也就是要建立该系统特性的数学表达式。所谓线性系统，在许多场合下，达式。所谓线性系统，在许多场合下，它的数学模型可以用一个线性的微分方程、积分方程、型可以用一个线性的微分方程、积分方程、微分积分方程（这三类方程统称为微分、积分方程）分方程（这三类方程统称为微分、积分方程）乃至于偏微分方程来描述，或者说凡是满足叠加原理的于偏微分方程来描述，一类系统可称为线性系统。一类系统可称为线性系统。这一类系统无论是在振动力学、电工学、无线电技术、动力学、电工学、无线电技术、自动控制理论或其它学科及工程技术领域的研究中，它学科及工程技术领域的研究中，都占有很重要的地位。本节将应用变换来求解这类线性方程。地位。本节将应用Fourier变换来求解这类线性方程。变换来求解这类线性方程

Fourier变换及其应用

∫k( x - ∞
+ ∞
y ) f ( y ) d y , - ∞ < x < ∞ , 其中 g , k 是已知函数,
并假设它们具有足以使以下推导能成立的条件。解 : 用 F , G , K 分别表示 f , g , k 的 F ourier 变换。将求解的积分方程表成 f ( x ) = g ( x ) + k * f ( x ) , G( # ) 两端作 Fo ur ier 变换 , 由上述定理得到 F ( # ) = g( # ) + K(# ) F( # ) F(# ) = 1K(# ) + ∞ 1 G ( # ) - i# x 对上式作 F ourier 逆变换 , 得到: f ( x ) = 2∀ - ∞ 1 - K ( # ) e d# + ∞ 1 - , 0 ≤ ≤ 1 例 4 解积分方程 f ( x ) co s x d x = 0 0 , > 1 解 : 由于 f ( x ) 只定义在 ( 0, + ) 上 , 所以对 f ( x ) 作偶延拓, 则 f ( x ) 的傅氏变换
+ ∞ d + ∞ d d +∞ 证明: d ! ( ) = d - ∞f ( t) e - i t d t = - ∞ d [ f ( t) e - i t ] d t = - ∞( - it) f ( t) e- i t d t = - i F [ t f ( t ) ] 在上述证明过程中, 我们把求导和积分运算交换了次序 , 当然 , 这需要满足一定条件, 在这类问题 dn F ( ) = ( - i ) n F [ tn f ( t) ] , 这个性质表明 , 若已知 f ( t ) 的 Fo urier 中 , 总假定可以交换次序。一般地, 有 d n n 变换, 则 t f ( t) 的 F our ier 变换也可求出。

第六章第3节 Fourier变换性质及应用

dn n n F ( w ) ( j) [ t f (t )] ℱ n dw
(1.23)
§1.4
卷积
一.卷积的概念 1.定义若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
f1 ( ) f 2 ( t - ) d - 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
-
f1 ( )F2 ( t - )d
f1 ( t - v )* f 2 ( t - v ) f 3 (v )d v -
f1 (v )* f 2 (v ) f 3 ( t - v )d v -

4)不等式
| f1 (t ) f 2 (t ) || f1 (t ) | * | f 2 (t ) |
例6
若F(w)= ℱ [f(t)], 证明
1 f ( t )dt F (w ) F (0) (w ) jw

t
-
特别地,若t lim
u
u -
f (t )dt 0
则(积分性质)
t f ( t )d t 1 ℱ [ f (t )]. (1.24) - jw

-
w0 (w - )d
(w - ) | w0 (w w0 )
1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )
iw 2 (w - w0 ) (w w0 ) 2 w0 - w 2
0
1 u( t ) (w ) jw
e jw0t e - jw0t f ( t ) u( t ) 2 1 1 1 F (w ) (w - w0 ) (w w0 ) 2 j(w - w0 ) j(w w0 )

Fourier级数与Fourier变换的概念及应用

Fourier级数与Fourier变换的概念及应用Fourier级数与Fourier变换是数学中非常重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。

本文将为大家详细介绍这两个概念的含义、性质以及应用。

一、Fourier级数Fourier级数是一种将周期函数用三角函数的和表示的方法。

它的基本思想是，将任意一个周期为T的函数f(x)展开成如下的三角级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，T = 2π/ω是函数f(x)的周期；an和bn是函数f(x)的各阶余弦和正弦系数；a0是函数f(x)在一个周期内的平均值。

这个级数称为Fourier级数，其中n为奇数或偶数正整数。

其中，an和bn系数可以由如下公式计算：an = (2/T) ∫f(x)cos(nωt)dxbn = (2/T) ∫f(x)sin(nωt)dx其中∫表示积分。

这个公式被称为Fourier系数公式。

Fourier级数是一种十分常见的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、声学等领域。

例如，我们可以用Fourier级数分析音乐，找出其中的各个音调和音高。

此外，Fourier级数也在计算机图形学中被广泛使用，用于图像压缩等方面。

二、Fourier变换Fourier变换是一种将非周期函数分解成各个频率分量的方法。

它的基本思想是，将任意一个函数f(x)在全实数轴上分解成各个频率的复指数的和：F(ω) = ∫f(x) e^-iωxdx其中，F(ω)是函数f(x)的频率域表示。

它表示的是不同频率的分量在该函数中所占的权重，即振幅和相位信息。

如果知道了F(ω)，我们可以通过它还原函数f(x)。

这个过程被称为Fourier逆变换：f(x) = (1/2π) ∫F(ω) e^iωxdωFourier变换在信号处理、图像处理、物理、工程等领域有着非常广泛的应用。

例如，我们可以用Fourier变换分析信号传输中的误差和失真情况，从而优化数据传输的效果。

Fourier变换在求解一类偏微分方程中的应用

文章编号：６３—２５（０８００４０１７０７２０）６— ４２— ２
Ｆｕｉ变换在求解一类偏微分方程中的应用ｏｒｒｅ
裴金仙
（山西大学商务学院，太原００３）３０１
摘要：讨论了Ｆｕｉ变换广义函数空间中的一些基本性质，用Ｆｕｉ变换给出了线性偏微分ｏｒｒｅ利ｏｒｒｅ
＜Ｆ［］＞＝＜ＴＦ［＞， ∈ ＳＲ）Ｔ，，］Ｖ（
∈ｓ ‘ 解存在的一个充要条件：
性质１Ｆｕｅ变换将微分运算变为乘以幂函ｏｒｒｉ数运算，反之将乘以幂函数运算变为微分运算，即：
定理设ｐｘ（）＝ ∑ ｎ，取线性偏微分算
一
＜ＦＴ，［］一皤＞＝＜皤，Ｔ，＞［］
１ｌ≤ ｍａ
则有：（）［］＝Ｆｆ，ＰｉＦｇｘＩ］
］＝ＦＩ￣］－［ｆ．５
，
设Ｐ）＝ ∑ ａ。取线性偏微分算子为（ａ，ＰＤ＝ ∑ 。则我有下面推（），们ａ的论：
推论１ＦＰＤＴ［（）］＝Ｐｉ）Ｔ，（ＦＴ（］ＰＤ）［］＝ＦＰ一）Ａ［（］定理的证明方法ＩＰＤｇ＝两边同时作：（），对
Ｆｕｉｒｏｒ变换，义函数Ｆｕｉｒｅ由广ｏｒ变换的定义有，任ｅ对
为偏数微分方程理论研究的一个重要工具。
函＜一＜，ＶＥ（数薏罄＞ＲＣｏ）
类似可以定义高阶偏导数，对于ｎ重指标有：
＜Ｔ＞＝（），一１。＜Ｔａ＞， ∈Ｃ∞ Ｒ），Ｖｏ（，

Fourier分析在偏微分方程中的应用

( x, ) ( R n \ 0) 上考虑。
拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的
重大问题做出了重大贡献。例如：Cauchy问题解
的唯一性、椭圆算子的指标问题（Atiyah-Singer
指标定理）。
微局部分析－拟微分算子
以拟微分算子为代表的微局部分析是一个很大的理论体系，反映出微局部分析已超出偏微分方程的领域，成为现代分析的重要思想。
Fourier在他的《热的解析理论》的最后一部分讨论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分，也就是我们后面讲到的Fourier变换。 Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。 Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数可以分段表示。
从Fourier分析谈起
Fourier级数：
由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数；
变系数的方程无法作Fourier变换；
…...
微局部分析
经典的偏微分方程是在 x R n 考虑，微局
部分析则在
( x, ) ( R n \ 0)
考虑。或者说
在余切丛 T * \ 0 考虑。从空间和频域两个侧
面了解一个函数。
谢谢！
f ( x)e inx dx

从Fourier分析谈起
Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正弦函数和余弦函数表出：
从Fourier分析谈起
四个不同频率
的基本波复合成一个波；高频，低频；
从Fourier分析谈起
示波器
从Fourier分析谈起
小提琴师演奏的一段声乐是：
y 0.06 sin 1000 t 0.02 sin 2000 t 0.01 sin 3000 t

傅里叶变换及其应用

2.1 Fourier 变换及其应用我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ，即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义2.1 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞-- (2.2)有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理2.1 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有 ),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ (2.3)公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值. 通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此(2.3)亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理2.1的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理2.2 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质）若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a . 由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i x i ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧.证明由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f x f m 则())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dye yf dt e tg dxe t xf dt e tg dtt g t x f dx e g f y i t i t x i t i x i =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf . 解由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AA x i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx e e f x i x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121. 例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx ee f xi xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e x i xi λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x ex f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx e e f x i x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i e x i xλλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ，上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()Ae AA f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g x y i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.傅里叶变换和傅里叶积分公式例1求单个矩形脉冲⎪⎩⎪⎨⎧><=2||,02||,)(ττx x h x f ，（其中常数0,0>≠τh ）的傅里叶变换和傅里叶积分公式。

拉普拉斯变换的使用方法

拉普拉斯变换的使用方法拉普拉斯变换是 Fourier 变换的一种推广，常用于处理时域信号的频率特性或者复杂微分方程。

一、拉普拉斯变换的定义在复平面上，有一个以原点为极点的复函数：$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}$ dt，其中 $s=x+jy$，$f(t)$ 是一段时间内的信号。

这个复函数 $F(s)$ 叫做 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，通常用$\mathcal{L}\{f(t)\}$ 表示。

在掌握了拉普拉斯变换一些基本的性质之后，我们就可以利用这种变换来简化复杂的微分方程和求解系统的稳定性等问题。

二、拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性质：$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{ g(t)\}$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

2. 移位性质：$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$u(t-a)$ 是单位阶跃函数。

3. 放缩性质：$\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$a$ 是常数。

4. 差分性质：$\mathcal{L}\{\frac{df(t)}{dt}\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$。

5. 积分性质：$\mathcal{L}\{\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{1}{s}\mathcal{L}\ {f(t)\}$。

三、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程：考虑一个一阶微分方程 $y'+ay=f(t)$，我们可以在两边同时做拉普拉斯变换，得到：$sY(s)-y(0)+aY(s)=F(s)$于是，我们就可以直接求出 $Y(s)$ ：$Y(s)=\frac{1}{s+a}\cdot F(s)+\frac{y(0)}{s+a}$然后再做逆变换，就可以得到原方程的解 $y(t)$。

Fourier变换的几何意义及其应用技巧

Fourier变换的几何意义及其应用技巧Fourier变换是一种基础的数学工具，有着广泛的应用。

在工程学、物理学以及数学中，它常常被用于分析周期函数讯号。

但是，对于许多人来说，这一概念仍然有些抽象。

本文将讨论Fourier变换的几何意义及其应用技巧，帮助读者更好地理解这一数学工具。

一、Fourier变换的物理意义在物理学中，Fourier变换是一种解析周期函数讯号的工具，它代表了周期函数讯号中各个频率对应的振幅。

一个周期性信号可以被表示为若干个正弦和余弦函数相加的形式，这些正弦和余弦函数被称为基本频率。

基本频率可以依次加起来，通过线性组合就能表示出任何类型的周期性信号。

设一个长度为L、周期为T的函数为f(x)，它可以表示为以下形式：f(x) = a0/2 + Σa_n cos(nπx/L) + Σb_n sin(nπx/L)其中，a0/2表示频率为0的项，a_n为正弦项的系数，b_n为余弦项的系数。

如果将每个频率对应的振幅看做一个向量的话，那么这些向量可以组成一个向量空间。

以周期函数讯号为例，这个向量空间可以被看作是起始点位于原点的一堆向量。

它们的长度代表了对应频率的振幅，从而可以捕捉到周期性信号的变化。

这个向量空间被称为Fourier空间。

二、Fourier变换的几何意义得到频域上的向量空间之后，我们就可以进行Fourier变换了。

实际上，这个变换可以被视为将周期性信号从时间域转化为频域的过程。

在Fourier变换中，我们称原始周期函数讯号的向量空间为时域，而将其转换后得到的向量空间为频域。

也就是说，时域和频域是相互对应的。

每一个频率都对应着一个向量空间，它们在Fourier变换中是互相独立的。

这意味着我们可以在这些向量空间之间任意转化，而不会影响它在其他向量空间中的表示。

为了更好地理解Fourier变换的几何意义，我们可以从以下两个方面来考虑：1. 旋转变换在二维空间中，我们可以通过旋转来改变一个向量的表示。

数学分析中的Fourier级数和Fourier变换的应用

数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是广泛应用于各个领域的重要数学工具。

无论是在工程领域还是物理领域，Fourier级数和Fourier变换都有着广泛的应用。

Fourier级数是指将任意函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。

它可以将一个周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数都有一个特定的振幅和角频率。

使用Fourier级数可以将复杂的周期函数表示为简单的波形，从而方便分析和处理。

Fourier变换则是将一个信号从时域转换到频域的数学操作。

它可以将一个时域上的函数表示为一系列复数的线性组合，其中每个复数对应于一个特定的频率成分。

通过Fourier变换，我们可以获得一个信号在频域上的频谱，从而方便分析信号的频率分布和频域特性。

Fourier级数和Fourier变换在信号处理中有着广泛的应用。

在通信领域中，Fourier变换可以用于信号调制和解调，以及频谱分析和滤波等操作。

通过将信号从时域转换到频域，我们可以更方便地进行信号的处理和分析，从而提高通信系统的性能。

在图像处理领域，Fourier变换也有着重要的应用。

通过将图像进行Fourier变换，我们可以获得图像在频域上的频谱，从而方便进行图像增强、去噪和压缩等操作。

Fourier变换在数字图像处理中是一种常用的技术，它可以帮助我们改善图像的质量和清晰度。

此外，Fourier级数和Fourier变换在物理学中也有着重要的应用。

在量子力学中，Fourier变换被广泛应用于波函数的表示和分析。

通过对波函数进行Fourier变换，我们可以获得粒子在动量空间上的波函数，从而方便进行动量分析和动量算符的计算。

总结起来，数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是一种重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。

无论是在通信领域、图像处理领域还是物理学领域，Fourier级数和Fourier变换都能够帮助我们进行信号的处理、图像的分析和波函数的表示。

Fourier 变换的应用

2
显然有 | F ( ) || F ( ) | .
例. 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图.
单个矩形脉冲函数为:
E f (t ) 0

t 2 其他
E
F ( )

f (t ) e i t d t 2 E e it d t

2
/2
0 0

1 sin [cos(1 )t cos(1 )t ]dt , 0. 2 2 0 1
例3 求微分积分方程
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t ) 的解,

t
其中< t <+, 且当 t 时, g (t )
振幅 An 和频率 ( n n ) 的关系图称为频谱图. 由于是不连续的, 也称之为离散频谱.
2、非周期函数的频谱在频谱分析中, 傅氏变换F ()又称为f (t )的频谱函数, 而它的模|F ()|称为f (t )的振幅频谱(亦简称为频谱). |F ()| 和的关系图称为f (t )的频谱图.由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱.
因为 F ( )

f (t ) e i t d t f ( t ) cos t d t i
2

所以 | F ( ) |

f ( t ) sin t d t

f (t ) cos t d t

f (t ) sin t d t
再取傅氏逆变换得
1 x (t ) 2
1 2

《偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用

Dirchlet条件
周期函数的Fourier级数在端点处是连续的。
性质
Fourier级数具有线性性、对称性、移位性和调和加性。
非周期函数的Fourier级数展开
Fourier变换
将非周期函数分解成基于正弦和余弦的无限个正交波形。
能量守恒
在Fourier变换中，能量守恒定律得到了保持。
傅里叶级数与变换的关系
二维Fourier级数及其应用
1
定义
将二维函数展开成正弦和余弦波形的无限和。
2

图像压缩
可以将图像压缩得更小，同时保留大部分信息。
3
图像恢复
可用于提高模糊、摩尔纹、或者断点故障图像的质量。
离散Fourier变换的定义
定义
将N个数字序列分解成N个基于正弦和余弦的离散波形。
性质
具有线性性、对称性、移位性和调和加性。
3
物理
波动方程和热传导方程的解法。
梯度、散度和拉普拉斯算子
梯度
表示函数在某点沿着某一方向的变化率。
散度
表示向量场在某一点产生的流量。
拉普拉斯算子
表示标量函数在某一点的曲率。
泊松方程和调和函数
定义
描述了在给定边界条件下，标量函数的分布状态。
定义
调和函数是在空间内部没有极值的光滑函数。
简谐振动和傅里叶级数
频谱分析
拆分复杂信号成为单频测量的方法。
信号滤波
消除信号中的噪声，以及降低信号中频率的影响。
瞬时频率估计
用于分析信号的瞬时频率变化，例如Émile Durkheim的电子脉冲脑。
图像处理中的Fourier变换
对称性滤波
基于傅里叶域的提取，消除了图像中的对称噪声。

应用PDE讲义06_Fourier方法

应用偏微分方程与科学计算讲义（六）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo. 6马石庄2010．09．27．北京第6讲 Fourier方法教学目的：Fourier方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程定解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示成按特征函数展开的级数形式。

Fourier的思想影响深远。

主要内容：§1 Fourier方法 (4)1.1热传导问题 (4)1.2 Fourier方法 (7)1.3 Fourier要解决的困难 (11)§2．弦振荡问题 (13)2.1 世纪争论 (13)2.2 Fourier解法 (17)2.3 驻波法 (20)§3 运用Fourier方法 (22)3.1 二维热稳态问题 (22)3.2 非齐次问题 (25)3.3 特征函数法 (29)习题6 (33)1822年法国数学家、物理学家Fourier1的热的数学理论（TheorieAnalytique de la Chaleur）一书的出版，是应用数学发展中最重要的一个里程碑．该书不仅为一般类型边值问题提供了一种示范性的形式处理、也开拓了一类具有很大普遍性的数学方法的理论．在他的著作中写道；“深入研究自然是数学发现最丰富的泉源”，这也许是被人引用得最多的Fourier名言．虽然Fourier于热的分析理论的经典著作中缺乏显然的严格性，Kelvin爵士还是称它为“一首伟大的数学诗篇”。

Fourier的工作，更广泛地展现了函数究竟是什么的问题．动摇了18世纪的这样一个信念，即所有函数无论它们怎么坏，总都是代数函数的推广．代数函数、甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了．由于代数函数的性质不再能搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、可微性、可积性以及其它性质的真实意义究竟是什么的问题就提出来了。

Fourier—Bessel变换及其应用

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B
为偶函数知
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T
为偶函数
。
尸 , 的逆变换 F
`
定义为
_
:
r

傅里叶(Fourier)变换的应用分析

毕业论文题目：傅里叶(Fourier ）变换的应用分析学系专年月日摘要以Fourier变换为代表的积分变换在许多工程领域有着广泛应用，因此，总结和分析Fourier变换的主要应用案例，对于加深对积分变换理论和方法的理解有着重要的实际意义。

本文首先从Fourier变换的基本理论出发，对其常用性质和Fourier变换的几种重要变种进行了总结。

在此基础上，对Fourier变换在一些实际应用中的思想方法以及快速Fourier变换(FFT)的算法实现进行了分析，得出了Fourier变换的一些应用特点。

关键词：Fourier变换，应用分析，仿真模拟AbstractThe integral transformations, e.g., Fourier transformation, have the widespread application in many project domains. Therefore, summarizing and analyzing the Fourier transformation has the highly practical significance to deepen the understanding of the integral transformation theory and method. Begining with the basic theory of Fourier transformation, we summarizes its characters and several kinds of variants. On the basis of these, we further analyze the methods of Fourier transformation via some application examples and the realization of Fast Fourier transformation’s algorithm, and then obtains the festures of Fourier transformation in application.Keywords :Fourier transform, Application analysis, Simulation目录1绪论 (5)1.1Fourier变换概述 (5)1.2研究目的和意义 (6)2 Fourier变换基本理论 (8)2.1 Fourier级数的定义 (8)2.2 Fourier变换的定义...................................................... 错误！未定义书签。

应用PDE讲义08_Fourier变换

应用偏微分方程与科学计算讲义（八）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo.8马石庄2011．09．29．北京第8讲Fourier变换教学目的：积分变换方法通过函数的变换，减少了泛定方程中的自变量的个数，从而把偏微分方程化为常微分方程，还可以把原来方程中出现的一些有奇性的函数，变为比较规则的函数。

Fourier变换是最重要的积分变换．主要内容：§1Fourier积分 (3)1.1从Fourier级数到Fourier积分 (3)1.2Fourier变换 (5)1.3物理意义 (9)§2Fourier变换的性质 (12)2.1卷积及其Fourier变换 (12)2.2反演定理 (13)2.3广义函数的Fourier变换 (15)§3求解偏微分方程 (17)3.1无限长杆的热问题 (17)3.2d’Alembert公式 (20)3.3半平面上的Laplace方程 (22)习题8 (23)附录：关于积分变换 (24)尽管有偏微分方程的Fourier级数解法的成功与冲击，19世纪主要努力之一仍然是要寻求封闭形式的解，即用初等函数及其积分表示的解．用封闭形式解偏分方程的最重要的方法是Fourier变换，起源于Laplace（1749－1827）开创的工作，思想应当归Fourier，Cauchy和Poisson。

把这个重要发现的优先权归结谁是不可能的，因为这三个人都向巴黎科学院宣读了直到一个时期以后才发出来的论文，每人都听过别人的论文，无法从出版物中确定什么东西是每个人取自口头报告的．§1Fourier积分在区间∞，∞上以2为周期的函数可以用Fourier级数表示，而非周期函数不能，对于许多问题，可以对非周期函数求出与Fourier级数展开式类似的积分表达式。

Fourier变换

例6．习题二．3(2)．利用Euler公式．
8．求．
解：，．
11．．
解：
．
．
习题三．11(4)．，．
解：
．
例7．习题四．5．
(4) ．
(2)据例1，，故
．
补充两题：
例8．求．
解：原式
．
例9．求．
解：利用位移性质，原式
．
课堂练习：
求Fourier变换：
1. ；2. ．
§1.5 Fourier变换的应用
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
在频谱分析中，称为的频谱函数，模称为的（振幅）频谱．其图形称为频谱图．这是连续频谱图．
频谱是偶函数：
＝，
为偶函数．
例1．作单个矩形脉冲函数的频谱图．
解：频谱函数
，E
频谱，． o t
频谱图：
0
例2．作单位脉冲函数的频谱图．
解：频谱函数：，频谱：，．
频谱图：
11
oto
§1.3 Fourier变换的性质
．
利用Euler公式，转化成复数形式：，，
.(1)记
．可合写成：．
代入(1)得： ——Fourier级数的复数形式．
，(2)．
非周期函数的展开：设不是周期函数，．作周期的函数：
．
则
，(3)．称为Fourier积分公式．
它成立的条件如下．
Fourier积分定理．若在上满足：在任一有限区间上满足Dirichlet条件；收敛，即绝对可积．则在Cauchy主值意义下，广义积分(3)在连续点t处成立．
称为的Fourier正弦逆变换式．

fourier解偏微分方程

fourier解偏微分方程傍晚的阳光透过窗户洒进屋内，照在桌上的书本上。

我坐在桌前，思考着如何用Fourier解来解决偏微分方程的问题。

Fourier解是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们理解和求解各种复杂的偏微分方程。

我回忆起大学时学习Fourier级数的课程，那时我对这个概念感到非常困惑。

但是随着时间的推移，我逐渐理解了Fourier级数的妙处。

它可以将一个周期函数表示为无穷级数的形式，每一项都是正弦或余弦函数。

通过调整系数，我们可以将其应用于解决偏微分方程的问题。

想象一下，我们有一个热传导方程，描述了热量在空间中的传播。

我们希望找到这个方程的解，以便了解温度如何随时间和空间变化。

通过应用Fourier解，我们可以将热传导方程转化为一系列简单的正弦和余弦函数的线性组合。

这些函数代表了不同频率的振动模式，每个模式都有一个特定的振幅和相位。

通过选择合适的系数，我们可以将这些振动模式组合起来，得到一个完整的解。

这个解描述了热量如何在空间中传播和分布。

更重要的是，通过Fourier解，我们可以看到每个振动模式的重要性以及它们对整体解的贡献。

Fourier解不仅在热传导方程中有应用，还可以用于其他各种偏微分方程。

例如，它可以帮助我们理解波动方程、扩散方程和椭圆方程等。

通过将这些方程转化为Fourier级数的形式，我们可以更好地理解它们的性质和行为。

回想起当初学习Fourier级数时的困惑，我现在感到非常庆幸自己坚持下来。

Fourier解不仅帮助我理解了偏微分方程的本质，而且在我的研究和工作中也起到了重要的作用。

它不仅是一种强大的数学工具，还是一种美妙的思维方式。

正如我此时此刻所坐的这个房间，充满了傍晚的宁静和温暖。

Fourier解给我的感觉也是如此，它让我感受到了数学的美妙和力量。

通过应用Fourier解，我们可以揭示自然界中各种现象背后的数学规律，从而更好地理解和探索这个世界。

在这个充满数学魅力的旅程中，Fourier解为我带来了无尽的惊喜和探索的乐趣。