高一数学 (人教版必修3)：第一章 算法初步

重点列表：重点名称重要指数重点1 算法的概念★★★重点2 顺序结构★★★★重点3 分支结构★★★★重点详解：1．算法的概念及特点(1)算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效的执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．2．程序框图(1)程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种用、及来表示算法的图形．(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能图形符号名称功能①表示一个算法的起始和结束②表示一个算法输入和输出的信息③赋值、计算④判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”⑤连接程序框○⑥连接程序框图的两部分3.算法的基本逻辑结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式：(2)条件结构在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式：程序语句1．输入(INPUT)语句输入语句的一般格式： .要求：(1)输入语句要求输入的值是具体的常量；(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔．2．输出(PRINT)语句输出语句的一般格式： .功能：实现算法输出信息(表达式)．要求：(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔．3．赋值语句赋值语句的一般格式： .赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样．作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．要求：(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．如：2＝x是错误的；(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A＝B”、“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如x＝5是对的，5＝x是错的，A ＋B＝C是错的，C＝A＋B是对的；(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．4．条件语句(1)“IF—THEN”语句格式：____________________．说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句．(2)“IF—THEN—ELSE”语句格式：____________________．说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2.【答案】1．(1)规则明确有限(2)确定有序有穷2．(1)程序框流程线文字说明(2)①终端框(起止框) ②输入、输出框 ③处理框(执行框) ④判断框 ⑤流程线 ⑥连接点3．(1)从上到下 依次执行 程序语句1．INPUT “提示内容”；变量 2．PRINT “提示内容”；表达式 3．变量＝表达式4．(1)IF 条件THEN语句体END IF(2)重点1：算法的概念 【要点解读】算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． 【考向1】算法的概念【例题】下列语句是算法的个数为( )①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎； ②统筹法中“烧水泡茶”的故事； ③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【评析】算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果． 【考向2】经典算法【例题】“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵IF 条件 THEN 语句体1 ELSE语句体2 END IF时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．(算法一)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；第四步：依次加上35，得18，53，88，…；第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．(算法二)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．【评析】给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．重点2：顺序结构【要点解读】(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．(3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能输入语句 INPUT “提示内容”；变量 输入信息输出语句 PRINT “提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量【例题】已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图． 解：算法如下：第一步：输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C . 第二步：计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C . 第三步：计算z 2＝A 2＋B 2. 第四步：计算d ＝||z 1z 2.第五步：输出d . 流程图如图所示：【评析】顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的． 【考向2】顺序结构语句【例题】请写出下面运算输出的结果． (1)a ＝5 b ＝3 c ＝(a ＋b)/2 d ＝c*cPRINT “d＝”；d (2)a ＝1 b ＝2 c ＝a ＋b b ＝a ＋c －bPRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c(3)a＝10b＝20c＝30a＝bb＝cc＝aPRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将a，b之和的一半赋值给变量c，语句“d＝c*c”是将c的平方赋值给d，最后输出d的值．故输出结果为d＝16.(2)语句“c＝a＋b”是将a，b之和赋值给c，语句“b＝a＋c－b”是将a＋c－b的值赋值给了b.故输出结果为a＝1，b＝2，c＝3.(3)经过语句“a＝b”后a，b，c的值是20，20，30，经过语句“b＝c”后a，b，c的值是20，30，30，经过语句“c＝a”后a，b，c的值是20，30，20.故输出结果为a＝20，b＝30，c＝20.【评析】①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；②可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值．重点3：分支结构【要点解读】条件语句(1)算法中的条件结构与条件语句相对应．(2)条件语句的格式及框图①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式【考向1】分支机构程序框图【例题】某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c (单位：元)与行李的重量w (单位：kg)之间的关系为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53w ，w ≤50，50×0.53＋（w －50）×0.85，w >50.写出计算费用c 的算法并画出程序框图． 解：算法如下：第一步：输入行李的重量w ；第二步：如果w ≤50，那么c ＝0.53w ， 否则c ＝50×0.53＋(w －50)×0.85； 第三步：输出托运费c . 程序框图如图所示：【评析】条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构． 【考向2】条件语句【例题】设计算法，求关于x 的方程ax ＋b ＝0的解． 解：程序框图如图所示．根据框图可写出程序语言：INPUT a ，b IF a 〈〉0 THEN PRINT “x＝”；－b/aElSEIF b＝0 THENPRINT “解集为R”ELSEPRINT “此方程无解”END IFEND IFEND【评析】对于三段或三段以上的分段函数求函数值的问题，通常需用条件语句的嵌套结构．本例是条件语句内套条件语句，即用了两个条件语句，必须有两个END IF，请读者指出前后END IF分别结束的条件语句．难点列表：难点名称难度指数难点1 循环结构★★★★难点2算法案例★★★★★难点详解：循环结构在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是．反复执行的步骤称为．循环结构有如下两种形式：①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．循环语句(1)当型循环语句当型(WHILE 型)语句的一般格式为： ________________． (2)直到型循环语句直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为： ______________．【答案】循环结构 循环体 ①直到型循环结构 ②当型循环结构(1)WHILE 条件循环体WEND (2)DO 循环体LOOP UNTIL 条件难点1：循环结构 【要点解读】 循环语句(1)算法中的循环结构与循环语句相对应． (2)循环语句的格式及框图． ①UNTIL 语句②WHILE 语句【考向1】循环结构程序框图【例题】设计一个算法求1＋12＋…＋19＋110的值，并画出程序框图．解：当型循环： 算法如下：第一步：令i ＝1，S ＝0；第二步：若i ≤10成立，则执行第三步，否则，输出S ；第三步：计算S ＝S ＋1i，i ＝i ＋1，返回第二步．程序框图如图所示：直到型： 算法如下：第一步：令i ＝1，S ＝0； 第二步：计算S ＝S ＋1i，i ＝i ＋1；第三步：若i >10，则输出S ，否则，返回第二步． 程序框图如图所示：【评析】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确． 【考向2】循环语句 【例题】读下面的程序：INPUT n i ＝1 S ＝1WHILE i<＝nS＝S*ii＝i＋1WENDPRINT SEND上面的程序在执行时输入6，那么输出的结果为( )A．6 B．720 C．120 D．1【评析】计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后返回到WHILE语句再判断上述条件是否成立，直至返回到WHILE语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而执行WEND后面的语句，这是当型循环．难点2：算法案例【要点解读】算法案例(1)辗转相除法辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法．(2)更相减损术的定义任给两个正整数(若是偶数，先用2约数)，以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)(或这个数与约简的数的乘积)就是所求的最大公约数．(3)秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法．【考向1】辗转相除法与更相减损术【例题】用更相减损术求120与75的最大公约数时，反复相减，直至求出结果，进行减法运算的次数为( )A．4 B．5C．6 D．3解析：∵120－75＝45,75－45＝30,45－30＝15,30－15＝15，∴120与75的最大公约数是15，共进行4次减法运算．答案：A【考向2】秦九昭算法【例题】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋8的值，当x＝3时，v3的值为( )A．27 B．86C．262 D．789答案：B【趁热打铁】1．用辗转相除法求108和45的最大公约数为( )A．2 B．9C．18 D．272．已知程序如下：当输入x的值为5时，输出的结果为( )A．15 B．76C．84 D．343．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是( )A.32B.16C.2512D.137604．下列程序运行后的输出结果是( )A．17 B．19C．21 D．235．计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与10进制的对应关系如下表：16进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15A．1 612 B．364C．5 660 D．3606．如下框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )A．7 B．8C．10 D．117．如图框图(1)若输入4，则输出的是________；(2)若输出32，则输入的是________．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.9．根据如图所示的框图，说明该流程图解决什么问题，写出相应的算法，并回答下列问题：(1)若输入x的值为5，则输出的结果是什么？(2)若输出的值为8，则输入的x的值是什么？(3)要使输出的值最小，输入的x的值应是多少？10．如图是为求310的值而设计的程序框图，请回答下列问题．(1)将空白处补上，指明它是循环结构中的哪一种类型； (2)画出它的另一种循环结构框图．第一章1解析：∵108＝2×45＋18,45＝2×18＋9,18＝9×2， ∴108和45的最大公约数为9. 答案：B2解析：该程序表示的是输入x 输出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≤5，5.5×10＋x －2×7， x >5的值．答案：A答案：C5解析：16C (16)＝1×162＋6×16＋12×160＝256＋96＋12＝364. 答案：B6解析：当x 3＝7时，|6－9|<|9－7|，即3<2，此时p ＝9＋72＝8，输出p ＝8，A 不正确；当x 3＝8时，|6－9|<|9－8|，即3<1，此时p ＝9＋82＝8.5，输出p ＝8.5，B 正确．同理可验证C、D不正确．答案：B7解析：(1)若输入4，∵4>1，∴y＝－2×4＋32＝24.(2)若输出32，当x2＋4x＝32时，x1＝4，x2＝－8；当32＝－2x＋32时x＝0，∵4>1，－8<1，当x＝0时，y＝02＋4×0＝0≠32，∴x＝－8.答案：(1)24 (2)－88解析：第一次循环S＝1，a＝3，n＝2，第二次循环S＝4，a＝5，n＝3，第三次循环S＝9，a＝7，跳出循环．故输出的值为9.答案：910解：(1)空白部分应填：i≤10？，它为当型循环结构；(2)直到型循环结构的程序框图如下图所示：小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。