初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第1讲 走进追问求根公式

第一讲 走进追问求根公式

形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式a

ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】

【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）

A 、一4

B 、8

C 、6

D 、0

思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。

【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a

d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。

注：一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；

(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；

(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。

解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222

x x x ==。

走进追问求根公式学历训练

1、已知a 、b 是实数，且

0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根

为 。

2、已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 。

3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 。

4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )

A 、b a =

B 、0=+b a

C 、1=+b a

D 、1-=+b a

5、当分式4

312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A 、1-x C 、41<<-x D 、1-≠x 且4≠x

6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

7、解下列关于x 的方程：

(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+。

8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值。

9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。

10、若0152=+-x x ，则1

539222+++-x x x ＝ 。 11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 。

12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。则代数式a 200012000120003+++的值为 。 13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、2．5

14、自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )

A 、2

B 、1

C 、3

D 、4

15、已知a 、b 都是负实数，且

0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A 、215+ B 、251- C 、2

51+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求15823

18262234+-++--x x x x x x 的值。

17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值。

18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281

1，求n 的值。

19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值。

20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：

AB BS 需为无理数。