第四章椭球数学投影变换

sin sin 1 sin cos 2
(a )
sin sin 2 sin cos 1
(b)
sin cos 1 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos
(c )
sin cos 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 cos
(d )
cos sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos
(h ) (g )
26
• 球面上大地主题反解方法
已 知 1 , 2 ,
， 求 ,, 12
27
2 、椭球面和球面上坐标关系式
28
▪ 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:d源自Bcos MA
dS
22
4.7.5 白塞尔大地主题解算方法
白塞尔法解算大地主题的基本思想:
以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅 助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭 球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最 后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。
B 1 ,B 2 ,A 1 ,A 2 ,L ,S 1 , 2 ,1 ,2 ,,
这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地 元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解 决在球面上进行大地主题解算的方法。
23
▪ 在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 1, 1, 求解 2, 2,
球面上大地主题反算: 已知 1, 2 ,
求解 , 1, 2
24
1、球面三角元素间的相互关系
(e)
cos 2 cos cos 1 cos sin 1 sin cos 1
(f)
cos 2 cos 2 sin 1 sin cos 1 cos cos 1 ( g)
cos 2 sin 2 cos 1 sin 1
(h)
sin 2 sin 1 cos cos 1 sin cos 1
A "N " mSsinA m tm {124 S N 2m 2[cos2A m (27m 29tm 2m 2 5m 4)sin2A m (2tm 22m 2)]}5次
18
B 2 B 1 B ,L 2 L 1 L ,A 2 1 A 1 2 A 1 8 0
B m 1 2(B 2 B 1 ) B 1B 22 B 1B 1 1 2B
( d d B S ) M f( B m ,A m ) ( B f m ) ( B M B m ) ( A f m ) (A M A m )+ (d d B S )M f(B m ,A m ) ( (B d d B S m ))(B M B m ) ( (A d d B S m ))(A M A m )+
7
uScosA1
大地测量主题解算
v SsinA1
8
大地测量主题解算
9
大地测量主题解算
10
大地测量主题解算
▪ 4.7.3 高斯平均引数正算公式 高斯平均引数正算公式推导 的基本思想：
首先把勒让德级数在 P１点展 开改在大地线长度中点M展开，以 使级数公式项数减少，收敛快， 精度高；其次，考虑到求定中点 M 的复杂性，将 M 点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对 应的 m 点来代替，并借助迭代计 算便可顺利地实现大地主题正解。
(i)
25
• 球面上大地主题正解
已 知 1 , 1 , ,求 2 , 2 ,
s i n 2 s i n 1 c o s c o s 1 s i n c o s 1
( i )
ta n
s ins in1
c o s1 c o s s in1 s inc o s1
(a ) (f)
ta n2 c o s1 c o s c o c s o s 1 s i1 n s 1 in1 s in
d n L S n d L d 2 L S 2 d 3 L S 3
L 2 L 1 L ( d S n ) 1 n ! ( d S ) 1 S ( d S 2 ) 1 2 ! ( d S 3 ) 1 3 !
d n A S n d Ad 2 A S 2 d 3 A S 3
A 2 A 1 1 8 0 A ( d S n ) 1 n ! ( d S ) 1 S ( d S 2 ) 1 2 ! ( d S 3 ) 1 3 !
上述两式的主式为: S s in A m L N m c o sB m , S c o sA m B V N m m 2
20
S sinA mr0 1 L "r2 1 B " 2 L "r0 3 L " 3 S co sA ms1 0 B "s1 2 B " L " 2s3 0 B " 3
t 0 1 t m c o s B m ,t 2 1 2 4 1 2 c o s B m t m ( 3 2 m 2 2 m 4 ) ,t 0 3 1 2 1 2 c o s 3 B m t m ( 1 m 2 )
21
tan
Am
SsinAm Scos Am
S S sin Am sin Am
S2 d2B BM Bm 8 ( dS2 )M
S2 d2B 8 ( dS2 )m
S2 d2A AM Am 8 ( dS2 )M
S2 d2A 8 ( dS2 )m
14
大地测量主题解算 (3)由大地线微分方程依次求偏导数:
(d dB S)mco M sA m mV c m 3cosA mV N m m 2cosA m ((d d B B S))m(V cm 3 cB osA m)N 3mtm m 2cosA m
(2) B M ,A M B m ,A m
1
1
B m 2 (B 2 B 1 ), A m 2 (A 2 1 A 1 2 1 8 0)
B mB M , A mA M
13
大地测量主题解算
(d d B S ) M f( B M ,A M ) F (B m B M B m ,A m A M A m )+
Am
A12
1A
2
注意：
从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａ ｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须 用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。
除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算， 其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度 可达到0.001”。
19
11
(1)建立级数展开式:
大地测量主题解算
S
S
MP2 2, MP12
B 2 B M ( d d B S ) M S 2 1 2 ( d d S 2 B 2 )S 4 2 6 1 ( d d S 3 B 3 )S 8 3 ( 4 2 0 0 )
B 1 B M ( d d B S ) M S 2 1 2 ( d d S 2 B 2 ) M S 4 2 1 6 ( d d S 3 B 3 ) M S 8 3 ( 4 2 0 1 )
((d dA B S))m(Vcm 3cA osAm)V Nm m 2 sinAm
15
大地测量主题解算
2 S 4 3(d dS 3B 3)M24 V N m 2m 3cosA m [sin2A m (13tm 2m 29tm 2 m 2)+ 3m 2cos2A m (1tm 2+m 25tm 2 m 2)S3+ 5次
大地测量主题解算 4.7.2 勒让德级数式
B 2 B ( S ) ,L 2 L ( S ) ,A 2 1 A (S )B (0 ) B 1 ,L (0 ) L 1 ,A (0 ) A 1 2
d n B S n d B d 2 B S 2 d 3 B S 3
B 2 B 1 B ( d S n ) 1 n ! ( d S ) 1 S ( d S 2 ) 1 2 ! ( d S 3 ) 1 3 !
B 2 B 1 B ( d d B S ) M S 2 4 ( d d S 3 B 3 ) M S 3 ( 4 2 0 2 )
12
大地测量主题解算 同理可得:
L 2 L 1L (d d S L )M S 2 4 (d d S 3 L 3 )M S 3
A 2 1 A 1 2A (d d A S )M S 2 4 (d d S 3 A 3)M S 3
4.7.4 高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
SsinA m L ""N mcosB mS2 s 4 iN nm 2 A m[S2tm 2sin2A m S2cos2A m (1m 29m 2tm 2)]
Sco sA mB ""V N m m 2S2 c 4 o N sm 2 A m [S2sin2A m (23 tm 22m 2) 3m 2S2co s2A m (tm 2 1m 24m 2tm 2)]
• 三阶导数
d d S 3 B 3 V c 3 5 c o s A [ s i n 2 A ( 1 3 t 2 2 9 2 t 2 ) 3 2 c o s 2 A ( 1 t 2 2 5 η 2 t 2 ) ]
d3L 2V2 dS3c2 tsecBsinAcosA
d d S 3 L 3 2 c V 3 3 s e c B [ s in A c o s 2 A ( 1 2 + 3 t2 ) t2 s in 2 A ]
6
大地测量主题解算
d 2 L d L d B d L d A 2 V 2 d S 2 B ( d S ) d S A ( d S ) d S c 2ts e c B s i n A c o s A( 4 1 9 2 )
d d S 2 A 2 B ( d d A S ) d d B S A ( d d A S ) d d A S V c 2 2 s i n A c o s A ( 1 2 t 2 2 ) ( 4 1 9 4 )