中考数学专题初中几何辅助线几种常见添法培优试题.doc

2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题

一、由角平分线想到的辅助线

1、截取构全等

例1：如图 1， AB∥ CD， BE 平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上。求证： BC=AB+CD。例2：已知，如图 2，AB=2AC，∠ BAD=∠ CAD， DA=DB。求证： DC⊥ AC。

例 3：如图 3，在△ ABC中，∠ C=2∠ B， AD平分∠ BAC。求证： AB-AC=CD。

2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等

例1：如图 4，已知 AB>AD，∠ BAC=∠ FAC， CD=BC。求证：∠ ADC+∠ B=180°

例 2：已知，如图5，△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P，求证：∠ BAC的平分线也经过点P。

3、作角平分线的垂线构造等腰三角形

例1：已知，如图 6，∠ BAD=∠ DAC， AB>AC， CD⊥ AD于 D，H 是 BC的中点。

1

求证： DH( AB AC)

例 2：如图 7， AB=AC，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， CE⊥ BE。求证： BD=2CE。

例 3：已知，如图8，在△ ABC中， AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BF⊥ AD，交AD的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE于 M。

求证： AM=ME。

例 4：已知，如图9，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，AD=AB，CM⊥ AD交 AD延长线于 M。

求证： AM 1 ( AB AC) 。

2

二、截长补短法

例 1：如图 10，正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。

例 2：如图 11，△ ABC是边长为 1 的正三角形，△BDC是顶角为

一个角 MDN=60°，点 M、 N 分别在 AB、 AC上，求△ AMN的周

长。

120°的等腰三角形，以D为顶点作

例 3：已知，如图12，△ ABC中， AD 是

角三角。求证：EF=2AD。BC边上的中线，分别

为

AB边， AC为直角边各向外作等腰直

例4：如图 13，已知在△ ABC中，∠ BAC=60°，∠ C=40°， P、 Q分别在 BC、 CA上，且 AP、 BQ分别平分∠ BAC、∠ ABC。求证： BQ+AQ=AB+BP

三、由中点联想到的辅助线

1、由中点应联想到利用三角形的中位线

例：如图 14，在四边形 ABCD中， AB=CD，E、 F 分别是 BC、 AD 的中点， BA、 CD 的延长线分别交 EF 的延长线于 G、 H。求证：∠ BGE=∠ CHE。

2、由中线联想到中线倍长

例 1：如图15，已知△ ABC中， AD 平分∠ BAC， AD 又是 BC边上的中线。

求证：△ ABC是等腰三角形。

例2：如图 16，已知△ ABC中， AB=5， AC=3，连 BC上的中线 AD=2。求 BC的长。

3、直角三角形斜边上的中点联想到斜边上的中线的性质

例 1：如图 17，已知梯形ABCD中， AB∥ CD， AC⊥ BC， AD⊥ BD。求证： AC=BD。四、构造平行线，利用平行线分线段成比例定理求线段的比值

例1：如图 18，在△ ABC中， BD： DC=1：3， AE：ED=2： 3，求 AF：FC的值。例2：如图 19， BC=CD， AF=FC，求 EF： FD的值。

例 3：如图 20， BD： DC=1： 3， AE： EB=2：3。求 AF：FD的值。

外角等于它不相邻的两个内五、利用三角形中西边之和大于第三边，两边之差小于第三边，及一个

角和，通过添加辅助线构造三角形，从而证明有些不相等关系。

例1：如图 21，点 D、E 为△ ABC内两点。求证： AB+AC>BD+DE+CE。

例 2：如图 22，已知 D是△ ABC内的任一点。求证：∠BDC > ∠ BAC。

例 3：如图 23，已知 AD是△ ABC的中线，且∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 4。求证： BE+CF>EF.