数学期望和方差

这里， X～B(n,p).
第四章 数学期望和方差
例3 将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子
中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数 的数学期望.
解一:设 X 为空着的盒子数,则 X 的概率分布为
X0 1
P
4!
C
41C
1 3
P42
44
44
E(X) 81 64
2
3
C42(C42 C21C43)
C
注:这里的 g(x) x2.
第四章 数学期望和方差
例4 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分
布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.
Y X
1
2
1
1/8
1/4
2
1/2
1/8
解: E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125 =4.25
1
18
pwk.baidu.com•
38
第四章 数学期望和方差
0
1 p• j
18
18
38
0
18
28
18
18 38
28
38
第四章 数学期望和方差
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E (X ) E (Y ) 0 ; E(X)Y 0; E (X ) Y E (X )E ( Y )
但 P (X0,Y0)0 P(X0)P(Y0)22 8
E(X) xk pk
k1
第四章 数学期望和方差
常见离散型随机变量的数学期望
(1)0－1分布 (2) (3) 这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. (4) 故
E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)= p.
第四章 数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, …, n. n
性质4
30210335 92
第四章 数学期望和方差
例2 二项分布 B(n,p), 设单次实验成功的概率
是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？
解: 引入
1, Xi 0,
第i次试验成功， 第i次试验不成功。
则 X＝X1X2 X是n n次试验中的成功次数. 因此，
E E X ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) n . p
f(x)(1 1x2), x
但
|x|
f(x)d x (1 | x|x2)dx 发散.
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章 数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？
更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布，
Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
第四章 数学期望和方差
A. 随机向量函数的数学期望
设X=(X1 ,…, Xn)为离散型随机向量，概 率分布为
[ p (e a 1) 1]n .
第四章 数学期望和方差
例6 设X ~ U[0,], Y =sinX, 求 E(Y).
解: X 的概率密度为
所以
f
(x)
1
,
0 x ;
0, 其他。
EY E[sinX]
sinx f (x)dx
sinx 1 dx
0
1cosx
|0
2
.
第四章 数学期望和方差
例7 五个独立元件,寿命分别为 X1,X2, ,X5,
第四章 数学期望和方差
E (X ) kkp kpk q 1p kq k 1
k 1
k 1
k 1
p(11q)2
pp12
1. p
注:在第三个等号中利用了等式
k 1kk x1(1 1x)2, x1,
这可以由等式
xk
1
,
x1,
k0
1x
两边同时对x求导数得到.
第四章 数学期望和方差
例1
对产品进行抽样，只要发现废品就认为 这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格. 假设产 品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平 均需抽查的件数.
k1
k1
(12q3 q2 (n1 )qn 2)
(q2q2 (n2)qn 2(n1 )qn 1)nnq 1
1qq2 qn1
1qn 1(1p)n
1q
p
第四章 数学期望和方差
定义1.2
设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为f(x) ， 若积分
xf(x)dx
绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
则这 50 个零件的平均直径为 8897101511 101210 50 1.014 cm
第四章 数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它
的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为
X 8 9 10 11 12
87
15
10
10
P
50 50
50
50
50
则这 50 个零件的平均直径为
12
12
第四章 数学期望和方差
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
P{Xk} q qn k 1 1,p,
k1,2, ,n1; kn.
其中 q1p，于是
n1
E(X) kqk1pnqn1
k1
第四章 数学期望和方差
n1
E(X) kqk1(1q)nqn1
k1
n1
n1
kqk1 kqk nqn1
1 4
44
44
第四章
解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4. 1, 第i盒空，
P ( X ( x j 1 , ,x j n ) ) p j 1 j n ,j 1 , ,j n 1 .
Z = g(X1 ,…, Xn), 若级数
g(xj1, ,xjn)pj1 jn .
j1 jn
绝对收敛，则 E(Z)E(g(X1,,Xn))
g(xj1,,xjn)pj1jn j1jn
137
60
11
E(N)
1
5
可见，并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.
注： 128页的4.20与此例为同一模型。
B. 数学期望的性质
E (C ) = C
E (aX ) = a E (X )
第四章 数学期望和方差
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
第四章 数学期望和方差
例2 设X 的概率密度为：
1 x, 1 x 0
f (x) 1x, 0 x 1
0,
其他
解:
E(X ) xf (x)dx
0
1
x(1 x)dx x(1 x)dx
1
0
0
求E(X).
注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知 E(X)=0.
第四章 数学期望和方差
注意：不是所有的随机变量都有数学期望. 例如：Cauchy分布的密度函数为
第四章 数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
g (x 1 , ,x n )f(x 1 , ,x n )d1 x d x n
第四章 数学期望和方差
例3 设离散型随机向量X的概率分布如下表
所示，求Z=X2的期望.
X
0
1
P
2
−1
1
1
1
4
4
解: E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25 = 0.5
xdex
0
xex
0
exdx
0
0
1 ex
0
1
.
第四章 数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于 对 f ( x 称 ) f ( x ) ， 则 E ,( X ) .
证明 令 g (x ) x f( x ). g(x)是奇函数.
g ( x ) ( x )f( x )xf(x)g(x).
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值.
解：(1) 设整机寿命为 NN , k m 1,2, ,i5{nXk}
5
FN(x)1(1Fk(x),)
k1
1e5x, x 0,
0,
其它，
第四章 数学期望和方差
5e5x, x0,
fN(x)
0,
其它，
即 N ~ E( 5),
注:这里的 g(x,y)x2y.
第四章 数学期望和方差
例5
解:
设随机变量X 服从 二项分布B(n , p),
Y = eaX, 求 E(Y).
n
EY E [ e aX ] e ak P { X k }
k0
n
e ak
C
k n
p
k
(1
p )nk
k0
n
C
k n
(e
a
p
)
k
(1
p )nk
k0
[ e a p (1 p )] n
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章 数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章 数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
DkP(Xk)kkp1.1 04
k8
k8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的
概念源于此.
第四章 数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
P ( X x k ) p k , k 1 ,2 ,
若无穷级数
xk pk
k 1
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学 期望或均值，记作 E( X ).
E(X)xf(x)dx(x)f(x)dx
(x )f(x )d x f(x )dx
( tx f ( )ft)(d tx )d g (x t )d(t令 tx.)
第四章 数学期望和方差
推论
(1 )若 X ~ U (a ,b )则 ,E (X ) a b . 2
( 2 ) 若 X ~ N (,2 )则 ,E ( X ).
E(X)x(fx)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章 数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望
(5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
ex, x0;
f(x) 0, x0.
第四章 数学期望和方差
E (X ) xf(x)d xx
e xdx
0
第四章 数学期望和方差
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f(x1,,xn)
Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
g (x 1 , ,x n )f(x 1 , ,x n )d1 x d x n
绝对收敛，则
E (Z )E (g (X 1, ,X n))
第四章 数学期望和方差
例1
设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y
相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5).
解：由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
E(3X2X YY5)
性质2 和3
3E(X)2E(X)Y E(Y)E(5)
3 1 2 0 E (X )E ( Y ) 3 5
E(N) 1
5
(2) 设整机寿命为 M , Mkm 1,2, a,5x{Xk}
FM(x)
5
Fk(x)
(1ex)5,
k1
0,
x 0, 其它，
5ex(1ex)4, x0,
fM(x)
0,
其它，
第四章 数学期望和方差
E(M) xM f(x)dx05x ex(1ex)4dx
137 60
E(M)
X的可能取值为0,1,2,…，且
P(Xk)ke,k0,1,2, ,
k!
k
E(X) kk p k
k0
k1
e k!
k 1 e
k 1 ( k 1)!
k e k0 k!
(4)几何分布
第四章 数学期望和方差
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.