比较无理数大小的几种方法

无理数的大小比较和排序

无理数的大小比较和排序在数学中，无理数是指不能表示为有限小数的实数。

它们与有理数相对，后者可以表示为两个整数之比。

无理数占据了实数线上绝大部分，如 $\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等。

由于无理数的特殊性质，它们的大小比较和排序相对困难。

本文将探讨无理数的大小关系及排序方式。

一、大小关系大小关系是指判断两个实数大小的关系，一般可通过比较它们的差值来确定，然而对于无理数，常规判断方式是无法使用的。

例如，$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 两个数谁大谁小？这就需要使用一些特殊的技巧。

1. 估值法估值法是指使用有理数逼近无理数，这样就可以将无理数转化为有理数进行比较。

例如，将 $\sqrt{2}$ 逼近到小数点后第二位，则 $\sqrt{2}\approx1.41$，将 $\pi$ 逼近到同样的位数，得到$\pi\approx3.14$。

于是我们可以比较两个有理数的大小，得出$\pi>\sqrt{2}$。

估值法的优势在于易于理解，但它十分依赖于逼近的精度，如果逼近不够准确，比较的结果也不准确。

2. 平方比较法平方比较法比较适用于那些有一个数是某个整数的平方的情况。

由于 $\sqrt{k^2+n}$ 与 $k$ 相等，对于两个无理数 $x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，如果 $a-b$ 是某个整数 $k$ 的平方，则有：$$ x>y \Longleftrightarrow a-b=k^2 $$这时，无需估算就能判断它们的大小关系。

例如，比较$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，它们的差值为 $1$，是 $1$ 的平方，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

平方比较法有一个明显的局限性，即 $a-b$ 必须是某个整数$k$ 的平方，这种情况并不常见。

3. 函数比较法函数比较法使用初等函数来确定两个无理数的大小关系，例如，对于两个正的无理数 $a$ 和 $b$，有以下结论：$$ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a<b $$$$ a^x < b^x \Longleftrightarrow a<b \quad\text{和}\quad x>0 $$$$ a^x > b^x \Longleftrightarrow a>b \quad\text{和}\quad x<0 $$函数比较法优势在于适用范围广，但对于一些不好表达的无理数，比如 $\pi$，也无法得出精确的结果。

略谈几种常见的无理数估计方法

一
航
另解从２＿ｌ，５的接近程度看，ｉｌ与６２。－『取４５和４６来计算它的平方：．．
２２
４．５＝２２０．５．４６＝．６．２１１．
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２＜３０２．．．＜／丁＜．５２．６５・５、４６１１９．４２精确到０１．Ｂ的长度约为４ｍ．．ｍＡ．６
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＆如图４在数轴上点Ａ和点Ｂ之间表示整．数的点有个．
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１
１Ａ２．＜．ｍ＜１３．一一１４Ｂ５Ｃ６Ａｆ２，）．．．
２
数的进位制（在第１题７页）
如图１画法如下：．（）从黑球开始，以墙１先日为对称轴．画上黑球关于墙日的对称点Ｃ（）；２再以墙Ａ为对称轴．上画图１点Ｃ关于墙Ａ的对称点Ｄ；３（）用直线把点Ｄ和
１（（１．３）；２（１）；３（１）．１３２２（）２２５（）１．。Ｊ２５０
２因为４＋：ｂ４，以，＝．ａ７７＋所０３
４
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４
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小取９从而ａ最小取１，６的最小值为２．，５叶４

知识点估算无理数的大小

解答题1．写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．考点：估算无理数的大小。

分析：（ 1）由于 16＜ 17＜25，9＜ 11＜ 16．由此得到﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣ 5 和 4 之间的整数即可；（2）由于 16＜ 18＜25，所以 4＜＜5．只需写出绝对值小于 5 的所有整数即可．解答：解：（ 1）∵ 16＜ 17＜ 25，9＜ 11＜ 16，∴﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数：﹣4，± 3，± 2，± 10，；（2）∵ 16＜ 18＜ 25，∴4＜＜5，∴绝对值小于的所有整数：± 4，± 3，± 2，± 10，．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．2．（ 1）如图 1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．考点：估算无理数的大小；平方根。

分析：（ 1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．解答：解：（ 1）边长 =cm；（ 2 分）（2）大的正方形的面积=32+32=18；（ 3 分）边长 =，∴边长不是整数，（4分）∵（5 分）∴4≤．（6 分）点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．设的小数部分为a，的倒数为b，求 b﹣ a2的值．考点：估算无理数的大小。

估算无理数的大小

估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 22 4,32 9 ∴2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.72 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 ∵ 2.642 6.9696,2.652 7.0225 ∴ 2.64 7 2.65 ∵ 2.6452 6.996025,2.6462 7.001316 ∴ 2.645 7 2.646
解：∵ 23 8 ，33 27 8 10 27
且
2 3 10 3
∴
3 10
∴ 的整3 1数0 部2 分是2，小
数部分是
所以 7 2.65 （精确到0.01)
总结：同课本P42估算 2的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 42 19 52 ∴ 取值范围
例1. 3 10的整数部分是________，小数部分是______ .
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所以 9 10 16，即 3 10 4。

6.3.5估算无理数的大小

3
估算——夹逼法
例.估算
7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ ∴ 2 7 3 ∵ 2.62 6.76,2.7 2 7.29 ∴ 2.6 7 2.7 2 2 2 . 64 6 . 9696 , 2 . 65 7.0225 ∵ ∴ 2.64 7 2.65 2 ,2.6462 7.001316 ∵ 2.645 6.996025 ∴ 2.645 7 2.646 所以 7 2.65 （精确到0.01)
估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所以 9 10 16 ，即 3 10 4。
2 2 4,32 9
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 4 2 19 52 ∴ 42 19 ∴ 4 19 5
Hale Waihona Puke 52答案为：C估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ . 解：∵ 2 8 ， 33 27 且 8 10 27 ∴ 2 3 10 3 ∴ 3 10 的整数部分是2，小数部分是 3 10 2

知识点035 估算无理数的大小(选择)

选择题：1．（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：估算无理数的大小。

分析：本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．解答：解：a、b均为正整数，且，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a+b的最小值4．故选B．点评：本题主要考查了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键．2．（2011•资阳）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q考点：估算无理数的大小；实数与数轴。

专题：应用题。

分析：先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．解答：解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在数轴上表示实数的点可能是点P．故选C．点评：本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．3．（2011•徐州）估计的值（）A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间考点：估算无理数的大小。

专题：计算题。

分析：先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．解答：解：9＜=11＜16，故3＜＜4；故选B．点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．4．（2011•天津）估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间考点：估算无理数的大小。

专题：计算题。

分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．解答：解：∵＜＜，∴3＜＜4，故选：C．点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．5．（2011•台湾）如图数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一线段上（）A．OA B．AB C．BC D．CD考点：估算无理数的大小；实数与数轴。

略谈几种常见的无理数估计方法

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略谈几种常见的
无理数估计方法
无理数的存在使我们感受到数学的神奇美妙，同时也激发我们进一步了解和认识无理数的兴趣．新课标明确提ｍ了对无理数的认识要求：能用有理数 “ 估计无理数的大致范围．笔者根据近几年来的教学 ” 实践，结了几种常见的无理数估算方法，面举总下
如图２．长为５ｍ的将
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－．
梯子ＡＣ斜靠在墙上，长为２ｍ。Ｃ则
梯子上端Ａ到墙的底端的距离Ａ
图
＝．
另解从２与１，５的接近程度看。取４５１６２可．
２
和４６计算它的平方：．来
一
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吉林市第二十九中学朱航．Ａ的长度介于４和５之间，・Ｂ．
即４＜＜５．
（）中间值并平方比较大小：２取
丁４＋５＝４５，４．５

关于无理数的比较大小

无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。

无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。

但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。

这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。

一、平方法：两个数分别平方，再比较。

例1：比较的大小与711513++。

解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。

二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。

例2：比较2-5与52-5的大小。

解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。

这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。

例3：比较6-7与5-6的大小。

解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。

这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。

例4：比较62-112与65的大小。

解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。

五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。

例5：比较3-7与2-6的大小。

解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。

解读简单的有理数和无理数问题

解读简单的有理数和无理数问题有理数和无理数是数学中的两个重要概念，它们在实际生活和数学领域中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将对简单的有理数和无理数问题进行解读。

一、有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

有理数包括正整数、负整数、零以及带分数。

例如，1/2、-3、0等都是有理数。

在有理数中，我们首先要了解分子和分母的概念。

分子是有理数的整数部分，而分母则表示有理数的小数部分。

当我们将有理数表示为分数形式时，可以通过约分将其化简为最简形式。

有理数之间的运算可以用加、减、乘、除等基本运算进行，而且具有封闭性。

例如，2/3 + 1/3 = 3/3 = 1，表示了两个有理数相加的结果仍然是一个有理数。

二、无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数包括开方数、圆周率π等。

例如，√2、π等都是无理数。

无理数与有理数的主要区别在于，无理数无法用分数形式来表示。

它们具有无限不循环的小数部分，无法化简为分数。

无理数之间的运算可以用加、减、乘等基本运算进行，但除法运算不一定得到精确的结果。

例如，√2 + √3表示两个无理数的相加，结果是一个无理数。

三、有理数和无理数之间的关系有理数和无理数之间是存在着一定的关系的。

有理数和无理数可以相互转换，这是因为无理数可以近似地表示为有理数。

例如，将无理数√2表示为 1.414，它可以近似地表示为一个有理数。

通过这种方式，我们可以近似地计算无理数的值。

另外，有理数和无理数之间可以进行大小比较。

例如，√2和2之间的大小关系可以用大小符号表示为√2 < 2，表示无理数√2小于有理数2。

四、有理数和无理数的应用领域有理数和无理数在实际生活和数学领域中有着广泛的应用。

在实际生活中，有理数可以用来表示物品的数量、温度、距离等。

例如，用有理数可以表示一张桌子上的苹果数量、一个地方的温度等。

而无理数则在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

例如，π可以用来计算圆的周长和面积，而√2可以用来计算正方形的对角线长度。

估算与二次根式

估算知识点一:方根的估算估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法,很多情况下需要估算无理数的近似值,估算的一般步骤（1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数)之间（2）确定无理数的整数（3）按要求估算,一般地，开平方估算到一位小数,开立方估算到整数例1:估算下列数的大小）（精确到0.132733453（精确到1)知识点二：比较无理数的大小１．估算法:用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时,一般先采用分析的方法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较例２:比较的大小与4143-102.求差法b a b a >>-则若,0;b a b a <<-则若,0；b a b a ==-则若,03.平方法:当比较两个带根号的无理数的大小时，可用如下结论:若b a b a b a 33,0>>≥>则，若题型一：估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法,如有一片长方形小树林，长是宽的3倍,而对角线的长为21０米,若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树?这片长方形小树林的长大约是多少米？(精确到1米）知识清单全练知识点一：方根的估算对方根进行估算,平方根一般精确到____＿＿______，立方根一般精确到___＿＿＿＿_____＿_基础闯关全练知识点一:方根的估算１. 0．0０057的算术平方根在 ( )A.0.05与０.0６之间B.0.02与0.03之间Ｃ．0．03与0.04之间 D.0.２与0.3之间 2.估算结果的误差最小的是 ( )A.5.312≈ Ｂ.10300≈ C.1012343≈ D.01.06.0≈3.一个正方体的体积为28360立方厘米,则这个正方体的棱长估计为（ )A.22厘米 B ．２7厘米 C.３0.5厘米 D.4０厘米 4.大于17-3且小于103的整数有＿___＿＿__＿＿＿＿个知识点二:比较无理数的大小 5.将757575，，三数按从小到大的顺序排列为______＿_＿_＿_______＿__ 6.比较大小51171+）（与109（2） 5.124与三年模拟全练一：选择题1.将2,，，525这三个数用“>”连接正确的是（ )A.5252>> B ．5225>> C.2525>> D.2255>>2.一个正方形的面积是1２，估计它的边长大小在（）Ａ．2与３之间 B.3与4之间 C.４与５之间 D,5与6之间 3.估计6+1的值在( )A.２与３之间B.3与4之间 C ．4与５之间 D,５与6之间二：填空题4.若m 是13的整数部分,其小数部分为n ，则ｎ的值为__＿_＿__＿＿＿5.比较大小:4＿＿＿＿23 五年中考全练１.a,b 是两个连续整数,若b a <<7,则a,b 的分别是__＿_________＿２.下列无理数中，在-2与-1之间是( ）A.5- B ．3- C.3 D,5 3.大于的整数是且小于52＿__________4.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______＿＿______二次根式知识点一:二次根式，最简二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数2.最简二次根式:同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数中不含分母;(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例1．在个中，最简二次根式有，，，_____21862知识点二:二次根式的性质 1.性质:（1){002≥≤-==a a a a a a（2))0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积(３）)0,0(>≥=b a ba b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2.化二次根式为最简二次根式的一般步骤:（1)把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数（2)被开方数是整数或是整式,先将它分解因式或因式,然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（３)化去分母中的根号或根号内的分母(4）约分例2:化简3283知识点三:二次根式的运算1.在实数范围内,可以进行加,减,乘,除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立2.二次根式的乘除运算公式)0,0(≥≥•=b a b a ab)0,0(>≥=b a ba b a 3.二次根式加减运算步骤：（1）把二次根式化成最简二次根式（2）找出同类二次根式（被开方数相同）,并合并例３：计算下列各式 6332⨯ 12-31））（（121-2+练习:）（18-212 ）（）（5-62322+ 632-5520⨯+ 题型二：利用二次根式计算几何问题例2：如图，每个小正方形的边长为1,求∆AB Ｃ的面积和周长实数知识清单全练:知识点一:二次根式,最简二次根式的概念1.一般地,形如___＿____（a 》0）的式子叫做二次根式,ａ叫做___＿_____2.最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含_＿_______＿的因数或因式（2）被开方数的因数是＿_________＿，因式是_＿＿_________＿知识点二：二次根式的性质 3.二次根式的性质（1）()0_________2≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a（2）()()()0________0_________0________2<=>==a a a a a 或或（3）()0,0______≥≥=b a ab（4）()0,0_________>≥=b a ba知识点三：二次根式的运算4.二次根式的加减运算:先化成_____＿_＿_____二次根式，再合并___________二次根式5.二次根式的乘法运算：)0,0(__________≥≥=•b a b a ;)0,0________(>≥=b a ba基础闯关全练知识点一：二次根式，最简二次根式的概念 1.下列式子中二次根式的个数有（）（1）)1(1)6()31()5(8)4(1-33-23122>--+x x x ）（）（ 2.下列二次根式中，最简二次根式是( ） A.23a Ｂ.31Ｃ.152 D ．143 3.使式子2-m 的意义的ｍ的最小整数值是__＿___＿_＿_____ 知识点二：二次根式的性质4.若______20的最小值是是整数，则正整数n n5.化简:530.22211-1321知识点三：二次根式的运算6.如果bab a b a ab =<+>）那么下面各式：（1,0,0(2)b b a ab a b b a -=÷=•)3(1其中正确的是____＿＿7.下列二次根式中,不能与合并的是（）2Ａ.21Ｂ.8 C.12 D.18 8．按如图所示的程序计算,若开始输入的ｎ值为2，则最后输出的结果是_＿______＿_______9.化简）（222-8+=＿＿＿_______10.计算1052-40⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 361-24÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31227+18-2148+ ()()16-3-737+()()()2-551-5-22+。

八年级上无理数知识点

八年级上无理数知识点无理数，一种不能写成两个正整数之比的实数，可以用无限小数或无限循环小数表示。

在八年级上学习无理数，主要涉及到以下知识点：一、无理数的概念在有理数的基础上，我们引进了一类新的数，叫做无理数。

无理数本身不能用有限个整数表达，但可以用一些无限不循环小数或者无限循环小数来表示。

例如根号2，就是一个无理数，它的十进制表示为1.41421356……。

二、无理数的性质无理数有一些比较特别的性质，与有理数有所不同。

1. 无限不循环小数：无理数的十进制表示通常是无限不循环小数。

2. 无理数的比较：两个无理数可以通过大小比较，但无理数和有理数之间没有大小关系。

3. 常见的无理数：八年级上我们最常见到的无理数是根号2和根号3，以及它们的和、差、积和商。

4. 无理数的近似值：可以用有限位小数把无理数表示为它的近似值。

三、无理数的运算无理数的运算通常是在有理数的基础上进行的。

无理数间的加、减、乘、除等运算依然符合通常的运算规律，具体涉及到以下几个方面。

1. 无理数的加减法：无理数相加、相减的结果还是无理数。

2. 乘法的基本性质：无理数相乘的结果仍然是无理数。

3. 除法的基本性质：无理数相除的结果不一定是无理数。

四、无理数的应用无理数作为一种重要的数学概念，广泛应用在各领域中，如工程学、物理学、统计学等。

在八年级上学习无理数的一个重要应用就是勾股定理。

勾股定理是三角形中一条重要定理，它可以用来判断一个三角形是直角三角形。

其中就涉及到根号2和根号3的运算。

勾股定理在实际生活中也有广泛应用，如房屋、电子秤测量等。

以上就是关于八年级上无理数的主要内容介绍。

无理数是数学中很重要的概念，通过学习这些知识点可以更好地理解和应用无理数。

估算无理数的大小

估算——夹逼法
估算能力也是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较.例如：估算 10 的大小，可以取和 10最近的两个完全平方数9和16.因为9<10<16,所以 9 10 16 ，即 3 104。
估算——夹逼法
例.估算 7 的近似值(精确到0.01)
解：∵ 224,329 ∴ 2 7 3 ∵ 2.626.7,6 2.727.29 ∴ 2.6 72.7 ∵ 2.62 46.96,2 9 .66257.0225 ∴ 2.64 72.65 ∵ 2.642 56.996,20 .62425 67.001316 ∴ 2.645 72.646
解：∵ 23 8 ， 33 27 且 81027 ∴ 23103
∴ 3 10 的整数部分0.01)
总结：同课本P42估算 2 的取值范围
估算算术平方根的取值范围
解：∵ 421952 ∴ 42 19 52
∴ 4 195 答案为：C
对应练习
对应练习
对应练习
对应练习
估算立方根的取值范围
例1. 3 10 的整数部分是________，小数部分是______ .

湘教版-数学-八年级上册-浅析无理数的大小比较

浅析无理数的大小比较贵州省德江县楠杆中学梁亚数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。

在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。

但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。

为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。

我归纳了几点：一、直接比较法①、同是正数例、13与17的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。

所以：13<17②、同是负数例、－39与－40的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

所以：－39>－40③、一正一负例、53与－9的大小比较分析：正数大于一切负数。

所以：53>－9 二、分母有理化法例、13151-与15171-的大小比较分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子，1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是1517+，从而把此式化成)1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：)1315)(1315(1315+-+=21315+)1517)(1517(1517+-+=21517+因为分母都是2，分子大的那个就大。

所以：13151-<15171-三、分子有理化法例、6778--与的大小比较分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，7878+-的有理化因子是67-的有理化因子是67+；从而把此式化成78)78)(78(++-与67)67)(67(++- 即：78)78)(78(++-=781+ 67)67)(67(++-=671+ 所以：分子相同分母大的反而小，则78-<67- 四、平方法例、72+与63+的大小比较分析：是不是2+7=9与3+6=9因为9=9 所以：72+=63+错误：因为2与2不相同，也及3、6、7都是一样的，那怎么办呢？因为它们都是正数，不要怕，不妨把它们同时平方。

七年级数学无理数知识点

七年级数学无理数知识点数学是一门古老而神秘的学科，其中涉及知识点众多，每一个知识点都有其独特的性质和特点。

在七年级的数学课程中，学生们将接触到无理数这个概念。

在本篇文章中，我将详细地介绍七年级数学无理数知识点，帮助学生们更好地理解和掌握相关知识。

一. 无理数的基本概念无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。

它的小数表示无限循环，而且循环不以任何有规律的方式出现。

例如，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$和$\pi$都是无理数。

二. 无理数的性质1. 无理数是有限小数和循环小数的补集。

2. 任何有理数的平方根都是无理数。

3. 任何两个不同的无理数之间都可以插入一个有理数。

4. 任何两个有理数之间都可以插入一个无理数。

5. 无理数和无理数相加、相减、相乘或相除，结果都是无理数。

三. 无理数的运算1. 无理数的加法和减法无理数的加法和减法，可以分别是有理数和无理数之间的加法和减法，也可以是无理数和无理数之间的加法和减法。

例如：$\sqrt{3} + \sqrt{2}$$\sqrt{3} - \sqrt{2}$2. 无理数的乘法和除法无理数的乘法和除法，可以是有理数和无理数之间的乘法和除法，也可以是无理数和无理数之间的乘法和除法。

例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{2}$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$3. 无理数的大小比较对于两个无理数$a$和$b$，如果$a-b$是正数，则称$a>b$；如果$a-b$是负数，则称$a<b$。

例如：$\sqrt{3} > \sqrt{2}$四. 无理数的应用无理数广泛应用于几何、统计学、物理学和其他科学领域。

例如，在几何学中，无理数被广泛应用于圆的面积和周长的计算；在物理学中，无理数被广泛应用于波的频率和振幅的计算。

同时，在现代科技中，无理数也扮演着重要的角色，例如无线电通信、图像处理、密码学等等。

总结：无理数是数学中的一种重要概念，对现代科技的发展产生了巨大的影响。

无理数集合测度-概述说明以及解释

无理数集合测度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述无理数集合测度是数学中一个重要的概念，它与无理数的性质密切相关。

无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数，包括无限不循环小数和无限循环小数。

在数学中，我们常常将实数划分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以用两个整数的比值来表示的实数，包括整数、分数以及有限不循环小数。

而无理数则是一类特殊的实数，它们具有无穷的小数位数，且没有循环。

无理数集合包括像π，√2和e等著名的无理数。

无理数集合测度是对无理数集合进行度量的一种方法。

它允许我们衡量无理数集合的大小、稠密程度等性质。

通过测度，我们可以比较不同无理数集合之间的大小关系，进一步深入了解无理数的分布规律。

本文将首先介绍无理数集合的定义和特点，包括无理数的基本概念及其在数学中的重要性。

然后，我们将探讨无理数集合测度的方法，包括测度的定义和计算方法。

最后，我们将总结无理数集合的测度，并探讨无理数集合测度在实际应用中的意义和作用。

通过对无理数集合测度的研究，我们可以更深入地理解无理数的特性和性质。

同时，无理数集合测度也为我们提供了一种衡量无理数集合大小和密度的工具，有助于在数学和其他领域中的实际应用中发挥重要的作用。

在接下来的章节中，我们将逐步展开对无理数集合的测度进行深入的研究和探讨。

1.2文章结构文章结构部分的内容应包括对整篇文章的结构进行简要介绍，提供读者一个整体的把握。

可以按照以下内容进行编写：文章结构部分将对本篇长文的整体结构进行介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的认识。

本文主要包含引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将对文章的背景和研究的问题进行概述，说明无理数集合测度的重要性以及相关研究的现状。

在正文部分，我们将首先介绍无理数集合的定义和特点，探讨无理数集合与有理数集合的关系，以及无理数集合的性质和特征。

其次，我们将详细介绍无理数集合的测度方法，包括传统的长度测度和更一般的Lebesgue测度方法。

估算无理数的大小

估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。

一般情况下从1到达20 整数的平方都应牢记。

例：估算船的取值范围。

解：因为1 v 3 v 4，所以EI v U v H 即：1 Vv 2如果想估算的更精确一些比如说想精确到0.1 .可以这样考虑：因为17的平方是289 , 18的平方是324，所以1.7的平方是2.89 , 1.8的平方是3.24 .因为2.89 v 3 v 3.24 , 所以济v直v丽，所以1.7 v v 1.8。

如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。

比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。

一、直接法直接利用数的大小来进行比较。

①、同是正数：例：心与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。

因为3=宀>、「，所以3> '②、同是负数：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

③、一正一负:正数大于一切负数。

二、隐含条件法：根据二次根式定义，挖掘隐含条件。

例:比较莎石与后巨的大小。

因为Ja_2成立所以a-2 M 0即a M 2所以1-a三-1所以】仝0, J门三-1以 Ja — 2 > 計' —a三、同次根式下比较被开方数法：例:比较4氏与5止大小因为4运=J16x5 = 俪.5A /4 = A /25 x 4 = ^/100L所以 ,即 4<5^4四、作差法: 若 a-b>0,则 a>b 例：比较3-d 与宀-2的大小因为3・'=5-2 -=3-品 y/~6 +2亦V =2 5所以：5-2曲>0 即 3- \ 乂>、' -2五、作商法：a>0,b>0,若'>1,则 a>b 石+1 需+2 例：比较*「与J 」' 的大小蕩+1 侖+2 因为宀'「+ 石+ ] 祐+ 3_亦十2 需+ 2= ----- X六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c ,转证 a>c,c>bVio+3 2厉 + 2例:比较E 2与+U I '的大小所以: 石+1 7^+2需+ 2 V 而+ —V10+3 2馆 + 2因为\W+2>1,1> 2-^ + 3A/To+3 2 腐+ 2所以烦+ 2 >2^5 + 3七、平方法：a>0,b>0,若a2>b 2则a>b。

无理数的分数逼近和连分数

无理数的分数逼近和连分数在数学上，有理数和无理数是两种不同的数。

有理数是指可以表示成两个整数之比的数，例如⅓、½、-2等。

而无理数则是指无法表示成有限小数或分数形式的数，例如π、√2等。

由于无理数无法表示成分数的形式，因此无理数的大小难以直接比较，这给数学上的很多问题带来了困难。

但是，我们可以使用分数逼近和连分数来近似表示无理数，使得无理数问题可以得到更好的解决。

分数逼近分数逼近是指用分数来逼近一个无理数的近似值。

这种方法的基本想法十分简单：对于给定的无理数x，寻找一个最接近它的分数p/q，使得| x - p/q | 尽可能小。

然后我们称这个分数为x的第一个连分数近似。

在实际运用中，我们可以先选取一个分母q0，然后寻找分子p0，满足| x - p0/q0 | 最小。

这样得到的p0/q0就是x的第一个连分数近似。

接下来，我们以p0/q0作为新的近似值，求出下一个分数p1/q1，以此类推，得到一系列连分数近似得到的数列{p0/q0,p1/q1, p2/q2, …} 将这些分数列出来，就得到了一个逐渐趋近于无理数的有理数序列。

在实际的计算中，我们可以使用欧几里得算法来寻找每次逼近的分数。

这种算法使用一系列简单的操作，可以快速得到分数p/q 的各个部分，以及新的近似值。

例如，我们要使用分数逼近来逼近√2。

假设开始时选择的分母是1，那么第一个分数近似为1/1。

接下来，我们可以使用欧几里得算法计算出√2和1/1的差值，并找到最接近其差值的分数1/2，作为第二个分数近似。

然后以1/2为新的近似值，再次计算差值，再次找到新的分数近似，以此类推。

最终，我们可以得到序列{1, 3/2, 7/5, 17/12, …}，每个数都是√2的一个连分数近似。

连分数连分数是一种特殊的分数表示法，由一系列嵌套的分数组成，形式为：a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + …)))其中a0，a1，a2，…都是整数。