积分第二中值定理证明_139202166

理， [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
积分第二中值定理： 设 f Ra, b ， g 在a,b 上单调，则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx

g

a


a
f
( x )dx

g

b

b

f
( x)dx
.
（1）
证明：1. 先设 g 在a,b 上非负且单调递增.对于区间a,b 的任何分割
T : a x0 x1 xn b ,
b a
f ( x)g(x)dx
n i1
g(xi )
xi xi 1
f (x)dx
n i1
xi xi 1
f
( x)[g(x)

g( xi )]dx
.
（2）wenku.baidu.com
b
记上式右端第一个和式为 A(T ) ,第二个和式为 B(T ) ,令 F (x) x f (t)dt ,注意到
i 1
n 1
g(x1)F ( x0) [g(xi1) g( xi )]F (xi ) . i1
F (x) C[a,b] ,记 M sup F ( x) , m inf F (x) ,由于 g 在a,b 上非负单增,由上式
a xb
axb
n1
A(T ) M {g(x1) [g(xi1) g(xi )]} Mg(b) ， i 1
所以等式（1）成立. 最后,若 g 在a,b 上单调递减，则 g(x) 单调递增,在
等式(1)中用 g(x) 代替 g(x) ,即得等式（1）依然成立.
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
（3）
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
F (xn ) F (b) 0 ,
A(T )
n
g(xi )
i 1
xi xi 1
f (x)dx
n
g(xi )[F (xi1) F( xi )]
i1
n 1
n
g(x1)F ( x0) g( xi1)F( xi ) g(xi )F( xi )
i1
xi xi 1
[
g
(
xi
)

g(
xi 1 )]dx

K
lim[U
|T |0
(g,T
)

L(g,T
)]

0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合（3）式，若在等式（2）中令 | T | 0 ，可得
a xb
b
mg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值，根据连续函数的介值定
b
b
a f ( x)[g(x) g(a)]dx [g(b) g(a)] f (x)dx ,
即
b f (x)g(x)dx g a
b
f (x)dx [g(b) g(a)]
b
f ( x)dx
a
a


g

a


a
f
( x )dx

g
b

b

f
( x )dx