积分第二中值定理证明_139202166

积分第二中值定理的证明

上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。

积分第二中值定理：()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ϕ在区间[,]a b 上单调，那么在[,]a b 上存在内点ξ，使得：()()(0)()(0)()bbaaf x x dx a f x dx b f x dx ξξϕϕϕ=++-⎰⎰⎰特别的，当()x ϕ在区间[,]a b 两端连续时，有()()()()()()bbaaf x x dx a f x dx b f x dx ξξϕϕϕ=+⎰⎰⎰积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。

Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的210n n >>，有222211111111()()n n nnn n n n n n n n n n n n a bb b a a a b a b -++-==-=-+-∑∑实际上：2111111222111111111222221111111122111111111211111121()()()...()()()...()()()...(n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a bb a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222222111111111)()()n n n n n n n nnn n n n n n n a b a a a b b aa ab a b ++++-=-+-+-+-∑下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。

证明二重积分中值定理

证明二重积分中值定理
《证明二重积分中值定理》
二重积分中值定理是数学中的重要定理，它指出：若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
证明二重积分中值定理，首先要证明它在定义域D内连续。

假设D是一个二维闭区间[a,b]×[c,d]，令x=x(t)，y=y(s)，则有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(x(t),y(s))∥(x'(t),y'(s))∥dtds
由于x(t)和y(s)在[a,b]和[c,d]上连续，而f(x,y)在D内连续，所以f(x(t),y(s))在[a,b]×[c,d]上
连续，故可以把f(x(t),y(s))改写为f(t,s)，有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(t,s)∥(x'(t),y'(s))∥dtds
同理，有：
∫∫Df(x,y)dydx=∫dca∫bdsf(t,s)∥(y'(s),x'(t))∥dsdt
由上面的两式可知：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
即证明了二重积分中值定理。

综上所述，证明了二重积分中值定理，即若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx。

积分平均值定理、积分第二中值定理

定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明简单不等式定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥ba dx x f 0)(。

定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>ba dx x f 0)(。

证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。

由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有)(21)(0x f x f ≥由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=ba ab dx x f dx x f dx x f dx x f αββα)()()()( ⎰≥βαdx x f )( ⎰≥βαdx x f )(210 0))((210>-=αβx f 。

推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=ba dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]b a x ,∈。

推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=ba dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，[]b a x ,∈。

积分平均值定理定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b ab a ba Mdx dx x f mdx )( )()()(ab M dx x f a b m ba -≤≤-⎰从而有 M dx x f a b m b a≤-≤⎰)()(1。

如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，有⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ。

积分第二中值定理证明

积分第二中值定理证明这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt （上限为自变量x，下限为常数a）。

以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt= ∫f(t)dt + ∫f(t)dt= Φ(x) + ∫f(t)dt即Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt应用积分中值定理，可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）因此Φ(x)为连续函数其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为Φ'(x) = f(x)证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε< p="">由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+δx]时恒成立，因此得到<="" p="">f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε即|μ-f(x)|<=ε由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)命题得证。

积分第二中值定理

积分第二中值定理
积分中值定理的证明：设f(x)在[a，b]上连续，且最大值为m,最小值为m，最大值和最小值可相等。

由估值定理及连续函数的介值定理可证明积分中值定理。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函
数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数
积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数。

不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一
积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证
明不等式成立的目的。

在证明的定分数不等式时, 常常考量运用分数中值定理, 以便换成分数符号, 如果被
内积函数就是两个函数之积时, 可以考量用分数第一或者第二中值定理。

对于某些不等式
的证明, 运用原分数中值定理就可以获得“≥”的结论, 或者不等式显然无法获得证明。

而运用改良了的分数中值定理之后, 则可以获得“\ue”的结论, 或者顺利的解决问题。

定积分第二中值定理

定积分第二中值定理
定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它是关于定积分的性质之一。

定积分的第二中值定理表述为，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么存在一个ξ∈[a, b]，使得定积分∫[a, b]f(x)dx等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值乘以区间的长度(b-a)，即∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)(b-a)。

从几何意义上来理解，定积分的第二中值定理可以解释为，在函数f(x)的图像下方与x轴之间的有界区域的平均高度乘以区域的宽度等于定积分的值。

这个ξ就是函数在区间[a, b]上的平均值所对应的横坐标，也就是说，存在这样一个点ξ，使得函数在这一点的函数值等于定积分的平均值。

定积分的第二中值定理可以被看作是定积分的平均值定理的推广，它为我们提供了一种通过平均值来理解定积分的方法。

这个定理在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中，可以用来解释物体在一段时间内的平均速度等问题。

总之，定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它提供
了定积分与函数平均值之间的关系，有助于我们更深入地理解定积分的性质和应用。

积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈，使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈，使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b a f x f dx ξ-=⎰由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().x b a af x dx f b dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x dx Mb a <-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

积分第二中分定理

积分第二中分定理
积分第二中值定理
积分第二中值定理是高等数学中的一个重要定理。

它被广泛应用于计算积分、研究微积分学中的相关问题。

本文将从概念、定理以及例题等方面进行详细介绍。

概念：积分第二中值定理是指，如果在一个区间上的函数f(x)在该区间内是连续的且不存在零点，那么必然至少存在一点c，使得
∫abf(x)dx=f(c)(b-a)。

定理证明：首先，我们可以从函数f(x)的连续性出发，构造一个函数g(x)，使得f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都满足连续性。

设
g(x)=∫abf(t)dt/(b-a)，将其带入到定理中可得出∫abf(x)dx=g(x)(b-a)。

因为g(x)和f(x)都在区间[a,b]内连续，由于连续函数介值定理，所以必有
g(x)在区间[a,b]内取到了某个值c。

于是，由上述式子可以推导出
f(c)=(∫abf(t)dt/(b-a))/(b-a)=∫abf(t)dt/(b-a)×1/(b-a)=g(x)。

因此，得证。

例题：对函数f(x)=x2在区间[0,2]上求∫abf(x)dx与积分第二中值定理确定的值。

分析：f(x)在该区间内是一个连续的函数，故可以用积分第二中值定理
来求解。

解法：首先求出∫02x2dx=(x3/3)|02=8/3，然后求出g(x)=8/3/2=4/3，因为
f(x)在区间[0,2]内连续，故必存在一点c∈[0,2]使得f(c)=4/3。

总结：积分第二中值定理是微积分中的基础概念，常常被应用于实际
问题的求解。

虽然证明过程相对比较复杂，但是只要理解其基本思想，推导就能较为顺利。

双重积分中值定理

双重积分中值定理1. 嘿，亲爱的数学小伙伴们！今天咱们来聊一个听起来挺吓人，其实特别有意思的话题 - 双重积分中值定理。

别被这个名字唬住啦，它就像是给一块不规则的蛋糕找到完美的平均高度！2. 你们知道吗？这个定理就像是数学界的"平均人"理论。

想象一下，你有一块起起伏伏的地形，可能有山有谷，双重积分中值定理就是告诉我们：一定存在一个神奇的点，在这个点的高度就等于整个区域的平均高度！3. 打个超级生动的比方：假设你有一块不规则形状的巧克力蛋糕，上面还有各种各样的奶油装饰，高低不平。

这个定理就是告诉我们，一定能找到一个点，这个点的高度乘以蛋糕的底面积，就正好等于整个蛋糕的体积！4. 这个定理简直就像是数学界的"大众代表"！它告诉我们，在一个连续函数覆盖的区域里，总能找到一个点，这个点的函数值乘以面积就等于整个区域的体积。

就像是在一群人里找到一个最能代表平均水平的人一样！5. 有趣的是，这个神奇的点不一定是区域的中心点哦！就像班级的平均成绩可能不是坐在教室中间那个同学的成绩一样。

它可能在任何地方，但一定存在！6. 要理解这个定理，我们可以想象自己是一个小蚂蚁，在这个区域里到处爬。

这个区域就像是一个小小的游乐场，有高有低，而中值点就是那个最能代表整体高度的地方。

7. 说到计算，这个定理给我们提供了一个超级实用的工具。

它就像是一个数学界的"快捷键"，让我们不用算复杂的积分，就能大致估计出一个区域的积分值！8. 在实际应用中，这个定理简直就是救命稻草！比如在物理学中计算压力分布，或者在经济学中计算平均收益，都能用到它。

它就像是一个万能的计算器！9. 有时候同学们会问：这个点到底在哪儿啊？别着急，这个定理只是告诉我们这个点一定存在，至于具体位置，那就要靠其他方法去找啦。

就像告诉你班上一定有人考了平均分，但具体是谁还得自己查！10. 这个定理还告诉我们一个有趣的事实：不管这个函数多么复杂，多么起起伏伏，总能找到这么一个神奇的点。

浅析积分第二中值定理及应用

浅析积分第二中值定理及应用作者：石桃华佳林来源：《科技资讯》2011年第30期摘要：本文讨论了积分第二中值定理的证明方法，以及定理中“中值点”的区间给予了改进，给出了第二中值定理的一些推广形式与其证明方法。

总结了中值定理在各个方面应用。

关键词:积分第二中值定理中值点应用中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2011)10(c)-0000-001 积分第二中值定理的证明积分中值定理无论在理论还是在应用上在积分学中都有重要意义，所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细下面给出该定理与其证明。

结论：在一些比较复杂的极限证明过程中应用积分第二中值定理可以得到很好的结果，而且计算过程简单易懂。

4 结束语积分中值定理是数学分析课程中很重要的一个定理，同时也是解决后续课程中相关问题的重要方法。

本文重要介绍了积分第二中值定理的证明，和由它衍生出来的一系列问题。

给出了它的很多应用，使我们对它有了更深一层的理解。

另外积分中值定理在很多方面有着很重要的应用，例如一些收敛定理的证明，反常积分收敛性的证明。

在这里我们不做过多的讨论。

参考文献[1] 吉林大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社,1979,191-207．[2] 费定晖,周学圣.B n吉米多维奇．《数学分析习题集题解(三)》[M].济南：山东科学技术出版社,1979,454-455．[3] 金渝光.关于积分中值定理[J].重庆师范学院学报(自然科学版),1998,15(增刊)：36-37．[4] 原华丽.关于积分第二中值定理的探究[J].山东师范大学学报(自然科学版),2004,19(3)：83-85．。

积分第二中值定理的证明 -回复

积分第二中值定理的证明回复积分第二中值定理的证明如下：设$f(x)$在$[a,b]$内连续，则存在$c\in[a,b]$，使得$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$证明：考虑将$[a,b]$分成$n$个相等的小区间，每个小区间的长度为$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，分别记为$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]$，其中$x_0=a,x_n=b$。

对于每个小区间$[x_{i-1},x_i]$，根据拉格朗日中值定理，存在$x_i^*\in[x_{i-1},x_i]$，使得$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx=f(x_i^*)\Delta x$$将上述式子对$i=1,2,...,n$进行求和，有$$\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x$$由于$f(x)$在$[a,b]$内连续，因此$f(x)$在$[a,b]$内一定有界，即存在$M>0$，使得$|f(x)|\leM$，$\forall x\in[a,b]$。

于是有$$\left|\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x\right|\le\sum_{i=1}^n|f(x_i^*)|\Delta x\le M\sum_{i=1}^n\Delta x=(b-a)M$$令$\Delta x\rightarrow0$，则有$n\rightarrow\infty$，$x_i^*\rightarrow c$，其中$c\in[a,b]$。

因此，$$\lim_{\Delta x\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x=\int_a^bf(x)dx$$又由于$f(x)$在$[a,b]$内连续，因此$f(x)$在$[a,b]$内一定可积，即存在$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x$。

二元积分中值定理公式

二元积分中值定理公式【实用版】目录1.二元积分中值定理的概念2.二元积分中值定理的公式3.二元积分中值定理的证明4.二元积分中值定理的应用正文【1.二元积分中值定理的概念】二元积分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它主要用于解决二元函数在矩形区域上的积分问题。

该定理指出，如果一个二元函数在某一矩形区域内部可积，那么在这个矩形区域的边界上必然存在一个点，使得该点处的函数值等于矩形区域内部任意一点处的函数值的平均值。

【2.二元积分中值定理的公式】二元积分中值定理的公式可以表示为：∫∫_D f(x, y) dxdy = ∫f(x, y) d(x * |y|) = ∫f(x, 0) dx + ∫f(0, y) dy其中，D 表示二元函数 f(x, y) 的定义域，|y|表示 y 的绝对值，表示 y 轴上的长度。

【3.二元积分中值定理的证明】为了证明二元积分中值定理，我们可以采用数学归纳法。

假设我们有一个二元函数 f(x, y)，它在矩形区域 D 内部可积，现在需要证明在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得 f(x0, y0) 等于 f(x, y) 在 D 内部任意一点处的函数值的平均值。

我们首先假设 f(x, y) 在 D 内部可积，那么根据一元积分中值定理，我们可以得出在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得∫_D f(x, y) dxdy = f(x0, y0)。

然后我们假设 f(x, y) 在 D 的边界上不可积，那么根据积分的连续性，我们可以将 D 划分为两个更小的矩形区域，使得 f(x, y) 在这两个小区域内部可积。

然而，这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即 f(x, y) 在 D 的边界上存在一个点 (x0, y0)，使得 f(x0, y0) 等于 f(x, y) 在 D 内部任意一点处的函数值的平均值。

【4.二元积分中值定理的应用】二元积分中值定理在实际应用中非常重要，它可以帮助我们简化复杂的积分问题。

积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈，使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[,]a b ξ∃∈，使得()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰。

于是[()()]0.b af x f dx ξ-=⎰ 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）：(这还是书上例2的结论)(,)a b η∃∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。

[证二]：令()()xa F x f t dt =⎰，则()F x 在[,]ab 上满足拉格朗日中值定理的条件，故(,)a b ξ∃∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）[证三]：反证：假设不(,)a b ξ∃∈，使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，由积分第一中值定理，知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a∀∈≠=-⎰。

由于f 连续，故(,),x a b ∀∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <），（这一点是不是用介值定理来说明）这样（上限x 改为b ）()()()().xba a f x dx fb dx f b b a >=-⎰⎰ （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）矛盾。

[证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。

若m M =，则f c ≡，ξ可任取。

若m M <，则1[,]x a b ∃∈，有1()0M f x ->，故[()]0b a M f x dx ->⎰，即 ()().ba f x d x Mb a<-⎰同理有()().ba mb a f x dx -<⎰ 由连续函数的介质定理知：(,)a b ξ∃∈，使得 1()().b a f f x dx b aξ=-⎰。

二重积分中值定理使用条件

二重积分中值定理使用条件
二重积分中值定理的条件：分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。

其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

设f（x，y）在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点，使得定理证明设（x）在上连续，且最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。

由估值定理可得同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，即：命题得证。

意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

第二中值定理证明

第二中值定理证明【原创版】目录1.第二中值定理的概念介绍2.第二中值定理的证明方法3.第二中值定理的应用示例正文【第二中值定理的概念介绍】第二中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要研究了函数在区间上的平均变化率与该区间内某一点导数的关系。

第二中值定理的内容为：如果函数 f(x) 满足在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)，则至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

【第二中值定理的证明方法】为了证明第二中值定理，我们可以先假设函数 f(x) 满足在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)。

我们需要证明至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

我们令 F(x) = f(x) - (f(b) - f(a))x，那么 F(a) = f(a) - (f(b) - f(a))a = 0，F(b) = f(b) - (f(b) - f(a))b = 0。

由此，我们可以知道函数 F(x) 在区间 [a, b] 上满足 Rolle 定理的条件。

根据 Rolle 定理，我们可以得知，在区间 (a, b) 内至少存在一点 c，使得 F"(c) = 0。

由链式法则，我们可以得到 F"(x) = f"(x) - (f(b) - f(a))，所以F"(c) = f"(c) - (f(b) - f(a))。

将 F"(c) = 0 代入，我们可以得到 f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

这就证明了第二中值定理。

【第二中值定理的应用示例】第二中值定理在实际问题中有广泛的应用，下面我们通过一个例子来说明。

第二型曲线积分的第二中值定理

17 期
唐国吉: 第二型曲线积分的第二中值定理
201 dx ; 当
( t) Ε 0, t ∈ [ Α 标也 ( 第二型) 可积, 且当 Υ ′ , Β] 时有 ( t) Φ 0, t ∈ [ Α Υ ′ , Β ] 时有
f (x , y ) d x ∫
C
f (x , y ) dx Φ ∫ ∫f (x , y )
2
Ε
, 即
∑Ξ
i
△x i <
2
Ε .
3 主要结果
定理 3. 1 ( 第二型曲线积分的第二中值定理) 设函数 f 沿光滑曲线 C ( 曲线 C 同定义 2. 1 中所述) 从 A 到 B 关于第一坐标 ( 第二型) 可积 . 1) 若函数 g 在曲线 C 上单调减, 且对任意 ( x , y ) ∈ C , 有 g ( x , y ) Ε 0, 则存在点 P 1 (x 1 , y 1 ) ∈ C 使
第 39 卷第 17 期 2009 年 9 月 M A TH EM A T
数学的实践与认识 V o l139 N o 117 Sep. , 2009 ICS I N PRA CT ICE AND TH EO R Y
教学园地
第二型曲线积分的第二中值定理
唐国吉
( 广西民族大学数学与计算机科学学院, 广西南宁 530006)
f (u , v )
Φ M , ( u , v ) ∈ C , 由引理 2. 1 得 △F =
∫
C (P , Q )
f ( u , v ) d u Φ M △x . 当 △x
→ 0, △y → 0 时, △F → 0 , 即证得 F 在点 P ( x , y ) 连续, 由 P ( x , y ) 的任意性知, F 在曲线 C (A , D ) 上连续 ( 在端点 A , D 处均指单侧连续). 其次完全类似地证明 F 在 C (D , B ) 上连续. 由 F 在 D 点两侧都连续可推知 F 在 D 点连续 . 因此 F 在曲线 C 上连续 . 本文主要结果的证明还需要以下引理. 引理 2. 4 [ 1 ] 若函数 f 在有界闭集 D < R 2 上连续, 则 f 在 D 上有界, 且能取到最大值和最小值. 引理 2. 5 设函数 f 在光滑曲线 C ( 曲线 C 同定义 2. 1 中所述) 上连续, 设m , M 分别为 f 在曲线 C 上的最小值与最大值, 则 Π Λ : m < Λ < M , ϖ P (Ν , Γ) ∈ C , 使 f ( Ν , Γ) = Λ . 证明由引理 2. 4 知 f 在曲线 C 上能取到最小值 m 与最大值M . 作辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) - Λ, 易见 F 仍在曲线 C 上连续, 且设 f ( x 1 , y 1 ) = f ( Υ( t1 ) , Ω( t1 ) ) = m , f ( x 2 , y 2 ) = f ( Υ( t2 ) , Ω( t2 ) ) = M , 其中 ΑΦ t1 , t2 Φ Β, 则有 F ( x 1 , y 1 ) < 0, F ( x 2 , y 2 ) > 0. 现将 F 表