角平分线、垂直平分线(精典例题+跟踪训练+参考答案
线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第04讲线段的垂直平分线和角平分线(8类热点题型讲练)1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算；4.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；5.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.知识点01线段的垂直平分线⎧⎨⎩线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理知识点02角的平分线⎧⎪⎨⎪⎩角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.性质定理性质定理题型01线段的垂直平分线的性质【例题】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，EF 是AB 的垂直平分线，AD BC ⊥，D 为CE 的中点．(1)求证：BE AC=(2)若35B ∠=︒，则BAC ∠=【答案】(1)见解析(2)75︒【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．（1）连接AE ，由题意可判定AD 垂直平分CE ，由线段垂直平分线的性质可得AC AE BE ==，即可证明结论；（2）由等腰三角形的性质可求35∠=︒BAE ，由直角三角形的性质可得BAD ∠的度数，即可求得EAD ∠，CAD ∠的度数，进而可求解．【详解】（1）证明：连接AE ，如图所示：∵AD BC ⊥于点D ，且D 为线段CE 的中点，∴AD 垂直平分CE ，∴AC AE =，∵EF 垂直平分AB ，∴AE BE =，∴BE AC =；（2）解：∵AE BE =，35B ∠=︒，∴35BAE B ∠=∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴903555BAD ∠=︒-︒=︒，∴553520EAD ∠=︒-︒=︒，∵AC AE =，AD BC ⊥，∴20EAD CAD ∠=∠=︒，∴75BAC BAE EAD CAD ∠=∠+∠+∠=︒．故答案为：75︒．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；(2)若70MFN ∠=︒，求MCN ∠的度数．【答案】(1)15cmAB =(2)40MCN ∠=︒【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM CM =，BN CN =，然后求出CMN 的周长AB =；（2）根据三角形的内角和定理列式求出MNF NMF ∠+∠，再求出A B ∠∠+，根据等边对等角可得A ACM ∠=∠，B BCN ∠=∠，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解；【详解】（1）解：∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM CM =，BN CN =，∴CMN 的周长CM MN CN AM MN BN AB =++=++=，∵CMN 的周长为15cm ，∴15cm AB =；（2）解：∵70MFN ∠=︒，∴18070110MNF NMF ∠+∠=︒-︒=︒，∵AMD NMF ∠=∠，BNE MNF ∠=∠，∴110AMD BNE MNF NMF ∠+∠=∠+∠=︒，∴909018011070A B AMD BNE ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-︒=︒，∵AM CM =，BN CN =，∴A ACM ∠=∠，B BCN ∠=∠，∴()180218027040MCN A B ∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，BD DE =，连接AE ．(1)若AE 平分BAC ∠，求C ∠的度数；(2)若ABC 的周长为13cm ，5cm AC =，求CD 的长．【答案】(1)36°(2)4cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线、线段垂直平分线、三角形内角和定理等，解答本题的关键在于熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等及等腰三角形的性质本题即可求解．【详解】（1）解：AD BC BD DE ⊥ ，＝，EF 垂直平分AC ，∴AB AE EC ＝＝，C CAE ∴∠∠＝，∵AE 平分BAC ∠，∴BAE EAC ∠∠＝，∵AD BC ⊥于点D ，BD＝DE ，∴AB AE ＝，∴2B AEB C EAC C ∠∠∠+∠∠＝＝＝，根据三角形内角和等于180︒可得，180B AEB BAE ∠+∠+∠︒＝，22180C C C ∴∠+∠+∠︒＝，36C ∴∠︒＝．（2）ABC 周长13cm ，5cm AC =，∴8cm AB BC +＝，∴8cm AB BE EC ++＝，即，228cm DE EC +＝，∴4cm DE EC +＝，∴4cm DC DE EC +＝＝．题型02线段的垂直平分线的判定(1)求证：AD (2)已知ABC ∠【详解】（1）证明：∴点A 在BC AD ∴垂直平分（2）解： 【变式训练】1.如图，ABC 为等边三角形，AD AB ⊥，4AD DC ==，AC BD ，相交于点E ．(1)求证：BD 垂直平分AC ；(2)求BE 的长；(3)若点F 为BC 的中点，点P 在BD 上，则PC PF +的最小值为______．（直接写出结果）．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC =；∵,,AB BC AD CD BD BD ===，∴()ABD CBD SSS ≌，∴ADB CDB ∠=∠，∵,,AD DC ADB CDB DE DE =∠=∠=，∴()ADE CDE SAS ≌，∴,90AE EC AED DEC =∠=∠=︒，∴BD 垂直平分AC ；（2）解：∵DB AC ⊥，∴BE 平分ABC ∠，∵60ABC BAC ∠=∠=︒，∴30ABD ∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴30DAE ∠=︒，∵4=AD ，∴8,2BD DE ==，∴6BE BD DE =-=；（3）解：连接AF 交BD 于点P ，连接PC ，∵BD 是AC 的垂直平分线，∴A 、C 关于BD 对称，(1)求证：DB DE=；(2)过点A作AF BC∥，交ED延长线于点F，交①若12EM=，则BD=．题型03线段的垂直平分线的实际应用【例题】如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在()A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【答案】A 【详解】解：∵猫所在的位置到A 、B 、C 三个点的距离相等，∴猫应该蹲守在ABC 三边垂直平分线的交点处；故选A ．【变式训练】1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为、、A B C ，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（）A ．ABC 的三条中线的交点B ．ABC 三边的垂直平分线的交点C ．ABC 三条角平分线的交点D ．ABC 三条高所在直线的交点【答案】B 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则学校应建在ABC 三条边的垂直平分线的交点处．故选：B ．题型04线段的垂直平分线的尺规作图【例题】如图，已知在ABC 中，7AC =．(1)用尺规作BC 边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）(2)BC 边的垂直平分线分别交AC BC 、于点D 、E ，连接BD ，若ABD △的周长是10，求AB ．【详解】（1）解：如图，DE 即为所求；；（2）解：∵DE 是BC 边的垂直平分线，∴BD DC =，∵7AC =，∴7AD DC AD BD +=+=，∵ABD △的周长是10，∴10AB BD AD ++=．∴3AB =．【变式训练】1．某公司招收职工的试卷中有道题：如图，有三条两两相交的公路，为便于及时进行监控，防止违章，这个监控仪器应安装在什么位置可以使离三个路口的交叉点的距离相等你能找到这个监控安装的位置吗？（尺规作图，不写过程，保留作图痕迹）【详解】解：如图，点P 这个监控安装的位置．．2．如图，已知点A 、点B 以及直线L ．(1)用尺规作图的方法在直线L 上求作一点P ，使PA PB =．（保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）中所作的图中，连接AP BP ，，若90APB ∠=︒，过点A 作AM L ⊥于点M ，过点B 作BN L ⊥于点N ．求证：MN AM BN=+【详解】（1）解：点P 如图所示，；（2）解：∵AM L ⊥，BN L ⊥，90APB ∠=︒，∴90MAP APM NPB ∠=︒-∠=∠，∵PA PB =，∴()AAS MAP NPB ≌△△，∴AM PN =，PM BN =，∴MN PN PM AM BN =+=+．题型05角平分线的性质定理【例题】（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图AC 平分BAD ∠，CE AB CF AD ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，且BC CD =．(1)求证：BCE DCF △≌△；(2)若106AD BE ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证BCE DCF △≌△和Rt Rt ACF ACE ≅△△是解题的关键．（1）先证明CE CF =，再根据HL 即可证明BCE DCF △≌△；（2）先求出6DF BE ==，再根据HL 即可证明Rt Rt ACF ACE ≌△△，进而可求出AB 的长．【详解】（1）AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，90CFD ∴∠=︒，90CEB ∠=︒，CE CF =，在Rt BCE 和Rt DCF 中，CE CF BC CD =⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)BCE DCF ∴△≌△；（2）∵BCE DCF △≌△，6BE =，∴6DF BE ==．∵10AD =，∴10616AF =+=．在Rt ACF 和Rt ACE 中，CF CE AC AC=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)ACF ACE ∴△≌△，∴16AE AF ==，∴16622AB =+=．【变式训练】1)求证：AE 是DAB ∠2)已知4AE =，DE 【答案】(1)见解析2)12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理；（1）根据角平分线的性质得出∵90C ∠=︒，∴EF AD ⊥，∵AE 是DAB ∠的平分线，∴EF EC =，(1)求证：BE CF =；(2)若67AF BC ==，，则ABC 【答案】(1)证明见解析(2)19【详解】（1）证明：连接CD BD ，，∵D 在BC 的中垂线上，∴BD CD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴DE DF =，90BED CFD ∠=∠=︒，∴()Rt Rt HL BDE CDF ≌，∴BE CF =；（2）解：∵AD 平分BAC ∠，∴∠∠EAD FAD =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90AED AFD ∠=∠=︒，又∵AD AD =，∴()AAS AED AFD ≌，∴AE AF 6==，由（1）可知BE CF =，∴ABC 的周长为：66719AC AB BC AF CF AE BE BC AF AE BC ++=-+++=++=++=，故答案为：19．题型06角平分线的判定定理【例题】如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON ∠的内部且CA CB =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果12AO =，4BO =，求OD 的长．【详解】（1）证明：由题意得：CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴90CDA CEB ∠=∠=︒，在Rt ACD △和Rt BCE 中，AC BC AD BE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ACD BCE ≌，∴CD CE =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴OC 平分MON ∠．（2）在Rt ODC △和Rt OEC △中，CD CE OC OC =⎧⎨=⎩，∴()L Rt Rt H ODC OEC ≌ ，∴OD OE =，设BE x =，4BO =，∴4OE OD x ==+，AD BE x ==，∴4212AO OD AD x =+=+=，∴4x =，∴448OD =+=．【变式训练】1．如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)写出+AB AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥∴90E DFC ∠=∠=︒，(1)求证：OC 是AOB ∠的平分线；(2)若30AOB ∠=︒，23PF =，PF 【详解】（1）证明：在Rt PDF 和题型07角平分线性质的实际应用【例题】三条公路将、、A B C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在A B C ∠∠∠、、的角平分线的交点处，故选：C ．【变式训练】1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．1个【答案】B 【详解】解：如图所示，分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点1234,,,P P P P 共4个点，故选：B ．题型08作角平分线（尺规作图）【例题】已知：如图，在ABC 中，AB AC =，2B A ∠=∠．(1)求作ABC ∠的平分线，交AC 于点P ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求ABP ∠的角度？【详解】（1）解：以点B 为圆心，适当长为半径画弧交BA ，BC 于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点B 与该点所在直线交AC 于点P ，如图所示：BP 即为所求；（2）解：∵AB AC =，1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置．【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点．一、单选题1．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．若12DB cm =，则AC =（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形．连接AD ，根据垂直平分线性质可得AD DB =，则等腰三角形ADB 中15DAB B ∠=∠=︒，可推得直角三角形ACD 中60CAD ∠=︒，30ADC ∠=︒，又因为含30︒角的直角三角形中，较短直角边是斜边的一半，故12AC AD =．【详解】连接AD ，DE 是AB 的垂直平分线，12AD DB cm ∴==，15DAE B ∴∠=∠=︒，又90C ∠=︒ ，18060CAD C B DAE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，30ADC ∴∠=︒，则在直角三角形ACD 中，162AC AD cm ==．故选：C ．2．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，DP OA ⊥，4DP =，若点Q 是射线OB 上一动点，则线段DQ 的长度不可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．过点D 作DE OB ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP DE =，再根据垂线段最短解答．【详解】解：如图，过点D 作DE OB ⊥于E ，OC 是AOB ∠的角平分线，DP OA ⊥，DP DE \=，由垂线段最短可得DQ DE ≥，4DP = ，4DQ ∴≥．故选：A ．3．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置即可得到答案．【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A 、B 、C 三名选手距离相等的位置，则凳子所在的位置是ABC 的外接圆圆心，∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，A ．16︒B ．26【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，根据90ACB ∠=︒，直线116BDC ∠=︒，结合CDE ∠【详解】解：∵90ACB ∠=︒∴CD BD =，90BDE ∠=︒，∵32B =︒∠，∴32B DCB ∠=∠=︒，∵180B DCB BDC ∠+∠+∠=∴116BDC ∠=︒，∴CDE BDC BDE ∠=∠-∠=故选B ．5．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）垂直平分线MD 相交于D ，②DE DF AD +=；③DM A ．①②【答案】D 【分析】由角平分线的性质可知∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，在Rt BED △和Rt CFD DE DF BD DC =⎧⎨=⎩，【答案】80︒/80度【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质可得CD BD =，从而得到BCD B ∠=∠的性质可得50A ADC ∠=∠=︒，即可求解．【答案】3【分析】此题考查了角平分线的性质定理，作DH AB ⊥于点H ，先求出∵8BC =，5BD =，∴3CD BC BD =-=，∵90C ∠=︒，∴DC AC ⊥，【答案】20【分析】本题考查垂直平分线画图及性质，三角形周长公式．根据题意可知利用垂直平分线可知AD 【详解】解：∵分别以点【答案】50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设3ABC x ∠=，∠∵点M N 、是ABC ∠与∠∵点M N 、是ABC ∠与ACB ∠∴BN 平分MBC ∠，CN 平分∴,NE NG NF NG ==，∴NE NF =，∴MN 平分BMC ∠，【答案】15︒6【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．（1）先证明Rt Rt BDE △≌△1028AF AC CF ∴=-=-=，在Rt ADE △和Rt ADF 中，DE DF AD AD=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL D DE F A A ∴△△≌，8AE AF ∴==，826AB AE BE ∴=-=-=，故答案为：6．三、解答题11．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AC 边的垂直平分线分别交BC AC 、于点E 、F ，连接AE ，作AD BC ⊥于点D ，且D 为BE 的中点．(1)试说明：AB CE =；(2)若32C ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)84︒【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．（1）根据等腰三角形的判定得出AB AE =，根据垂直平分线的性质得出AE CE =，等量代换即可得出结论；（2）根据等边对等角得出32C EAC ∠=∠=︒，再根据三角形的外角的性质得出64AEB C EAC ∠=∠+∠=︒，再根据等边对等角得出64B AEB ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理得出52BAE ∠=︒，进而得出答案．【详解】（1）∵D 为BE 的中点，∴BD DE =，∵AD BC ⊥，∴AB AE =，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =，∴AB CE =；（2）∵32C AE CE ∠=︒=，，∴32C EAC ∠=∠=︒，∴64AEB C EAC ∠=∠+∠=︒，∵AB AE =，∴64B AEB ∠=∠=︒，∴180180646452BAE B AEB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴523284BAC BAE EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．12．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABC 中，90C ∠=︒，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．(1)作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ；(2)连接CF ；(3)作BFC ∠的平分线，交BC 于点G ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作AB 边的垂直平分线，交AC 于点E ，交AB 于点F ，连结CF ，作BFC ∠的平分线，交BC 于G ．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，（3）解：如图，13．（2023上·河南信阳AD 垂直平分EF ．(1)求证：AD 是BAC ∠的平分线；(2)若ABC 的周长为18，ABC 【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质得到(1)试问：BF 与CG 的大小如何？证明你的结论．(2)若104AB AC ==，，试求【答案】(1)BF CG =，证明见解析(2)7【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质：AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥∴EF EG =，D 为BC 的中点，DE BC ⊥∴DE 垂直平分BC ，∴EB EC =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，(1)求M∠的度数；∠的度数改为80°，其余条件不变，再求(2)若将A(3)你发现了怎样的规律？试证明；∠改为钝角，(4)将（1）中的A【答案】(1)20°(2)40°∵AB AC =，∴()111809022B A A ∠=︒-∠=︒-∠∵MN 为AB 的垂直平分线，∴90BNM ∠=︒，1(1)若120ACB ∠=︒，则MCN ∠的度数为(2)若MCN α∠=，则MFN ∠的度数为；（用含(3)连接FA FB FC 、、，CMN 的周长为6cm 【答案】(1)60︒(2)1902α︒-，分别垂直平分AC和BC， DM EN=，∴=，NB NCMA MC的周长为6cm，CMN∴++=，6cmMC NC MNAB=，∴++=，即6cm MA NB MN6cm的周长为14cm，FAB(1)求证：BCM GCM ∠=∠；(2)若2CG =，求BC AG -的长；(3)若点D 在BC 的垂直平分线上，试判断ABM 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)ABM 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）由角平分线的性质可得ACD BCD ∠=∠，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证FCM GCM ≌ ，可得MF MG =，2CF CG ==，由“HL ”可证Rt Rt BFM AGM ≌ ，可得BF AG =，即可求解；（3）由线段垂直平分线的性质可求30DBC DCB ACD ∠=∠=∠=︒，由等腰三角形的性质可求30MAG ∠=︒，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠，∵CM CD ⊥，∴90DCM ∠=︒，∴90ACD MCG ∠+∠=︒，90DCB BCM ∠+∠=︒，∴BCM GCM ∠=∠；（2）∵BCM GCM ∠=∠，90MFC MGC ∠=∠=︒，CM CM =，∴()AAS FCM GCM ≌ ，∴MF MG =，2CF CG ==，∵点M 在AB 的垂直平分线上，∴AM BM =，且FM MG =，∴()Rt Rt HL BFM AGM ≌ ，∴BF AG =，CBM MAG ∠=∠，∴2BC AG BC BF CF -=-==；（3）∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD CD =，∴DBC DCB ∠=∠，且ACD DCB ∠=∠，90DBC DCB ACD ∠+∠+∠=︒，∴30DBC DCB ACD ∠=∠=∠=︒，∵AM BM =，∴30MAB MBA ABC CBM CBM ∠=∠=∠+∠=︒+∠，∵CBM MAG ∠=∠，∴30MAB MAG ∠=︒+∠，∵90MAB MAG BAC ∠+∠=∠=︒，∴30MAG ∠=︒，∴60MAB MBA ∠=∠=︒，∴60AMB ∠=°，∴ABM 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键．18．（2023上·新疆和田·八年级统考期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥于点A ，PB OB ⊥于点B ．(1)探究：如图2，点M 是OP 上任意一点（不与O 、P 重合），连接MA 、MB ，问题：请判断MA 与MB 的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，连接AB ．问题：①OP 垂直平分AB 吗？请说明理由．②若30AOP ∠=︒，6AB =，求AOB 的周长．【答案】(1)MA MB =，证明见解析(2)①OP 垂直平分AB ，理由见解析；②18【分析】（1）证明()AAS OAP OBP ≌，则OA OB =，证明()SAS AOM BOM ≌，进而可得MA MB =．（2）①如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP ≌，则OA OB =，证明()AAS OAP OBP ≌，则AC BC =，90ACO BCO ∠=∠=︒，进而可得OP 垂直平分AB ；②由题意知60AOB ∠=︒，可证AOB 是等边三角形，则6OA OB AB ===，然后求AOB 的周长即可．【详解】（1）解：MA MB =，证明如下：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴AOP BOP ∠=∠，90OAP OBP ∠=∠=︒，又∵OP OP =，∴()AAS OAP OBP ≌，∴OA OB =，∵OM OM =，AOM BOM ∠=∠，OA OB =，∴()SAS AOM BOM ≌，∴MA MB =．（2）①解：OP 垂直平分AB ，理由如下：如图3，记AB 与OP 的交点为C ，由（1）可知()AAS OAP OBP ≌，∴OA OB =，∵OA OB =，AOP BOP ∠=∠，OC OC =，∴()AAS OAP OBP ≌，∴AC BC =，90ACO BCO ∠=∠=︒，∴OP 垂直平分AB ．②解：∵OP 平分AOB ∠，30AOP ∠=︒，∴60AOB ∠=︒，又∵OA OB =，∴AOB 是等边三角形，∴6OA OB AB ===，∴AOB 的周长为18OA OB AB ++=，∴求AOB 的周长为18．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．。
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
垂直平分线和角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
垂直平分线与角平分线典型题
垂直平分线与角平分线典型题Prepared on 24 November 2020线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
垂直平分线专项练习30题有答案ok
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题(有答案)1 如图，在△ ABC中，/ BAC=2 / B, DE丄AB于点D，交BC于点E, AC=AD=BD，请你猜想/ C的度数并证2.如图，在厶ABC中，/ BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN丄AB于N, PM丄AC 于点M，求证：BN=CM .3.如图，在厶ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF丄AB于F, DE丄AC交AC的延长线于E,且BF=CE .(1)求证：AD平分/ BAC ;(2)若/ BAC=80，求/ DCB 的度数./ A=52 °，AB的垂直平分线MN交AC于点D .求/ DBC的度数.8如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=90° , D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AC=5cm ，求 BD 的长. AD , CD 平分/ BCE ,9.如图，在厶ABC 中，AD 平分/ BAC , AD 的垂直平分线 EF 交BC 的延长线于点 F ,连接 AF ,求证：/ CAF= / B . 5.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=45°，/ BAC=90° , AB=AC ，点 D 是 AB 的中点，AF 丄CD 于 H 交 BC 于 F , BE // AC 交AF 的延长线于 E .求证：BC 垂直且平分 DE .6.已知△ ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于F . 求证：/ BAF= / ACF .7.如图，△ ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线交于点 P .(1) 求证：PA=PB=PC ;(2) 点P 是否也在边AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论?AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E.求证:10.如图，在△ ABC中，AD是/ BAC平分线,(1)/ EAD= / EDA ;(2)DF // AC ;11.如图所示，AD是厶ABC中/ BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F,试说明/ BAF= / ACF 的理由.12 .如图所示，在△ ABC中，AB=AC=16cm , D为AB的中点,DE丄AB交AC于E, △ BCE的周长为26cm,求BC=8cm .求△ AED的周长.14.如图，在△ ABC中，0E , OF分别是AB , AC 的中垂线，/ ABO=20°，/ ABC=45°，求/ BAC 和/ ACB 的度BC的长.AC边的垂直平分线,15.如图所示，△ ABC中，/ BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E, EF丄AB , EG丄AC ,垂足分别为F、G,则BF=CG 吗？说明理由.16.在厶ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E, BE=5 , △ BCE的周长为18即BE+CE+BC=18 , 求BC的长？17.如图1, △ ABC中，AB=AC，/ BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q .(1)求/ PAQ的度数；(2)如图2, △ ABC中，AB >AC，且90°<Z BAC V 180° 边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q.①若/ BAC=130，则/ PAQ= ______________ °若/ BAC a，则/ PAQ用含有a的代数式表示为 ____________________②当/ BAC= __________ 。
垂直平分线和角平分线典型题
知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.图1图2经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
角平分线、垂直平分线(含答案)
5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1F EC B A例题图2G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
垂直平分线与角平分线典型题(经典辅导)
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm课堂笔记：针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
垂直平分线与角平分线典型题练习题
线段的垂直平分线与角平分线（1）令狐采学经典例题：例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28 度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
针对性练习：已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC,求证：点O在BC的垂直平分线.例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的OB ACN B直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
针对性练习：1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。
例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.课堂练习：1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且C DAOB=OC ，求证：AO⊥BC.6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM.课后作业：1. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC边的长.2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP 。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案#精选、
3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
CEFA D B例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线M N∥BC，与F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB⊥于，求证：BE=CF。
E，DF AC FAEB M CFD答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。
垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质〔1〕垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设点C 在直线m 上，那么AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 〔2〕线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理〔1〕线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设AC ＝BC ，那么点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理〔1〕关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，而且这一点到三个极点的距离相等.定理的数学表示：如图3，假设直线,,i j k 别离是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，那么直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.〔2〕三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：假设三角形是锐角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形内部；假设三角形是直角三角形，图1图2那么它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；假设三角形是钝角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，那么该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，那么该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，那么AC 的长等于〔 〕 A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm课堂笔记：针对性练习：如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若是△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. ： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
垂直平分线与角平分线典型题练习题
线段的垂直平分线与角平分线（1）之邯郸勺丸创作经典例题：例1 如图1,在△ABC 中,BC ＝8cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交边AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm,则AC 的长等于（A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 针对性练习：已知：1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,如果△EBC 的周长是24cm,那么BC=2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,如果BC=8cm,那么△EBC 的周长是3） 如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,如果∠A=28 度,那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC,DB=DC,E 是AD 上一点,求证：BE=CE.针对性练习：已知：在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC的垂直平分线.例3. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC 的底角∠B 的大小为_______________.针对性练习：1. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在直 OB ACN B线相交所得的锐角为40°,则底角B的大小为________________.例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C＝2∠B,求证：BD＝AC＋CD.课堂练习：1.如图,AC=AD,BC=BD,则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不合错误2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5 cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证：AO⊥BC.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN辨别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.课后作业：1. 如图7,在△ABC中,AC＝23,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△AC E的周长为50,求BC边的长.2. 已知：如图所示,∠ACB,∠ADB都是直角,且AC=AD,P是AB上任意一点,求证：CP=DP.线段的垂直平分线与角平分线（2）经典例题：图7EDAC B例1已知：如图,点B 、C 在∠A 的两边上,且AB=AC,P 为∠A 内一点PE⊥AB,PF⊥AC,垂足辨别是E 、求证：PE=PF课堂笔记：针对性练习： 已知： PA 、PC 辨别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线,它们交于P,PD⊥BM 于D,PF⊥BN 于F,求证：BP 为∠MBN 的平分线.例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E 为BC 中点,连接AE 、DE,DE 平分∠ADC,求证：AE 平分∠BAD.课堂笔记：针对性练习： 如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于E,DF⊥AC 于F,求证：DE=DF.例3、如图11-1,已知在四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC,且∠BA D 与∠BCD 互补,求证：AD ＝CD.课堂练习： 1. △ABC 中,AB=AC,AC 的中垂线交AB 于E,△EBC 的周长为20cm,AB=2BC,则腰长为________________.2. 如图所示,AB//CD,O 为∠A、∠C 的平分线的交点,OE⊥AC 于E,且OE=2,则AB 与CD 之间的距离等于______________.３已知：如图,∠B=∠C=900,DM 平分∠ADC, AM 平分∠DAB .求证：M B=MC图10E E B DA C F课后作业：1.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2. 如图所示,直线l l l，，暗示三条互相交叉的公路,现在要建一123个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处时间：二O二一年七月二十九日。
线段垂直平分线和角的平分线部分典型题
线段垂直平分线和角的平分线部分典型习题1、△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A、点P在△ABC 内B、点P在△ABC 底边上C、点P在△ABC 外D、点P的位置与△ABC 的边长有关2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3、已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于( )A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°4、如图1，在锐角△ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是。
5、如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD＋BC的长的大小关系是（）A、AB＞AD＋BCB、AB＝AD＋BCC、AB＜AD＋BCD、无法确定6、在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，M是AB上一点，连接MD、MC,MD、MC分别平分∠ADC、∠BCD，求证：（1）AM=BM ；（2）∠DMC=90°.7、如图3-①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图3-③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
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角平分线、垂直平分线
精典例题+跟踪训练+参考答案
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300
，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300
，这就等价于要证∠CAF ＝900
，则根据含300
角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300
，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300
角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1
F E
C B A
例题图2 G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300
，不妨设EF ＝1，再用勾股
定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是
角平分线。
求证：AC AB
DC BD =。
分析：要证AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明AC
AB
DC BD =
就可以转化为证AE ＝AC 。
证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC
CE ∥AD ⇒
AE AB
DC BD =
∴AC
AB
DC BD =
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种选出一个填入后面的括号内（ ） ①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：
9
35
cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520
，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB ＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440
，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
第1题图
O
C
B
A
第2题图
N M
D
C
B
A
第3题图
E
D
C
B
A
第4题图
E
A
B C
D
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900
，∠B ＝150
，AB 的中垂线DE 交B C 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680
，那么∠P ＝ 。
填空第5题图
G
P
M E
B N
C F
A 选择第1题图 F
E
D
C B
A
选择第2题图
4
32
1D
C
B
A
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600
，则∠BFC 等于（ ）
A 、800
B 、1000
C 、1200
D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360
，则∠C 的度数为（ ） A 、820
B 、720
C 、620
D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ）
A 、8 cm 、8 cm 、14cm
B 、12 cm 、12 cm 、6cm
C 、8 cm 、8 cm 、14c m 或12 cm 、12 cm 、6cm
D 、以上答案都不对 4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900
，CD 是AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图
中相等的锐角为一组，则共有（ ） A 、0组 B 、2组
C 、3组
D 、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三
角形 D 、不能确定
三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D ，求证：MA ＝MD 。
第1题图 M
D
C B
A
第2题图
E F
D C
B A
第3题图
E F
D C B A
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝26
，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900
，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。
第4题图
E
F
D
C
B
A
参考答案
一、填空题：
1、380
；2、240
；3、4；4、14；5、680
二、选择题：CBCDB 三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26
，∠B ＝∠DAB ＝
∴∠ADE ＝450
，AE ＝2
2AD ＝
262
2
＝6 又∵∠C ＝600
选择第4题图
E F D C
B
A
∴EC ＝
323
63
==
AE
4、证△ACD ≌△CBF。