多项式插值法和拉格朗日插值

多项式插值法和拉格朗日插值

教案一多项式插值法和拉格朗日插值

基本内容提要

1 多项式插值法的基本概念

2 插值多项式的存在性与唯一性分析

3 拉格朗日插值多

项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求

1 熟练掌握多项式插值法的基本概念

2 理解插值多项式的存在性与唯一性

3 掌握拉

格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法

5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法

6 掌握运用拉格朗

日插值法处理问题的基本过程教学重点

1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造

2 拉格朗日插值多项式的截断

误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点

1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析

2 插值误差的分析与估计

3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法

结合提问，以讲授法为主教学过程

问题引入

实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数

的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的

有效工具之一。

§2.1 多项式插值

2.1.1 基本概念

假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0

P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。

(2.1)

把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0

数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把

求P(x)的过程称为插值法。

如果P(x)为m次多项式

Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,

则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。

画图说明插值法的几何意义。

2.1.2 插值多项式的存在性与唯一性

如果插值函数是如下m次的多项式：

Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,

那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数a0,a1,L,am。由于插值条件包含n+1个独立等式，所以只要m=n，就可以证明这样的插值多项式是唯一存在的。

实际上，由n+1个插值条件可得

nn−1

⎧a0x0+a1x0+Lan−1x0+an=y0⎪nn−1

⎪a0x1+a1x1+Lan−1x1+an=y1

⎨（2.2）

M⎪

nn−1⎪⎩a0xn+a1xn+Lan−1xn+an=yn

这是一个关于a0,a1,L,an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandermonde）行列式。该行列式的值

Vn(x0,x1,L,xn)=∏∏(xi−xj)

i=1j=0n

i

因为i≠j时，xi≠xj，所以Vn(x0,x1,L,xn)≠0。从而满足插值条件的多项式唯一存在。

§2.2 拉格朗日插值法 2.2.1 拉格朗日插值多项式的构造利用节点直接构造如下多项式

'πn(x)πn+1(x)

, = li(x)='+1

'

()πn+1(xi)(x−xi)πnxi+1

其中，

πn+1(x)=(x−x0)(x−x1)L(x−xn),π

'

n+1

(x)=(x−x0)L(x−xi−1)(x−xi+1)L(x−xn).

容易验证该多项式具有性质：

⎧0

li(xj)=⎨

⎩1因此，n次多项式

j≠i

j=i

Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+L+ln(x)yn=∑lk(x)yk

k=0

n

一定具有性质

Ln(xi)=∑lk(xi)yk=li(xi)yi=yi,i=0,1,L,n,

k=0

n

即满足插值条件。根据插值多项式的惟一性知，Ln(x)即为所求。

称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，构成Ln(x)的li(x)(i=0,1,L,n)，称为拉格朗日插

值基函数。实际上，拉格朗日插值多项式是n+1个基函数的线性组合，而组合系数是插值

条件中的已知函数值。

例 2.2.1 写出已知两个和三个插值节点条件的拉格朗日插值多项式。

本例有两个目的，一是要说明拉格朗日插值多项式的构造过程，二是要从几何上说明

拉格朗日插值基函数的基本性质。

2.2.2 拉格朗日插值多项式的截断误差

在区间[a,b]上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指

Rn(x)=f(x)−Ln(x) 通常称Rn(x)为拉格朗日插值余项。

定理2.2.1 假设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在。Ln(x)是满足插

值条件（2.1）的拉格朗日插值多项式，则对任何x∈[a,b]，插值余项

Rn(x)=f(x)−Ln(x)=

1

f(n+1)(ξ)πn+1(x) （2.3）

(n+1)!

其中ξ∈(a,b)依赖于x。

例2.2.3 写出线性插值和抛物线插值的余项。解根据定理2.2.1知，线性插值余项： 1

R(x)=f''(ξ)(x−x0)(x−x1) （2.4）

2其中，ξ∈[x0,x1]。

抛物线插值余项：

1

R2(x)f'''(ξ)(x−x0)(x−x1)(x−x2) （2.5）

6

其中，ξ∈[x0,x2]。