第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(数学类)
全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++??y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim0，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求21lim 1x x x e x -→∞+。
第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题答案（非数学类） 2016年3月27日填空题（5 >6分=30分）1.程微分方y 一 (y ) = 0的通解是 _________解：令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3dx ，积分得到-g p ，= X -G ，即 ―1 _______________________p = y = = _ ，积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) *2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2+ y 2兰4，则积分I = J ] (x + y 2$專刊* dxdy 的值是 _____________________tXjf SdS3.设ft 二阶连续可导，且f t=o ，若y 二f t, 则adx2I解：dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ，所以史二U ，则得dx f t d 2y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2dt i f (t )J dx f 3(t )4. 设'1，' 2，…，’n 是n 阶方阵A 的特征值，f X 为多项式，则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f（A 卜f （匕）f （扎2广f （匕）5. 极限 lim.hsin （二n!e ） 的值为 ____解:卫 22I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2廿 rdr14=—e^ue 』du = — (2e 3- 5)(对称性和极坐标)■: 4编者注：填空题考察基础，简易，稳扎稳打，唾手可得! •(本题满分14分)设f u,v 在全平面上有连续的偏导数,口 , 土逹：=0的所有切平面都交于点a, b,c .z —c z —c证明：记F(x,y,z)=f '◎,口 )，求其偏导数得到其法向量：\.z-c z_c 丿(Fx, Fy, Fz )= i 丄，丄,-(x-a )f1-(y-b)fj --------------------------------------------------- 6 分辽-c z-c (z -c) 丿 (得分比高中数学联赛都容易)为方便取曲面的法向量 n = z -c f 1, z -c f 2,7x -a £-：〔y -b f 2 .记x,y,z 为曲面上的点，X,Y,Z 为切面上的点，则曲面上过点x,y,z 的切平面 方程为〔z - c f 「X -c 〔z-c f 2 V -y _ 丨 x - a f 「y _b f ?上- y i=O ----------------------------- 12 分 容易验证，对任意x,y,z z = c , X,Y,Z 二a,b,c 都满足上述切平面方程•结论 得证。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日一填空题（5×6分=30分）1.程微分方0)(y 3'''''=-y 的通解是解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到1221-c x p -=-，即 ()x c y p -±==1'21，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）.2.设D:4122≤+≤y x ，则积分()()dxdy e y x I x D4y 222-+-⎰⎰+=的值是解：)52(22sin e4341420212242-===⎰⎰⎰--e du ue erdr e r d I u r ππθθπ（对称性和极坐标）.()ds s f x t⎰=03.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若()t f y = ， 则______22=dxyd 解：()dt t f dx =，()dt t f dy'=，所以()()t f t f dx 'dy =，则得 ()()()()()()t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32''''22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵()A f 的行列式的值为 解：()()()()nf f f A f λλλΛ21=5.极限[])!sin(lim e n n n π∞→的值为解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=111!11!11!1!2111!!n o n a n o n n n e n n ππππΛΘ，n a 为整数，所以结果ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→)11(1sin lim n o n n n 。
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,共20分1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、15分设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、10分已知xxe xe y 21+=,xxe xe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、15分已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、10分求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、25分,每小题5分 1设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++,其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3设0s >,求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==⎰.4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、15分设10,nn n kk a S a=>=∑,证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤其中0c b a <<<,密度为1绕l 旋转. 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰的值为常数.1设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 3已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、本题10分求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、本题15分设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=.四、本题17分设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、本题16分已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z ≥取上侧,∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算：1()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；2()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰六、本题12分设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、本大题共5小题,每小题6分,共30分解答下列各题要求写出重要步骤. 1求极限21lim(!)n n n →∞.2求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.3已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 4设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关,求(,)u x y .5求极限1lim x xx t +.二、本题10分计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、本题10分求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到.四、本题12分设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u →,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、本题12分求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有1f dx C ≤⎰.六、本题12分设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、本题14分设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明：1若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛； 2若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、解答下列各题每小题6分,共24分,要求写出重要步骤 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、满分12分计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、满分12分设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()0lim0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、满分12分设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、满分14分设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、满分14分设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、满分14分判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性,若收敛,求其和.2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题共有5小题,每题6分,共30分1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y x t x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x . 二、本题12分设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、本题14分设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ,有22|)('|B A x f +≤. 四、本题14分1设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2；2设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、本题15分设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、本题15分设2222212n n n nA n n n n =++++++,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π. 2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题6分,共5小题,满分30分1极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 2设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ . 3曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .4函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . 5设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、12分设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、12分设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、14分求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、16分设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：1[]00,1x ∃∈使()04f x >； 2[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、16分设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy ff f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,满分30分1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________.2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、14分设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、14分某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、14分设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、1. 已知可导函数f (x )满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -，,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c-=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x →=____.5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、本题满分14分 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、本题满分14分 设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、本题满分15分 设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、本题满分15分 设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数;若()lim n p n n a a +→∞-=λ,其中λ为常数,证明limn n a n pλ→∞=.。
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
第七届大学生数学竞赛决赛非数学专业试卷
（2）设 D :1 ? x2
y 2 ? 4 .则积分 I ( x y 2 )e ( x
D
2
y 2 4)
dxdy 的值是.
t x 0 f (s)ds, （3）设 f (t ) 二阶连续可导，且 f (t ) 0 .若 y f (t ),
则
d2y =. dx 2
得分 评阅人
四 (本题满分 14 分) 设 A 是 m n 矩阵，B 是 n p 矩阵，C 是 p q 矩阵. 证明： R( AB) R( BC) R( B) R( ABC) ，其中
2 f ( x)
a
b
b
x
f (t )dt dx
b
a
f ( x)dx .
2
R( X ) 表示矩阵 X 的秩.
全国大学生数学竞赛决赛非数学类20161第七届全国大学生数学竞赛决赛试卷非数学类2016注意
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2016）-1
第七届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类, 2016 年）
得分 评阅人
二 (本题满分 14 分) 设函数 f (u , v) 在全平面上有连续的偏导数，曲面 S 由
正整数.
(1）若 n 2 ，计算 I n I n2 ;
（ 1)n I np 的绝对收敛性和条件收敛性. (2）设 p 为实数，讨论级数
n1
向上. 若对任何点 ( x0 , y0 , z0 ) 和 r 0 , 第二型曲面积分
Pdydz Rdxdy 0 .
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________
第7届全国大学生数学竞赛非数学类预赛答案
∑ ⎝ 2 2 2 第七届预赛（非数学类）参考答案一、每小题 6 分，共计 30 分。
sin π sin 2 π(1) 极限lim n n + n +L + sin π =2。
n →∞ n +1 n + 2n + n πsin iπ 1 n i n n 1 n i解：由于n +1∑sin n π ≤ ∑i ≤ n ∑sin n π , 而i =1i =1 n + ni =1lim 1 ∑n sin i π n π ∑n = lim sin i π = 1 ⎰π sin xdx = 2 ， n →∞ n +1 i =1n n →∞ (n +1)π n i =1 n π 0 πlim 1sin i π = lim 1 πnsin i π =1 π2n →∞ni =1nn →∞π ∑ i =1π ⎰sin xdx = π。
所以所求极限是 2 .π（2）设函数 z = z (x , y ) 由方程 F (x +z , y + zy x) = 0 所决定，其中 F (u , v ) 具有连续偏导∂z ∂z数，且 xF u + yF v ≠ 0 。
则 x + y =∂x ∂yz − xy。
（本小题结果要求不显含 F 及其偏导数）解：方程对 x 求导，得到⎜⎛ + 1 ∂z ⎞⎟ F+⎛⎜1 ∂z −z ⎞⎟ F = 0 ⎜1y ∂x ⎠⎟ u ⎜⎝ x ∂x x 2 ⎠⎟ v∂z y (zF − x 2F ) 即 x = v u 。
∂x xF u + yF v∂zx (zF − y 2F )同样，方程对 y 求导，得到 y = u v 。
∂y xF u + yF v于是 x∂z + y ∂z = z (xF u + yF v ) − xy (xF u + yF v ) = z − xy∂x ∂y xF u + yF v（3）曲面 z = x 2+ y 2+ 1在点 M (1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x 2+ y 2所围区域的体积为π。
2015第七届全国大学生数学竞赛年试卷和答案
一、每小题 6 分，共计 30 分。 π 2 ⎛ ⎞ ⎜ sin n sin n π sin π ⎟ + 2 +L+ 2 (1) 极限 lim n ⎜ 2 ⎟= n →∞ n +n⎟ ⎜ n +1 n + 2 ⎝ ⎠
2
π
。
i π n sin i 1 n 1 n i n π ≤ sin 解：由于 ≤ ∑ sin π , 而 ∑ ∑ i n + 1 i =1 n n i =1 n i =1 n+ n
同样，方程对 y 求导，得到 y
于是 x
∂z ∂z z ( xFu + yFv ) − xy ( xFu + yFv ) +y = = z − xy ∂x ∂y xFu + yFv
（3）曲面 z = x + y + 1 在点 M(1,‐1,3)的切平面与曲面 z = x + y 所围区域的体积为
2 2 2 2
2
1 (e x−1 − 1)，x ≠ 1 x −1 x =1
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
五、 （16 分）设函数 f 在[0,1]上连续，且 （1） ∃x0 ∈ [0,1] 使 f ( x0 ) > 4 （2） ∃x1 ∈ [0,1] 使 f ( x1 ) = 4
∫
1
0
f ( x)dx = 0,∫ xf ( x)dx = 1 。试证：
∞
S 2 ( x) = e x −1
( x − 1) S 3 ( x) = ∑
得到，当 x ≠ 1 时 S 3 ( x ) =
∞ 1 1 ( x − 1) n +1 = ∑ ( x − 1) n = e x −1 − 1 n = 0 ( n + 1)! n =1 n!
第七届大学生数学建模邀请赛试题
第七届大学生数学建模邀请赛试题UGMCM 2005试题说明✧本次竞赛共有如下三题。
每支参赛队伍必须从以下三题中任意选取两题，并完成两篇论文，其它具体要求参阅试题附录里的竞赛手册。
✧参赛论文必须于2005年8月1日至8月5日间发送到shuxuejianmo2005@，逾期不收。
✧请同时发一份到ljingru@, 谢谢。
本次竞赛试题：（一）流感疫苗接种问题（二）楼市也疯狂（三）全球卫星通讯系统中的数学问题注：本试题版权归第七届大学生数模邀请赛组委会所有，不得擅自转作他用！（一）流感疫苗接种问题流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。
疫苗1对菌种1有85％的预防效果，对菌种2有70％的预防效果；疫苗2对菌种1有60％的预防效果，对菌种2有90％的预防效果。
两种疫苗不能在一个人身上同时使用。
（1）为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？（2）为使尽可能多的居民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略？（3）在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计）。
流感疫苗接种问题摘要：本文首先就简易数学模型（1）进行合理性和实用性的评价，并指出了它的不足之处。
从该模型中我们受到启发，联想到人口预报的初步模型。
按照人口模型建立的发展过程，我们相应地建立了逐步完善的累计确症受流感病毒影响的各种模型：指数模型，Logistic模型，随机房室模型。
本文主要采用数据拟合的方法来确定各个模型中用到的参数。
我们对指数模型只作定性分析，重点讨论Logistic模型，随机房室模型。
在讨论Logistic模型时，我们从累计确诊病人数的变化和病人增长率的变化来进行研究，对每个参数的实际意义我们都作了详细的分析，特别是对预防指数r的分析。
问题1：本题中所提到的：为使尽可能多的居民具有免疫力，需进一步了解的信息有：前面几年各个月份各周“已确诊病例累积”有关数据、菌种1和菌种2在各个时期的生长模型、前期是否做好传染病患者的预报和统计工作、初始时刻健康者人数和初始病人数、疫区总人口数n、已发生阶段各个时期累计确症病人数N（t）及分析各种数据的真实性、居民对流感病毒的重视程度及卫生部门对加强公共卫生设施建设，提高医务人员业务水平，以减少误诊，漏诊人数等的重视程度等。
第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.
|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3
全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版
全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版全国大学生数学竞赛是一项备受关注的数学赛事，每年都吸引了无数大学生参加。
为了帮助广大参赛学生更好地备战比赛，我们特别整理了全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版，供大家学习和参考。
首先，需要明确文章的类型。
本文属于资源推荐类文章，旨在向读者推荐一种实用的学习资料，帮助他们提升数学竞赛水平。
在推荐之前，我们会对所推荐的学习资料进行简单的介绍。
本次推荐的资料为全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版，包含历年竞赛真题及详细解析，题型全面，题量大，难度适中，适合各种不同水平的学生进行针对性复习。
接下来，我们将对所推荐的学习资料进行详细的阐述。
首先，全国大学生数学竞赛历年真题部分，涵盖了从2000年到2022年的全部真题，让学生可以全面了解竞赛的命题规律和难点。
其次，解析部分详细讲解了每道题的解题思路和方法，帮助学生深入理解题目的本质，提高解题能力。
此外，十套全高清无水印版保证了资料的品质和完整性，让学生可以放心使用。
为了增强文章的说服力，我们将列举一些使用过该学习资料的学生反馈。
一位来自清华大学的大三学生表示，通过这套资料的学习，他的数学竞赛成绩有了显著的提高。
此外，我们还将在文章中引用一些专业人士的评价，以证明该学习资料的实用性和有效性。
在总结全文时，我们将再次强调全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版的重要性和实用性。
通过学习和使用这套资料，学生可以更好地备战数学竞赛，提高解题能力和数学素养。
最后，我们将提供一些无水印版的制作方法和技巧，以便读者获得更好的阅读体验。
建议读者在阅读时结合题目和解析部分，重点关注解析中的思路和方法，以便在实际解题时运用。
总之，全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版是一种非常实用的学习资料，适合所有参加数学竞赛的学生使用。
希望通过学习和使用这套资料，广大参赛学生能够取得更好的成绩，实现自己的数学竞赛梦想。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。