多元函数微分学与应用PPT(30张)

x
函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
复合函数(构造新函数的重要方法)
例如. 函数 f(x)3x1
f[f( x ) ] 3 f( x ) 1 3 ( 3 x 1 ) 1
基本初等函数: 常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数 初等函数 由基本初等函数 经有限次四则运算与有限次 复合而成且能用一个式子表示的函数.
.
解：
dy2sin1cos1(1)
dx
x x x2


1 x2
sin
2 x
例5. 求函数 y
x 在x处的微分 1 x2
解：
1x2 x x
dyf(x)dx
1x2 dx 1 x2

1 3 dx
(1 x 2 ) 2
三、多元函数微分法
1. 多元显函数求偏导和高阶偏导 将其余变量固定，对该变量求导。
跳跃间断点
函数间断点
第二类（左右 极限至少有一 个不存在）
无穷间断点 振荡间断点
重要结论：初等函数在定义区间内连续
例1. 设函数 f (x)
a (1cosx) x2
,
x0
1,
x0
ln(bx2), x0
在 x = 0 连续 , 则 a =
2 , b=
e
.
提示:
f(0)xl i0m a(1xc2ox)s
当 x0 时,为右导数 f(x)
当 x0 时,为左导数 f(x)
微分 :
df(x)f(x)d x
关系 : 可导
可微
导数几何意义:切线斜率
例3.设 f (x) 在 x2处连续,且 limf (x) 3, x2 x2
求 f (2).
解: f(2) limf (x) lim [(x2) f(x)] 0
微分学
一、函数、极限、连续 二、导数与微分 三、多元函数微分学 四、微分学应用
一、 函数、极限、连续
1. 一元函数
显函数 yf(x)xD
隐函数 F(x, y)0
参数方程所表示的函数
x (t)

y


(t)
y yf(x)
定义域：使表达式有意义的实 数全体或由实际意义确定。
o
D
2. 函数的性态: 函数单调性的判定及极值求法
定理 1. 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f(x)0 (f(x)0),则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数 为 0 或不存在的点.
极值第一判别法
xy kz(k为正常数），求
z x y x y z
解: z y , x k
x y


kz y2
,
y k z x
zxykz 1 x y z xy
例7. 设 x2y2z24z0,求 z . x
解：设 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z
x x
x 0
洛必达法则
定理 1 )lifm (x ) liF m (x ) 0(或为)
x a x a

2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 ,且 导 F(x)0
3) lim f (x) 存在 (或为)
xa F(x)
limf(x)limf(x) xaF(x) xaF(x)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时过 ,
wenku.baidu.com(1) f (x) “左正右负” ,则f(x)在x0取极大 . 值 (2) f (x) “左负右正” ,则f(x)在x0取极小 ; 值
x2
x2
(x2)
f(2)lim f(x)f(2) x 2 x2
lim f (x) 3 x2 x 2
2.导数和微分的求法
正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）
高阶导数的求法(逐次求一阶导数）
y
例4. x
1 x2
求函数
x
y sin 2 1 x
的导数
d d
y x
2 极限
极限定义的等价形式 (以 xx0 为例 )
limf (x)A
f(x)A
xx0
f(x0)f(x0)A
其中 f(x)A为 x x0的无穷小
极限运算法则
无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 等价无穷小代换
常用等价无穷小:
sinx～x ; tanx～ x ;
1coxs～
2. 复合函数求偏导 注意正确使用求导符号
3. 隐函数求偏导
F(x,y,z)0 z Fx ,z Fy
x Fz y Fz
4. 全微分 (zf(x,y))
d z fx(x ,y )d xfy(x ,y )d y
5. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
例6. 已知
a 2
f(0)lim ln(bx2)lnb
x 0
1cosx~ 1 x2
a
2
1 lnb
2
例2. 若 lxi m (axx2213bx2)，求a与b的值。
二、 导数和微分
1. 有关概念 导数 定义:f(x 0 ) lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 ) x l x i 0fm (x x ) x f0 (x 0 )
则
Fx2x, Fz2z4

z x
Fx Fz


z
x
2

x 2
z
四、 导数与微分的应用
1.导数的几何意义
例8.求曲线 y x3 6x 上切线平行于x轴的点。
解：由 y3x260 解得 x 2
代入 y x3 6x 得 y 4 2
所求点为： ( 2,42),(2,42)
(洛必达法则)
说明: 定理中 x a换为 xa, xa, x , x , x 之一,
条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
3. 连续与间断
函数连续的定义
xl ixm 0 f(x)f(x0)
第一类（左右
f(x0 )f(x0 )f(x0)
可去间断点
极限存在）
1 2
x2
;
arctaxn～x ; arcsinx～x ; ln1(x)～ x ;
e x 1～ x ; a x 1～ x ln a; (1x) 1～x;
两个重要极限
lism x i n 1 , li(1 m 1 )x e , li(1 m x )1 x e
x 0 x